PRODUÇÃO EM GEOMETRIA DINÂMICA NUM CURSO DE
LICENCIATURA
Rosa Maria Mazo Reis
Universidade Estácio de Sá
[email protected]
Introdução:
Uma vez que acreditamos que as atividades de ensino precisam considerar e apoiar-se
no processo operativo da inteligência presente na construção do conhecimento, nosso
trabalho vem se desenvolvendo em consonância com nossas crenças. Assim ativar a
operatividade da inteligência na aprendizagem escolar constitui o compromisso
fundamental para qualquer método de ensino que busque redefinir os papéis dos agentes
do processo ensino-aprendizagem.
Os Referenciais para Formação de Professores, lançado pelo Ministério da Educação
(MEC) em outubro de 2000 indicam uma nova concepção do trabalho docente. Surge
uma escola onde o aluno aprende a aprender deixando para atrás aquela escola que se
baseava na memorização. Os Referenciais têm uma ação direta nos cursos de
Licenciatura, a meta é fazer com que, além dos conteúdos, todos saibam fazer análises,
estabelecer relações, levantar hipóteses.
Enquanto cursam Informática na Educação Matemática I os alunos custam a entender
que sua participação é indispensável, muitas vezes reagindo contra a metodologia
utilizada pela professora, mas ao começarem a disciplina Informática na Educação
Matemática II costumam já estarem assumindo seus papéis de agentes, na grande
maioria dos casos. A avaliação do curso é continuada, em cada encontro são
apresentadas tarefas que devem ser vencidas respeitando-se o ritmo e as características
individuais dos alunos. Cada um deles é responsável pelo progresso do grupo como um
todo, desta forma podemos dizer que a produção é coletiva.
A escolha do programa Cabri Géomètre II nos remete a um tratamento aos objetos geométricos,
caracterizados por sua natureza dual: a figura é o objeto teórico e difere de sua representação material.
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Esse caráter dual repercute na construção do conhecimento, os desenhos que representam figuras podem
provocar percepções visuais e sugerirem conceitos teóricos, que podem entrar em conflito. O importante
no processo de aprendizagem é permitir a passagem do desenho à figura, visto ser esse o modo mais
comumente usado de representar e comunicar o conhecimento geométrico. Como o aspecto visual pode
trazer dificuldades na compreensão da figura que representa, ambientes dinâmicos passam a se constituir
em micro-mundos de aprendizado, pois permitem o movimento e deformação dos desenhos que
representam as figuras, eliminando a possibilidade de que características irrelevantes sejam consideradas
como propriedades. Desta forma as propriedades e relações geométricas podem ser comprovadas. Além
de constituirem desafio cognitivo necessário, para que o sujeito possa revelar suas formas de conhecer
respondendo às questões que lhes são impostas. Laborde e Capponni (1994) argumentam que este
programa possibilita o aprendizado das relações visuais e geométricas por três razões: os fenômenos
visuais ganham importância pela relação dinâmica do Cabri Géomètre II; esses fenômenos sõ controlados
pela teoria, pois são o resultado de uma modelização gráfica e de um modelo analítico de propriedades
geométricas; as possibilidades sem limites de situações geométricas podem ser visualizadas com um
grande número de objetos de forma recisa.
Uma vez que o Cabri Géomètre II possibilita que se investigue como os alunos realizam, justificam e
investigam e, também, se analise como isso os habilita a compreender objetos e relações geométricas,
elaborando, ainda, argumentos indutivos e dedutivos este programa foi o escolhido.
Desenvolvimento:
Nos dois primeiros encontros os alunos exploram o programa livremente, e discutem
textos sobre relatos de experiências apresentados em congressos onde o programa foi a
ferramenta escolhida pelos autores. A seguir recebem diferentes desafios que devem ser
resolvidos
utilizando-se
o
programa
como
recurso.
Trabalhamos
diferentes
metodologias que podem ser utilizadas com o programa Cabri Géomètre II para a
construção de conceitos e figuras em Geometria plana e espacial.
Estas metodologias são sintetizadas e reapresentadas, e os alunos devem escolher uma
delas para criar uma proposta de aitividade a ser apresentada e trabalhada pelo grupo.
As atividades que foram criadas em todas estas metodologias foram feitas em duplas,
para que trocas e questionamentos acontecessem durante o processo de construção dos
conceitos envolvidos.
Uma vez que o uso deste programa possibilita o ensino da Geometria por meio de
construções geométricas e vice-versa, podemos minimizar a dissociação freqüente entre
o Desenho Geométrico e Geometria. Solicitamos também que as duplas contemplassem
aspectos da Álgebra, ou da Aritmética, ou do Cálculo, ou da Analítica, entre outros.
Foi destacado que o papel do professor (cada vez mais próximo de ser exercido
definitivamente) como o de mediador das discussões levantadas pelas alunos,
interferindo somente quando solicitado e não resolvendo o problema proposto antes que
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os alunos apresentem suas próprias soluções. A partir destas, e da socialização das
mesmas o saber se institucionaliza.
Campos e Jahn (1999) apresentam oito metodologias, que podem ser utilizadas com o
Cabri Géomètre II. Essas metodologias foram apresentadas para que cada dupla
escolhesse aquela que achasse mais interessante. Como parte da Metodologia I deve ser
elaborado um arquivo pelo professor que contém um erro de construção e os alunos
deverão descobri-lo utilizando as ferramentas do Cabri Géomètre II. Após a descoberta
solicita-se que uma construção correta seja apresentada. A Metodologia II que também
é denominada caixa-preta pelo grupo de pesquisa da Universidade Joseph Fourier,
Grenoble, França, consiste na reprodução de uma figura previamente preparada pelo
professor através da exploração do aluno da figura. A idéia é que o aluno percorra
algumas etapas do método científico: observação, exploração, levantamento de
conjecturas, pesquisa teórica, confirmação ou não das conjecturas, e validação da
mesma. Na Metodologia III a Geometria dinâmica é utilizada para se fazer conjecturas a
respeito das propriedades de um objeto geométrico, sobre o qual os alunos não têm
conhecimento anterior. Com as ferramantas do Cabri Géomètre II e noções geométricas
anteriores, o aluno pode validar suas hipóteses para, em seguida, escrever uma definição
do objeto em questão. A Metodologia IV é considerada aquela onde se apresenta ao
aluno uma construção geométrica de um objeto, criado por um matemático
historicamente conhecido. Pede-se então que ele elabore outra construção para o mesmo
objeto. Já a Metodologia V tem por objetivo que o aluno faça uma demostração. A
partir de uma construção geométrica, são propostas as questões cujas respostas
permitem estabelecer e identificar propriedades que, devidamente encadeadas,
compõem os passos de uma demonstração. A Metodologia VI propõe que se estimule o
aluno a fazer várias construções gemétricas do mesmo objeto. Para cada uma delas, são
desabilitadas ferramentas do Cabri Géomètre II que estavam disponíveis na construção
anterior. Utilizando-se a Metodologia VII propõe-se um problema de Geometria. Este
não deve ser usual e nem de solução imediata. Fica inteiramente a cargo do aluno
identificar e aplicar os conceitos necessários para sua resolução. Já com a Metodologia
VIII apresentamos um enunciado de um problema de Geometria extraído de um texto
matemático. O aluno deve ler, interpretar, fazer uma representação da situação no Cabri
Géomètre II e obter a solução.
Quase todas as metodologias foram escolhidas e aplicadas na turma por cada uma das
duplas. No presente relato vamos nos ater a parte de dois trabalhos que foram
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escolhidos por apresentarem uma diversidade grande entre eles, mostrando a
abrangência que pode resultar neste tipo de proposta apresentado em formação de
professores.
Uma das duplas escolhidas procurou responder a uma questão particular, disseram que a
maioria dos programas matemáticos de conhecimento público possibilita ao usuário
construírem curvas a partir de equações implícitas ou explícitas.
Afirmando que no desenvolvimento do curso haviam despertado para a utilização do
programa (Cabri Géomètre II) para construção de algumas curvas que haviam estudado
na disciplina de Cálculo II e Análise Vetorial. Experimentaram e construíram tais
gráficos no Graphmat e no Winplot (explorados no período anterior na Informática na
Educação Matemática I) e outros similares. Destacaram que para a execução de tais
gráficos neste programas eles teriam que obter a equação das curvas, o que em alguns
casos implicaria em extensos cálculos.
Concluíram que o programa Cabri Géomètre II dispunha de recursos que precisavam,
ou seja, as funções “lugar geométrico”, “transferir distâncias” e “simetria axial” e
“simetria central”. O próximo passo foi selecionar cinco construções de curvas estudada
pelos alunos do quinto e sexto períodos do curso de Matemática para serem construídas
no Cabri.
Considerando que a Geometria dinâmica é utilizada para se fazer conjecturas a respeito
das propriedades de um objeto geométrico, sobre o qual não se tem conhecimento
anterior, imaginaram que este recurso poderia ser de utilidade para que seus objetivos
pudessem ser atingidos, já que as curvas que buscavam eram resultado de movimentos
de pontos em relação a outros. Assim eles estariam fazendo uma integração da
Geometria com a Álgebra, com a Aritmética e com o Cálculo. Foi buscando esta
integração que desenvolveram o seu trabalho.
Com as ferramentas do Cabri Géomètre II e noções Cálculo anteriores, buscaram
validar suas hipóteses. Estabeleceram que o objetivo do trabalho seria a construção de
algumas curvas definidas como lugares geométricos.
Apresentaram uma revisão de quatro recursos que foram utilizados nas construções das
curvas. Formularam as questões e em seguida apresentaram as soluções no programa
Winplot e no programa Cabri Géomètre II.
O Cabri Géomètre II apresenta a ferramenta Simetria Axial que cria a imagem em
espelho de um objeto refletido ao longo de uma reta, segmento, semi-reta, vetor eixo ou
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lado de um polígono. Esta ferramenta foi importante para a solução da primeira e da
segunda questão.
O Cabri Géomètre II apresenta também a ferramenta Simetria Central que reflete a
imagem de um objeto 180º em relação a um ponto.
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Também temos a ferramenta Lugar Geométrico que cria um conjunto de objetos
definidos pelo movimento de ponto ao longo de uma trajetória. Se selecionarmos um
ponto de uma trajetória o lugar geométrico e completamente construído e
considerado como um objeto definido.
E a ferramenta Transferir Distâncias que cria um ponto em uma semi-reta, em um
vetor, a partir do ponto inicial de um polígono ou de um outro ponto a uma distância
proporcional a uma medida ou um valor numérico selecionado.
A primeira questão-desafio apresentada por eles foi a seguinte: Imagine se você
pudesse observar o movimento descrito por um prego que penetrou em um pneu.
Como seria a trajetória descrita pela cabeça do prego? A turma discutiu a trajetória e
a partir desta situação foi enunciada a primeira questão.
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Supondo que a cabeça do prego se encontre localizada no pneu no ponto P, conforme
figura 5, qual seria sua trajetória a medida em que o pneu girasse para a direita?
Foi calculada a Equação Paramétrica representativa da curva.
A curva pode ser descrita pelo movimento do ponto P(0,0) de um círculo de raio a,
centrado em (0,a), quando o círculo gira sobre o eixo dos x (figura 5).
Quando o círculo gira um ângulo t, seu centro se move um comprimento OT. Na figura
acima temos:
OT = TP = at, CT = a ,
CA = a cost e AP = asent.
Portanto, as coordenadas de P são:
X = OT - AP = at – asent = a (t - sent),
Y = AT ,
CT - AC = a – acost = a (1-cost).
A equação da curva:
r
r (t ) = a (t − sen t ) + a (1 − cos t )
Pelo Winplot para a = 3 teríamos:
30.0
(x,y) = (3*(t-sin(t)),3*(1-cos(t))); 20.0
0.000000 <= t <= 6.2831
Usando o Cabri Géomètre II obtemos a curva
abaixo.
10 .0
−50.0
−40.0
−30.0
−20.0
−10.0
10.0
−10.0
−20.0
−30.0
20.0
30.0
40.0
50.0
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Como segunda questão foi proposto que cada um se imaginasse podendo
observar o mesmo pneu citado na questão anterior de uma moto num “globo da
morte”, e se perguntasse qual seria a trajetória descrita pela cabeça do prego. A
terceira questão foi apresentada na disciplina de Cálculo III, uma haste presa na
origem do plano xy, ocupa a posição da reta que faz um ângulo t radianos com o eixo
positivo dos x.A haste intercepta a reta y = 2 a no ponto A e a circunferência
x 2 + ( y − a) 2 = a 2 no ponto B. Quando t varia, o vértice P do triângulo retângulo
APB descreve uma curva chamada Curva de Agnesi. Determine a sua equação
cartesiana e faça um esboço desta curva. Questão similar a anterior foi a quarta
questão, foi feita a substituição do círculo por uma elipse; uma haste, presa na
origem do plano xy ocupa a posição da reta x = ty .A haste intercepta a reta y = 4 no
2
2
ponto s e a elipse 4 x + ( y − 2) = 4
no ponto Q. Quando t varia o vértice p do
triângulo retângulo QPS descreva uma curva. Determine a equação da curva.
Finalmente a quinta questão foi apresentada em lista de exercício da disciplina
Análise Vetorial dizia seja OA o diâmetro da circunferência Ѓ de raio 2 a. Tracemos
por A a reta u e por o a reta r. Sejam C e B as interseções de r com Ѓ e u ,
respectivamente. Sejam M ∈ a OC tal que MC = BC. Determine o Lugar
Geométrico dos pontos M obtidos ao variarmos a reta r.
No outro trabalho selecionado a dupla escolheu a metodologia II, pois caixa
preta pareceu a elas algo diferente ou melhor misterioso A metodologia denominada
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caixa-preta é apropriada para ser desenvolvida em ambientes informatizados através do
uso de programas de geometria dinâmica, pois permite que o aluno possa experimentar,
confrontar hipóteses e formar conceitos.A utilização da
Geometria dinâmica nos
ambientes escolares determinou a criação e elaboração de novas modalidades de
problemas e desafios para o uso nas escolas. As situações caixas-pretas são exemplos de
problemas que despertam nos alunos os sentidos de investigação, comparação e busca.
O nome foi dado pelogrupo de pesquisadores do Laboratório de Estruturas Discretas e
de Didática da Universidade Joseph Fourier, Grenoble – França, a metodologia objetiva
levar os alunos a explorarem uma figura preestabelecida, para que possam reproduzi-la
de forma que suas propriedades se mantenham. Para que esse objetivo se cumpra,
diferentes programas de Geometria dinâmica podem ser utilizados, permitindo que os
alunos possam fazer suas experiências e chegar às suas respostas através de observações
sobre a constância das propriedades geométricas do objeto em questão. O grupo
ressaltou o papel do professor nesse tipo de experiência como sendo primordial, elas
agiram como mediadoras diante do confronto de idéias de seus colegas buscando levar
cada um deles à reflexão e à aplicação de conceitos básicos previamente adquiridos.
Foram agentes que atuaram junto, levando-os a formularem hipóteses que se
confirmaram com base na transferência de conhecimentos e na aplicação dos mesmos
em diferentes situações. A atividade selecionada por elas encontra-se num CD
produzido pela parceria Colégio Santo Inácio e PUC-Rio1 e diz que a figura abaixo deve
ser reproduzida, de forma que as suas propriedades geométricas sejam mantidas. Para
isso, deve-se observar o que acontece com a medida da área do quadrilátero quando os
vértices que são móveis são deslocados sobre o diferentes segmentos de reta que servem
de referência para a figura.
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Um dos parceiros Rosane Mello da Silva disponibiliza outras sugestões em sua página pessoal:
Home.ism.com.br/~romello/CD_Cabri/metodos.htm
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Ao mover os vértices A e C sobre os segmentos paralelos, o observador deve perceber
que, embora a aparência da figura se modifique, sua área permanecerá constante.
Porém, ao deslocar o vértice C sobre o segmento concorrente aos paralelos, a área do
quadrilátero se modificará.
Cada um dos colegas percebeu que para construir uma figura semelhante e que
preservesse as mesmas propriedades da anterior, não bastava apenas basear-se nas
características aparentes da construção, mas preisou deter-se em propriedades
geométricas que garantiram as propriedades da construção inicial.
Conclusão:
Podemos afirmar que a dinâmica dos dias atuais, de certa forma, se impôs dentro
das instituições educacionais e que, quando se fala em Matemática, essa dinâmica
também foi imposta. Quando se trabalha num curso de licenciatura de Matemática, o
que se faz é Educação Matemática, desejamos formar educadores matemáticos loo
nossas aulas devem ser pautadas em modelos educacionais que levem o licenciando a
ser, um agente de construção do seu próprio conhecimento, de forma que ela possa
possibilitar que seus alunos futuros também o sejam.
O professor acaba assumindo pare si o papel de dinamizador de todo esse processo,
nossos alunos também precisam “ensaiar” para exercer esse papel pois eles são aqueles
que orientarão seus alunos em suas buscas.
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Dentro de todo esse panorama, a Geometria Dinâmica é um recurso que apóia todo esse
processo, uma vez que ela possibilita uma nova visão dentro da construção dos teoremas
e propriedades geométricas.
Em uma primeira avaliação informal, acreditamos que a inclusão das disciplinas de
Informática na Educação Matemática I e II no curso Licenciatura de Matemática se
mostrou muito proveitosa. O trabalho feito em duplas permite uma discussão rica
durante as aulas e um acréscimo significativo no número de perguntas feitas em sala.
Observamos uma resposta bastante positiva por parte dos alunos, diversos destes alunos
manifestaram a intenção de dar continuidade ao trabalho realizado neste curso, em suas
monografias de final de curso.
Palavras chaves:geometria dinâmica, formação de professores
Referências Bibliográficas
Campos, T e Jahn, A., (1999). Geometria Plana com o Cabri-géomètre: diferentes
metodologias. PROEM.
Laborde C. & Capponi B., (1994). Cabri-géomètre constituant d’un milieu pour
l’apprentissage de la notion de figure géométrique. Recherches en Didactique
des Mathématiques vol 14 (1) 165-210.
MEC. Ministério da Educação, (2000). Referenciais para formação de professores.
Brasília, MEC/SEF.