Introdução ao
GeoGebra
Minicurso
VIII SEMANA DA MATEMÁTICA
Junior Rodrigues Ribeiro
Acadêmico do 2º Ano de Matemática da UEMS
DOURADOS
2013
Introdução ao GeoGebra
Junior Rodrigues Ribeiro
Apresentação
O GeoGebra é um software livre de manipulação de Geometria e
Álgebra no plano (2 dimensões). Seu nome vem da união da GEOmetria
e da álGEBRA. O intuito deste nosso minicurso é realizar as operações
básicas no software, estudando um pouco de cada uma dessas duas
áreas, bem como realizar construções geométricas simples.
O GeoGebra também escreve textos LaTeX, lembrando que seu uso é
somente como ferramenta e não como editor de texto.
Ganhador diversos prêmios na Europa, o GeoGebra é um programa de
matemática dinâmica, feito com o intuito de ser utilizado em sala de
aula, o qual junta aritmética, álgebra, geometria e cálculo. O GeoGebra
possibilita desenho de pontos, vetores, segmentos, linhas, funções, e a
alteração dinâmica deles. Também é possível inserir equações e
coordenadas diretamente nos gráficos. Além disso, ele consegue lidar
com variáveis de números, vetores e pontos, achar derivadas e
integrais de funções.
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A cara do GeoGebra
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Sintaxes
Esta seção eu estou colocando aqui para explicar as sintaxes
(comandos) do GeoGebra. Estas sintaxes serão utilizadas no estudo da
álgebra.
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Funções – parte I
O GeoGebra reconhece automaticamente as funções matemáticas
padrão em inglês. Dependendo a versão do seu GeoGebra, estas
funções poderão estar em português.
Função
Sintaxe Português
Sintaxe do GeoGebra
Seno de x
sen (x)
sin (x) ou sen (x)
Cosseno de x
cos (x)
cos (x)
Tangente de x
tg (x)
tan (x) ou tg (x)
Secante de x
sec (x)
sec (x)
Cossecante de x
cossec (x)
csc(x) ou cosec (x)
Cotangente de x
cotg (x)
cotg (x)
Seno hiperbólico de x
senh (x)
sinh (x) ou senh (x)
Cosseno hiperbólico de x
cosh (x)
cosh (x)
Tangente hiperbólica de x
tgh (x)
tanh (x) ou tgh (x)
Secante hiperbólica de x
sech (x)
sech (x)
Cossecante hiperbólica de x
cossech (x)
csch(x) ou cosech (x)
Cotangente hiperbólica de x
cotgh (x)
cotgh (x)
Arco-seno de x
arc sen(x)
arcsin(x) ou arcsen(x)
Arco-cosseno de x
arc cos (x)
arccos(x)
Arco-tangente de x
arc tg(x)
arctan(x) ou arctg(x)
Arco-seno hiperbólico de x
arc senh(x)
arcsinh(x) ou arcsenh(x)
Arco-cosseno hiperbólico de x
arc cosh (x)
arccosh(x)
Arco-tangente hiperbólica de x
arc tgh(x)
arctanh(x) ou arctgh(x)
Maior Inteiro não maior que x
floor(x)
Menor Inteiro não menor que x
ceil(x)
Módulo de x
abs(x)
Logaritmo na base n de x
log(n,x)
Logaritmo neperiano de x
ln(x)
Logaritmo decimal de x
lg(x)
Raiz quadrada de x
sqrt(x)
Raiz Cúbica de x
cbrt(x)
Raiz N-ésima de x
RaizNÉsima(x,n)ou x^(1/n)
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Operações e os números
transcendentes
Operações
Sintaxes
1.35
ou
Funções – parte II
Para dar entrada em uma função, utilizam-se comandos simples. Você
tem duas opções; nomear a função ou deixar que o GeoGebra faça isso:
Comandos:
O GeoGebra trabalha com funções de apenas uma variável, podendo
estar na forma explícita ou implícita. Ao dar entrada em uma função,
seu gráfico é construído automaticamente. Com este software é
possível estudar também a Geometria Analítica no Plano.
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Exercícios
Desenhe os gráficos das seguintes funções:
a)
b)
c)
d)
Caso a Janela de Álgebra não esteja visível (está oculta), utilize o
atalho <Ctrl+Shift+A> ou vá ao menu <Exibir Janela de Álgebra>.
Para exportar uma figura (texto, gráfico, ou outros), selecione-a
com a ferramenta <MOVER> (uma seta de mouse no canto superior
esquerdo), depois use o atalho <Ctrl+Shift+P> ou vá em <Arquivo
Exportar
Janela de Visualização como Imagem>, escolha a
<Resolução> (a qualidade da imagem – tamanho de arquivo) escolha
a opção <Transparente> caso não queira que a cor de fundo saia na
imagem. Depois escolha o formato de arquivo em <Formato> (os
formatos suportados são .png, .pdf, .eps, .svg e .emf) depois escolha a
opção <Gravar> para salvar o arquivo.
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Respostas
Na linha de ENTRADA digitar os seguintes comandos:
a) f(x)=(x^3-2x+1)/(x-2)
+
<ENTER>
b) g(x)=(cbrt(5x^e))/pi
+
<ENTER>
c) h(x)=(e^x+pi^x)/(RaizNÉsima(pi^e, x))
+
<ENTER>
ou
h(x)=(e^x+pi^x)/(pi^(e/x))
+
<ENTER>
Neste ú tim cas
radica ficará c m a “cara” de e p e te
fracionário.
d) yx+x^2=6x+1
+
<ENTER>
Figuras Planas
O GeoGebra nos dá um bom suporte para desenho de figuras planas,
desde circunferências e retas até polígonos.
As ferramentas que mais usadas são:
 Novo ponto. Insere ponto.
 Ponto médio ou centro. Insere o ponto médio de um segmento ou
de dois pontos distintos, ou ainda o centro de uma
circunferência.
 Reta definida por dois pontos. Insere uma reta definida por dois
pontos.
 Segmento definido por dois pontos. Insere um segmento que vai
desde o primeiro ponto escolhido até ao ponto escolhido depois.
 Segmento com comprimento fixo. Insere um segmento com o
comprimento que você desejar.
 Semirreta. Insere uma semirreta selecionando o ponto da sua
origem e outro ponto em que ela passa.
 Reta perpendicular. Insere uma reta perpendicular a outra,
bastando selecionar a reta-parâmetro e um ponto que ela passe.
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 Reta paralela. Selecionando um segmento, reta ou semirreta, e
um ponto, essa ferramenta insere uma reta paralela ao
segmento/reta/semirreta e que passe por este ponto.
 Mediatriz. Insere a reta mediatriz de um segmento ou de dois
pontos distintos.
 Bissetriz. Insere a reta bissetriz de um ângulo.
 Reta tangente. Insere um par de retas tangentes a uma cônica ou
circunferência.
 Polígono. Desenha o polígono que você quiser.
 Polígono regular. Desenha um polígono regular de n lados,
bastando escolher quantos lados.
 Polígono rígido. Desenha ou copia polígonos, mas não pode ser
redimensionado, mesmo mexendo em seus parâmetros.
 Polígono semideformável. Desenha ou copia polígonos e pode ser
redimensionado à vontade, com exceção do primeiro ponto
inserido.
 Círculo dados centro e um de seus pontos. Insere uma
circunferência escolhendo o seu centro e um ponto que ela passe.
 Circulo dados centro e raio. Insere uma circunferência dado o seu
centro e a medida do seu raio.
 Compasso. Insere uma circunferência com o raio do tamanho da
distancia de dois pontos previamente escolhidos. Depois de
escolhidos os pontos (que determinam o tamanho do raio), você
pode levar essa circunferência para o local que você quiser. É
uma circunferência móvel.
 Circulo definido por três pontos. Insere uma circunferência
definida por três de seus pontos (exceto o raio).
 Semicírculo definido por dois pontos. Insere uma
semicircunferência a partir dos dois extremos.
 Arco circular dados centro e dois pontos. Insere um arco a partir
de três pontos. Primeiro o centro e depois o ponto inicial do arco
e o ponto final (no sentido anti-horário).
 Arco circular definido por três pontos. Insere um arco de modo
semelhante ao círculo definido por três pontos. Dá-se o ponto
inicial, um ponto intermediário e o ponto final do arco.
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 Setor circular dados centro e dois pontos. Insere um setor circular
no sentido anti-horário.
 Setor circular definido por três pontos. Insere setor circular a
partir de três pontos.
 Elipse. Insere uma elipse a partir dos seus dois focos e um ponto
que ela passa.
 Hipérbole. Insere uma hipérbole a partir dos seus dois focos e um
ponto que ela passe.
 Parábola. Insere parábola a partir da reta-parâmetro (diretriz da
parábola) e seu foco.
 Cônica definida por cinco pontos. Insere uma elipse ou hipérbole,
dependendo da posição dos pontos escolhidos.
 Ângulo. Insere o ângulo dados um ponto do seu lado, o seu
vértice e um ponto do seu outro lado, no sentido anti-horário.
 Ângulo com amplitude fixa. Insere um ângulo com a amplitude
que você quiser (você escolhe sentido horário ou anti-horário),
marcando um ponto-parâmetro.
 Distância, comprimento ou perímetro. Insere texto indicando o
comprimento de um segmento, ou o perímetro de uma cônica,
secção de cônica (setor ou arco) ou polígono.
 Área. Insere texto indicando a área de um polígono, ou cônica (ou
secções de cônicas), desde que sejam linhas fechadas.
 Inclinação. Ferramenta muito usada em Cálculo Diferencial ou de
Derivadas. Essa ferramenta indica a inclinação de uma reta, ou
seja, a tangente do ângulo que essa reta forma com o eixo das
abscissas. Basta selecionar uma reta e essa ferramenta formará
um triângulo retângulo de cateto 1, e o outro cateto sendo a
tangente do ângulo.
 Reflexão em relação a uma reta. Insere a reflexão de um objeto
em relação a uma reta-parâmetro.
 Reflexão em relação a um ponto. Insere a reflexão por um ponto.
 Homotetia dados centro e razão. Faz a homotetia (ampliação ou
redução de um objeto por meio de uma razão e um ponto ) de
um objeto.
 Inserir texto. Essa ferramenta suporta comandos LaTeX para
inserção de textos matemáticos, bastando selecionar a opção
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FÓRMULA LaTeX. Caso não saiba dar os comandos LaTeX, você
pode estar usando os SÍMBOLOS ou clicando na setinha à direita
de FÓRMULA LaTeX para obter as listas de comandos. Mas
atenção! É necessário editar o comando que você pedir, caso
contrário, o texto que irá aparecer é o texto de exemplo. Para
isso, use o campo VISUALIZAR para ver o que será inserido ou
edite em EDITAR. A opção OBJETOS serve para você inserir um
objeto no texto. Por exemplo. Se eu tiver um texto de ÁREA,
posso inseri-lo nesse campo de texto e ele será atualizado
automaticamente, caso eu altere a área do objeto, tornando
assim um texto dinâmico.
 Inserir imagem. Insere uma imagem no GeoGebra para trabalhar
com ela.
 Controle deslizante. É necessário para fazer uma animação ou
mesmo exportar figura .gif (figura dinâmica).
 Copiar estilo visual. Ferramenta muito útil. Funciona como o
pincel do Word. Ele copia a formatação de um objeto e aplica em
outros (cor, espessura da linha, tipo da linha, preenchimento,
etc).
Exercícios
a) Construa um triângulo equilátero.
b) Construa um triângulo retângulo utilizando a ferramenta Ângulo
com amplitude fixa.
c) Construa um pentágono regular de lado 2.
d) Construa um triângulo de lados 13, 5 e 12.
e) Insira na área de trabalho a fórmula de Bhaskara utilizando a
ferramenta Inserir Texto.
OBS.: Existem várias formas de se resolver esses exercícios. Mas aqui
vão algumas dessas maneiras como possíveis respostas.
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Respostas
a) I - Utilizando a ferramenta Polígono Regular, insira dois pontos
distintos e digite o parâmetro 3 (número de lados do polígono).
II – Utilizando a ferramenta Círculo dados centro e um de seus
pontos, construa uma circunferência
de centro
e um de
seus pontos . Construa uma circunferência de centro e um
de seus pontos
. As duas intersecções das circunferências
serão chamadas de
e . Os triângulos
e
são
equiláteros de lados
b) Utilizando a ferramenta Ângulo com amplitude fixa, insira dois
pontos distintos e e digite o parâmetro 90 em <ÂNGULO>.
Será criado um novo ponto . Construa, com a ferramenta Reta
definida por dois pontos, as retas
e
. Escolha um ponto
qualquer em cada uma dessas retas (pontos e ) e ligue-os
com um Segmento definido por dois pontos. Está lá o seu
triângulo retângulo
.
c) Utilizando a ferramenta Segmento com comprimento fixo, digite o
parâmetro 2. Com a ferramenta Polígono regular, selecione os
pontos extremos desse segmento construído e digite o
parâmetro 5. Está lá o seu pentágono.
d) Com a ferramenta Segmento com comprimento fixo, construa três
segmentos com os parâmetros dados, 13, 5 e 12 (segmentos
,
e
). Trace a circunferência com centro em e raio igual
a
; trace a circunferencia com centro em e raio igual a
.
Marque as interseções entre as circunferências
e
como
sendo os pontos e . Os triângulos
e
são soluções
do problema.
e) Com a ferramenta Inserir Texto, clique na área de trabalho. Insira
a sequência de comandos LaTeX mostrada abaixo na caixa de
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diálogo EDITAR. Marque a caixa de seleção em FÓRMULA LATEX.
Clique em OK.
Formatação de objetos
Os objetos são pontos, retas, vetores, gráficos de funções, segmentos,
circunferências, arcos, setores, cônicas, semirretas, polígonos, ângulos
e textos. Todos os objetos podem ser deslocados de suas posições
(desde que não sejam dependentes de outros objetos, onde, neste caso,
devem-se deslocar os objetos dos quais ele depende) e podem ser
coloridos e redimensionados (exceto linhas e ponto; salvo segmentos),
bastando mexer nos parâmetros* que os criaram.
*Parâmetros são itens obrigatórios da sintaxe de comandos do
GeoGebra. Exemplos de parâmetros.
 Segmento definido por dois pontos. Parâmetros: ponto A e ponto
B.
 Circunferência dados centro e raio. Parâmetros: Ponto O (centro)
e dimensão r (tamanho do raio).
Cor: clique com o botão direito do mouse sobre o objeto a ser colorido
e em PROPRIEDADES selecione a guia COR.
Rótulo: a cada objeto novo é possível incluir/excluir o rótulo, que é o
nome que o GeoGebra dá automaticamente ao objeto criado. Por
exemplo, ao criar um novo ponto, o seu nome será A. Você pode
habilitar/desabilitar a visualização do rótulo. Para tanto, clique com o
botão direito do mouse sobre o objeto e em EXIBIR RÓTULO.
Linhas e estilos: os gráficos de funções, as retas, segmentos, semirretas,
circunferências e cônicas são as linhas que trataremos aqui. Você
poderá alterar o estilo das linhas para pontilhada, tracejada grande,
tracejada pequena, ponto-traço ou contínua e ainda modificar a
espessura dessas linhas. Clique com o botão direito do mouse sobre a
linha, siga até as PROPRIEDADES e vá à guia ESTILO.
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Decoração: segmentos de reta e ângulos permitem este recurso. Para
isso, clique com o botão direito sobre o objeto e em suas
PROPRIEDADES eleja a guia DECORAÇÃO. Veja o exemplo a seguir.
Exibir objeto: esta opção é muito útil quando se faz construções
geométricas. Às vezes é necessário inserir vários objetos para ter uma
construção, mas apenas alguns são os que você precisa visualizar no
fi a Em vez de de etar s bjet s “de sup rte” v cê deverá desabilitar
sua exibição. Clique com o botão direito do mouse sobre o objeto e em
EXIBIR OBJETO para ocultá-lo.
Preenchimento: algumas vezes faz-se necessário hachurar uma figura.
Aqui cabe esta ferramenta. Circunferências e cônicas em geral, além
dos polígonos podem utilizar esta ferramenta. Clique com o botão
direito do mouse sobre o objeto e vá a PROPRIEDADES, COR e
TRANSPARÊNCIA. Depois você ainda pode ir a ESTILO,
PREENCHIMENTO e escolher entre as opções PADRÃO, TRACEJADO e
IMAGEM, além de poder inverter o preenchimento.
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Exercícios
Faça no GeoGebra as imagens seguintes,
segundo as descrições.
1) Pentágono regular azul escuro
sombreado 15%, com os lados
decorados, com espessura de linha 4; e
os ângulos internos pretos sombreados
30% e decorados, com tamanho 5 e
espessura de linha 4. Triângulo
equilátero vermelho hachurado em 45° e
espaçamento 10, lados decorados com
espessura de linha 8; e os ângulos internos verdes a 15%
decorados, espessura de linha 4 e tamanho 4, lado
pontilhado
e lado
tracejado. Pontos rotulados.
2) Circunferência de cor preta, centro
, espessura de linha 4, sem
preenchimento. Triângulo equilátero de
lado igual ao raio da circunferência, com
um dos seus vértices no centro da
mesma;
hachurado
em
45°
e
espaçamento 10, cor marrom, espessura
de linha 4. Hexágono regular inscrito na
circunferência, sombreado em 15%,
espessura de linha 4.
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Respostas
1) Com a ferramenta Polígono Regular, insira dois pontos e na
área de trabalho e dê o parâmetro 5. Assim você obtém o
pentágono. Renomeie os pontos para coincidir com os da figura
(deixando seus rótulos visíveis). Ainda com a mesma ferramenta,
selecione os pontos e e insira o parâmetro 3. Assim, terás o
triângulo. Em PROPRIEDADES e COR colora-os de azul e
vermelho, e mude a <Transparência> do pentágono. Para
hachurar o triângulo vá em ESTILO <Preenchimento>
<Tracejado> e ajuste o ângulo e o espaçamento. Selecione os
segmentos do pentágono e do triângulo. Em PROPRIEDADES,
ESTILO e DECORAÇÃO, selecione a decoração e o estilo
correspondentes aos da figura. Com a ferramenta Ângulo
selecione os pontos
,
,
,
e
para inserir os
respectivos ângulos. Também para o triângulo, selecione os
pontos
,
,
(note que é sempre no mesmo sentido –
anti-horário). Inseridos os ângulos, selecione-os e formate-os em
COR, DECORAÇÃO e ESTILO.
2) Com a ferramenta Círculo dados centro e um de seus pontos
insira uma circunferência de centro e um de seus pontos .
Para tanto, renomeie os pontos para coincidir com os da figura.
Com a ferramenta Polígono regular insira o triângulo, clicando
nos pontos e e inserindo o parâmetro 3. Depois Renomeie
para ponto . Ainda com Polígono regular insira o hexágono,
clicando em e em e inserindo o parâmetro 6.
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Animações
Para criarmos animações podemos usar dois recursos. Podemos
colocar um ponto animado sobre o eixo das abscissas e colocar os
objetos parametrizados para se movimentarem ou para se
modificarem segundo o movimento do ponto sobre o eixo. Outra
maneira é usando o Controle Deslizante. Vamos construir um exemplo.
Insira as funções abaixo na linha de Entrada:
I - f(x) = Se[2 < x < 10, x, 10]
+ ENTER
II - A = Ponto[EixoX]
+ ENTER
III - B = (x(A), f(x(A)))
+ ENTER
IV - P=(3,1)
+ ENTER
V - Q=(4,1)
+ ENTER
VI - Polígono[P, Q, y(B)]
+ ENTER
Clique com o botão direito do mouse sobre o ponto
ANIMAR.
e clique na opção
O que construímos? Um polígono regular cujo número de lados
depende da altura do ponto . E este, por sua vez é a imagem de na
função dada.
A função dada é uma função definida por duas sentenças:
Mas você pode escolher a função que você quiser, podendo ser definida
por várias sentenças ou não.
O ponto A está dependendo do parâmetro Eixo X. Este parâmetro é
chamado assim EixoX. Ou seja: Ponto sobre o Eixo X.
Ao chamarmos a abscissa de um ponto, fazemos x(A). A ordenada é
similar: y(A) quando se trata de um ponto .
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O polígono inserido é dado pelos pontos ,
igual à ordenada do ponto .
e seu número de lados é
A entrada II acima pode ser feita usando a ferramenta Novo ponto,
bastando clicar sobre o eixo X. As entradas IV e V também podem ser
feitas assim, clicando em dois pontos quaisquer. A entrada VI pode ser
dada usando a ferramenta Polígono regular, clicando nos pontos P e Q e
parâmetro VÉRTICES igual a y(B).
Controle Deslizante: com essa ferramenta é possível exportar figuras
dinâmicas (.gif). Para tanto, clique na área de trabalho para criar um
Controle deslizante.
Em INTERVALO ponha: mín=0; máx=1. Incremento pode ser 0.01, que
é a porção da animação a cada movimento. Em VELOCIDADE você
escolhe a velocidade desejada, e em REPETIR você pode usar
<OSCILANDO>, para a animação caminhar até ao fim e depois regredir
até ao começo (fazendo um vaivém). <CRESCENTE> faz o movimento
de animação no sentido positivo e ao terminar o movimento ele
recomeça do início. <DECRESCENTE> faz o mesmo do anterior, mas
no sentido negativo. <CRESCENTE UMA VEZ> faz o movimento
crescente apenas uma vez e termina a animação.
Para controlar um ponto usando a ferramenta acima descrita, clique
com o botão direito do mouse sobre ele e em PROPRIEDADES –
BÁSICO, <DEFINIÇÃO> acrescente uma vírgula dentro do colchete e
ponha o nome do Controle deslizante que você criou (letra minúscula).
N e emp abai
C tr e des iza te é mead c m a etra “ ”
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Exportando .gif: para exportar uma figura dinâmica, após aplicar o
controle deslizante ao ponto que determina a animação dos objetos, vá
ao menu Arquivo, Exportar, Janela de Visualização como GIF animado,
selecione o tempo de transição dos slides da figura dinâmica (tempo
dado em milissegundos) e escolha se você quer que a figura faça toda a
animação repetidamente. Clique em Exportar e selecione um nome e
um diretório para a figura e depois Gravar. Aguarde a conclusão do
processo de exportação, que é um pouco demorado.
O formato .gif abre na maioria os navegadores de internet, podendo
alguns deles pedir permissão para abrir, por achar que o conteúdo do
arquivo é um vírus.
Encerro aqui o meu trabalho. Espero ter contribuído para a aquisição
de novos conhecimentos matemáticos e para o conhecimento de uma
nova ferramenta pedagógica.
Agradecimentos
A Deus por ter me dado mais um dia de vida e ter me concedido a graça de
estar contribuindo com mais este trabalho; Aos meus amigos Thiago Soares
Bispo, o qual me incentivou dizendo “vai em frente” e Carlos Roberto da
Silva, o qual sempre está ao meu lado nas horas difíceis e me faz rir quando
estou triste; Aos meus pais por me darem a vida; Ao casal Mª Aparecida da
Silva e Zélio Gonçalves Torres, os quais me acolheram em sua casa para
estudar a faculdade; À professora Maristela Missio, que não pensou duas
vezes ao acolher este projeto; Aos colegas de sala, que não me deixaram
desanimar dos meus objetivos.
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