Velocidade Instantânea
Já observamos que o conceito de velocidade média está associado a dois
instantes de tempo. Por exemplo, t1 e t2. E escrevemos v(t1,t2) para o módulo dessa
velocidade média.
Por outro lado, em conexão com a Fig.10 concluímos que o módulo da
velocidade média entre esses instantes de tempo pode ser obtido a partir do segmento
de reta secante ao gráfico da posição em função do tempo. Esse segmento de reta
deve ligar os pontos A e B do gráfico, pontos estes que correspondem aos instantes
de tempo t1 e t2.
O conceito de velocidade instantânea está associado a um instante de tempo.
Por exemplo, t1. E escrevemos v(t1) para o módulo dessa velocidade instantânea.
Podemos pensar que o módulo da velocidade instantânea v(t1) é o valor do módulo da
velocidade média v(t1,t2) quando t2 é tomado muito próximo de t1.
Desse modo, o cálculo do módulo da velocidade instantânea v(t1) pode ser feito
como o cálculo do módulo da velocidade média v(t1,t2), desde que o segmento de reta
secante seja substituído por um segmento de reta tangente ao gráfico posição x tempo
(Fig.17). Assim, para calcular o módulo da velocidade instantânea no instante de
tempo t1 podemos seguir os seguintes passos:
• Assinalamos, no gráfico, o ponto P, que corresponde ao instante de tempo t1
considerado.
• Traçamos um segmento de reta tangente ao gráfico passando pelo ponto P.
• Construímos um triângulo retângulo, como o triângulo ABC, tendo esse
segmento de reta tangente como hipotenusa. Os catetos são tomados paralelamente
aos eixos.
• Estabelecemos, pela observação direta do desenho, o valor de ∆x, o
comprimento do segmento BC, e o valor de ∆t, o comprimento do segmento AC.
• Calculamos o cociente de ∆x por ∆t e o resultado é v(t1), o módulo da
velocidade instantânea no instante de tempo considerado.
Os lados do triângulo podem ter quaisquer dimensões, desde que o triângulo
resultante seja retângulo e a hipotenusa seja tangente ao gráfico. Contudo, como o
módulo da velocidade instantânea é calculado pelo cociente das dimensões dos
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catetos e como essas dimensões são medidas com uma régua, para minimizar os
erros associados a esse processo de medida, é conveniente que esses lados não
sejam muito pequenos.
Exemplo
Vamos calcular o módulo da velocidade instantânea do centro de massa do
volante do experimento que estamos considerando nos instantes t = 2s, t = 4s, t = 6s e
t = 8s usando o procedimento descrito acima (Fig.18).
Por inspeção dessa figura, podemos escrever, para os respectivos módulos da
velocidade instantânea do centro de massa do volante sobre a calha:
7,0 cm
= 3,7 cm / s
1,9 s
16,0 cm
v ( 4s) =
= 8,9 cm / s
1,8 s
26,0 cm
v ( 6s ) =
= 13,7 cm / s
1,9 s
v(2s) =
e
v ( 8s ) =
33,0 cm
= 16,5 cm / s
2,0 s
Como sabemos, no procedimento experimental através do qual obtivemos os
dados, o centro de massa do volante estava parado no instante inicial e, por isso,
podemos escrever:
v(0) = 0
Com os valores obtidos acima para os módulos das velocidades instantâneas,
podemos montar a tabela que se segue.
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t(s)
0
2
4
6
8
v(cm/s)
0
3,7
8,9
13,7
16,5
Cada par de valores de cada coluna dessa tabela, ou seja, a cada instante de
tempo e o correspondente módulo da velocidade instantânea do centro de massa do
volante, corresponde um ponto no gráfico do módulo da velocidade instantânea em
função do tempo (Fig.19). Na figura, os pontos são representados por um pequeno
quadrado.
Os cinco pontos representados na figura correspondem aos módulos das
velocidades instantâneas obtidas a partir do gráfico posição x tempo. Mas o módulo da
velocidade do centro de massa do volante aumenta gradativamente a partir do zero e,
por isso, podemos desenhar uma curva contínua que passa mais ou menos por esses
cinco pontos. Além disso, como o movimento do centro de massa do volante não
apresenta irregularidades, é razoável supor que essa curva seja suave. Aqui,
desenhamos uma reta porque esse resultado já é bem conhecido na literatura. De
qualquer forma, desenhando o gráfico posição x tempo em papel milimetrado,
tomando um número maior de instantes de tempo para calcular o módulo da
velocidade instantânea e marcando, também em papel milimetrado, os pontos que
representam os resultados, podemos verificar que o gráfico do módulo da velocidade
instantânea em função do tempo é realmente uma reta.
O procedimento pelo qual obtivemos os módulos das velocidades instantâneas
do centro de massa do volante começa com o traçado de segmentos de reta tangente
ao gráfico posição x tempo. Esse traçado é feito conforme o olhar do sujeito que traça
e envolve erros que não podem ser evitados. E esses erros afastam o valor calculado
do valor verdadeiro. Por isso, a reta que representa o gráfico do módulo da velocidade
instantânea em função do tempo pode não passar pelos pontos determinados. Como
os erros devem ser aleatórios, ou seja, algumas vezes levam a valores maiores e
algumas vezes levam a valores menores do que os valores verdadeiros, o gráfico deve
passar mais ou menos por entre os pontos.
De qualquer modo, devemos considerar não os pontos, mas a reta assim
desenhada como representando verdadeiramente o módulo da velocidade instantânea
do centro de massa do volante em função do tempo.
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Exercício 1
Uma partícula se move ao longo de uma linha reta sobre a qual é colocado
o eixo X do referencial. A partícula é observada durante 80s, suas posições são
determinadas e o gráfico da posição em função do tempo é construído (Fig.20).
Determine o módulo da velocidade instantânea dessa partícula nos seguintes
instantes: t = 10s, t = 50s e t = 68s.
Exercício 2
Uma partícula se move ao longo de uma linha reta sobre a qual é colocado
o eixo X do referencial. Se suas posições são dadas em metros e os instantes de
tempo são dados em segundos, a equação horária da posição fica:
x(t) = 4 − 2t + t2
Construa, em papel milimetrado, o gráfico de x por t e determine o módulo da
velocidade instantânea dessa partícula nos instantes t = 4s e t = 10s.
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