Álgebra Linear e Geometria Analítica PROF. BENFICA [email protected] www.marcosbenfica.com LISTA 2 Determinantes e Matriz Inversa 1) Calcule os seguintes determinantes:
⎛ 8
b) ⎜
⎜ 3
⎝
⎛ - 4 8 ⎞
a) ⎜⎜
⎟⎟
⎝1 - 3 ⎠
2) Se a =
2
1
−3 4
,b=
3) Resolva a equação
⎡2
4) Se A = ⎢
⎣3
⎛ - 4 6 - 9 ⎞
⎜
⎟
c) ⎜ - 3 4 6 ⎟
⎜ − 1 3 8 ⎟
⎝
⎠
3 ⎞
⎟
- 7 ⎟⎠
21 7
-1 - 2
ec=
, determine A = a2 + b – c2.
−3 1
5
3
x
x
5
x
= -6.
3⎤
, encontre o valor do determinante de A2 – 2A.
⎥
4⎦
b ⎤
⎡a
5) Sendo A = ⎢ 3
, calcule o valor do determinante de A e em seguida calcule o valor
3 ⎥
a
b
⎣
⎦
numérico desse determinante para a = 2 e b = 3.
⎡4 - 1 0⎤
6) Calcule o valor do determinante da matriz A = ⎢5 7 6 ⎥ .
⎢
⎥
⎢⎣2 1 3⎥⎦
7) Resolva a equação
x +1
2
3
x
1
5 =
3
1
-2
4
1
x
-2
8) Se A = (aij)3x3 tal que aij = i + j, calcule det A e det At.
9) Foi realizada uma pesquisa, num bairro de determinada cidade, com um grupo de 500
crianças de 3 a 12 anos de idade. Para esse grupo, em função da idade x da criança, concluiu-
1 se que o peso médio p(x), em quilogramas, era dado pelo determinante da matriz A, em que:
1 -1 1
3 0 - x , com base na fórmula p(x) = det A, determine:
0
2
3
2
a) o peso médio de uma criança de 7 anos
b) a idade mais provável de uma criança cuja o peso é 30 kg.
⎡sen x
10) Calcule o valor do determinante da matriz A= ⎢
⎣cos x
3
x -1
11) Resolva a equação
⎛ 2
12) Se A = ⎜⎜
⎝ 4
- cos x ⎤
.
- sen x ⎥⎦
1
= 3.
-1
- 1⎞
⎟ , calcule o valor do determinante de
5 ⎟⎠
⎛ A 2
⎞
⎜⎜
− 2 A ⎟⎟ .
⎝ 7
⎠
13) Considere a matriz A = (aij)2x2, definida por aij = -1 + 2i + j para 1 ≤ i ≤ 2 e 1 ≤ x ≤ 2 .
Determine o determinante de A.
x
2
14) Determine o determinante da seguinte matriz 3 - 1
0
1
2
x.
1
3
15) Dada a matriz A = - 1 4
0
2
1
5 e a = det A, qual o valor de det (2A) em função de a?
1
2
16) Seja A = (aij)3x3 tal que aij = i – j. Calcule det A e det At.
⎡ 1 0 2⎤
⎡1 0
17) Calcule os determinantes das matrizes A = ⎢ - 1 3 4 ⎥ e B = ⎢3 - 4
⎢
⎥
⎢
⎢⎣− 2 - 1 - 7⎥⎦
⎢⎣1 - 6
teorema de Laplace.
0 ⎤
2⎥⎥ , usando o
- 7 ⎥⎦
18) Resolva as equações:
a)
x x+2
=0
5 7
19) Sabendo – se a =
b)
-3
2
−5
1
eb=
2
4
x
x
5
x
=0
c)
x+3 5
1
x -1
=0
6
, calcule o valor de 3a + b2.
10
2 20) Dada a matriz A =
2
4
1
3
, calcule:
b) det A2
a) det A
21) Determine o valor de cada determinante:
3 2
5
0
3
0
a) 4 1
b) - 2 3
3
1
2
3
4
4
-2
2
2
0
c) 1
1
1
4
3
0
5
⎡ 2
⎢
22) Calcule o determinante da matriz P2, em que P é a matriz P = ⎢ 2
⎢
⎢⎣0
⎛1
x
x 2 ⎞
⎜
⎟
23) Na matriz ⎜1
2
4 ⎟ , calcule:
⎜1
-3
9 ⎟⎠
⎝
-1
1
2
1 ⎤
⎥
- 1 ⎥ .
⎥
2 ⎥⎦
a) seu determinante
b) os valores de x que anulam esse determinante
2 x
x
24) Determine em IR a solução da equação: - 1 - 2 - 1 = 8 – log84.
3 1 2
1
25) Sabendo que a =
2
1
3
eb= 2
2
1
26) Determine a solução da equação:
3
2
1
x
−2
1
1 , efetue a2 – 2b.
3
3
8
-x
⎛ sen x
27) Determine o determinante da matriz ⎜⎜
⎝ − 2co x
x
28) Resolver a equação x
x
x
x
4
= 0.
cos x ⎞
⎟ .
2 sen x ⎟⎠
x
4=0
4
29) Resolva as equações:
2
a) 2
3
4 1
4 x=0
1
2
2
b) 0
2
3
1
x
-2
x =2
-3
x +1
c) 3
x
3
x
2
x
1 =0
x -1
3 2 ⎤
⎡ 1
30) Use a definição para calcular a inversa da matriz A = ⎢
⎥ .
⎣− 1 − 3⎦
⎡− 3
⎡2 7 0 ⎤
⎢
⎥
31) Verifique se a matriz A = 1 3 4 é a matriz inversa da matriz B = ⎢ 1
⎢
⎢
⎥
⎢⎣ 0
⎢⎣0 0 1⎥⎦
7
− 28 ⎤
−2
8 ⎥⎥
0
1 ⎥⎦
32) Determine o valor de x para que as matrizes sejam inversíveis :
⎡1 0 x ⎤
⎡ x − 2⎤
⎡3x − 1⎤
⎡ x − 4⎤
a) ⎢
b) ⎢
c) ⎢
d) ⎢2 1 − 1⎥
⎥
⎥
⎥
⎢
⎥
⎣3 − 2⎦
⎣ 2 4 ⎦
⎣− 9 2 x ⎦
⎢⎣1 3 2x ⎥⎦
33) Determine (caso exista) a inversa de cada matriz abaixo, usando o método da Adjunta:
⎡2 5⎤
a) ⎢
⎥
⎣ 1 3⎦
b)
⎡ 7 − 3 − 3⎤
e) ⎢− 1 0
1 ⎥⎥
⎢
⎢⎣− 1 1
0 ⎥⎦
⎡− 2 2⎤
⎢ − 1 1⎥
⎣
⎦
⎡1 1 0⎤
c) ⎢ 1 0 1⎥
⎢
⎥
⎢⎣0 1 1⎥⎦
⎡1 2 4⎤
f) ⎢0 − 1 1⎥
⎢
⎥
⎢⎣2 3 8⎥⎦
⎡1 − 1 0 ⎤
d) ⎢0 1 − 1⎥
⎢
⎥
⎢⎣0 0
1 ⎥⎦
⎡− 1 2 − 3⎤
⎡2 1 − 1⎤
⎢
⎥
g) 2
1
0 ⎥ h) ⎢⎢0 2 1 ⎥⎥
⎢
⎢⎣ 4 − 2 5 ⎥⎦
⎢⎣5 2 − 3⎥⎦
34) Determine (caso exista) a inversa de cada matriz abaixo, pela definição de inversa:
⎡3 5⎤
a) ⎢
⎥
⎣2 3⎦
⎡5 6⎤
b) ⎢
⎥
⎣4 5⎦
⎡1 − 1⎤
c) ⎢
⎥
⎣1 1 ⎦
4
5 ⎤
⎡ 1
⎢
d)
0 − 2⎥⎥
⎢ 2
⎢⎣− 3 − 1 1 ⎥⎦
⎛ 2 5 ⎞
35) Se P-1 é a matriz inversa de P = ⎜⎜
⎟⎟ , determine o valor do determinante da matriz P + P-1.
⎝ 1 3 ⎠
⎛ 1/ 2 m ⎞
36) Dada A = ⎜⎜
⎟⎟, calcule m de modo que se tenha A-1 = At
−
m
1
/
2
⎝
⎠
⎛1 0 ⎞
37) Calcule x de modo que a matriz inversa da matriz A = ⎜⎜
⎟⎟ seja a própria matriz A .
⎝1 x ⎠
⎛ 1 2 ⎞
38) Determine “a” real de modo que a matriz A = ⎜⎜
⎟⎟ seja igual à sua inversa.
⎝ 0 a ⎠
4