UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
INSTITUTO DE GEOCIÊNCIAS
CURSO DE GRADUAÇÃO EM GEOFÍSICA
GEO213 – TRABALHO DE GRADUAÇÃO
INVERSÃO DE AMPLITUDE VERSUS
AFASTAMENTO PELA DECOMPOSIÇÃO POR
VALORES SINGULARES
DIAN LUIS DOS SANTOS SILVA SOARES
SALVADOR – BAHIA
JUNHO – 2009
Inversão de Amplitude versus Afastamento pela Decomposição por Valores
Singulares
por
Dian Luis dos Santos Silva Soares
GEO213 – TRABALHO DE GRADUAÇÃO
Departamento de Geologia e Geofı́sica Aplicada
do
Instituto de Geociências
da
Universidade Federal da Bahia
Comissão Examinadora
Dr. Amin Bassrei - Orientador
Dr. Eduardo Telmo Fonseca Santos
Dr. Wilson Mouzer Figueiró
Data da aprovação: 19/06/2009
Dedico à minha mãe Izabel,
aos meus irmãos Isabela e Betinho,
à minha namorada Acácia
e ao meu melhor amigo Jámilson.
RESUMO
A análise das amplitudes sı́smicas tornou a utilização do método sı́smico na exploração
de petróleo mais bem sucedida. Isso se deve ao fato de que anomalias de amplitudes podem
trazer informações valiosas sobra a presença de hidrocarbonetos nos poros de uma rocha.
Diversos estudos foram feitos para analisar e estabelecer critérios para tais anomalias de
amplitude, surgindo assim, a técnica Amplitude versus Afastamento (AVO).
Este trabalho tem como objetivo a obtenção de parâmetros elásticos das rochas de
subsuperfı́cie pela técnica AVO. Dentre tais parâmetros podemos destacar a velocidade da
onda compressional, a velocidade da onda cisalhante, a densidade e a razão de Poisson.
Estes parâmetros podem ser utilizados na discrimação de litologias e como indicadores de
hidrocarbonetos.
O estudo de diversos parâmetros elásticos é possı́vel graças às equações aproximadas do
coeficiente de reflexão sı́smico. Estas aproximações são lineares e restringem-se a pequenos
contrastes nos parâmetros e a regiões pré-ângulo crı́tico. Os limites de validade destas
equações são estabelecidos comparando cada aproximação com a equação exata do coeficiente
de reflexão. A maioria das aproximações presentes na literatura possuem um erro percentual
relativamente baixo para uma determinada faixa de ângulos de incidência.
A técnica de decomposição em valores singulares pode ser utilizada de duas formas na
inversão linear de AVO: primeiro para estudar os autovalores e autovetores e, segundo, para
obter a matriz inversa generalizada. Com a análise dos autovalores e autovetores podemos
verificar se o sistema é bem ou mal condicionado e quais parâmetros podem ser obtidos no
processo de inversão. A matriz inversa generalizada é usada para calcular os parâmetros a
partir dos dados observados, que são os valores do coeficiente de reflexão de cada equação
aproximada, numa determinada faixa de ângulos de incidência. Cada aproximação fornece
três parâmetros elásticos diferentes, tais como as refletividades das ondas P e S, variações
na razão de Poisson e no módulo de cisalhamento, obtidos no processo de inversão.
iii
ABSTRACT
The analysis of seismic amplitudes made the use of the seismic methods in hydrocarbon
exploration even more successful. This is due to the fact that the amplitude anomalies can
bring valuable information about the hydrocarbon presence within the rock pores. There
were realized various studies to analyze and establish identification criteria for those amplitude anomalies. This led to now well known Amplitude versus Offset (AVO) technique.
The objective of this work is the determination of elastic parameters by subsurface
rocks through AVO. The parameters are: compressional wave velocity, shear wave velocity,
density and Poisson’s ratio. These parameters can be used for the lithology discrimination
as also as hydrocarbon indicator.
The study of different elastic parameters is possible due to the approximated equation
for the seismic reflection coefficient. These approximations are linear and are restricted to
small parameter contrasts before the critical angle. The validity limits of these equations are
established by comparing each approximation with the exact reflection coefficient equation.
The majority of the approximations discussed in the literature have relatively low percentage
error for a given incidence angle range.
In this work the singular value decomposition technique is used in two forms for linear
AVO inversion: to study eigenvalues and eigenvectors, and to calculate the generalized inverse matrix. With the first option we can verify how ill-posed is the system and which
parameters can be obtained in the inversion procedure. The generalized inverse matrix is
used to calculate the parameters from the observed data, in a given range of incidence angles. The observed data are the reflexion coefficients in each approximated equation, and
the parameters, which are the inversion output are, for example, the variation in Poisson’s
ratio and in the shear modulus.
iv
ÍNDICE
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iv
ÍNDICE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
v
ÍNDICE DE FIGURAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii
INTRODUÇÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
CAPÍTULO 1
Fundamentos da teoria da elasticidade
1.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Lei de Hooke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Parâmetros elásticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Parâmetros de Lamé . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Velocidade da onda compressional . . . . . . . . .
1.3.3 Velocidade da onda cisalhante . . . . . . . . . . .
1.3.4 Razão de Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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CAPÍTULO 2
Amplitude versus Afastamento
2.1 Histórico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Conceitos fundamentais . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Coeficiente de reflexão sı́smico . . . . .
2.3 Análise de AVO . . . . . . . . . . . . . . . . .
(AVO)
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CAPÍTULO 3
Fundamentos da teoria da inversão .
3.1 Problemas inversos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Condições para um problema linear bem-posto .
3.1.2 Número de condição de uma matriz . . . . . . .
3.2 Decomposição em valores singulares . . . . . . . . . . .
3.2.1 Inversa generalizada . . . . . . . . . . . . . . .
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CAPÍTULO 4
Expressões linearizadas do coeficiente
4.1 Expressão exata do coeficiente de reflexão . . . . . . .
4.2 Equações de AVO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Aproximação de Bortfeld . . . . . . . . . . . . .
de reflexão .
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CAPÍTULO 5
Análise dos autovalores e autovetores
5.1 Análise da sensibilidade das expressões linearizadas . .
5.1.1 Autovalores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1.2 Autovetores no espaço dos modelos . . . . . . .
5.2 Discussão dos resultados . . . . . . . . . . . . . . . . .
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CAPÍTULO 6
Inversão linear de AVO
6.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Inversão de dados sintéticos . . . . . .
6.2.1 Aproximação de Aki e Richards
6.2.2 Aproximação de Shuey . . . . .
6.2.3 Aproximação de Thomsen . . .
6.3 Discussão dos resultados . . . . . . . .
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Conclusões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
Agradecimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
APÊNDICE A
Dedução das equações de Zoeppritz . . . . . . . . . . . . .
64
Referências Bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
70
4.3
4.4
4.2.2 Aproximação de Aki e Richards
4.2.3 Aproximação de Shuey . . . . .
4.2.4 Aproximação de Thomsen . . .
Validade das equações aproximadas . .
4.3.1 Modelo 1 (σ1 = σ2 ) . . . . . . .
4.3.2 Modelo 2 (σ1 > σ2 ) . . . . . . .
4.3.3 Modelo 3 (σ1 < σ2 ) . . . . . . .
Discussão dos resultados . . . . . . . .
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ÍNDICE DE FIGURAS
1.1
1.2
Componentes normais e tangenciais do esforço num volume infinitesimal. . .
Corpo deformado depois de submetido a um campo de esforço. Em (a) ocorre
uma deformação linear na direção x; em (b) uma deformação cisalhante. . .
4
2.1
2.2
Famı́lia CMP, configuração básica de levantamentos AVO. . . . . . . . . . .
Onda P incidindo em dois meios homogêneos e isotrópicos. . . . . . . . . . .
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4.1
as
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do
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as
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do
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as
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do
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as
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do
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as
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do
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as
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do
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Modelo 1: comparação da curva exata do coeficiente de reflexão com
equações aproximadas para σ1 = σ2 = 0, 3 e vp2 /vp1 = ρ2 /ρ1 = 1, 25. . . .
4.2 Modelo 1: erro percentual entre as equações aproximadas e a curva exata
coeficiente de reflexão para σ1 = σ2 = 0, 3 e vp2 /vp1 = ρ2 /ρ1 = 1, 25. . . .
4.3 Modelo 1: comparação da curva exata do coeficiente de reflexão com
equações aproximadas para σ1 = σ2 = 0, 3 e vp2 /vp1 = ρ2 /ρ1 = 0, 8. . . . .
4.4 Modelo 1: erro percentual entre as equações aproximadas e a curva exata
coeficiente de reflexão para σ1 = σ2 = 0, 3 e vp2 /vp1 = ρ2 /ρ1 = 0, 8. . . . .
4.5 Modelo 2: comparação da curva exata do coeficiente de reflexão com
equações aproximadas para σ1 = 0, 4, σ2 = 0, 1 e vp2 /vp1 = ρ2 /ρ1 = 1, 25.
4.6 Modelo 2: erro percentual entre as equações aproximadas e a curva exata
coeficiente de reflexão para σ1 = 0, 4, σ2 = 0, 1 e vp2 /vp1 = ρ2 /ρ1 = 1, 25. .
4.7 Modelo 2: comparação da curva exata do coeficiente de reflexão com
equações aproximadas para σ1 = 0, 4, σ2 = 0, 1 e vp2 /vp1 = ρ2 /ρ1 = 0, 8. .
4.8 Modelo 2: erro percentual entre as equações aproximadas e a curva exata
coeficiente de reflexão para σ1 = 0, 4, σ2 = 0, 1 e vp2 /vp1 = ρ2 /ρ1 = 0, 8. .
4.9 Modelo 3: comparação da curva exata do coeficiente de reflexão com
equações aproximadas para σ1 = 0, 1, σ2 = 0, 4 e vp2 /vp1 = ρ2 /ρ1 = 1, 25.
4.10 Modelo 3: erro percentual entre as equações aproximadas e a curva exata
coeficiente de reflexão para σ1 = 0, 1, σ2 = 0, 4 e vp2 /vp1 = ρ2 /ρ1 = 1, 25. .
4.11 Modelo 3: comparação da curva exata do coeficiente de reflexão com
equações aproximadas para σ1 = 0, 1, σ2 = 0, 4 e vp2 /vp1 = ρ2 /ρ1 = 0, 8. .
4.12 Modelo 3: erro percentual entre as equações aproximadas e a curva exata
coeficiente de reflexão para σ1 = 0, 1, σ2 = 0, 4 e vp2 /vp1 = ρ2 /ρ1 = 0, 8. .
5.1
Comportamento dos autovalores em função do ângulo máximo de incidência
(aproximação de Aki e Richards). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5.11
5.12
5.13
6.1
6.2
6.3
6.4
6.5
6.6
6.7
Comportamento dos autovalores em função do ângulo máximo de incidência
(aproximação de Shuey). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Comportamento dos autovalores em função do ângulo máximo de incidência
(aproximação de Thomsen). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Número de condição das três equações aproximadas utilizadas na análise de
sensibilidade. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cossenos diretores dos autovetores correspondentes ao primeiro autovalor calculados pela aproximação de Aki e Richards. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cossenos diretores dos autovetores correspondentes ao segundo autovalor calculados pela aproximação de Aki e Richards. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cossenos diretores dos autovetores correspondentes ao terceiro autovalor calculados pela aproximação de Aki e Richards. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cossenos diretores dos autovetores correspondentes ao primeiro autovalor calculados pela aproximação de Shuey. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cossenos diretores dos autovetores correspondentes ao segundo autovalor calculados pela aproximação de Shuey. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cossenos diretores dos autovetores correspondentes ao terceiro autovalor calculados pela aproximação de Shuey. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cossenos diretores dos autovetores correspondentes ao primeiro autovalor calculados pela aproximação de Thomsen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cossenos diretores dos autovetores correspondentes ao segundo autovalor calculados pela aproximação de Thomsen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Cossenos diretores dos autovetores correspondentes ao terceiro autovalor calculados pela aproximação de Thomsen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Resultado da inversão de dados sintéticos usando a aproximação de Aki e
Richards (4.11) na interface folhelho/arenito (topo da camada). . . . . . . .
Aproximação de Aki e Richards (4.11): erro percentual entre os parâmetros
exatos e os parâmetros estimados (topo da camada). . . . . . . . . . . . . .
Resultado da inversão de dados sintéticos usando a aproximação de Aki e
Richards (4.11) na interface arenito/folhelho (base da camada). . . . . . . .
Aproximação de Aki e Richards (4.11): erro percentual entre os parâmetros
exatos e os parâmetros estimados (base da camada). . . . . . . . . . . . . . .
Resultado da inversão de dados sintéticos usando a aproximação de Aki e
Richards (5.11) na interface folhelho/arenito (topo da camada). . . . . . . .
Aproximação de Aki e Richards (5.11): erro percentual entre os parâmetros
exatos e os parâmetros estimados (topo da camada). . . . . . . . . . . . . .
Resultado da inversão de dados sintéticos usando a aproximação de Aki e
Richards (5.11) na interface arenito/folhelho (base da camada). . . . . . . .
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6.8
6.9
6.10
6.11
6.12
6.13
6.14
6.15
6.16
Aproximação de Aki e Richards (5.11): erro percentual entre os parâmetros
exatos e os parâmetros estimados (base da camada). . . . . . . . . . . . . . .
Resultado da inversão de dados sintéticos usando a aproximação de Shuey na
interface folhelho/arenito (topo da camada). . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aproximação de Shuey: erro percentual entre os parâmetros exatos e os
parâmetros estimados (topo da camada). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Resultado da inversão de dados sintéticos usando a aproximação de Shuey na
interface arenito/folhelho (base da camada). . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Aproximação de Shuey: erro percentual entre os parâmetros exatos e os
parâmetros estimados (base da camada). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Resultado da inversão de dados sintéticos usando a aproximação de Thomsen
na interface folhelho/arenito (topo da camada). . . . . . . . . . . . . . . . .
Aproximação de Thomsen: erro percentual entre os parâmetros exatos e os
parâmetros estimados (topo da camada). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Resultado da inversão de dados sintéticos usando a aproximação de Thomsen
na interface arenito/folhelho (base da camada). . . . . . . . . . . . . . . . .
Aproximação de Thomsen: erro percentual entre os parâmetros exatos e os
parâmetros estimados (base da camada). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix
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INTRODUÇÃO
A Geofı́sica de Exploração utiliza métodos indiretos para inferir as caracterı́sticas da
subsuperfı́cie com o objetivo de prospectar recursos naturais como água, minérios e hidrocarbonetos. Neste contexto surge a geofı́sica de exploração de petróleo, que se utiliza do
método sı́smico como principal ferramenta. A exploração de hidrocarbonetos tem sido dominada pela técnica de reflexão sı́smica desde a década de 1930. A alta resolução de dados,
a obtenção de amostragem contı́nua e o baixo custo comparado com as perfurações de poços
consagraram o método sı́smico como uma parte indispensável da moderna exploração de
petróleo.
Na década de 1960 o estudo das amplitudes sı́smicas tornou-se de suma importância
para a detecção de hidrocarbonetos. Surgia assim o conceito de bright spots, anomalias de
amplitudes resultantes de litologias saturadas com gás. Contudo, estas anomalias de amplitude não conseguiam detectar hidrocarbonetos de maneira definitiva, tornando a prospecção,
em alguns casos, mal sucedida.
Em 1984, Ostrander criou uma nova metodologia baseada nos trabalhos de Koefoed
(1955), mostrando como utilizar o comportamento anômalo das amplitudes como um indicador direto de hidrocarbonetos. Surgia assim, o conceito que ficou popularmente conhecido
como Amplitude versus Afastamento ou Amplitude versus Offset (AVO). A utilização da
técnica AVO na exploração de petróleo está associada às diferentes respostas que alguns
parâmetros elásticos podem trazer na presença de gás nos poros de uma rocha. A presença
de gás reduz a velocidade da onda P mas não afeta a velocidade da onda S. Com isso, esta
técnica pode ser muito útil na discriminação de litologias.
As equações que definem as amplitudes sı́smicas foram desenvolvidas pelo matemático
alemão Karl Jacob Zoeppritz (1838-1885) e publicadas postumamente em 1919. Estas
equações são relativamente complexas, o que fez com que diversos autores formulassem aproximações para a mesma. Estas equações aproximadas são a base teórica da análise de AVO,
principalmente a equação de Shuey (1985), visto que elas facilitam o entendimento de como
os parâmetros elásticos influenciam o coeficiente de reflexão sı́smico.
Através do conhecimento dos parâmetros elásticos, calculamos o coeficiente de reflexão
sı́smico. Denominamos este procedimento de modelagem direta. Mas, se desejamos obter
tais parâmetros, conhecendo o coeficiente de reflexão, utilizamos a modelagem inversa. A
inversão de dados sı́smicos em geral é um problema não linear. Assim sendo, métodos de
inversão não lineares são os mais apropriados. Contudo, estes métodos são demorados e têm
1
2
maior custo computacional. Este problema pode ser resolvido linearizando as expressões
que contenham os parâmetros. A variação da amplitude sı́smica com o afastamento (AVO)
ou com o ângulo de incidência (AVA) podem ser usadas para estimar parâmetros elásticos.
O estudo da sensibilidade do processo de inversão e a inversão de dados são feitos pela
decomposição em valores singulares (SVD).
Dividimos este trabalho em seis capı́tulos:
No primeiro capı́tulo apresentamos os fundamentos teóricos da elasticidade, muito importantes para o desenvolvimento do trabalho, visto que, definimos os principais parâmetros
elásticos a serem obtidos na inversão linear de AVO. A partir dos conceitos de esforço e
deformação, definimos a lei de Hooke e apresentamos a equação elástica da onda, para, finalmente fazer uma breve abordagem sobre os seguintes parâmetros elásticos: os parâmetros
de Lamé, a velocidade da onda compressional, a velocidade da onda cisalhante e a razão de
Poisson.
No segundo capı́tulo apresentamos os conceitos fundamentais da análise de AVO, definindo o coeficiente de reflexão sı́smico e mostrando suscintamente como Ostrander (1984)
desenvolveu seus trabalhos.
No terceiro capı́tulo apresentamos os fundamentos da teoria da inversão, onde se baseia
toda a metodologia deste trabalho. O método empregado para a inversão de dados é a
SVD, onde obtemos a matriz inversa generalizada e, finalmente, os parâmetros elásticos. Na
primeira seção discutimos os problemas inversos de uma maneira geral e as condições para
um problema linear bem-posto ou bem condicionado. Na seção seguinte é apresentada a
teoria da SVD e o cálculo da inversa generalizada.
No quarto capı́tulo apresentamos as equações aproximadas do coeficiente de reflexão
sı́smico, e a comparação destas com a respectiva equação exata desenvolvida por Červený
et al. (1977), a partir das equações de Zoeppritz. Neste trabalho estudamos quatro aproximações, considerando que os contrastes nas propriedades elásticas são pequenos. Analisamos as aproximações de Bortfeld (1961), Aki e Richards (1980), Shuey (1985) e Thomsen
(1990), discutindo seus limites de validade e a acurácia de cada uma por meio de gráficos. Os
teste foram feitos utilizando três modelos estudados por Ostrander (1984), fixando valores
da razão de Poisson e alterando os contrastes da velocidade da onda P e da densidade.
No quinto capı́tulo analisamos os autovalores e autovetores no espaço dos modelos. O
objetivo desta análise é verificar quais parâmetros podem ser melhor obtidos no processo
de inversão, e testar o condicionamento do sistema. Estudamos a sensibilidade do processo
de inversão usando as aproximações de Aki e Richards (1980), Shuey (1985) e Thomsen
(1990). A análise de sensibilidade é feita pelo técnica SVD, seguindo a mesma metodologia
empregada por Nicolao et al. (1993).
3
No sexto capı́tulo realizamos a inversão linear de AVO, baseada nas aproximações para
pequenos contrastes, que relaciona linearmente o coeficiente de reflexão aos contrastes nos
parâmetros elásticos. Neste caso, utilizamos os valores dos coeficientes de reflexão de cada
aproximação como dados de entrada para a obtenção de parâmetros elásticos. A matriz
inversa generalizada foi calculada pela SVD. A inversão foi feita com dados sintéticos. O
modelo utilizado foi extraı́do de Ostrander (1984) e corresponde a um reservatório preenchido
por gás. Cada parâmetro foi obtido para uma grande faixa de ângulos de incidência.
Finalmente, apresentamos as conclusões do presente trabalho.
CAPÍTULO 1
Fundamentos da teoria da elasticidade
1.1
Introdução
A elasticidade é um ramo da Fı́sica que estuda o comportamento dos corpos materiais que,
ao serem submetidos a forças externas, retornam à sua forma original quando estas mesmas forças são removidas. Em meios isotrópicos os esforços aplicados em um corpo são
aproximadamente proporcionais às deformações. A teoria da elasticidade estuda rigorosamente a determinação do esforço, da deformação e da relação existente entre elas para um
determinado sólido.
1.2
Lei de Hooke
A lei de Hooke é deduzida a partir das relações de esforço (stress) e deformação (strain)
existentes nos sólidos elásticos. Considere um volume infinitesimal com dimensões δx, δy e
δz mostrado na Figura 1.1. Definimos o esforço como força por unidade de área. O esforço
pode ser decomposto em três componentes: Pxx , que é normal à subsuperfı́cie, Pxy e Pxz que
são tangenciais à subsuperfı́cie, por exemplo. Cada componente tangencial é denominado de
esforço cisalhante. Para manter um sólido em equilı́brio são necessários nove componentes
do esforço.
Figura 1.1: Componentes normais e tangenciais do esforço num volume infinitesimal.
4
5
O esforço em sua forma matricial é dado

Pxx

{Pij } =  Pyx
Pzx
por:

Pxy Pxz

Pyy Pyz  .
Pzy Pzz
(1.1)
Os elementos da diagonal principal são as componentes normais do esforço. Os demais
elementos são as componentes do esforço cisalhante. Quando um sólido fica submetido a um
campo de esforço, sofre uma deformação, de forma que se fixarmos quatro pontos, A, B, C
e D, por exemplo, haverá um deslocamento das componentes (δu, δv e δw) destes pontos
para uma nova posição (B 0 , C 0 e D0 ), conforme mostrado na Figura 1.2. Considerando as
componentes do deslocamento δu, δv e δw, podemos formular as componentes normais da
deformação matematicamente como
exx =
∂u
,
∂x
eyy =
∂v
,
∂y
ezz =
∂w
.
∂z
(1.2)
Figura 1.2: Corpo deformado depois de submetido a um campo de esforço. Em (a)
ocorre uma deformação linear na direção x; em (b) uma deformação
cisalhante.
Outras deformações podem ser causadas por cisalhamento, rotação ou a combinação de
ambos. Escrevendo a deformação na sua forma matricial:

exx exy exz


{eij } =  eyx eyy eyz  .
ezx ezy ezz

(1.3)
Com os conceitos de esforço e deformação bem definidos, podemos escrever a Lei de
Hooke:
6





Pxx Pxy Pxz
1 0 0
exx exy exz






 Pyx Pyy Pyz  = λ∆  0 1 0  + 2µ  eyx eyy eyz  ,
Pzx Pzy Pzz
0 0 1
ezx ezy ezz

(1.4)
onde ∆ é a variação de volume ou dilatação que um sólido sofre com deformação, ∆ = exx +
eyy + ezz , e λ e µ são os parâmetros de Lamé. A equação 1.4 considera um meio homogêneo,
isotrópico e elástico, cujas deformações são suficientemente pequenas para satisfazer a relação
linear entre esforço e deformação. A maioria dos sólidos obedece a lei de Hooke. Esta lei diz
que a deformação observada é proporcional ao esforço aplicado, desde que este não ultrapasse
o limite elástico. Esta relação é o fundamento da teoria da elasticidade.
1.3
Parâmetros elásticos
Os parâmetros fı́sicos que descrevem as modificações reversı́veis em corpos submetidos a ação
de forças, tais como esforço e deformação, mencionadas anteriormente, são denominados de
parâmetros elásticos. Tais parâmetros podem trazer informações valiosas da subsuperfı́cie
através da aplicação do método sı́smico, discriminando litologias e até servindo como indicadores da presença de hidrocarbonetos. Nesta seção discutiremos os seguintes parâmetros
elásticos: os parâmetros de Lamé, a velocidade da onda compressional (vp ), a velocidade da
onda cisalhante (vs ) e a razão de Poisson (σ).
1.3.1
Parâmetros de Lamé
Os meios isotrópicos podem ser descritos por apenas duas constantes elásticas independentes:
os parâmetros de Lamé µ e λ.
O parâmetro de Lamé, denotado por µ, é conhecido por módulo de rigidez e corresponde
à razão entre o esforço e a deformação cisalhantes:
µ=
∆F/A
,
∆L/L
(1.5)
onde ∆F representa a força tangencial, A é a área da seção transversal, L é a distância entre
os planos de cisalhamento e ∆L é a deformação cisalhante.
O módulo de volume ou incompressibilidade, denotado por κ, é definido como a razão
entre a pressão aplicada e a variação fracional no volume quando um sólido é submetido à
compressão hidrostática uniforme:
7
κ=
∆P
,
∆V /V
(1.6)
onde ∆P é a variação da pressão, V é o volume, ∆V representa a variação de volume e
∆V /V é a dilatação.
O parâmetro de Lamé λ, sem denominação especial, é expresso em termos dos módulos
de rigidez e de volume:
λ=κ−
1.3.2
2µ
.
3
(1.7)
Velocidade da onda compressional
A segunda Lei de Newton para um componente u do deslocamento é dada por:
ρ
∂Pxx ∂Pyy ∂Pzz
∂ 2u
=
+
+
,
2
∂t
∂x
∂y
∂z
(1.8)
onde ρ é a densidade. Da Lei de Hooke podemos escrever:
Pxx = λ∆ + 2µexx ,
(1.9)
Pxy = 2µexy ,
(1.10)
Pxz = 2µexz .
(1.11)
Assumindo λ e µ constantes, e fazendo algumas manipulações matemáticas obtemos:
ρ
∂ 2u
= (λ + µ)∇∆ + µ∇2 u ,
∂t2
(1.12)
onde, u é o vetor deslocamento, u = (u, v, w), ∇∆ é o divergente da dilatação de um sólido
causada por deformação e ∇2 é o operador Laplaciano.
Esta é a equação de propagação da onda elástica num meio homogêneo e isotrópico.
A partir da equação da onda pode-se obter algumas relações de extrema importância para
inferir as caracterı́sticas da subsuperfı́cie. Estas relações envolvem a velocidade da onda
compressional (vp ), a velocidade da onda cisalhante (vs ) e a razão de Poisson (σ).
Tomando a equação da onda compressional
ρ
∂2∆
= (λ + 2µ)∇2 ∆ ,
∂t2
(1.13)
8
obtem-se a velocidade da onda compressional, em um meio elástico:
s
vp =
(λ + 2µ)
.
ρ
(1.14)
As ondas compressionais ou primárias, que denotaremos por onda P, são ondas longitudinais, ou seja, vibram paralelamente à direção de propagação, fazendo com que os sólidos
sofram uma compressão seguida de uma distensão, contudo, sem alterar a forma do mesmo.
Este tipo de onda é a que possui maior velocidade e por isso são as primeiras a serem
registradas num sismograma.
1.3.3
Velocidade da onda cisalhante
Tomando a equação da onda cisalhante
ρ
∂ 2Θ
= µ∇2 Θ ,
∂t2
(1.15)
onde Θ = (θxy , θxz , θyz ) é o vetor rotacional, obtem-se a velocidade da onda cisalhante em
um meio elástico:
r
vs =
µ
.
ρ
(1.16)
As ondas cisalhantes ou secundárias, que denotaremos por onda S, são ondas transversais, ou seja, o sentido de vibração é ortogonal à direção de propagação. As ondas S não se
propagam em meios fluidos visto que estes meios não suportam forças de cisalhamento.
1.3.4
Razão de Poisson
A razão de Poisson σ é definida como a razão entre a contração radial (εyy ) e a extensão
longitudinal (εxx ) ao longo do eixo onde o esforço é aplicado. Matematicamente é definida
como:
εyy
.
σ=−
εxx
Em termos dos módulos elásticos a razão de Poisson pode ser expressa da seguinte
forma:
³ ´2
vp
−2
vs
3κ − 2µ
λ
σ=
=
= ³ ´2
,
6κ + 2µ
2(λ + µ)
2 vvps − 2
(1.17)
9
Escrevendo a equação 1.17 para vp /vs :
vp
=
vs
r
1−σ
.
0, 5 − σ
(1.18)
A definição da razão de Poisson e das velocidades das ondas P e S em termos das
constantes de Lamé são de suma importância para a formulação matemática do coeficiente
de reflexão de uma onda P incidente, pois suas equações são derivadas de equações escritas
em termos destes parâmetros.
A combinação da onda P e da onda S tem o potencial de revelar mais sobre a subsuperfı́cie do que qualquer tipo de onda isolada. Assim, tem-se que a razão (vp /vs ) é um bom
indicador direto da presença de hidrocarbonetos, principalmente gás, além de também ter a
capacidade de discriminar litologias. Essa razão tem uma variação conhecida para muitos
tipos de rochas.
CAPÍTULO 2
Amplitude versus Afastamento (AVO)
2.1
Histórico
Na década de 1960 foi descoberto que a presença de gás estava geralmente associada a regiões
de elevada amplitude sı́smica, conhecidas como bright spots (manchas brilhantes). Esta
descoberta melhorou significativamente o ı́ndice de sucesso nas perfurações. A presença
de gás reduz em muito a velocidade de propagação da onda P, criando condições para o
aparecimento dos bright spots. O topo e a base de um reservatório de gás são excelentes
geradores desta anomalia. Se a interface correspondente à base do gás for fluida (gás-água
ou gás-óleo), a seção sı́smica exibirá um flat spot (mancha plana). Se a anomalia de amplitude
se inverte origina-se um dim spot, definida como uma redução localizada da magnitude da
reflexão. Contudo, os bright spots nem sempre indicam a presença de gás. Em muitos
casos foram encontradas intrusões ı́gneas, carbonatos, linhitos, areias saturadas de água ao
invés de gás, camadas de calcário, basalto ou carvão, encaixadas em sedimentos de baixa
velocidade. Com isso, houve uma necessidade de estabelecer critérios para o estudo das
anomalias de amplitudes, nascendo assim a técnica Amplitude versus Afastamento (AVO,
do inglês Amplitude versus Offset).
2.2
Conceitos fundamentais
A técnica Amplitude versus Afastamento é o estudo da variação da amplitude refletida com
o afastamento fonte-receptor e é utilizada na sı́smica de reflexão para inferir certas caracterı́sticas das rochas. Foi introduzida por Ostrander (1984), quando este demonstrou que o
coeficiente de reflexão de um arenito com gás varia de forma anômala com o aumento do
afastamento e como utilizar este comportamento como um indicador direto de hidrocarbonetos.
Geralmente a amplitude registrada decresce com o afastamento. Na presença de gás
ocorre exatamente o oposto, ou seja, há um crescimento anômalo. A configuração básica
de levantamentos AVO é a seção de ponto médio comum (CMP, do inglês Common Middle
Point), mostrado na Figura 2.1.
10
11
A análise de AVO decorre da relação teórica entre o coeficiente de reflexão, ângulo
de incidência e as variações na velocidade da onda compressional, da onda cisalhante e da
densidade através de uma interface e tem sido usada com relativo sucesso para indicar a
presença de hidrocarbonetos. A compreensão da interrelação entre as propriedades sı́smicas
e as caracterı́sticas fı́sicas do meio tais como a litologia, porosidade e conteúdo de fluido
nos poros das rochas é necessária para extração quantitativa de informações empregando a
técnica AVO.
Afastamento
Ponto médio comum
Fontes
Receptores
Ponto comum em profundidade
Figura 2.1: Famı́lia CMP, configuração básica de levantamentos AVO.
2.2.1
Coeficiente de reflexão sı́smico
Quando uma onda sı́smica se propaga no interior da Terra, e incide na interface entre duas
camadas, sua energia é particionada de forma que podem ocorrer reflexão, transmissão e
conversão destas ondas (uma onda P convertida numa onda S, por exemplo). A onda sı́smica
refletida depende do ângulo de incidência. A Figura 2.2 mostra dois meios homogêneos e
isotrópicos separados por uma interface plana onde incide uma onda P.
Definimos matematicamente a Lei de Snell:
p=
sen θ1
sen θ2
sen φ1
sen φ2
=
=
=
,
vp1
vp2
vs1
vs2
onde,
vp1 = velocidade da onda P no meio 1,
vp2 = velocidade da onda P no meio 2,
vs1 = velocidade da onda S no meio 1,
(2.1)
12
vs2 = velocidade da onda S no meio 2,
θ1 = ângulo da onda P incidente,
θ2 = ângulo da onda P transmitida,
φ1 = ângulo da onda S refletida,
φ2 = ângulo da onda S transmitida,
p = parâmetro do raio.
Figura 2.2: Onda P incidindo em dois meios homogêneos e isotrópicos.
O coeficiente de reflexão de uma onda P é definido como a razão entre as amplitudes
das ondas P refletida e incidente. Os coeficientes de reflexão dependem da velocidade da
onda P, da velocidade da onda S e da densidade de cada uma das camadas que definem uma
interface.
Consideremos um caso especial, onde atua um único componente do esforço, Pzz , um
componente do deslocamento w, apenas em função da profundidade z. A equação do movimento neste caso é dada por:
13
ρ
∂ 2w
∂2w
=
(λ
+
2µ)
,
∂t2
∂z 2
(2.2)
onde, ρ é a densidade, λ e µ são os parâmentros de Lamé.
A solução da equação 2.2 é dada por
µ
w0 (z, t) = A0 exp
¶
w
i z − iωt ,
vp1
(2.3)
onde, w0 é a função da onda P incidente, A0 é a amplitude, ω é a frequência angular e vp1 é
a velocidade da onda P incidente. Para ondas refletidas e transmitidas as funções são dadas,
respectivamente, por:
µ
¶
w
w1 (z, t) = A1 exp −i z − iωt ,
vp1
µ
w2 (z, t) = A2 exp
¶
w
i z − iωt ,
vp2
(2.4)
(2.5)
onde, vp2 é a velocidade da onda P no meio 2 e A1 e A2 são as amplitudes da onda P refletida
e transmitida, respectivamente.
Dadas as condições de contorno da interface, tais como continuidade de vetor deslocamento e das tensões, em z = 0, obtemos a seguinte realação entre as amplitudes:
A0 + A1 = A2 .
(2.6)
A equação do componente do esforço Pzz pode ser obtida a partir da lei de Hooke
(equação 1.4), considerando uma incidência normal da onda P:
Pzz = (λ + 2µ)
∂w
.
∂z
(2.7)
A continuidade das tensões na interface z = 0 é dada pela relação
(Pzz )0 = (Pzz )1 + (Pzz )2 .
(2.8)
Derivando as funções dadas pelas equações 2.3, 2.4 e 2.5 com respeito a z e substituindo
na equação 2.8, fixando z = 0, obtemos a seguinte expressão:
ρ1 vp1 A0 − ρ1 vp1 A1 = ρ2 vp2 A2 ,
(2.9)
14
onde, ρ1 e ρ2 são as densidades das camadas superior e inferior, respectivamente.
Combinando as equações 2.6 e 2.9 obtemos a equação do coeficiente de reflexão para
incidência normal:
R0 =
A1
ρ2 vp2 − ρ1 vp1
=
.
A0
ρ2 vp2 + ρ1 vp1
(2.10)
O produto da densidade com a velocidade da onda P é denominado impedância acústica
da onda P, denotada por ZP . Uma reflexão ocorre quando duas camadas possuem impedâncias diferentes.
A análise das amplitudes da onda refletida em função do ângulo de incidência pode,
às vezes, ser utilizada para detectar variações laterais nas propriedades elásticas de rochas
reservatórios, tais como a razão de Poisson. Contudo, numa famı́lia CMP (Figura 2.1) a
amplitude refletida não é medida em função do ângulo de incidência, mas do afastamento
fonte-receptor. Porém, a análise de AVO provém da análise de Amplitude versus Ângulo de
incidência (AVA, do inglês Amplitude versus Angle) (Yilmaz, 2001).
As expressões para os coeficientes de reflexão de ondas planas em termos das amplitudes
em função do ângulo de incidência foram desenvolvidas por Zoeppritz e publicadas em 1919.
Estas equações derivam das condições de contorno da interface, como a continuidade do vetor
deslocamento e continuidade das tensões:

cos θ1
vp1
sen φ1
vs1
vp1
cos θ2
vp2



vp1
vp1
 − sen θ
cos φ1
sen θ2

1
vs1
vp2



ρ2

cos 2φ2
− sen 2φ1
 − cos 2φ1

ρ1


2

ρ2 vs2
vp1 2
vp1 2
sen 2θ2
sen 2θ1 − 2 cos 2φ1
vs1
ρ1 vs1 2 vp2 2

vp1
sen φ2
vs2



vp1
cos φ2 

vs2



ρ2

− sen 2φ2  

ρ1



ρ2 vp1 2
cos
2φ
2
ρ1 vs1 2
−
A1


cos θ1
 
 

B1 
  sen θ1
=
 

A2 
  cos 2φ1
 
B2





,




sen 2θ1
(2.11)
onde A1 , B1 , A2 e B2 são, respectivamente, as amplitudes das ondas P e S refletidas, e P e
S transmitidas.
Devido à sua relativa complexidade, as equações de Zoeppritz não permitem uma fácil
identificação dos parâmetros petrofı́sicos que influenciam o comportamento dos coeficientes
de reflexão. Contudo, o grande interesse da sı́smica está na relação entre uma onda P incidente e refletida em função do ângulo de incidência dada pelo coeficiente A1 e na estimativa
de parâmetros elásticos de rochas reservatórios, relacionando estes parâmetros com o fluido
contido nestes reservatórios. A análise dos parâmetros elásticos por meio das equações de
15
Zoeppritz torna-se mais fácil por meio de aproximações linearizadas da solução exata de A1 ,
como proposta em Aki e Richards (1980).
2.3
Análise de AVO
Koefoed (1955) investigou a variação da amplitude de reflexão com o ângulo de incidência
e como utilizar esta análise como indicador da variação vp /vs . Este autor considerou três
propriedades elásticas de cada meio: a velocidade da onda P, a densidade e a razão de
Poisson. É importante enfatizar que foram os estudos de Koefoed (1955) que indicaram, de
forma conclusiva, a importância da razão de Poisson no comportamento do coeficiente de
reflexão. A relação entre a razão de Poisson e as velocidades das ondas P e S está descrita
na equação 1.18.
Os estudos de Koefoed (1955) mostraram ainda, usando simplificações das equações
de Zoeppritz, formuladas por ele mesmo, a existência de quatro parâmetros que governam
o comportamento do coeficiente de reflexão entre dois meios isotrópicos: (i) a razão das
velocidades das ondas P entre as camadas; (ii) a razão das densidades entre as camadas; (iii)
a razão de Poisson da camada superior e (iv) a razão de Poisson da camada inferior.
Ostrander (1984) demonstrou como os coeficientes de reflexão influenciam no comportamento das amplitudes das ondas sı́smicas com base nos quatro parâmetros citados acima. As
condições impostas pelo autor restringem-se à regiões de pequenos ângulos e do pré-ângulo
crı́tico. Em linhas gerais, se a impedância e a razão de Poisson crescem ou decrescem do
meio superior para o inferior, o módulo do coeficiente de reflexão e a amplitude absoluta
crescem com o afastamento fonte-receptor e tem-se uma anomalia de AVO. Se a impedância
e a razão de Poisson têm comportamentos distintos, o módulo do coeficiente de reflexão
é decrescente e há perda de amplitude com o afastamento. Estas conclusões obtidas por
Ostrander foram baseadas em um modelo proposto em seu trabalho, que consistia em uma
camada de folhelho intercalada por uma camada de arenito com gás. Na maioria dos casos,
arenitos saturados com gás que produzem anomalias na amplitude têm baixa impedância em
relação ao folhelho que o envolve e reflexões que crescem em magnitude com o afastamento.
O grande trunfo da análise de AVO reside na relação entre a razão de Poisson e a litologia. A
presença de gás nos poros das rochas faz com que a velocidade da onda P diminua enquanto
que a velocidade da onda S permanece inalterada.
A tabela a seguir resume as conclusões dos trabalhos de Ostrander (1984):
16
Impedância acústica
Razão de Poisson
Amplitude Relativa
Amplitude Absoluta
⇑
⇑
⇓
⇓
⇑
⇓
⇓
⇑
⇑
⇓
⇓
⇑
⇑
⇓
⇑
⇓
Tabela 2.1: Relação entre a impedância e a razão de Poisson. ⇑ indica aumento e ⇓ indica
redução (Floridia, 1998).
CAPÍTULO 3
Fundamentos da teoria da inversão
3.1
Problemas inversos
A relação entre dados observados e os parâmetros de um determinado modelo pode ser
dividida em duas classes distintas:
Modelagem Direta: conhecendo os parâmentros de um determinado modelo, parte-se
para a obtenção dos dados. Em outras palavras, estabelecida a causa, buscam-se os seus
efeitos.
Modelagem Inversa: a partir dos dados medidos, estima-se os parâmetros do modelo,
ou seja, tendo o conhecimento do efeito, busca-se a causa.
Os problemas inversos lineares são formulados como um sistema linear de equações:
d = Gm ,
(3.1)
onde, d = [d1 , d2 , ..., dM ]T é um vetor coluna que representa o conjunto de dados observados,
m = [m1 , m2 , ..., mN ]T é um vetor coluna que representa o conjunto de parâmetros do modelo
a serem estimados e



G=


g11
g21
..
.
g12 . . .
g22 . . .
.. . .
.
.
g1N
g2N
..
.



,


(3.2)
gM 1 gM 2 . . . gM N
é o operador matricial, de dimensão M × N , que relaciona os vetores d e m.
Na inversão necessitamos determinar os parâmetros do modelo, ou seja, o vetor m.
Logo, o sistema linear da equação 3.1 é resolvido aplicando a inversa de G:
m = G+ d ,
(3.3)
onde G+ é uma matriz N ×M e não-singular. A matriz G+ é chamada de inversa generalizada.
17
18
3.1.1
Condições para um problema linear bem-posto
Os parâmetros do modelo estudado não são determinados de qualquer forma. Um problema
linear é considerado bem posto ou bem condicionado se satisfaz às condições de existência,
unicidade e estabilidade.
Primeiro vamos analisar a questão da existência. Num sistema linear podemos nos
deparar com um caso em que a solução seja indeterminada, o que, no caso de problemas
inversos não é muito difı́cil de acontecer. Por exemplo: partindo-se do pressuposto de que
uma medição será feita num meio isotrópico, ou seja, independente da direção, os resultados
não serão afetados, logo temos uma condição necessária para a existência da solução. Contudo, se os dados responderem de forma contrária (anisotropicamente), a solução do sistema
já seria comprometida. Se o sistema possui solução precisamos saber se é única.
A unicidade é um aspecto matemático de grande importância na Geofı́sica, porém,
muito difı́cil de ser atendido. Em alguns problemas a unicidade advém do fato de que alguns
problemas não são discretos, ou de que existe uma ambiguidade, como ocorre na gravimetria.
A unicidade pode ser atendida utilizando uma reformulação do problema, incluindo requisitos
adicionais, tal como buscar uma solução de norma mı́nima.
A última condição a ser analisada é a estabilidade do problema. Uma solução é dita
estável se depende continuamente dos dados. A condição de estabilidade num sistema linear
é bem mais difı́cil de ser alcançada que as anteriores, visto que, muitos problemas de inversão geofı́sica são instáveis, ou seja, os dados são grandezas medidas e assim são afetados
por ruı́dos de diversas origens. Para atender esta condição, faz-se necessário reformular o
problema de modo a se obter um novo problema que seja menos sensı́vel à perturbações nos
dados.
Os problemas inversos geralmente não atendem às citadas condições, sendo denominados mal-postos ou mal-condicionados. Neste caso necessitam-se regularizações para que
soluções realistas sejam obtidas.
3.1.2
Número de condição de uma matriz
Para verificar se um determinado sistema é bem ou mal condicionado utilizamos o número
de condição da matriz relativa ao mesmo. É importante o cálculo do condicionamento do
sistema em questão, visto que, sistemas mal-condicionados dificultam o processo de inversão
e precisamos analisar a complexidade do processo de obtenção dos parâmetros de um modelo
utilizando os dados medidos (Menke, 1989).
Na equação 3.3 obtemos os parâmetros de um modelo a partir dos dados observados.
Consideremos agora que m + δm representa a solução de um sistema perturbado, podemos
19
então escrever:
d + δd = G(m + δm) .
(3.4)
Sabemos que d = Gm e δm = G−1 δd, pela Desigualdade de Shwartz temos:
||Gm|| ≤ ||G|| ||m|| ,
(3.5)
||d|| ≤ ||G|| ||m|| ,
(3.6)
||δm|| ≤ ||G−1 || ||δd|| .
(3.7)
e
Das equações 3.5, 3.6 e 3.7 podemos escrever:
||δd||
||δm||
≤ ||G|| ||G−1 ||
,
||m||
||d||
(3.8)
||δm||
||δd||
≤ NC
.
||m||
||d||
(3.9)
e, finalmente:
Esta última expressão decorre do fato que ||G|| ||G−1 || é a definição do número de
condição N C da matriz G. Para um determinado erro relativo nos dados ||δd||/||d|| , o erro
relativo da solução ||δm||/||m|| pode ocorrer em uma faixa maior de valores possı́veis para
valores mais elevados do número de condição. Um sistema linear cujo N C é próximo de 1 é
bem-condicionado. Contudo, se N C é muito maior que 1 o sistema é dito mal-condicionado
(Menke, 1989).
Se a matriz for simétrica, seu número de condição N C pode também ser expresso pela
seguinte expressão:
NC =
λM ÁXIM O
,
λM IN
´ IM O
(3.10)
onde λM ÁXIM O e λM IN
´ IM O são o maior e o menor autovalor da matriz G, respectivamente.
20
3.2
Decomposição em valores singulares
Conforme demonstrado na equação 3.2, a matriz G só admite inversa clássica se for quadrada
e não-singular. Para resolver sistemas lineares cujas matrizes não atendem a tais condições
podemos utilizar algumas técnicas como mı́nimos quadrados, minı́mos quadrados amortecidos, decomposição em valores singulares, etc. Nesta seção faremos uma abordagem da
decomposição em valores sigulares (SVD), cujo objetivo é a obtenção de uma matriz inversa
generalizada ou pseudo-inversa (Penrose, 1955).
Considere a equação 3.1. A matriz G, M × N , pode ser decomposta da seguinte forma:
G = U ΣV T ,
(3.11)
onde,
U (M × M ) é a matriz que contém os autovetores ortonormalizados de GGT ;
Σ(M × N ) é a matriz diagonal que contém a raiz quadrada dos autovalores de GT G,
denominados de valores singulares;
V (N × N ) é a matriz que contém os autovetores ortonormalizados de GT G.
O cálculo da decomposição em valores sigulares consiste em três etapas básicas:
• Utilizamos a relação GT G = V ΣT ΣV T para calcular o conjunto de autovetores V =
[v1 , ..., vn ] associados aos autovalores de GT G. V é uma matriz ortogonal e unitária.
ΣT Σ é uma matriz diagonal N × N .
• Utilizamos a relação GGT = U ΣΣT U T para calcular o conjunto de autovetores U =
[u1 , ..., un ] associados aos autovalores de GGT . U é uma matriz ortogonal e unitária.
ΣΣT é uma matriz diagonal M × M .
• Com V e U conhecidos, calculamos a matriz diagonal utilizando a seguinte relação:
Σ = U T GV .
(3.12)
A matriz Σ contém k valores singulares não nulos da seguinte forma:




Σ=



δ11
0
0 δ22
..
..
.
.
0
0
0
0
...
...
..
.
0
0
..
.
. . . δkk
...
0




,



(3.13)
21
cujos elementos da diagonal principal (δii ) são as raı́zes quadradas dos autovalores (λi ) de
GT G e GGT .
3.2.1
Inversa generalizada
Diferente da inversa usual G−1 a inversa generalizada ou pseudo-inversa G+ se aplica a
qualquer matriz e pode ser obtida através da técnica SVD, ou seja, se G = U ΣV T , podemos
obter G+ = V Σ+ U T , onde G+ e Σ+ são matrizes N ×M . A matriz G+ é também denominada
inversa de Moore-Penrose e só será a pseudo-inversa da matriz G se as seguintes propriedades
forem satisfeitas:
(i) GG+ G = G,
(ii) G+ GG+ = G+ ,
(iii) (GG+ )T = GG+ ,
T
(iv) G+ G = G+ G.
Podemos escrever o problema de mı́nimos quadrados em termos da inversa generalizada.
Partindo da solução de mı́nimos quadrados:
−1
m = (GT G) GT d ,
(3.14)
obtemos uma expressão análoga utilizando a pseudo-inversa:
+
m = (GT G) GT d .
(3.15)
CAPÍTULO 4
Expressões linearizadas do coeficiente de
reflexão
Para se chegar ao processo de inversão utilizando dados de AVO são necessárias duas
etapas que a precedem: a primeira etapa consiste em testar a validade das expressões linearizadas do coeficiente de reflexão sı́smico, comparando estas expressões com a expressão
exata do coeficiente de reflexão. A segunda etapa consiste em verificar o comportamento
dos autovalores e dos autovetores em função do ângulo de incidência. Denominamos este
procedimento de análise de sensibilidade do processo de inversão.
Neste capı́tulo faremos um estudo de algumas aproximações encontradas na literatura
e verificaremos em quais condições estas expressões são válidas.
4.1
Expressão exata do coeficiente de reflexão
A expressão exata do coeficiente de reflexão foi formulada por Červený et al. (1977) a partir
das equações de Zoeppritz. Estas equações determinam cinco parâmetros elásticos (Ursin e
Tjaland, 1992): as velocidades da onda P nas camadas superior e inferior, as velocidades da
onda S nas camadas superior e inferior, e a razão entre as densidades de cada camada.
O conjunto de equações envolve quatro coeficientes de reflexão, onde cada ı́ndice representa o tipo de onda incidente e o tipo de onda refletida:
RP P = [Q2 + γT2 T3 + (γ − Q)2 T3 T4 − γT1 T4
(4.1)
− (1 + Q)2 T1 T2 − (γ − 1 − Q)2 T1 T2 T3 T4 ]/D ,
RSS = [Q2 + γT1 T4 + (γ − Q)2 T3 T4 − γT2 T3
− (1 + Q)2 T1 T2 − (γ − 1 − Q)2 T1 T2 T3 T4 ]/D ,
22
(4.2)
23
RP S = {2vp1 vs1 −1 T2 [Q(1 + Q)
(4.3)
+ (γ − Q)(γ − 1 − Q)T3 T4 ]}/D ,
RSP = {−2vs1 vp1 −1 T1 [Q(1 + Q)
(4.4)
+ (γ − Q)(γ − 1 − Q)T3 T4 ]}/D ,
onde,
D = Q2 + γT2 T3 + (γ − Q)2 T3 T4 + γT1 T4
+(1 + Q)2 T1 T2 + (γ − 1 − Q)2 T1 T2 T3 T4 ,
Q = 2p2 (γvs2 2 − vs1 2 ) ,
T1 = pvp1 /(1 − p2 vp1 2 )1/2 ,
T2 = pvs1 /(1 − p2 vs1 2 )1/2 ,
T3 = pvp2 /(1 − p2 vp2 2 )1/2 ,
T4 = pvs2 /(1 − p2 vs2 2 )1/2 ,
γ = ρ1 /ρ2 .
Nas expressões acima ρi , vpi , vsi e p são, respectivamente, a densidade, a velocidade da
onda P, a velocidade da onda S e o parâmetro do raio.
Neste trabalho nosso estudo se limitará apenas às aproximações da equação 4.1, que
define o coeficiente de reflexão PP.
4.2
Equações de AVO
Devido à relativa complexidade da expressão exata para o coeficiente de reflexão de ondas
elásticas, tornou-se necessário a formulação de aproximações para a mesma, com o objetivo
de se obter um melhor entendimento da influência dos parâmetros elásticos e de facilitar
a determinação dos mesmos utilizando a técnica de AVO. Barros (1997) analisa vários tipos de aproximações presentes na literatura. Neste trabalho utilizaremos apenas quatro
aproximações levando em consideração que as variações nos parâmetros elásticos através da
interface são pequenos. Neste caso as expressões têm a seguinte forma:
24
RP P (θ) = a + b sen2 θ + c tan2 θ ,
(4.5)
onde os parâmetros a, b e c variam de acordo com a aproximação escolhida.
4.2.1
Aproximação de Bortfeld
Bortfeld (1961) formulou a primeira aproximação das equações de Zoeppritz e obteve a
seguinte expressão:
RP P (θ1 ) ≈
1
ln
2
µ
vp2 ρ2 cos θ2
vp1 ρ1 cos θ1
¶


+
ln
ln
vp2
vp1
ρ1
ρ2

2
2
− vs2
 vs1
sen2 θ1 .

vp2 vs2
2
v
p1
− ln
vp1 vs2
(4.6)
O primeiro termo desta equação é denominado de efeito acústico, equanto o segundo
termo é denominado de efeito elástico. Esta aproximação é válida somente para ângulos
inferiores ao ângulo crı́tico. O autor sugere que as feições gerais das curvas exatas são
repetidas pelas curvas aproximadas e que a diferença entre os valores exatos e aproximados
não é maior que uma pequena porcentagem. Contudo, ele ressalta que a diferença cresce com
o aumento do ângulo de incidência e também com o aumento no contraste dos parâmetros
elásticos.
4.2.2
Aproximação de Aki e Richards
Aki e Richards (1980) reformularam as equações de Zoeppritz em termos de dezesseis coeficientes de reflexão e transmissão relacionados com a partição da onda em uma interface
plana, a partir das velocidades e densidades dos dois meios e dos ângulos que os raios fazem
com a normal.
A formulação matricial de Aki e Richards (1980) é dada por:





onde,
P̀Ṕ
P̀Ś
P̀P̀
P̀S̀
S̀Ṕ
S̀Ś
S̀P̀
S̀S̀
ṔṔ
ṔŚ
ṔP̀
ṔS̀
ŚṔ
ŚŚ
ŚP̀
ŚS̀



 = M−1 N ,

(4.7)
25



M=

−vp1 p
− cos φ1
vp2 p
cos φ2
cos θ1
−vs1 p
cos θ2
−vs2 p
2
2 2
2
2 2
2ρ1 vs1 p cos θ1
ρ1 vs1 (1 − 2vs1 p )
2ρ2 vs2 p cos θ2
ρ2 vs2 (1 − 2vs2
p)
2 2
2
2 2
2
−ρ1 vp1 (1 − 2vs1 p )
2ρ1 vs1 p cos φ1
ρ2 vp2 (1 − 2vs2 p ) −2ρ2 vs2 p cos φ2



,

(4.8)
e



N=

vp1 p
cos φ1
−vp2 p
− cos φ2
cos θ1
−vs1 p
cos θ2
−vs2 p
2
2 2
2
2 2
2ρ1 vs1 p cos θ1
ρ1 vs1 (1 − 2vs1 p )
2ρ2 vs2 p cos θ2
ρ2 vs2 (1 − 2vs2
p)
2 2
2
2 2
2
ρ1 vp1 (1 − 2vs1 p ) −2ρ1 vs1 p cos φ1 −ρ2 vp2 (1 − 2vs2 p )
2ρ2 vs2 p cos φ2



.

(4.9)
Cada coeficiente é representado por duas letras, referentes ao tipo de onda (P ou S),
sendo o sentido da onda ascendente indicado por Ṕ ou Ś e o sentido da onda descendente
indicado por P̀ ou S̀.
Os ângulos θ1 , θ2 , φ1 e φ2 são relacionados com as ondas Ṕ, P̀, Ś e S̀, respectivamente
e são calculados com o auxı́lio da lei de Snell.
A aproximação para o coeficiente de reflexão RP P (θ) foi obtida por estes autores derivando o efeito de primeira ordem de variações pequenas na densidade e na velocidade para
o problema de uma interface entre dois sólidos. O objetivo foi verificar as contribuições
separadas da variação da densidade (∆ρ), da variação da velocidade da onda compressional
(∆vp ) e da variação da velocidade da onda cisalhante (∆vs ). A aproximação foi derivada da
fórmula exata, substituindo-se cada um dos parâmetros dos dois meios pelos valores médios
e suas diferenças. O ângulo considerado é a média dos ângulos de incidência e transmissão.
As relações entre os parâmetros envolvidos são:
∆vp = vp2 − vp1 ,
vp = (vp2 + vp1 )/2 ,
∆vs = vs2 − vs1 ,
vs = (vs2 + vs1 )/2 ,
∆ρ = (ρ2 − ρ1 ) ,
ρ = (ρ2 + ρ1 )/2 ,
26
e
θ = (θ2 + θ1 )/2 .
Assumindo que as razões ∆ρ/ρ, ∆vp /vp e ∆vs /vs têm magnitudes muito menores que a
unidade e também que todos os ângulos são reais e que nenhum destes ângulos está próximo
de 90o , da lei de Snell segue que:
µ
∆θ = θ2 − θ1 =
∆vp
vp
¶
tan θ .
Esta expressão é válida para variações de primeira ordem na velocidade.
Expandindo os termos definidos nas equações de Zoeppritz, corrigidos para variações de
primeira ordem em ∆ρ, ∆vp e ∆vs , podemos encontrar a seguinte expressão para a amplitude
da onda P refletida em termos do parâmetro do raio:
1
∆ρ
1 ∆vp
2 2 ∆vs
RP P (p) ≈ (1 − 4vs2 p2 )
+
−
4v
p
.
s
2
ρ
2 cos2 θ vp
vs
(4.10)
Em função do ângulo de incidência, a equação 4.10 fica:
"
#
µ ¶2
µ ¶2
vs
vs
∆ρ
∆vs
1 ∆vp 1
2
+ 1−4
sen θ
−4
sen2 θ
.
RP P (θ) ≈
2
2 cos θ vp
2
vp
ρ
vp
vs
(4.11)
Esta equação apresenta três parâmetros bem explicitados a serem obtidos no processo
de inversão: ∆vp /vp , ∆ρ/ρ e ∆vs /vs . O parâmetro ∆vp /vp descreve a variação da velocidade
da onda P e pode ser definido como a sua refletividade. O análogo vale para o parâmetro
∆vs /vs . A variação relativa da densidade é ∆ρ/ρ.
As refletividades das ondas P e S podem trazer informações valiosas sobre mudanças
de fluidos em reservatórios, como em arenitos preenchidos por gás e água salgada (brine),
por exemplo.
4.2.3
Aproximação de Shuey
Shuey (1985) modificou a equação de Aki e Richards (1980), substituindo as propriedades
vs e ∆vs por σ e ∆σ. As propriedades σ e ∆σ são definidas da seguinte forma:
σ=
σ2 + σ1
,
2
e
∆σ = (σ2 − σ1 ) .
27
Resultando na seguinte substituição:
·
vs2
=
vp2
¸
1 − 2σ
.
2(1 − σ)
Por causa de problemas práticos em recuperar o valor absoluto da amplitude de reflexão,
o autor introduziu uma modificação na amplitude de incidência normal, considerando o
conteúdo da informação da curva relativa RP P (θ)/R0 , onde R0 = RP P (θ = 0). O resultado
destas manipulações é:
RP P (θ)
≈ 1 + A sen2 θ + B(tan2 θ − sen2 θ) ,
R0
(4.12)
onde
µ
¶
1 ∆vp ∆ρ
1 ∆Zp
R0 ≈
+
≈
,
2 vp
ρ
2 Zp
A = A0 +
1
∆σ
,
2
(1 − σ) R0
A0 = B − 2(1 + B)
e
B=
1 − 2σ
,
1−σ
∆vp /vp
.
∆vp /vp + ∆ρ/ρ
Multiplicando a equação 4.12 por R0 , obtemos:
·
¸
∆σ
1
∆vp
1 ∆Zp
2
2
2
+ sen θ A0 R0 +
+
(tan
θ
−
sen
θ)
.
RP P (θ) ≈
2 Zp
(1 − σ)2
2
vp
(4.13)
As equações 4.12 e 4.13 mostram quais combinações de propriedades elásticas são efetivas em faixas sucessivas do ângulo θ. O terceiro termo é proporcional ao sen4 θ, não
contribuindo normalmente para valores de ângulo θ < 30o . Na equação 4.12, o parâmetro
adimensional A controla se a amplitude inicialmente aumenta (A > 0) ou diminue (A < 0),
enquanto que o parâmetro adimensional B controla o sinal para grandes ângulos.
Os três parâmetros estão muito bem explicitados na aproximação de Shuey. O primeiro
parâmetro a ser obtido é a variação da impedância da onda P, ∆Zp /Zp , o segundo envolve a
variação da razão de Poisson, [A0 R0 + ∆σ/(1 − σ)2 ] e o terceiro é a variação da velocidade
da onda P, ou sua refletividade, ∆vp /vp .
28
4.2.4
Aproximação de Thomsen
Thomsen (1990) sugere a introdução do módulo de rigidez (µ) na equação 4.11 ao invés
da razão de Poisson, como Shuey propôs em seu trabalho. Segundo este autor, a razão de
Poisson é irrelevante para a propagação de ondas por ter sido definida em termos de um
experimento (compressão ou tensão axial de uma barra fina). Contudo, ele afirma que a
magnitude relativa da deformação compressional e cisalhante é uma noção importante, mas
que a razão de Poisson não é uma boa maneira de expressar esta magnitude. A solução
encontrada por Thomsen foi escrever a razão de Poisson em termos de outras medidas, como
a razão entre as velocidades compressional e cisalhante.
A partir da expressão para o módulo de rigidez, µ = ρvs 2 , e levando em consideração
pequenas variações, obtemos:
∆vs ∆ρ
∆µ
=2
+
.
µ
vs
ρ
(4.14)
Substituindo 4.14 em 4.11, temos:
"
#
µ
¶2
1 ∆vp
2vs ∆µ
1 ∆vp
RP P (θ) ≈ R0 +
−
sen2 θ +
tan2 θ sen2 θ .
2 vp
vp
µ
2 vp
(4.15)
Explicitando melhor os parâmetros em cada termo da equação, podemos escrever:
µ ¶2
vs
∆vp
1 ∆Zp
∆µ 1
−2
+ tan2 θ
.
RP P (θ) ≈
sen2 θ
2 Zp
vp
µ
2
vp
(4.16)
Os parâmetros a serem obtidos na aproximação de Thomsen são a variação da impedância da onda P, ∆Zp /Zp , a variação do módulo de cisalhamento, ∆µ/µ e a variação da
velocidade da onda P, ou sua refletividade, ∆vp /vp .
4.3
Validade das equações aproximadas
Nesta seção testaremos a validade das equações aproximadas por meio de gráficos. Para
isso utilizaremos três modelos estudados por Ostrander (1984). Considere σ1 , σ2 , vp1 , vp2 ,
ρ1 e ρ2 os valores da razão de Poisson, da velocidade da onda P e da densidade na camada
superior e inferior, respectivamente. O primeiro modelo considera que não há variação na
razão de Poisson entre as camadas. Foram utilizados os valores σ1 = σ2 = 0, 3. O segundo
modelo considera que a razão de Poisson da camada superior é maior que da camada inferior
e utilizados os valores σ1 = 0, 4 e σ2 = 0, 1. O terceiro modelo considera que a razão de
Poisson da camada superior é menor que da camada inferior e utilizados os valores σ1 = 0, 1
29
e σ2 = 0, 4. Testamos cada modelo para contrastes de velocidade e densidade maiores e
menores que a unidade.
4.3.1
Modelo 1 (σ1 = σ2 )
O modelo 1 apresenta erros inferiores a 10 % numa faixa de 0o a 30o . Para contraste de
velocidade maiores que a unidade (vp2 /vp1 = ρ2 /ρ1 = 1, 25) (Figura 4.1), o erro cresce e
decresce para algumas faixas de ângulos e a aproximação de Bortfeld é a que possui maior
proximidade com a expressão exata, sendo seu erro menor que o das demais aproximações
para uma maior faixa de ângulos (Figura 4.2). Já para o modelo com contrastes de velocidade
e densidade menores que a unidade (vp2 /vp1 = ρ2 /ρ1 = 0, 8) (Figura 4.3) o erro cresce junto
com o ângulo de incidência. A aproximação de Bortfeld tem o comportamento bem distinto
do anterior, sendo a aproximação com maior erro (Figura 4.4).
4.3.2
Modelo 2 (σ1 > σ2 )
O modelo 2 apresenta comportamentos bem distintos para os dois contrastes de velocidade
e densidade. Na Figura 4.5 podemos observar que, para contrastes maiores que a unidade,
as curvas das equações aproximadas se afastam da curva da expressão exata, a medida que
os ângulos de incidência crescem e sofrem uma diminuição para grandes ângulos. O erro
é extremamente elevado, crescendo abruptamente com o ângulo de incidência, conforme
mostrado na Figura 4.6. Neste caso a aproximação de Bortfeld apresenta-se um pouco mais
próxima à curva exata. As curva das equações aproximadas para contrastes menores que a
unidade são muito mais próximas da exata (Figura 4.7). Podemos observar, de acordo com
a Figura 4.8, que os erros são inferiores a 10 % para todas as faixas de ângulos utilizadas.
Analizando estas curvas podemos ver a grande influência da variação da razão de Poisson
no coeficiente de reflexão quando modificamos os contrastes do demais parâmetros elásticos.
4.3.3
Modelo 3 (σ1 < σ2 )
O modelo 3 tem um comportamento oposto ao do modelo 2, visto que, neste caso, a razão de
Poisson do meio superior é menor do que a do meio inferior. Para contrastes de velocidade
e densidade maiores que a unidade os erros geralmente são inferiores a 10 % para uma faixa
de ângulos de 30o (Figuras 4.9 e 4.10). Neste caso a aproximação de Shuey é mais próxima
da exata. Para contrastes de velocidade e densidade menores que a unidade, as curvas das
equações aproximadas se afastam da curva exata conforme aumenta o ângulo de incidência
(Figuras 4.11 e 4.12). Este comportamento é muito parecido com o que ocorre no modelo
2, contudo, naquele caso os contrastes de velocidade e densidade são menores que a unidade
(Figuras 4.5 e 4.6). Neste modelo a aproximação de Bortfeld é a que possui o maior erro.
30
0.6
Exata
Aki e Richards
Thomsen
Bortfeld
Shuey
Coeficiente de reflexao
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
10
20
30
Angulo de incidencia (graus)
40
50
Figura 4.1: Modelo 1: comparação da curva exata do coeficiente de reflexão com
as equações aproximadas para σ1 = σ2 = 0, 3 e vp2 /vp1 = ρ2 /ρ1 = 1, 25.
40
Aki e Richards
Thomsen
Bortfeld
Shuey
35
30
Erro (%)
25
20
15
10
5
0
0
10
20
30
Angulo de incidencia (graus)
40
50
Figura 4.2: Modelo 1: erro percentual entre as equações aproximadas e a curva
exata do coeficiente de reflexão para σ1 = σ2 = 0, 3 e vp2 /vp1 = ρ2 /ρ1 =
1, 25.
31
0.2
Exata
Aki e Richards
Thomsen
Bortfeld
Shuey
Coeficiente de reflexao
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
0
10
20
30
Angulo de incidencia (graus)
40
50
Figura 4.3: Modelo 1: comparação da curva exata do coeficiente de reflexão com
as equações aproximadas para σ1 = σ2 = 0, 3 e vp2 /vp1 = ρ2 /ρ1 = 0, 8.
40
Aki e Richards
Thomsen
Bortfeld
Shuey
35
30
Erro (%)
25
20
15
10
5
0
0
10
20
30
Angulo de incidencia (graus)
40
50
Figura 4.4: Modelo 1: erro percentual entre as equações aproximadas e a curva
exata do coeficiente de reflexão para σ1 = σ2 = 0, 3 e vp2 /vp1 = ρ2 /ρ1 =
0, 8.
32
0.3
Exata
Aki e Richards
Thomsen
Bortfeld
Shuey
Coeficiente de reflexao
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3
0
10
20
30
Angulo de incidencia (graus)
40
50
Figura 4.5: Modelo 2: comparação da curva exata do coeficiente de reflexão com
as equações aproximadas para σ1 = 0, 4, σ2 = 0, 1 e vp2 /vp1 = ρ2 /ρ1 =
1, 25.
40
Aki e Richards
Thomsen
Bortfeld
Shuey
35
30
Erro (%)
25
20
15
10
5
0
0
10
20
30
Angulo de incidencia (graus)
40
50
Figura 4.6: Modelo 2: erro percentual entre as equações aproximadas e a curva
exata do coeficiente de reflexão para σ1 = 0, 4, σ2 = 0, 1 e vp2 /vp1 =
ρ2 /ρ1 = 1, 25.
33
0
Exata
Aki e Richards
Thomsen
Bortfeld
Shuey
Coeficiente de reflexao
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
-0.5
-0.6
0
10
20
30
Angulo de incidencia (graus)
40
50
Figura 4.7: Modelo 2: comparação da curva exata do coeficiente de reflexão com as
equações aproximadas para σ1 = 0, 4, σ2 = 0, 1 e vp2 /vp1 = ρ2 /ρ1 = 0, 8.
40
Aki e Richards
Thomsen
Bortfeld
Shuey
35
30
Erro (%)
25
20
15
10
5
0
0
10
20
30
Angulo de incidencia (graus)
40
50
Figura 4.8: Modelo 2: erro percentual entre as equações aproximadas e a curva
exata do coeficiente de reflexão para σ1 = 0, 4, σ2 = 0, 1 e vp2 /vp1 =
ρ2 /ρ1 = 0, 8.
34
0.8
Exata
Aki e Richards
Thomsen
Bortfeld
Shuey
Coeficiente de reflexao
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0
10
20
30
Angulo de incidencia (graus)
40
50
Figura 4.9: Modelo 3: comparação da curva exata do coeficiente de reflexão com
as equações aproximadas para σ1 = 0, 1, σ2 = 0, 4 e vp2 /vp1 = ρ2 /ρ1 =
1, 25.
40
Aki e Richards
Thomsen
Bortfeld
Shuey
35
30
Erro (%)
25
20
15
10
5
0
0
10
20
30
Angulo de incidencia (graus)
40
50
Figura 4.10: Modelo 3: erro percentual entre as equações aproximadas e a curva
exata do coeficiente de reflexão para σ1 = 0, 1, σ2 = 0, 4 e vp2 /vp1 =
ρ2 /ρ1 = 1, 25.
35
0.3
Exata
Aki e Richards
Thomsen
Bortfeld
Shuey
Coeficiente de reflexao
0.2
0.1
0
-0.1
-0.2
-0.3
0
10
20
30
Angulo de incidencia (graus)
40
50
Figura 4.11: Modelo 3: comparação da curva exata do coeficiente de reflexão com
as equações aproximadas para σ1 = 0, 1, σ2 = 0, 4 e vp2 /vp1 = ρ2 /ρ1 =
0, 8.
40
Aki e Richards
Thomsen
Bortfeld
Shuey
35
30
Erro (%)
25
20
15
10
5
0
0
10
20
30
Angulo de incidencia (graus)
40
50
Figura 4.12: Modelo 3: erro percentual entre as equações aproximadas e a curva
exata do coeficiente de reflexão para σ1 = 0, 1, σ2 = 0, 4 e vp2 /vp1 =
ρ2 /ρ1 = 0, 8.
36
4.4
Discussão dos resultados
As equações aproximadas do coeficiente de reflexão sı́smico apresentaram comportamentos
semelhantes nos três modelos analisados. No modelo 1 os erros foram inferiores a 10 % para
ângulos de incidência de até 30o , para ambos contrastes de velocidade e densidade considerados. O modelo 2 apresenta dois comportamentos totalmente distintos: para contrastes
de velocidade e densidade maiores que a unidade, a curva exata tem um comportamento
distinto das demais curvas aproximadas, o que é bem explı́cito na Figura 4.6. Para contrastes de velocidade e densidade menores que a unidade, as curvas das equações aproximadas
apresentam uma boa acurácia para todos os ângulos de incidência considerados. No modelo
3 as equações aproximadas têm uma boa acurácia para ângulos até 30o , considerando contrastes de velocidade e densidade maiores que a unidade. No segundo caso (Figuras 4.11 e
4.12), o modelo 3 é muito semelhante ao modelo 2 (Figuras 4.5 e 4.6), evidênciando a grande
influência da razãode Poisson no comportamento do coeficiente de reflexão.
CAPÍTULO 5
Análise dos autovalores e autovetores
Os problemas inversos são formulados de acordo com a equação d = Gm (seção 3.1).
Na análise de AVO utilizamos a mesma relação em função do ângulo de incidência:
d(θ)obs = G(θ)m ,
(5.1)
onde, d(θ)obs é o vetor de dados observados, que são os valores do coeficiente de reflexão
variando com o ângulo de incidência, m é o vetor dos parâmetros do modelo, que são os
parâmetros elásticos contidos nas equações aproximadas e G(θ) é a matriz que contém os
coeficientes de cada equação em função do ângulo de incidência.
A análise dos autovalores e autovetores das equações aproximadas é feita aplicando a
técnica SVD na matriz G(θ) (conforme mostrado na seção 3.2):
G(θ) = U (θ)ΣV T ,
(5.2)
onde U (θ) é a matriz que contém os autovetores no espaço dos dados, Σ é a matriz diagonal que contém os autovalores, e V é a matriz que contém os autovetores no espaço dos
parâmetros.
Para estudarmos o comportamento dos autovalores e dos autovetores dos parâmetros do
modelo e definirmos quais os melhores parâmetros a serem estimados na inversão, utilizamos
a seguinte relação:
GT (θ)G(θ) = V Σ2 V T .
(5.3)
A energia de cada componente é dada pelo seu correspondente autovalor. Segundo
Nicolao et al. (1993), se a ordem de magnitude dos autovalores for muito diferente, então
uma razão sinal/ruı́do elevada é necessária para a estimativa do sinal em direções de baixa
energia.
Os autovetores no espaço dos dados são obtidos invertendo a equação 5.2:
37
38
U (θ) = G(θ)V Σ−1 .
(5.4)
O efeito de amplitude versus ângulo de incidência são descritos pelos autovetores no
espaço dos dados.
5.1
Análise da sensibilidade das expressões linearizadas
As expressões linearizadas do coeficiente de reflexão podem ser representadas matricialmente
e escritas em uma forma geral:
RP P (θ) ≈ g11 m1 + g12 m2 + g13 m3 ,
(5.5)
onde g1j são os elementos da matriz G(θ) e mi são os parâmetros a serem estimados. Neste
caso a matriz G(θ) pode ser representada por K valores discretos de θ:
h
G(θk ) =
i
g11 (θk ) g12 (θk ) g13 (θk )
, k ∈ {0, 1, 2, ..., K − 1} .
(5.6)
A matriz GT (θk )G(θk ) é dada por (Barros, 1997):

P
g11 (θk )2
P
g11 (θk )g12 (θk )
P
g31 (θk )g11 (θk )


 P
P
P
T
G (θk )G(θk ) = 
g11 (θk )g12 (θk )
g12 (θk )2
g12 (θk )g13 (θk )



P
P
P
g13 (θk )g11 (θk )
g12 (θk )g13 (θk )
g13 (θk )2




.



(5.7)
Consideremos que o espaço dos dados vai da incidência normal (θ = 0o ) até um ângulo
máximo θmax , que é menor que o ângulo crı́tico, e também que os dados são amostrados
uniformemente para ângulos de incidência com intervalo de amostragem ∆θ.
Estudaremos a sensibilidade do processo de inversão para as aproximações de Aki e
Richards, Shuey e Thomsen. Nas tabelas 5.1 e 5.2 apresentamos estas aproximações em
termos da equação 5.1. O coeficiente de reflexão é o vetor de dados observados, d(θk )obs , a
matriz G(θk ) representa os termos de cada equação em função de θk e os três parâmetros
são representados pelo vetor m. Para as aproximações de Aki e Richards e Thomsem, a
√
refletividade depende do parâmetro vp /vs . Nesta análise será utilizado o valor 3 para esta
razão (Nicolao et al., 1993), que corresponde a σ = 0, 25.
39
d(θk )obs
G(θk )
"
#
µ ¶2
1
vs
2
1−4
sen θk
2
vp
µ
¶2
[1] RP P (θk )
1
2 cos2 θk
[2] RP P (θk )
1
2
sen2 θk
1
(tan2 θk − sen2 θk )
2
[3] RP P (θk )
1
2
µ ¶2
vs
2
sen2 θk
vp
1
tan2 θk
2
vs
4
vp
sen2 θk
Tabela 5.1: Cada coeficiente de reflexão é representado pelo vetor de dados observados,
d(θk )obs . A matriz G(θk ) é formada pelos termos dependentes de θk , utilizados na análise
de sensibilidade. [1] corresponde à aproximação de Aki e Richards; [2] corresponde à aproximação de Shuey; [3] corresponde à aproximação de Thomsen.
m
[1]
∆vp
vp
[2]
∆Zp
Zp
[3]
∆Zp
Zp
∆ρ
ρ
·
A 0 R0 +
∆σ
(1 − σ)2
∆µ
µ
∆vs
vs
¸
∆vp
vp
∆vp
vp
Tabela 5.2: Parâmetros de cada uma das equações aproximadas, representadas pelo vetor m.
[1] corresponde à aproximação de Aki e Richards; [2] corresponde à aproximação de Shuey;
[3] corresponde à aproximação de Thomsen.
40
5.1.1
Autovalores
Os três autovalores são função do ângulo máximo de incidência e são medidos em dB (escala
logarı́tmica onde 20 dB correspondem a uma razão de 10 na amplitude do sinal ou 100
na energia do sinal). Na aproximação de Aki e Richards (Figura 5.1) o primeiro autovalor
contém quase toda a energia do sinal. Para um ângulo de incidência máximo de 30o , a energia
associada ao primeiro autovalor é 100 vezes maior que a energia associada ao segundo e 10000
vezes maior que a energia associada ao terceiro. O segundo autovalor é desprezı́vel para
pequenos ângulos de incidência, crescendo a medida que os ângulos de incidência aumentam.
Para grandes ângulos, o segundo autovalor é 10 a 15 dB menor que o primeiro autovalor. O
terceiro autovalor é o de mais baixa energia, sendo facilmente suplantado por ruı́do (Nicolao
et al., 1993). A análise dos autovalores para as aproximações de Shuey e Thomsen (Figuras
5.2 e 5.3) apresentam um comportamento semelhante ao observado na aproximação de Aki
e Richards, sofrendo variações não muito significativas.
20
autovalor 1
autovalor 2
autovalor 3
Autovalores (dB)
0
-20
-40
-60
-80
0
10
20
30
Angulo maximo de incidencia (graus)
40
50
Figura 5.1: Comportamento dos autovalores em função do ângulo máximo de incidência (aproximação de Aki e Richards).
Em seguida calculamos o número de condição do sistema afim de testar seu condicionamento. Se o número de condição for próximo da unidade então o sistema é dito bem
condicionado (Capı́tulo 3). De acordo com a Figura 5.4, as aproximações apresentam um
número de condição relativamente elevado para pequenos ângulos de incidência, diminuindo
consideravelmente para um número de ângulos mais elevados. Isso evidencia a dificuldade
de se obter um boa estimativa de todos os parâmetros no processo de inversão.
41
20
autovalor 1
autovalor 2
autovalor 3
Autovalores (dB)
0
-20
-40
-60
-80
0
10
20
30
40
50
Angulo maximo de incidencia (graus)
Figura 5.2: Comportamento dos autovalores em função do ângulo máximo de incidência (aproximação de Shuey).
20
autovalor 1
autovalor 2
autovalor 3
Autovalores (dB)
0
-20
-40
-60
-80
0
10
20
30
40
50
Angulo maximo de incidencia (graus)
Figura 5.3: Comportamento dos autovalores em função do ângulo máximo de incidência (aproximação de Thomsen).
5.1.2
Autovetores no espaço dos modelos
A análise dos autovetores no espaço dos modelos tem como objetivo determinar quais
parâmetros podem ser obtidos com melhor eficácia no processo de inversão. Para isso calculamos os cossenos diretores de cada autovetor e analisamos a direção que cada um aponta.
Estudando o autovetor associado ao primeiro autovalor na aproximação de Aki e Richards
42
140
Aki e Richards
Shuey
Thomsen
Numero de condicao
120
100
80
60
40
20
0
10
20
30
40
50
Angulo maximo de incidencia (graus)
Figura 5.4: Número de condição das três equações aproximadas utilizadas na análise
de sensibilidade.
(Figura 5.5) verificamos que para pequenos ângulos a variação na velocidade da onda P (autovetor 1) e a variação da densidade (autovetor 2) são aproximadamente iguais, enquanto
que a variação na velocidade da onda S (autovetor 3) é quase nula. Logo, o primeiro vetor
aponta na direção da impedância da onda P:
∆Zp
∆ρ ∆vp
=
+
.
Zp
ρ
vp
(5.8)
O autovetor correspondente ao segundo autovalor (Figura 5.6) aponta para o somatório
da variação na velocidade da onda S com a variação da densidade, obtendo assim, a impedância da onda S:
∆ρ ∆vs
∆Zs
=
.
+
Zs
ρ
vs
(5.9)
O autovetor correspondente ao terceiro autovalor (Figura 5.7) possui energia muito
baixa, não indicando nenhuma propriedade fı́sica em especial. É dado pela seguinte combinação linear:
−
∆ρ ∆vp ∆vs
+
+
.
ρ
vp
vs
(5.10)
Com base nestes resultados, podemos reformular a equação 4.11 em termos das impedâncias das ondas P e S obtendo:
43
"
#
µ ¶2
µ ¶2
∆Z
v
∆Z
v
1
1
∆ρ
p
s
s
s
RP P (θ) ≈ (1 + tan2 θ)
−4
sen2 θ
−
tan2 θ − 2
sen2 θ
, (5.11)
2
Zp
vp
Zs
2
vp
ρ
para, em seguida, compararmos os resultados obtidos no processo de inversão e verificar a
acurácia da análise de sensibilidade. Denominaremos a equação 4.11 de primeira parametrização e a equação 5.11 de segunda.
1.5
autovetor 1
autovetor 2
autovetor 3
Cossenos diretores
1
0.5
0
-0.5
0
10
20
30
Angulo maximo de incidencia (graus)
40
50
Figura 5.5: Cossenos diretores dos autovetores correspondentes ao primeiro autovalor calculados pela aproximação de Aki e Richards.
Na aproximação de Shuey o autovetor correspondente ao primeiro autovalor (Figura 5.8)
aponta na direção do valor da variação da impedância da onda P, ∆Zp /Zp (autovetor 1). O
autovetor correspondente ao segundo autovalor (Figura 5.9) aponta na direção da variação
da razão de Poisson (autovetor 2). O autovetor correspondente ao terceiro autovalor (Figura
5.10) aponta na direção da variação na velocidade da onda P (autovetor 3).
Na aproximação de Thomsen o autovetor correspondente ao primeiro autovalor (Figura
5.11) aponta na direção de ∆Zp /Zp (autovetor 1), especialmente para ângulos inferiores
a 30o . O autovetor correspondente ao segundo autovalor (Figura 5.12) aponta para uma
combinação não normalizada de:
44
1.5
autovetor 1
autovetor 2
autovetor 3
Cossenos diretores
1
0.5
0
-0.5
0
10
20
30
40
50
Angulo maximo de incidencia (graus)
Figura 5.6: Cossenos diretores dos autovetores correspondentes ao segundo autovalor calculados pela aproximação de Aki e Richards.
1
autovetor 1
autovetor 2
autovetor 3
Cossenos diretores
0.5
0
-0.5
-1
0
10
20
30
40
50
Angulo maximo de incidencia (graus)
Figura 5.7: Cossenos diretores dos autovetores correspondentes ao terceiro autovalor calculados pela aproximação de Aki e Richards.
∆µ ∆vp
−
,
µ
vp
(5.12)
onde, ∆µ/µ e ∆vp /vp representam o autovetor 2 e o autovetor 3, respectivamente.
O autovetor correspondente ao terceiro autovalor (Figura 5.13) aponta para uma combinação linear dos mesmos parâmetros do segundo autovetor.
45
1.5
autovetor 1
autovetor 2
autovetor 3
Cossenos diretores
1
0.5
0
-0.5
0
10
20
30
40
50
Angulo maximo de incidencia (graus)
Figura 5.8: Cossenos diretores dos autovetores correspondentes ao primeiro autovalor calculados pela aproximação de Shuey.
1.5
autovetor 1
autovetor 2
autovetor 3
Cossenos diretores
1
0.5
0
-0.5
0
10
20
30
Angulo maximo de incidencia (graus)
40
50
Figura 5.9: Cossenos diretores dos autovetores correspondentes ao segundo autovalor calculados pela aproximação de Shuey.
46
1.5
autovetor 1
autovetor 2
autovetor 3
Cossenos diretores
1
0.5
0
-0.5
0
10
20
30
40
50
Angulo maximo de incidencia (graus)
Figura 5.10: Cossenos diretores dos autovetores correspondentes ao terceiro autovalor calculados pela aproximação de Shuey.
1.5
autovetor 1
autovetor 2
autovetor 3
Cossenos diretores
1
0.5
0
-0.5
0
10
20
30
Angulo maximo de incidencia (graus)
40
50
Figura 5.11: Cossenos diretores dos autovetores correspondentes ao primeiro autovalor calculados pela aproximação de Thomsen.
47
1
autovetor 1
autovetor 2
autovetor 3
Cossenos diretores
0.5
0
-0.5
-1
0
10
20
30
40
50
Angulo maximo de incidencia (graus)
Figura 5.12: Cossenos diretores dos autovetores correspondentes ao segundo autovalor calculados pela aproximação de Thomsen.
1.5
autovetor 1
autovetor 2
autovetor 3
Cossenos diretores
1
0.5
0
-0.5
0
10
20
30
40
50
Angulo maximo de incidencia (graus)
Figura 5.13: Cossenos diretores dos autovetores correspondentes ao terceiro autovalor calculados pela aproximação de Thomsen.
5.2
Discussão dos resultados
A análise dos autovalores e autovetores no espaço dos modelos trazem valiosas informações
sobre os parâmetros a serem obtidos no processo de inversão. Os autovalores, calculados
pela técnica SVD, revelaram a grande dificuldade de se obter os três parâmetros explicitados
em cada equação aproximada. As Figuras 5.1, 5.2 e 5.3 mostram que somente o primeiro
48
autovalor pode trazer alguma informação para todos os ângulos máximos de incidência considerados. O segundo autovalor é relevante apenas para grandes ângulos e o terceiro autovalor
é desprezı́vel. A utilização dos três autovalores no processo de inversão pode trazer sérios
problemas na estimativa dos parâmetros.
Os autovetores no espaço dos modelos, obtidos por SVD, revelam quais parâmetros serão
melhor obtidos no processo de inversão. Na aproximação de Aki e Richards (Figuras 5.5, 5.6
e 5.7), os parâmetros não são bem determinados individuamente, sendo uma combinação dos
mesmos mais apropriado para a estimativa dos mesmos, conforme mostrado nas equações 5.8
e 5.9. Neste caso, as propriedades fı́sicas melhor estimadas seriam as impedâncias das ondas
P e S ao invés de ∆vp /vp , ∆ρ/ρ e ∆vs /vs . Na aproximação de Shuey, cada autovetor aponta
na direção de um parâmetro diferente, evidenciando a possibilidade de uma estimativa de
cada parâmetro individualmente, exatamente o oposto do que ocorreu com a aproximação
de Aki e Richards. Na aproximação de Thomsen apenas o autovetor associado ao primeiro
autovalor aponta na direção de um parâmetro especı́fico (neste caso, ∆Zp /Zp ). Os demais
autovetores não apontam para nenhum parâmetro que indique alguma propriedade fı́sica em
especial.
CAPÍTULO 6
Inversão linear de AVO
6.1
Introdução
A inversão linear de AVO tem como objetivo a recuperação de parâmetros elásticos por
meio das equações aproximadas, que são as bases teóricas da análise de AVO. Cada equação
traz consigo três parâmetros bem explicitados que podem ser estimados se conhecemos o
coeficiente de reflexão. Conforme mostrado na equação 3.15, podemos estimar os parâmetros
de um determinado modelo utilizando uma solução de mı́nimos quadrados. Contudo, a
inversa clássica da matriz GT G pode ser substituı́da pela inversa generalizada, que é obtida
pela técnica SVD (equação 3.17). Desta forma, os parâmetros elásticos a serem estimados
pela inversão linear de AVO são calculados de acordo com a equação:
+
mest = (GT G) GT dobs .
(6.1)
Os dados observados representam o coeficiente de reflexão em função do ângulo de incidência e os parâmetros a serem estimados representam os parâmetros elásticos explicitados
em cada aproximação. Utilizaremos apenas as aproximações que foram submetidas à análise
de sensibilidade (Aki e Richards, Shuey e Thomsen).
É importante salientar que as equações aproximadas estão submetidas à limitações que
possibilitam a linearização da modelagem elástica e da inversão. A limitação de pequenos
contrastes nos parâmetros simplifica a determinação da estimativa dos parâmetros elásticos,
mas provoca uma perda de informação, pois o modelo linearizado representa uma aproximação e está, também, limitado a valores de ângulos de incidência inferiores ao ângulo
crı́tico.
A inversão linear de AVO que, neste caso, é baseada nas aproximações para pequenos
contrastes, relaciona linearmente o coeficiente de reflexão aos contrastes nos parâmetros
elásticos.
49
50
6.2
Inversão de dados sintéticos
Utilizamos para inversão o modelo estudado por Ostrander (1984). Este modelo consiste
em um reservatório arenoso encaixado em um pacote de folhelho e preenchido por gás. Os
testes foram feitos para duas interfaces. A primeira interface corresponde ao topo da camada
(folhelho/arenito) e a segunda interface corresponde à base da camada (arenito/folhelho).
A tabela abaixo mostra os valores da velocidade da onda P, da velocidade da onda S, da
densidade e da razão de Poisson, em cada camada:
Camada
Litologia
vp (m/s)
1
2
3
Folhelho
Arenito com gás
Folhelho
3048
2438,4
3048
vs (m/s) ρ (g/cm3 )
1244,3
1625,6
1244,3
2,40
2,14
2,40
σ
0,40
0,10
0,40
Tabela 6.1: Reservatório preenchido com gás utilizado para inversão de dados sintéticos.
Extraı́do de Ostrander (1984).
Aplicamos a inversão para uma grande faixa de ângulos máximos de incidência, verificando como cada parâmetro se comporta em cada intervalo considerado. Foram considerados
ângulos de 0o a 50o . Analisamos o topo e a base de cada camada, para cada aproximação
utilizada.
6.2.1
Aproximação de Aki e Richards
Os três parâmetros a serem estimados na primeira parametrização da aproximação de Aki
e Richards (equação 4.11) são: a refletividade da onda P, ∆vp /vp (parâmetro 1), a variação
da densidade, ∆ρ/ρ (parâmetro 2) e a refletividade da onda S, ∆vs /vs (parâmetro 3).
O resultado da inversão do topo da camada está mostrado na Figura 6.1. A estimativa dos parâmetros utilizando três autovalores é deficiente, mas quando truncamos os dois
menores os resultados são melhorados. Conforme demonstrado na análise de sensibilidade,
o primeiro e o segundo parâmetro podem ser bem recuperados, sendo o primeiro parâmetro
melhor estimado para uma faixa de ângulos inferior a 30o (Figura 6.2). O terceiro parâmetro
é muito difı́cil de ser recuperado, não sendo possı́vel uma boa estimativa no processo de
inversão.
O resultado da inversão da base da camada está mostrado na Figura 6.3. Podemos
observar que a estimativa do primeiro parâmetro para ângulos máximos de incidência na
faixa de aproximadamente 30o e 50o é muito boa, com erros inferiores a 10 % (Figura 6.4).
51
O segundo parâmetro só é bem estimado para um ângulo máximo de 50o , onde seu erro é
um pouco menor que 20 %. A estimativa do terceiro parâmetro é muito ruim devido ao alto
erro percentual.
Utilizamos ainda a segunda parametrização da aproximação de Aki e Richards (equação
5.11). Os três parâmetros a serem obtidos são: a variação da impedância da onda P, ∆Zp /Zp
(parâmetro 1), a variação da impedância da onda S, ∆Zs /Zs (parâmetro 2) e a variação da
densidade, ∆ρ/ρ (parâmetro 3).
A Figura 6.5 mostra o resultado da inversão no topo da camada. O primeiro parâmetro
é bem obtido para todos os ângulos de incidência, corroborando perfeitamente com a análise
de sensibilidade. O erro aumenta para grandes ângulos de incidência (Figura 6.6) sendo
inferior a 10 % para um ângulo máximo de 50o . A estimativa do primeiro parâmetro para
esta parametrização é muito melhor que na anterior. Entretanto, isso não ocorre para o
segundo parâmetro que, apesar de apresentar uma aproximação do valor exato para grandes
ângulos, é difı́cil de ser estimado. A obtenção terceiro parâmetro é muito inconsistente.
A inversão na base (Figura 6.7) da camada tem poucas diferenças em relação ao topo.
O primeiro parâmetro ainda é bem estimado, contudo, limitando-se a uma faixa de ângulos
de 0o a 35o . Os demais parâmetros, apesar da diminuição do erro para grandes ângulos, são
difı́ceis de serem estimados (Figura 6.8).
6.2.2
Aproximação de Shuey
Os três parâmetros a serem estimados na aproximação de Shuey são: a variação da impedância da onda P, ∆Zp /Zp (parâmetro 1), a variação da razão de Poisson (parâmetro 2)
e a refletividade da onda P, ∆vp /vp (parâmetro 3).
O primeiro parâmetro é o único que pode ser obtido no topo da camada (Figura 6.9). O
erro é inferior a 10 %, diminuindo junto com o ângulo de incidência (Figura 6.10). O segundo
e terceiro parâmetros são muito difı́ceis de serem estimados, visto que há uma discrepância
muito grande entre os valores estimados e exatos. Entretanto, esta diferença diminui com o
aumento do ângulo de incidência, mas ainda não é suficiente para uma boa estimativa.
Na base da camada os parâmetros, de um modo geral, são bem estimados para grandes
ângulos de incidência (Figura 6.11). O primeiro parâmetro é bem recuperado para pequenos
ângulos, numa faixa de 0o a 20o , com erro inferior a 10 %, porém a estimativa se torna
ruim numa faixa entre 20o e 45o , conforme mostrado na Figura 6.12. A melhor estimativa
deste parâmetro encontra-se próximo a 50o , assim como ocorre para o segundo e terceiro
parâmetros.
52
1.2
parametro 1 (exato)
parametro 2 (exato)
parametro 3 (exato)
parametro 1 (estimado)
parametro 2 (estimado)
parametro 3 (estimado)
1
Parametros do modelo
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
0
10
20
30
Angulo maximo de incidencia (graus)
40
50
Figura 6.1: Resultado da inversão de dados sintéticos usando a aproximação de Aki
e Richards (4.11) na interface folhelho/arenito (topo da camada).
120
parametro 1 (estimado)
parametro 2 (estimado)
parametro 3 (estimado)
100
Erro (%)
80
60
40
20
0
0
10
20
30
Angulo maximo de incidencia (graus)
40
50
Figura 6.2: Aproximação de Aki e Richards (4.11): erro percentual entre os
parâmetros exatos e os parâmetros estimados (topo da camada).
53
1.2
parametro 1 (exato)
parametro 2 (exato)
parametro 3 (exato)
parametro 1 (estimado)
parametro 2 (estimado)
parametro 3 (estimado)
1
Parametros do modelo
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
0
10
20
30
Angulo maximo de incidencia (graus)
40
50
Figura 6.3: Resultado da inversão de dados sintéticos usando a aproximação de Aki
e Richards (4.11) na interface arenito/folhelho (base da camada).
120
parametro 1 (estimado)
parametro 2 (estimado)
parametro 3 (estimado)
100
Erro (%)
80
60
40
20
0
0
10
20
30
Angulo maximo de incidencia (graus)
40
50
Figura 6.4: Aproximação de Aki e Richards (4.11): erro percentual entre os
parâmetros exatos e os parâmetros estimados (base da camada).
54
1.2
parametro 1 (exato)
parametro 2 (exato)
parametro 3 (exato)
parametro 1 (estimado)
parametro 2 (estimado)
parametro 3 (estimado)
1
Parametros do modelo
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
0
10
20
30
Angulo maximo de incidencia (graus)
40
50
Figura 6.5: Resultado da inversão de dados sintéticos usando a aproximação de Aki
e Richards (5.11) na interface folhelho/arenito (topo da camada).
120
parametro 1 (estimado)
parametro 2 (estimado)
parametro 3 (estimado)
100
Erro (%)
80
60
40
20
0
0
10
20
30
Angulo maximo de incidencia (graus)
40
50
Figura 6.6: Aproximação de Aki e Richards (5.11): erro percentual entre os
parâmetros exatos e os parâmetros estimados (topo da camada).
55
1.2
parametro 1 (exato)
parametro 2 (exato)
parametro 3 (exato)
parametro 1 (estimado)
parametro 2 (estimado)
parametro 3 (estimado)
1
Parametros do modelo
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
0
10
20
30
Angulo maximo de incidencia (graus)
40
50
Figura 6.7: Resultado da inversão de dados sintéticos usando a aproximação de Aki
e Richards (5.11) na interface arenito/folhelho (base da camada).
120
parametro 1 (estimado)
parametro 2 (estimado)
parametro 3 (estimado)
100
Erro (%)
80
60
40
20
0
0
10
20
30
Angulo maximo de incidencia (graus)
40
50
Figura 6.8: Aproximação de Aki e Richards (5.11): erro percentual entre os
parâmetros exatos e os parâmetros estimados (base da camada).
56
1.2
parametro 1 (exato)
parametro 2 (exato)
parametro 3 (exato)
parametro 1 (estimado)
parametro 2 (estimado)
parametro 3 (estimado)
1
Parametros do modelo
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
0
10
20
30
Angulo maximo de incidencia (graus)
40
50
Figura 6.9: Resultado da inversão de dados sintéticos usando a aproximação de
Shuey na interface folhelho/arenito (topo da camada).
120
parametro 1 (estimado)
parametro 2 (estimado)
parametro 3 (estimado)
100
Erro (%)
80
60
40
20
0
0
10
20
30
Angulo maximo de incidencia (graus)
40
50
Figura 6.10: Aproximação de Shuey: erro percentual entre os parâmetros exatos e
os parâmetros estimados (topo da camada).
57
1.2
parametro 1 (exato)
parametro 2 (exato)
parametro 3 (exato)
parametro 1 (estimado)
parametro 2 (estimado)
parametro 3 (estimado)
1
Parametros do modelo
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
0
10
20
30
Angulo maximo de incidencia (graus)
40
50
Figura 6.11: Resultado da inversão de dados sintéticos usando a aproximação de
Shuey na interface arenito/folhelho (base da camada).
120
parametro 1 (estimado)
parametro 2 (estimado)
parametro 3 (estimado)
100
Erro (%)
80
60
40
20
0
0
10
20
30
Angulo maximo de incidencia (graus)
40
50
Figura 6.12: Aproximação de Shuey: erro percentual entre os parâmetros exatos e
os parâmetros estimados (base da camada).
58
6.2.3
Aproximação de Thomsen
Os três parâmetros a serem estimados na aproximação de Thomsen são: a variação da
impedância da onda P, ∆Zp /Zp (parâmetro 1), a variação do módulo de cisalhamento ∆µ/µ
(parâmetro 2) e a refletividade da onda P, ∆vp /vp (parâmetro 3).
O resultado da inversão utilizando a aproximação de Thomsen para o topo da camada
está na Figura 6.13. Neste caso o pior parâmetro a ser obtido é o segundo e não o terceiro,
como ocorre com as aproximações de Aki e Richards e Shuey. A estimativa do primeiro
parâmetro é boa para ângulos inferiores a 30o , com erro menor que 10 % (Figura 6.14). O
segundo e o terceiro parâmetros não podem ser estimados com precisão devido ao alto erro
percentual.
Na Figura 6.15 temos o resultado da inversão para a base da camada. Neste caso o primeiro e o terceiro parâmetros podem ser determinados para um ângulo máximo de incidência
próximo a 50o , sendo que o primeiro parâmetro pode ser determinado para pequenos ângulos
de incidência, com erro inferior a 5 % (Figura 6.16). O segundo parâmetro é obtido com
muita inconsistência.
1.2
parametro 1 (exato)
parametro 2 (exato)
parametro 3 (exato)
parametro 1 (estimado)
parametro 2 (estimado)
parametro 3 (estimado)
1
Parametros do modelo
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
0
10
20
30
Angulo maximo de incidencia (graus)
40
50
Figura 6.13: Resultado da inversão de dados sintéticos usando a aproximação de
Thomsen na interface folhelho/arenito (topo da camada).
59
120
parametro 1 (estimado)
parametro 2 (estimado)
parametro 3 (estimado)
100
Erro (%)
80
60
40
20
0
0
10
20
30
Angulo maximo de incidencia (graus)
40
50
Figura 6.14: Aproximação de Thomsen: erro percentual entre os parâmetros exatos
e os parâmetros estimados (topo da camada).
1.2
parametro 1 (exato)
parametro 2 (exato)
parametro 3 (exato)
parametro 1 (estimado)
parametro 2 (estimado)
parametro 3 (estimado)
1
Parametros do modelo
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
0
10
20
30
Angulo maximo de incidencia (graus)
40
50
Figura 6.15: Resultado da inversão de dados sintéticos usando a aproximação de
Thomsen na interface arenito/folhelho (base da camada).
60
120
parametro 1 (estimado)
parametro 2 (estimado)
parametro 3 (estimado)
100
Erro (%)
80
60
40
20
0
0
10
20
30
Angulo maximo de incidencia (graus)
40
50
Figura 6.16: Aproximação de Thomsen: erro percentual entre os parâmetros exatos
e os parâmetros estimados (base da camada).
6.3
Discussão dos resultados
A análise da sensibilidade do processo de inversão das expressões linearizadas (Capı́tulo
5) mostrou o mal condicionamento do problema, indicando que um dos parâmetros é bem
invertido, o segundo se restringe a uma faixa limitada de ângulos e o terceiro é muito difı́cil
de ser obtido com precisão. Os testes com a aproximação de Aki e Richards mostraram que a
segunda parametrização (equação 5.11) recupera muito bem o primeiro parâmetro (∆Zp /Zp ),
evidenciando que a soma dos parâmetros ∆vp /vp e ∆ρ/ρ é melhor determinada do que cada
um separadamente. Na primeira parametrização (equação 4.11) há uma possibilidade de
determinar o segundo parâmetro (∆ρ/ρ), mas apenas na base da camada.
Apesar de apresentar os parâmetros bem definidos nos testes de sensibilidade, a aproximação de Shuey também apresenta deficiências na estimativa dos parâmetros, restringindose a uma faixa limitada de ângulos. A aproximação de Thomsen apresenta um comportamento distinto das demais aproximações pois neste caso, o pior parâmetro a ser obtido no
processo de inversão é o segundo (∆µ/µ). A inversão da base da camada, de maneira geral, possui erro percentual menor que a inversão do topo da camada tornando possı́vel até
a estimativa do terceiro parâmetro (∆vp /vp ), como ocorre nas aproximações de Shuey e
Thomsen.
Conclusões
Neste trabalho apresentamos uma forma de se obter parâmetros elásticos utilizando
as equações linearizadas do coeficiente de reflexão sı́smico, também denominadas equações
de AVO (Yilmaz, 2001). Estas equações são aproximações da expressão formulada por
Červený et al. (1977). Os fundamentos teóricos do presente trabalho basearam-se na teoria
da elasticidade, na análise de AVO (relação entre o coeficiente de reflexão e os parâmetros
elásticos) e na teoria da inversão. Empregamos a técnica SVD para a análise da sensibilidade
e inversão de dados sintéticos.
As aproximações da expressão exata do coeficiente de reflexão sı́smico apresentam uma
ótima acurácia, quando levamos em consideração pequenos contrastes nos parâmetros e
ângulos de incidência inferiores ao ângulo crı́tico. Testamos a validade das equações aproximadas utilizando um modelo extraı́do de Ostrander (1984) e verificamos a grande influência
que a razão de Poisson tem no coeficiente de reflexão, conforme discutido por Koefoed (1955).
Em todos os testes as aproximações apresentaram um erro inferior a 10 % para ângulos até
30o , com exceção de dois modelos que possuı́am diferenças na razão de Poisson. A tendência
natural das curvas das equações aproximadas é se afastar da curva exata conforme aumenta
o ângulo de incidência. Estudamos as aproximações de Bortfeld, Aki e Richards, Shuey e
Thomsen.
Após estabelecer os limites de validade das aproximações, analisamos os autovalores e
autovetores no espaço dos modelos através da técnica SVD. Com este procedimento obtivemos informações sobre os parâmetros a serem estimados na inversão e o condicionamento
do sistema. A análise dos autovalores revelou a dificuldade de se obter os três parâmetros
no processo de inversão. O primeiro parâmetro pode ser bem determinado, o segundo depende de uma faixa de ângulos de incidência e o terceiro tem uma menor possibilidade de
ser determinado. A análise dos autovetores no espaço dos modelos revelou quais os melhores
parâmetros a serem obtidos para cada autovalor.
A inversão das curvas do coeficiente de reflexão da onda P das equações aproximadas,
de uma forma geral, corroboram com os resultados obtidos na análise de sensibilidade. Estudamos o comportamento de cada parâmetro para ângulos máximos de incidência numa faixa
de 0o a 50o . A matriz inversa foi obtida pela técnica SVD, truncando os dois menores autovalores. Em todas as aproximações estudadas, o primeiro parâmetro é o que apresenta o menor
erro percentual e, a depender do ângulo máximo de incidência, o valor estimado coincide com
o valor exato. Nas aproximações de Aki e Richards e Shuey o segundo parâmetro pode ser
61
62
razoavelmente determinado para ângulos especı́ficos, e sua estimativa se torna menos ruim
quando invertemos a base da camada. Nestas duas aproximações, o terceiro parâmetro não
pode ser obtido com precisão. Na aproximação de Thomsen o segundo parâmetro não pode
ter uma boa estimativa devido ao alto erro percentual.
Sugestão de trabalhos futuros: inversão de AVO em meios anisotrópicos, aplicação de
técnicas de regularização para melhorar a estimativa dos parâmetros no processo de inversão,
inclusão de informação a priori e inversão de AVO usando ondas convertidas.
Agradecimentos
Em primeiro lugar, à Deus que, através do Seu amor e cuidado, me presenteou com
esta conquista.
À minha mãe, Izabel, pelo amor incondicional e por ser um exemplo de nobreza de
caráter e determinação. Aos meus irmãos, Isabela e Adalberto (Betinho), que sempre me
trouxeram alegria e descontração. À minha namorada, Acácia, pelo amor, carinho e dedicação. Ao meu melhor amigo, Jámilson, que sempre me deu forças em todos os momentos.
Ao meu pai, Luiz, por todo apoio nestes últimos anos.
Ao Dr. Amin Bassrei, pela paciência, incentivo, sugestões, crı́ticas e excelente orientação.
Aos membros da banca, Dr. Eduardo Telmo e Dr. Wilson Figueiró.
Aos professores do curso de graduação em Geofı́sica, em especial, à profa Jacira, nossa
queridinha.
À ANP, pelo apoio financeiro em forma de bolsa, e ao coordenador do PRH08 (Programa
de Recursos Humanos da ANP), profo Hédison Sato.
A todos os grandes amigos, em especial, Leandro, Bruno, Drielisson, Gustavo, Ezequiel e
Willian. Aos amigos e colegas da faculdade: Nei Davi, Caio, Felipe, Luiz Eduardo, Fernanda,
Juliana, Vı́tor Cajazeiras, Enok, Leonardo, Alan (tio), Tatiana, Thaı́s, Martonni, Felipe
Terra, Jorge, Lucas, José Nilson, Satinho, Jonatas e Jeferson.
Ao Pr. Edyvaldo Freire e famı́lia, pelo apoio indispensável em momentos de grande
dificuldade.
Aos funcionários do CPGG-UFBA, Joaquim Lago, Zenilda e Marcelinho.
Finalmente, a todos que contribuı́ram, direta ou indiretamente, para a concretização
desta etapa tão importante na minha vida.
63
APÊNDICE A
Dedução das equações de Zoeppritz
As equações de Zoeppritz definem a relação entre as amplitudes das ondas refletidas
e transmitidas e o ângulo de incidência. Neste apêndice demonstra-se como se deduz estas
equações.
Considere o modelo proposto na Figura 2.2, onde há duas camadas com propriedades
fı́sicas distintas, cuja onda P incidente sofre reflexão, transmissão e, consequentemente, conversão PS. Em problemas de propagação de ondas é conveniente a utilização de potenciais
de deslocamento. Considere o vetor deslocamento u = (u, v). Podemos definir agora dois
potenciais de deslocamento: o potencial Φ para a onda P e o potencial Ψ para a onda S.
Estes potenciais, que podem ser escritos em termos dos deslocamentos u e w:
u=
∂Φ ∂Ψ
+
,
∂x
∂z
(A.1)
w=
∂Φ ∂Ψ
−
.
∂z
∂x
(A.2)
e
satisfazem a equação da onda. Modificando a equação da dilatação (∆ = ∂u/∂x + ∂v/∂y +
∂w/∂z) para a geometria da Figura 2.1, nas coordenadas (x, z), obtemos:
∆=
∂u ∂w
+
,
∂x
∂z
(A.3)
Substituindo as equações A.1 e A.2 em A.3, podemos escrever:
µ
¶
µ
¶
∂ ∂Φ ∂Ψ
∂ ∂Φ ∂Ψ
∆=
+
−
+
.
∂x ∂x
∂z
∂z ∂z
∂x
(A.4)
Simplificando, obtemos
∆=
∂ 2Φ ∂ 2Φ
+ 2 .
∂x2
∂z
Finalmente, substituimos a equação A.5 na equação 1.13:
64
(A.5)
65
∂ 2Φ ∂2Φ
1 ∂2Φ
+
=
.
∂x2
∂z 2
vp 2 ∂t2
(A.6)
Esta equação indica que o potencial Φ obedece à equação da onda.
Considere o componente rotacional do cisalhamento, denotado por θxz . Esta é a deformação cisalhante que é relevante para o movimento da onda nas coordenadas (x, z) da
Figura 2.2. Sua equação é dada por
µ
¶
1 ∂w ∂u
.
=−
−
2 ∂x
∂z
(A.7)
· µ
¶
µ
¶¸
1 ∂ ∂Φ ∂Ψ
∂ ∂Φ ∂Ψ
=−
−
.
−
+
2 ∂x ∂z
∂x
∂z ∂x
∂z
(A.8)
µ
¶
1 ∂ 2Ψ ∂ 2Ψ
=
+
.
2 ∂x2
∂z 2
(A.9)
θxz
Substituindo A.6 em A.7, temos
θxz
Simplificando:
θxz
Substituimos a equação A.9 na equação da onda cisalhante (equação 1.15) onde, neste
caso especial, Θ = (θxz , 0, 0):
∂ 2Ψ ∂ 2Ψ
1 ∂ 2Ψ
+
=
.
∂x2
∂z 2
vs 2 ∂t2
(A.10)
As soluções das ondas planas Φ(x, z, t) e Ψ(x, z, t) para as equações A.6 e A.10 nas
coordenadas (x, z) são expressas da seguinte forma:
µ
ω
ω
Φ1 = A0 exp i
sen θ0 x + i
cos θ0 z − iωt
vp1
vp1
µ
¶
ω
ω
+ A1 exp i
sen θ0 x − i
cos θ0 z − iωt ,
vp1
vp1
¶
(A.11)
¶
ω
ω
sen φ1 x + i
cos φ1 z − iωt ,
i
vs1
vs1
(A.12)
µ
¶
ω
ω
Φ2 = A2 exp i
sen θ2 x + i
cos θ2 z − iωt ,
vp2
vp2
(A.13)
µ
Ψ1 = B1 exp
66
µ
Ψ2 = B2 exp
¶
ω
ω
i
sen φ2 x + i
cos φ2 z − iωt .
vs2
vs2
(A.14)
O potencial deslocamento Φ1 dado pela equação A.11 tem duas componentes associadas
com a onda P incidente e refletida. Para provar que as funções dadas pelas equações A.11,
A.12, A.13 e A.14 são soluções da equação da onda, basta substituir estas funções nas suas
respectivas equações A.6 e A.10.
Para computar as amplitudes A1 , B1 , A2 e B2 , dada a amplitude da onda P incidente
A0 , são requeridas quatro condições de contorno na camada limite z = 0:
• A componente tangencial do deslocamento na interface é contı́nua: u1 = u2 .
• A componente normal do deslocamento na interface é contı́nua: w1 = w2 .
• A componente normal do esforço na interface é contı́nua: (Pzz )1 = (Pzz )2 .
• A componente tangencial do esforço na interface é contı́nua: (Pxz )1 = (Pxz )2 .
É importante notar que a fase das funções dadas pelas equações A.11, A.12, A.13 e
A.14 concidem na camada limite z = 0. Tomando as equações A.1 e A.2 e considerando a
primeira condição de contorno, podemos escrever:
∂Φ1 ∂Ψ1
∂Φ2 ∂Ψ2
+
=
+
.
∂x
∂z
∂x
∂z
(A.15)
Derivando as respectivas funções de onda e substituindo na equação A.15,
sen θ1
sen θ1
cos φ1
sen θ2
cos φ2
A0 +
A1 −
B1 =
A2 +
B2 .
vp1
vp1
vs1
vp2
vs2
(A.16)
Em seguida, tomando novamente as equações A.1 e A.2, e considerando a segunda
condição de contorno, temos
∂Φ2 ∂Ψ2
∂Φ1 ∂Ψ1
−
=
−
.
∂z
∂x
∂z
∂x
(A.17)
Derivando as respectivas funções de onda e substituindo na equação A.17,
cos θ1
cos θ1
sen φ1
cos θ2
sen φ2
A0 −
A1 −
B1 =
A2 −
B2 .
vp1
vp1
vs1
vp2
vs2
(A.18)
Agora reescrevemos a equação 1.9 em termos de z e substituimos na equação A.3 para
∆ e a equação 1.4 para ezz :
67
µ
Pzz
∂u ∂w
=λ
+
∂x
∂z
¶
¶
∂w
+ 2µ
.
∂z
µ
(A.19)
Combinando os termos
Pzz = (λ + 2µ)
∂w
∂u
+λ ,
∂z
∂x
(A.20)
e substituindo as equações A.1 e A.2 para os potenciais de deslocamento
Pzz
µ
¶
µ
¶
∂ ∂Φ ∂Ψ
∂ ∂Φ ∂Ψ
= (λ + 2µ)
+λ
,
−
+
∂z ∂z
∂x
∂x ∂x
∂z
(A.21)
e simplificamos para obter
Pzz = (λ + 2µ)
∂ 2Φ
∂ 2Φ
∂ 2Ψ
+
λ
−
2µ
.
∂z 2
∂x2
∂z∂x
(A.22)
Reescrevendo a equação A.22, obtemos
Pzz
µ 2
¶
µ 2
¶
∂ Φ ∂ 2Φ
∂ Φ
∂2Ψ
= (λ + 2µ)
+ 2 − 2µ
+
,
∂x2
∂z
∂x2
∂z∂x
(A.23)
e substituindo as equações 1.14, 1.16 e A.6 chegamos a expressão final da componente normal
do esforço Pzz em termo dos potenciais de deslocamento Φ e Ψ:
Pzz
µ 2
¶
∂ 2Φ
∂ 2Ψ
2 ∂ Φ
= ρ 2 − 2ρvs
+
.
∂t
∂x2
∂z∂x
(A.24)
Tomando a equação A.24 e considerando a terceira condição de contorno, podemos
escrever
µ 2
µ 2
¶
¶
∂ 2 Ψ1
∂ 2 Ψ2
∂ 2 Φ1
∂ 2 Φ2
2 ∂ Φ1
2 ∂ Φ2
+
+
ρ1 2 − 2ρ1 vs1
= ρ2 2 − 2ρ2 vs2
.
∂t
∂x2
∂z∂x
∂t
∂x2
∂z∂x
(A.25)
Derivando as funções de onda e substituindo na equação A.25, obtemos a expressão na
camada z = 0:
− ρ1 A0 − ρ1 A1 + 2ρ1
= −ρ2 A2 + 2ρ2
vs1 2
vs1 2
2
sen
θ
A
+
2ρ
sen2 θ1 A1 − 2ρ1 sen φ1 cos φ1 B1
0 0
1
2
2
vp1
vp1
vs2 2
sen2 θ2 A2 − 2ρ2 sen φ2 cos φ2 B2 .
vp2 2
(A.26)
68
Simplificando e utilizando a relação trigonométrica sen 2φ = 2 sen φ cos φ obtemos
µ
¶
¶
µ
vs1 2
vs1 2
2
2
− 1 − 2 2 sen θ2 A0 − 1 − 2 2 sen θ1 A1 − sen 2φ1 B1
vp1
vp1
µ
¶
vs2 2
ρ2
ρ2
1 − 2 2 sen2 θ2 A2 + sen 2φ2 B2 .
=−
ρ1
vp2
ρ1
(A.27)
Pela lei de Snell (equação 2.1) podemos escrever
e
vs1 2
sen2 θ1 = sen2 φ1
2
vp1
(A.28)
vs2 2
sen2 θ2 = sen2 φ2 .
vp2 2
(A.29)
Substiuindo as equações A.28 e A.29 na equação A.27, obtemos
− cos 2φ1 A0 − cos 2φ1 A1 − sen 2φ1 B1 = −
ρ2
ρ2
cos 2φ2 A2 + sen 2φ2 B2 .
ρ1
ρ1
(A.30)
Finalmente, tomando a equação 1.11 e substituindo na equação da deformação
exz
µ
¶
1 ∂w ∂u
=
+
,
2 ∂x
∂z
(A.31)
obtemos
µ
Pxz
∂w ∂u
=µ
+
∂x
∂z
¶
.
(A.32)
Em seguida, substituimos as equações A.1 e A.2 na equação A.32, e obtemos a equação
em termos dos potenciais de deslocamento:
·
Pxz
µ
¶
µ
¶¸
∂ ∂Φ ∂Ψ
∂ ∂Φ ∂Ψ
−
+
=µ
−
,
∂x ∂z
∂x
∂z ∂x
∂z
(A.33)
Simplificando os termos:
¶
∂ 2Ψ ∂2Ψ
∂ 2Φ
+
−
.
=µ 2
∂z∂x
∂z 2
∂x2
µ
Pxz
Considerando a quarta condição de contorno podemos escrever
(A.34)
69
µ
µ1
∂ 2 Φ1
∂ 2 Ψ1 ∂ 2 Ψ1
2
+
−
∂z∂x
∂z 2
∂x2
¶
µ
= µ2
¶
∂ 2 Φ2
∂ 2 Ψ2 ∂ 2 Ψ2
2
+
−
.
∂z∂x
∂z 2
∂x2
(A.35)
Derivando as funções de onda e substituindo na equação A.35, obtemos a expressão na
camada z = 0:
µ
2
2
2
2
2
¶
2
µ1 − 2 sen θ0 cos θ0 A0 +
sen θ1 cos θ1 A1 −
cos φ1 B1 +
sen φ1 B1
vp1
vp1 2
vs1 2
vs1 2
µ
¶
2
1
2
2
2
= µ2 − 2 sen θ2 cos θ2 A2 −
cos φ2 B2 +
sen φ2 B2 .
vp2
vs2 2
vs2 2
(A.36)
Simplificando os termos e utilizando a relação trigonométrica sen 2φ = 2 sen φ cos φ
obtemos
µ1
µ1
µ1
sen 2θ1 A0 +
sen 2θ1 A1 −
(cos2 φ1 − sen2 φ1 )B1
2
2
vp1
vp1
vs1 2
µ2
µ2
= − 2 sen 2θ2 A2 −
(cos2 φ2 − sen2 φ2 )B2 .
vp2
vs2 2
−
(A.37)
Substituindo a equação 1.16 na equação A.37 e utilizando algumas relações trigonométricas obtemos:
− sen 2θ1 A0 +sen 2θ1 A1 −
vp1 2
ρ2 vs2 2 vp1 2
ρ2 vp1 2
cos
2φ
B
=
−
sen
2θ
A
−
cos 2θ2 B2 . (A.38)
1 1
2 2
vs1 2
ρ2 vs1 2 vp2 2
ρ1 vs1 2
As equações A.16, A.18, A.30 e A.38 são as equações de Zoeppritz, que podem ser
solucionadas para quatro incógnitas - a amplitude da onda P refletida, A1 , a amplitude da
onda S refletida, B1 , a amplitude da onda P transmitida, A2 , e a amplitude da onda S
transmitida, B2 .
A forma matricial destas equações está explicitada na equação 2.11.
Referências Bibliográficas
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longitudinal and transverse waves, Geophysical Prospecting, 9:485-502.
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70