Matrizes elementares Determinante da Matriz Inversa Condição de existência da Matriz Inversa Observações Determinantes - Parte 02 Prof. Márcio Nascimento Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Álgebra Matricial - 2015.1 10 de setembro de 2015 1 / 32 Matrizes elementares Determinante da Matriz Inversa Condição de existência da Matriz Inversa Observações Sumário 1 Matrizes elementares 2 Determinante da Matriz Inversa 3 Condição de existência da Matriz Inversa 4 Observações 2 / 32 Matrizes elementares Determinante da Matriz Inversa Condição de existência da Matriz Inversa Observações Sumário 1 Matrizes elementares 2 Determinante da Matriz Inversa 3 Condição de existência da Matriz Inversa 4 Observações 3 / 32 Matrizes elementares Determinante da Matriz Inversa Condição de existência da Matriz Inversa Observações Considere a matriz identidade de ordem 1 0 ··· 0 1 ··· I = . . . .. .. .. 0 0 ··· n×n 0 0 .. . 1 Lembrando que as operações elementares sobre as linhas de uma matriz são: 1 Permuta de linhas; 2 Multiplicação de linha por escalar; 3 Combinação de linhas; Uma matriz elementar é aquela obtida de I a partir da aplicação de uma operação elementar sobre as suas linhas 4 / 32 Matrizes elementares Determinante da Matriz Inversa Condição de existência da Matriz Inversa Observações O que acontece com o determinante de uma matriz elementar? 1 Mudança de linha, provoca mudança no sinal do determinante; 2 Multiplicação de linha por escalar α, significa multiplicar o deteminante por α 3 Combinação de linhas não altera o determinante. 5 / 32 Matrizes elementares Determinante da Matriz Inversa Condição de existência da Matriz Inversa Observações Dada uma matriz A quadrada, o que acontece se fizermos o produto E .A onde E é uma matriz elementar? −1 3 2 Considere a matriz A = 0 1 −3 4 3 1 0 1 0 Considere a matriz E1 = 1 0 0 0 0 1 Qual o resultado de E1 .A? 0 1 −3 2 E1 .A = −1 3 4 3 1 6 / 32 Matrizes elementares Determinante da Matriz Inversa Condição de existência da Matriz Inversa Observações −1 3 2 Considerando ainda a matriz A = 0 1 −3 e as matrizes 4 3 1 elementares 1 0 0 1 1 0 E2 = 0 1 0 , E3 = 0 1 0 0 0 3 0 0 1 Qual o resultado de E2 .A? Qual o resultado de E3 .A? 7 / 32 Matrizes elementares Determinante da Matriz Inversa Condição de existência da Matriz Inversa Observações Conclusão: Aplicar uma operação elementar em uma matriz A corresponde ao produto E .A onde E é a matriz elementar correspondente a operação sobre as linhas de A 8 / 32 Matrizes elementares Determinante da Matriz Inversa Condição de existência da Matriz Inversa Observações Teorema Sejam A e B matrizes de ordem n × n. Então det(AB) = det(A).det(B) Daı́, se realizarmos uma operação elementar em A, estaremos mudando o determinante de A de acordo com o que vimos anteriormente para as matrizes elementares. 9 / 32 Matrizes elementares Determinante da Matriz Inversa Condição de existência da Matriz Inversa Observações Exemplo 3 2 Considere a matriz A = . 1 1 Se E1 é a matriz de ordem 2 × 2 obtida por meio de permutação entre as linhas de I2 , determine E1 .A. Se E2 é a matriz de ordem 2 × 2 obtida de I2 pela 1 multiplicação de sua linha 2 por − , determine a matriz 3 E2 .E1 .A. Se E3 é a matriz de ordem 2 × 2 obtida de I2 pela substituição de sua linha 2 pela soma das linhas 1 e 2, determine a matriz E3 .E2 .E1 .A. Qual o determinante da matriz E3 .E2 .E1 .A? Qual o determinante da matriz A? 10 / 32 Matrizes elementares Determinante da Matriz Inversa Condição de existência da Matriz Inversa Observações Exemplo No exemplo anterior, aconteceu o seguinte: Construı́mos a matriz T = E3 .E2 .E1 .A onde E3 , E2 , E1 são matrizes elementares! Veja que T é uma matriz triangular, cujo determinante é simplesmente o produto dos elementos de sua diagonal principal. Pelo teorema anterior, detT = detE3 .detE2 .detE1 .detA Ou seja, detA = detT detE3 .detE2 .detE1 11 / 32 Matrizes elementares Determinante da Matriz Inversa Condição de existência da Matriz Inversa Observações Exemplo 1 3 Exemplo: Calcular o determinante de A = 5 3 0 1 1 1 1 −1 4 2 0 1 2 1 Resposta... 8 12 / 32 Matrizes elementares Determinante da Matriz Inversa Condição de existência da Matriz Inversa Observações Dúvida Seria possı́vel triangularizar a matriz A de modo que a matriz T tivesse mesmo determinante que A? T = En . · · · E2 .E1 .A =⇒ detA = detT detEn . · · · .detE2 .detE1 13 / 32 Matrizes elementares Determinante da Matriz Inversa Condição de existência da Matriz Inversa Observações Exemplo 3 2 Voltemos à matriz A = . 1 1 Como sabemos, seu determinante é igual a 1. 1 Se fizermos a seguinte mudança: L2 ←− L2 − L1 3 " # 3 2 Obtemos T = 1 . 0 3 Cujo determinante é igual a 1, também. O que foi feito de diferente? 14 / 32 Matrizes elementares Determinante da Matriz Inversa Condição de existência da Matriz Inversa Observações Exemplo Calcule novamente o determinante da matriz abaixo, agora obtendo uma matriz triangular cujo determinante já nos dê o determinante de A. 1 0 1 −1 3 1 4 2 A= 5 1 0 1 3 1 2 1 Resposta... 8 15 / 32 Matrizes elementares Determinante da Matriz Inversa Condição de existência da Matriz Inversa Observações Exemplo 4 2 Calcular o determinante de A = 3 1 3 4 1 3 2 3 4 2 1 1 2 4 Resposta... 120 16 / 32 Matrizes elementares Determinante da Matriz Inversa Condição de existência da Matriz Inversa Observações Exemplo 1 −1 2 −2 0 3 1 0 −1 −2 0 1 2 3 4 Calcular o determinante de A = 2 3 −2 −1 1 3 1 2 −1 −3 Resposta... 222 17 / 32 Matrizes elementares Determinante da Matriz Inversa Condição de existência da Matriz Inversa Observações Sumário 1 Matrizes elementares 2 Determinante da Matriz Inversa 3 Condição de existência da Matriz Inversa 4 Observações 18 / 32 Matrizes elementares Determinante da Matriz Inversa Condição de existência da Matriz Inversa Observações Determinante da Matriz Inversa Seja A uma matriz não singular. Então A.A−1 = I Portanto, det(A.A−1 ) = det(I ) e det(A). det(A−1 ) = 1 Como A e A−1 são matrizes quadradas e de mesma ordem, certamente existem os determinantes de ambas. Se o produto de tais determinantes é diferente de zero, então cada um deles é não nulo. 1 Daı́, det(A−1 ) = . det(A) 19 / 32 Matrizes elementares Determinante da Matriz Inversa Condição de existência da Matriz Inversa Observações Exemplo: Encontrar o determinante da inversa da matriz 3 2 −1 0 5 2 0 3 A= 1 1 1 0 3 2 1 −1 20 / 32 Matrizes elementares Determinante da Matriz Inversa Condição de existência da Matriz Inversa Observações Sumário 1 Matrizes elementares 2 Determinante da Matriz Inversa 3 Condição de existência da Matriz Inversa 4 Observações 21 / 32 Matrizes elementares Determinante da Matriz Inversa Condição de existência da Matriz Inversa Observações Condição de existência da Matriz Inversa Teorema A é não singular se, e somente se, det(A) 6= 0 De fato, para encontrar o determinante de A devemos triangularizá-la, obtendo uma matriz T . Podemos fazer a triangularização de modo que det(A) = det(T ). Para que det(T ) = 0, necessariamente um (ou mais!) dos elementos de sua diagonal principal é nulo! Ora, mas isso implica que posto(T ) < n. Consequentemente, posto(A) < n e A é singular. Conclusão: det(A) = 0 =⇒ não existe A−1 Isto é, Se A−1 existe então det(A) 6= 0 22 / 32 Matrizes elementares Determinante da Matriz Inversa Condição de existência da Matriz Inversa Observações Teorema A é não singular se, e somente se, det(A) 6= 0 Reciprocamente, se A é singular, então posto(A) < n. Portanto, uma triangularização de A resulta em uma matriz T cujo posto também é menor do que n. Esta matriz não terá n pivots. Portanto, det(T ) = 0. Se det(T ) = 0, então det(A) = 0 Conclusão: Se não existe A−1 , então det(A) = 0 Isto é, Se det(A) 6= 0 então A−1 existe. 23 / 32 Matrizes elementares Determinante da Matriz Inversa Condição de existência da Matriz Inversa Observações Sumário 1 Matrizes elementares 2 Determinante da Matriz Inversa 3 Condição de existência da Matriz Inversa 4 Observações 24 / 32 Matrizes elementares Determinante da Matriz Inversa Condição de existência da Matriz Inversa Observações Observação Conjugada transposta det(A∗ ) = det(A)? Nem sempre! 1 2 A= 0 i 1 0 1 0 ∗ T T A = , A =A = 2 i 2 −i ∗ detA = i, detA = −i 25 / 32 Matrizes elementares Determinante da Matriz Inversa Condição de existência da Matriz Inversa Observações Sistemas Lineares Seja S um sistema onde o número de variáveis é igual ao número de equações. Qual a relação entre SOLUÇÃO DO SISTEMA e DETERMINANTE DA MATRIZ DOS COEFICIENTES? 26 / 32 Matrizes elementares Determinante da Matriz Inversa Condição de existência da Matriz Inversa Observações Posto Qual a relação entre posto (de uma matriz quadrada) e o seu determinante? 27 / 32 Matrizes elementares Determinante da Matriz Inversa Condição de existência da Matriz Inversa Observações Produto de linha por escalar O que acontece com o determinante de uma matriz quadrada A se multiplicarmos UMA LINHA APENAS por uma constante α? 28 / 32 Matrizes elementares Determinante da Matriz Inversa Condição de existência da Matriz Inversa Observações Seja d o determinante de uma matriz A. Qual o determinante de α.A? Resposta αn .d onde n × n é a ordem de A. 29 / 32 Matrizes elementares Determinante da Matriz Inversa Condição de existência da Matriz Inversa Observações Uma matriz tem duas colunas iguais. O que se pode dizer sobre o seu determinante? 30 / 32 Matrizes elementares Determinante da Matriz Inversa Condição de existência da Matriz Inversa Observações Uma matriz tem duas linhas proporcionais. O que se pode dizer sobre o seu determinante? 31 / 32 Matrizes elementares Determinante da Matriz Inversa Condição de existência da Matriz Inversa Observações Uma das colunas da matriz An×n é combinação linear de duas outras colunas da mesma matriz. O que se pode dizer sobre o seu determinante? 32 / 32
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