MTM3C – Aula 8
Propriedades dos Determinantes:
P1: Se uma Matriz quadrada possui duas filas paralelas iguais ou
proporcionais o determinante é nulo.
 1 3  1
EX 1) : A   4 1 4 
 2 0 2 
1 2 4 
EX 2) : B  3 6 12
0 2 1 
det B  0
det A  0
P2: Se numa matriz quadrada uma fila for nula, então o determinante
é nulo.
2
1
2
1

EX 1) : B 
 1  2

8
3
0  1
0 0 
0 3

0  1
det B = 0
P3: Se trocarmos duas filas paralelas o determinante troca de sinal:
 2 5
EX : A  

1
3


det A  6  5  1
5 2
 5  6  1
3 1
P4: Se multiplicarmos uma fila de uma matriz quadrada por um número
k diferente de zero, então o determinante fica multiplicado por esse
número:
2 5 x3
EX : A  

1
3


det A  6  5  1
6 15
1
3
 18  15  3
P5: Se multiplicarmos toda a matriz por um número k diferente de zero,
então o determinante ficará multiplicado por kn, ou seja: det(k.A) = kn.detA
EX : det A  3 e A tem ordem 2, então det 5 A é :
det 5 A  52. det A
det 5 A  25.3  75
P5: detA = detAt
1 2
EX : A  

3
4


det A  4  6  2
1 3 
At  

2
4


det At  4  6  2
P6: Se numa matriz quadrada todos ou elementos acima e/ou abaixo da diagonal
principal forem nulos, o determinante é o produto da diagonal principal.
 1
2
EX : A  
4

2
0 0
0
3 0 0 
 det A  1.3.5.  2  30

0 5 0

1 0  2
P7: TEOREMA DE JACOBI: O determinante de uma matriz não se altera se
adicionarmos a uma fila, uma outra fila paralela multiplicada por um número
diferente de zero.
 1 0 0 0 
  1 2 0 0
 2 5 0 0
 2 1 0 0
  det A  40

EX : A  
A 
 3 1  2 0
 3 7  2 0




0
2
1
4
0
2
1
4




x2
P8: Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem, então:
det(A.B) = detA . detB
P9: TEOREMA de BINET:
det (An) = (detA)n
P10: Sejam A, B e C três matrizes quadradas e de mesma ordem. Se as
n-1 filas das três são iguais e a enésima de C for a soma de A e B, então
detC = detA + detB.
1 2 3
1 2 3 
1 2 3
EX : A  0 5 6 , B  0 5 6  e C  0 5 6
0 0 9
0 0  1
0 0 8 
det A  45
det B  5  det C  det A  det B
det C  40