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LIVRES PARA PENSAR
EDUCADOR: Rosiméri dos Santos
Introdução – Dizemos que uma partícula está em movimento circular quando sua trajetória é uma
circunferência como, por exemplo, a trajetória descrita por uma válvula do pneu de uma bicicleta em
movimento igual a da imagem. Se, além disso, o valor da velocidade permanecer constante, o movimento é
denominado circular uniforme. Então, neste movimento, o vetor velocidade tem módulo constante, mas a
direção deste vetor varia continuamente.
A figura abaixo mostra a variação de direção do vetor velocidade em alguns pontos.
O tempo que a partícula gasta para efetuar uma volta completa é denominada período do movimento e é
representado por T. O espaço percorrido pela partícula, durante um período, é o comprimento da
circunferência que, vale 2pR ( R é o raio da trajetória). Como o movimento é uniforme, o valor da velocidade
será dado por:
logo, v = 2πR/T
Freqüência do movimento circular – suponha que observando a válvula mostrada na imagem,
verificássemos que ela efetua 30 voltas completas em um tempo igual a 10 segundos. A freqüência, F desse
movimento é, por definição, o quociente entre o número de voltas e o tempo gasto para efetua-las. Logo, a
freqüência da válvula será:
Observe que esse resultado significa que a válvula efetuou 3.0 voltas em cada 1 seg. A unidade de
freqüência,1 volta/seg, é denominada 1 hertz, em homenagem ao cientista alemão H.Hertz ( 1857 – 1894).
Portanto, podemos destacar:
O conceito de freqüência pode ser aplicada em outros tipos de movimentos, que não serão discutidos aqui.
A freqüência e o período de um movimento estão relacionados. Para relacionar F e T, basta perceber que
essas grandezas são inversamente proporcionais e, assim podemos estabelecer a seguinte proporção:
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ESTUDOS DE RECUPERAÇÃO - MOVIMENTO CIRCULAR UNIFORME
No tempo T (um período) é efetuada uma volta
Na unidade de tempo serão efetuadas F voltas ( freqüência)
Ou, esquematicamente
Portanto, a freqüência é igual ao inverso do período e reciprocamente. Por exemplo: se o período de um
movimento circular é T = 0,5 s, sua freqüência será:
Velocidade Angular – Consideremos a válvula do pneu de bicicleta em movimento circular, passando pela
posição P1 representada na figura abaixo. Após um intervalo de tempo Dt, a válvula estará passando pela
posição P2. Neste intervalo de tempo Dt, o raio que acompanha a válvula em seu movimento descreve um
ângulo Dq
A relação entre o ângulo descrito pela válvula e o intervalo de tempo gasto para descreve-lo é denominado
velocidade angular da partícula.Representando a velocidade angular por w temos
w =ângulo/ tempo
A velocidade definida pela relação V = Dd/Dt, que já conhecemos, costuma ser denominada velocidade
linear, para distingui-la da velocidade angular que acabamos de definir. Observe que as definições de V e w
são semelhantes: a velocidade linear se refere à distância percorrida na unidade de tempo, enquanto a
velocidade angular se refere ao ângulo descrito na unidade de tempo.
A velocidade angular nos fornece uma informação sobre a rapidez com que a válvula está girando. De fato,
quanto maior for a velocidade angular de um corpo, maior será o ângulo que ele descreve por unidade de
tempo,isto é , ele estará girando mais rapidamente.
Lembrando que os ângulos podem ser medidos em graus ou em radianos, concluímos que w poderá ser
medida em grau/s ou em rad/s.
Uma maneira de calcular a velocidade angular é considerar a válvula ( ou uma partícula qualquer) efetuando
uma volta completa. Neste caso, o ângulo descrito será Dq =2prad e o intervalo de tempo será um período,
Istoé, Dt = T. Logo,
w = 2p/T
Relação entre V e w - Sabemos que, no movimento circular uniforme, a velocidade linear pode ser obtida
pela relação
Como 2p/T é a velocidade angular, concluímos que
Esta equação nos permite calcular a velocidade linear V, quando conhecemos a velocidade angular w e o
raio R da trajetória.
Observe que ela só é válida se os ângulos estiverem medidos em radianos.
Aceleração centrípeta – No movimento circular uniforme, o módulo da velocidade da válvula permanece
constante e, então, a válvula não possui uma aceleração tangencial. Entretanto, como a direção do vetor
velocidade varia continuamente, a válvula (ou uma partícula qualquer nas mesmas condições) possui uma
aceleração centrípeta
Na figura abaixo estão representados os vetores
diferentes da válvula do pneu de bicicleta. Observe que o vetor
para o centro da circunferência.
e
em quatro posições
tem a direção do raio e aponta sempre
Podemos deduzir, matematicamente, que o valor da aceleração centrípeta no movimento circular é dado
por:
Observe que o valor de
é proporcional ao quadrado da velocidade e inversamente proporcional ao raio
da circunferência. Portanto, se um automóvel faz uma curva “fechada” (R pequeno) com grande velocidade,
ele terá uma grande aceleração centrípeta. Estes fatos estão relacionados com a possibilidade de o
automóvel conseguir ou não fazer a curva.
MCU nos vestibulares
3
1- O volante de um motor gira com MCU completando 1,2 . 10 voltas em um minuto. Qual o período desse
movimento?
–3
–3
–2
A) 1,2 . 10 s
B) 0,8 –10 s
C) 5,0 . 10
D) 2,0 s
E) 20 s
2- Uma roda gira com uma freqüência constante de 20 Hz. Nessa situação, um ponto situado a 10 cm do eixo
de rotação percorre uma distância de ........ em 1/ π segundos.
A) 2,0 m
B) 4,0 m
C) 6,0 m
D) 8,0 m
E) 10 m
3
3- O volante de um motor gira com MCU completando 1,2 . 10 voltas em um minuto. Qual o período desse
movimento?
–3
A) 1,2 . 10 s
–3
B) 0,8 –10 s
–2
C) 5,0 . 10
D) 2,0 s
E) 20 s
4- Para um observador O, um disco metálico de raio r gira em movimento uniforme em torno de seu próprio
eixo, que permanece em repouso.
Considere as seguintes afirmações sobre o movimento do disco.
I - O módulo v da velocidade linear é o mesmo para todos os pontos do disco, com exceção do seu centro.
II - O módulo da velocidade angular é o mesmo para todos os pontos do disco, com exceção do seu centro.
III - Durante uma volta completa, qualquer ponto da periferia do disco percorre uma distância igual a 2. π
.r.
Quais estão corretas do ponto de vista do observador O?
(A) Apenas II
(B) Apenas III
(C) Apenas I e II
(D) Apenas II e III
(E) I, II e III
5- Entende-se por período de um corpo que realiza movimento circular e uniforme (MCU)
A) o número de voltas que completa em 1,0 s.
B) o comprimento do arco da circunferência descrito em 1,0 s
C) o tempo necessário para completar uma volta na circunferência
D) o ângulo descrito em 1,0 s
E) o comprimento do raio da circunferência
6- As duas pedras A e B, mostradas na figura, executam um movimento circular e uniforme,
presas a uma mesma corda. Referente ao fato, está correto afirmar que:
A) as pedras A e B têm iguais velocidades lineares.
B) a pedra A tem velocidade angular menor do que a pedra B.
C) as pedras A e B têm iguais velocidades angulares.
D) a pedra A tem freqüência menor do que a pedra B.
E) a pedra A percorre a mesma distância que a pedra B.
7- A figura abaixo apresenta um bloco descrevendo uma trajetória curva e os vetores
velocidade V , aceleração tangencial at aceleração normal a, e aceleração total a. Neste caso
pode-se concluir que:
A) não há variação no módulo da velocidade.
B) o módulo da velocidade está aumentando.
C) o módulo da velocidade está diminuindo.
D) o movimento é retilíneo.
E) o movimento é necessariamente circular.
8- Uma pista é constituída por três trechos: dois retilíneos, AB e CD, e um circular, BC,
conforme o esquema abaixo.
Se um automóvel percorre toda a pista com velocidade escalar constante, o módulo da sua
aceleração será:
A) nulo em todos os trechos.
B) constante, não nulo, em todos
os trechos.
C) constante, não nulo, nos trechos
AB e CD.
D) constante, não nulo, apenas no trecho BC.
E) variável apenas no trecho BC.
9- Esta figura mostra um carro que, fazendo uma curva, perde a calota da roda traseira direita.
A figura indica essa situação, vista de cima, no instante em que a calota se desprende.
Desprezando-se a resistência do ar, pode-se afirmar que, imediatamente após a calota se
soltar, ela se moverá, aproximadamente, em direção ao ponto:
A) A.
B) B.
C) C.
D) D.
E) E.
10- No movimento circular uniforme, podemos afirmar que:
A) a direção do vetor velocidade tem sentido voltado para o centro da circunferência em
questão.
B) não existe aceleração e a velocidade tangencial é constante.
C) não existe aceleração e a velocidade tangencial não é constante.
D) existe aceleração e esta tem módulo constante.
E) existe aceleração e esta é centrífuga.
11- Diz-se que o movimento de um ponto material é uniforme quando e somente quando:
A) a velocidade vetorial for constante.
B) a aceleração escalar for nula e a velocidade escalar não for nula.
C) a trajetória for retilínea.
D) a aceleração vetorial for tangente à trajetória.
E) a aceleração vetorial for nula.
12- Associe as cinco alternativas acima com as cinco proposições abaixo (v e a são a velocidade
e a aceleração instantâneas, respectivamente).
( ) II – movimento retilíneo acelerado.
( ) III – movimento retilíneo retardado.
( ) IV – movimento circular de velocidade escalar constante.
( ) V – movimento circular uniformemente acelerado.
13- Um ventilador (veja figura) acaba de ser desligado e está parando vagarosamente, girando
no sentido horário.
A direção e o sentido da aceleração da pá do ventilador no ponto P é:
14- A figura representa um disco girando em um plano horizontal com velocidade angular
constante. Uma moeda foi colocada sobre o disco e gira com ele. Qual dos seguintes conjuntos
de vetores descreve melhor a velocidade e a aceleração da moeda, bem como a força resultante
exercida sobre ela, no ponto em que está representada na figura?
15- Uma bola de madeira, presa por um cordão, é feita girar, descrevendo uma trajetória
circular em um plano horizontal. A figura representa essa situação, vista de cima, exatamente
no instante em que o cordão se rompe. Observando-se o evento de cima, a trajetória que a bola
segue, após a ruptura do cordão, é aquela assinalada pela letra:
A) A
B) B
C) C
D) D
E) E
16- São feitas três afirmações sobre corpos em movimento:
I – Um corpo que está em movimento circular uniforme apresenta o vetor velocidade constante.
II – Quando um objeto muda de posição em relação ao centro da Terra, sua massa permanece
constante.
III – O peso de um corpo é uma grandeza escalar, que é medida em kg.
Quais afirmativas estão corretas?
A) apenas I
B) apenas II
C) apenas III
D) apenas I e III
E) I, II e III