Revista Brasileira de Ensino de Fı́sica vol. 20, no. 4, Dezembro, 1998
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O Impulso e o Movimento Circular Uniforme
(Impulse and Uniform Circular Motion)
Maria Teresinha X. Silva
Universidade Federal do Rio Grande do Sul - UFRGS
Instituto de Fı́sica
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e-mail: [email protected]
Nelson Toniazzo e Rolando Axt
Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul - UNIJUÍ
Departamento de Fı́sica, Estatı́stica e Matemática
Caixa Postal 560 - 98700-000 - Ijuı́, RS - Brasil
Recebido 2 de Dezembro, 1997
São analisadas as variações do vetor velocidade de um corpo em movimento circular uniforme para
evidenciar a natureza vetorial da quantidade de movimento linear.
The vectorial nature of linear momentum is stressed by analysing changes in the velocity of a body
in uniform circular motion.
1. Introdução
Quando um ponto material de massa m descreve um
movimento circular uniforme, sua velocidade tangencial
é constante em módulo mas varia permanentemente em
direção. Sendo assim, a energia cinética dessa massa é constante e a quantidade de movimento linear é variável.
O objetivo deste texto é destacar a natureza vetorial da
quantidade de movimento linear propondo o seguinte problema:
A figura 1 representa o vetor velocidade de uma massa
m que descreve um movimento circular uniforme de perı́odo
T sobre um cı́rculo de raio R. As posições 1 e 2 definem o deslocamento de m em um intervalo de tempo T/2.
Pergunta-se [1]: Qual é o impulso sobre a massa m nesse
intervalo de tempo (T/2)?
A solução trivial deste problema é dada pela relação
I~ = ∆~
p,
donde resulta
~ = 2mv =
|I|
já que v = 2π R/T.
4πmR
,
T
(1)
Observe-se que |∆~
p| = 2mv é equivalente à variação da
quantidade de movimento linear de uma massa m que colide
contra uma parede com velocidade +~v e retorna dela com
velocidade −~v [2]. Embora à primeira vista este resultado
pareça estranho para muitos alunos que, por intuição, acreditam ser ∆~
p igual a zero (ou igual a −m~v ), é por eles aceito
sem maior relutância quando são alertados sobre a natureza
vetorial de p~.
A solução do problema torna-se um pouco mais compliR
cada quando se deseja calcular a integral I~ = F~ dt. Neste
caso, é preciso identificar a força impulsiva, sem esquecer
o seu caráter vetorial, e encontrar um modo de resolver a
integral. A força centrı́peta F~c é a única força que é exercida sobre m. Ao decompô-la em suas componentes nas
direções x e y (F~x e F~y na figura 2), verifica-se desde logo
que estas não são uniformes em módulo e podem sofrer inversão de sentido em um intervalo de tempo T /2. Portanto,
resolver a integral supondo que a força impulsiva é a força
centrı́peta, tomada em módulo (Fc = mω 2 R) e esquecendo
o seu caráter vetorial, levaria a um resultado incorreto para
o impulso (2π 2 mR/T ). Na figura 3, a área sob a reta Fc
representaria graficamente esta solução (incorreta), num intervalo de tempo T /2.
M.Terezinha X. Silva et al.
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quartos de perı́odo cancelam-se mutuamente. Na figura 3, a
área (nula) sob a curva Fy representa o impulso Iy .
Figura 1. Deslocamento de m entre as posições inicial (1) e final
(2).
~c e suas componentes F
~x e F
~y .
Figura 2. A força centrı́peta F
O cálculo do impulso exercido sobre a massa m, no
deslocamente que sofre entre as posições 1 e 2, requer que
analisemos os impulsos nas direções x e y separadamente.
Na direção y, o impulso lı́quido no intervalo de tempo
em consideração é zero. Fy varia do seu valor máximo
positivo, em t = 0, até o seu valor máximo negativo, em
t = T /2, de modo que os impulsos sofridos nos sucessivos
Figura 3. Representação gráfica de Fc (linha contı́nua) e de suas
componentes Fx (linha pontilhada) e Fy (linha tracejada). A linha
vertical identifica o ponto P da figura 2: Fc = (Fx2 + Fy2 )1/2 .
Já na direção x, o impulso no mesmo intervalo de tempo
é máximo. Fx varia de zero, em t = 0, a um valor máximo
negativo, em t = T /4, e retorna novamente a zero em
t = T /2. Durante esse intervalo de tempo, F~x tem sempre
o mesmo sentido (contrário ao sentido de ~v na posição 1) e,
no instante T /4, seu módulo é igual ao da força centrı́peta
Fc . Na figura 3, a área (negativa) sob a curva Fx representa
o impulso Ix .
O problema resume-se, portanto, em analisar o movimento circular uniforme considerando a superposição dos
movimentos harmônicos simples que correspondem às
projeções do MCU sobre os eixos coordenados x e y.
Supondo-se que em t = 0 a massa m encontra-se na
posição 1, as coordenadas de sua posição, em qualquer instante de tempo, são dadas por:
³
π´
x = Rcos ωt −
2
e
³
π´
y = R sen ωt −
,
2
onde ω = 2π/T é a freqüência angular desse movimento.
Portanto, as componentes Fx e Fy da força centrı́peta
são, respectivamente,
c
³
³
π´
π´
d x
2
=
−mω
Rcos
ωt
−
=
−F
cos
ωt
−
c
dt2
2
2
2
Fx = max = m
e
Fy = may = m
³
³
d2 y
π´
π´
= −mω 2 R sen ωt −
= −Fc sen ωt −
.
2
dt
2
2
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d
As componentes do impulso sofrido pela partı́cula ao
longo das direções x e y, no intervalo de tempo considerado, são dadas por:
Z
T /2
Ix =
Fx dt = −
0
e
Z
4πmR
T
T /2
Iy =
ângulo de incidência de 45◦ .
A descrição feita acima, considerando o MCU como
uma superposição de dois movimentos harmônicos simples,
oferece ainda uma alternativa [3] para a dedução da fórmula
da força (aceleração) centrı́peta, já que |F~c | = mω 2 R representa o valor máximo das componentes Fx e Fy exercidas
sobre a massa m em MCU.
Fy dt = 0.
0
Este resultado está em concordância com aquele obtido
em (1) e o sinal negativo indica a reversão da velocidade entre as posições 1 e 2, ou seja, o sentido da variação da quantidade de movimento de m, contrário ao da sua velocidade
inicial.
Adicionalmente, pode-se propor aos alunos a análise do
impulso sobre m em outros intervalos de tempo representados na figura 3. Por exemplo, a variação da quantidade de
movimento linear entre T /8 e 3T /8 equivale à da colisão
elástica de uma partı́cula contra uma parede rı́gida com um
Referências
1. Rad, M. Sepehry. Shortcomings in physics education
in Iran. Phys. Educ. 26 (6), 332 (1991).
2. Stinner, A. The story of force: from Aristotle to Einstein. Phys. Educ. 29 (2), 77 (1994).
3. Fitzpatrick, J. A. Derivation of centripetal acceleration
by a momentum change. Phys. Educ. 30 (5), 264
(1995).