Equações Trigonométricas
Prof. Márcio Nascimento
[email protected]
Universidade Estadual Vale do Acaraú
Centro de Ciências Exatas e Tecnologia
Curso de Licenciatura em Matemática
Disciplina: Matemática Básica II - 2014.2
25 de agosto de 2015
Prof. Márcio Nascimento [email protected]
Equações Trigonométricas
Exemplo (1)
Resolver a equação 2senx − 1 = 0
2senx − 1 = 0 ⇐⇒ 2senx = 1 ⇐⇒ senx =
Isso ocorre quando x =
π
rad
6
E também quando x =
π
+ 2kπ
6
ou
x=
ou
1
2
5π
rad
6
x=
5π
+ 2kπ
6
S = x ∈ R ; x = ( π6 + 2kπ)rad ou x = ( 5π
6 + 2kπ)rad, k ∈ Z
Prof. Márcio Nascimento [email protected]
Equações Trigonométricas
Exemplo (2)
Resolver a equação 2senx − 3 = 0
2senx − 3 = 0 ⇐⇒ 2senx = 3 ⇐⇒ senx =
3
2
3
Como não existe x ∈ R tal que senx = , o conjunto solução
2
da equação dada é vazio.
S = { } ou S = ∅
Prof. Márcio Nascimento [email protected]
Equações Trigonométricas
Exemplo (3)
Resolver a equação cos(x −
√
250 )
=−
2
2
Na primeira volta, x − 250 = 1350 ou x − 250 = 2250
Isso implica que x = 1600 ou x = 2500
Considerando todos os valores de x, temos:
x = 1600 + k.3600 ou x = 2500 + k.3600 .
S = x ∈ R ; x = (160 + 360k)0 ou x = (250 + 360k)0 , k ∈ Z
Prof. Márcio Nascimento [email protected]
Equações Trigonométricas
Exemplo (4)
Resolver a equação 3senx − 2 = 7senx − 1, com 00 ≤ x < 3600
1
3senx − 7senx = −1 + 2 ⇐⇒ 4senx = −1 ⇐⇒ senx = −
4
1
= −0.2527rad = −14.48360 = 345, 51640
arcsen −
4
Veja que x também pode ser igual a 194.48360 .
S = 194.48360 ; 345.51640
Prof. Márcio Nascimento [email protected]
Equações Trigonométricas
Exemplo (5)
Resolver a equação 2 cos2 x − 9 cos x = 5, com x ∈ [0, 2π)
Fazendo cos x = y , temos: 2y 2 − 9y − 5 = 0
O discriminante desta equação é: ∆ = 121
1
Portanto, para esta equação, podemos ter y = 5 ou y = −
2
1
Ou seja, cos x = 5 ou cos x = −
2
Como não ocorrre cos x > 1, então cos x = 5 deve ser
desconsiderado.
2π 4π
S=
,
3 3
Prof. Márcio Nascimento [email protected]
Equações Trigonométricas
Exemplo (6)
Resolver a equação 2 cos x − 1 = sec x, com x ∈ [0, 2π)
2 cos x − 1 = sec x ⇐⇒ 2 cos x − 1 =
2 cos2 x − cos x = 1
1
cos x
⇐⇒
Fazendo cos x = y , temos 2y 2 − y − 1 = 0 e ∆ = 9
Portanto, para esta equação, podemos ter y = 1 ou y = −
Ou seja, cos x = 1 ou cos x = −
1
2
2π
4π
e, portanto, x = 0 ou x =
ou x =
3
3
2π 4π
S = 0, ,
3 3
Prof. Márcio Nascimento [email protected]
Equações Trigonométricas
1
2
Exemplo (7)
Resolver a equação sen2x +
√
2 cos x = 0, com x ∈ [0, 3600 )
Lembrando que sen2x = 2.senx. cos x, temos:
√
√
sen2x + 2 cos x = 0 ⇐⇒ 2.senx. cos x + 2 cos x = 0
√
Ou ainda, cos x.(2senx + 2) = 0
√
Assim, cos x = 0 ou 2senx + 2 = 0
A primeira igualdade implica em x = 900 ou x = 2700 .
√
2
Já a segunda igualdade implica em senx = −
, isto é,
2
x = 2250 ou x = 3150 .
S = 900 , 2700 , 2250 , 3150
Prof. Márcio Nascimento [email protected]
Equações Trigonométricas
Exemplo (8)
Resolver a equação cos 2x + 3senx − 2 = 0, com x ∈ [0, 3600 )
Lembrando que cos 2x = cos2 x − sen2 x, temos:
cos 2x + 3senx − 2 = 0 ⇐⇒ (cos2 x − sen2 x) + 3senx − 2 = 0
Ou ainda, (1 − sen2 x) − sen2 x + 3senx − 2 = 0
Que, organizando, resulta em: 2sen2 x − 3senx + 1 = 0.
Fazendo senx = y , a equação equivale a 2y 2 − 3y + 1 = 0,
cujo discriminante é ∆ = 1
1
Daı́, y = 1 ou y = , ou seja,
2
1
senx = 1 ou senx =
2
S = 300 , 900 , 1500
Prof. Márcio Nascimento [email protected]
Equações Trigonométricas
Exemplo (9)
Resolver a equação senx − cos x = 1, com x ∈ [0, 2π)
senx = 1 + cos x
Daı́,
sen2 x = (1 + cos x)2 ⇐⇒ (1 − cos2 x) = 1 + 2 cos x + cos2 x
Ou seja, −2 cos2 x − 2 cos x = 0 =⇒ cos2 x + cos x = 0
Isso equivale a: cos x(cos x + 1) = 0. Isto é, cos x = 0 ou
cos x = −1.
Se cos x = 0, então x = π/2 ou x = 3π/2
Se cos x = −1, então x = π.
S = {π/2, π, 3π/2}. Será?
Checando, vemos que 3π/2 não torna verdadeira a igualdade!
Por quê!?
Prof. Márcio Nascimento [email protected]
Equações Trigonométricas
Exemplo (10)
Resolver a equação cos 2x =
√
3
, com x ∈ [0, 3600 )
2
Resposta...
S = 150 , 1650 , 1950 , 3450 .
Prof. Márcio Nascimento [email protected]
Equações Trigonométricas
Exemplo (11)
Resolver a equação tg3x = 1, com x ∈ [0, π)
Resposta...
π 5π 3π
S=
, ,
.
12 12 4
Prof. Márcio Nascimento [email protected]
Equações Trigonométricas
Exemplo (12)
√
Resolver a equação sen2x. cos x + cos 2x.senx =
x ∈ [0, 2π)
2
, com
2
Resposta...
π π 3π 11π 17π 19π
S=
, , ,
,
,
.
12 4 4
2
12 12
Prof. Márcio Nascimento [email protected]
Equações Trigonométricas
Exemplo (13)
Encontre 9 soluções particulares e a solução geral da equação
2sen2 3x − sen3x − 1 = 0, com x ∈ R
Resposta...
π + 4kπ π + 12kπ 5π + 12kπ
S=
,
,
; k ∈Z .
6
18
18
Soluções particulares (por exemplo):
π π 5π
, ,
6 18 18
5π 13π 17π
k =1:
,
,
6 18 18
3π 25π 29π
k =2:
,
,
2 18 18
k=0:
Prof. Márcio Nascimento [email protected]
Equações Trigonométricas