Exemplos de movimentos não-retilı́neos
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respectivamente, o movimento de projéteis, o movimento circular e o movimento
cicloidal.
Como de costume, encontra-se no final da aula uma lista de problemas propostos. Nela, você terá de fazer tanto demonstrações de resultados utilizados no
texto da aula quanto aplicações numéricas do que foi discutido na mesma. Sugerimos que você resolva o maior número possı́vel de problemas dessa lista, tarefa
que irá ajudá-lo a se familiarizar cada vez mais com a notação vetorial.
O movimento de projéteis
Já estudamos anteriormente o movimento vertical de um corpo que está
próximo à superfı́cie terrestre e cujas velocidades, durante seu movimento, são pequenas o suficiente para desprezarmos a resistência do ar. Nessas circunstâncias,
você aprendeu que qualquer corpo descreve um MRUV, com uma aceleração de
módulo igual a 9, 8m/s2 e apontando sempre para o centro da Terra (esta direção
determina a vertical local). Esse tipo de movimento, como vimos na aula 7, é
um caso particular do chamado movimento de queda livre. Particular porque
pode-se (e deve-se) estudar também movimentos de queda livre levando-se em
consideração a resistência do ar.
Nesta seção, iremos analisar movimentos um pouco mais gerais do que os
de queda livre estudados na aula 7, mas ainda com as restrições de proximidade
da Terra e resistência do ar desprezı́vel. Nossa generalização consistirá em considerar movimentos não retilı́neos, ou seja, movimentos nos quais a partı́cula possui
tanto uma componente vertical de velocidade como uma componente horizontal.
Ou seja, consideraremos nesta seção movimentos com lançamentos oblı́quos, comumente chamados movimentos de projéteis.
Uma propriedade do movimento que pretendemos estudar, e de qualquer
outro cuja aceleração da partı́cula em estudo seja constante, é que a partı́cula
descreve uma trajetória plana, isto é, seu movimento ocorre sempre num mesmo
plano do espaço (no problema 2, você é convidado a demonstrar esse resultado).
No movimento de projéteis a ser estudado, a aceleração é igual à aceleração da
gravidade, sempre com o mesmo módulo, com a direção vertical e apontando
para baixo. Por conveniência, vamos escolher os eixos cartesianos de modo que o
movimento ocorra no plano OX Y.
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Exemplos de movimentos não-retilı́neos
Suponha então que uma partı́cula seja lançada do ponto P0 (x0 , y0, 0) com
uma velocidade de módulo igual a v0 := |v0 |. Seja θ0 o ângulo entre a sua velocidade no instante do lançamento (t0 ) e o vetor unitário ux relativo ao eixo
horizontal OX . A Figura 11.1 ilustra esse lançamento.
Y
v0
y0
P0
O
θ0
x0
X
Fig. 11.1: Projétil lançado de um ponto P0 (x0 , y0 ) com velocidade v0 .
Nosso objetivo aqui é encontrar a função-movimento do projétil, conhecida
a sua aceleração, que no caso é constante e dada por a = −g uy . Conseqüentemente, utilizando a equação (11.11), obtemos:
1
r = r0 + v0 (t − t0 ) − g(t − t0 )2 uy .
2
(11.13)
Substituindo na equação anterior as expressões de r0 e v0 em termos de
suas componentes cartesianas,
r0 = x0 ux + y0 uy
v0 = vx0 ux + vy0 uy ,
(11.14)
e reagrupando convenientemente os termos, obtemos:
1
r = (x0 + vx0 (t − t0 ) ux + y0 + vy0 (t − t0 ) − g(t − t0 )2 uy .
2
(11.15)
Identificamos, então, as componentes cartesianas do vetor posição do projétil num
instante genérico:
x = x0 + vx0 (t − t0 )
(11.16)
y = y0 + vy0 (t − t0 ) − 12 g(t − t0 )2 .
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Uma vez que foram dados o módulo da velocidade inicial e o ângulo θ0 entre v0
e ux , devemos expressar as componentes vx0 e vy0 em termos dessas quantidades.
Usando os conceitos de projeção adquiridos na aula 9, temos:
vx0 = v0 cos θ0
(11.17)
vy0 = v0 sen θ0 .
Sem perder o caráter geral de nossa discussão, escolheremos t0 = 0s (lembre-se
de que podemos zerar o nosso cronômetro no instante que mais nos convier). Com
isso, as equações estabelecidas em (11.16) são reescritas na forma:
x = x0 + v0 cos θ0 t
(11.18)
y = y0 + v0 sen θ0 t − 12 g t2 .
Desejamos saber agora qual é a trajetória descrita pelo projétil. Na verdade,
as equações presentes em (11.16) já nos dão essa trajetória, uma vez que, dado
um instante de tempo t qualquer, elas fornecem as coordenadas do projétil, ou
seja, o ponto onde ele se encontra nesse instante. Como ambas as coordenadas
são escritas em função de um parâmetro (no caso, o tempo t), tais equações são
chamadas equações paramétricas da trajetória. No entanto, muitas vezes é
conveniente relacionar diretamente as coordenadas cartesianas da partı́cula em
movimento, obtendo assim a equação cartesiana de sua trajetória.
A fim de eliminar o tempo das equações (11.16), escrevemos, a partir da
primeira delas, a seguinte relação:
t=
x − x0
.
v0 cos θ0
Subsitutindo essa expressão na segunda equação em (11.16), obtemos:
y = y0 + tanθ0 (x − x0 ) −
g
2v02 cos2 θ0
(x − x0 )2 .
(11.19)
Essa é a equação cartesiana da trajetória do projétil. Trata-se de uma parábola,
de eixo vertical, e que passa pelo ponto P0 (x0 , y0 , 0). Note ainda que a tangente
a essa parábola, passando por P0 , tem a mesma direção de v0 , como era de se
esperar (veja o problema 3).
É muito comum escolher a origem dos eixos cartesianos no ponto de lançamento do projétil, principalmente quando ele é lançado do solo. Nesse caso, a
equação cartesiana de sua trajetória se reduz a:
y = tanθ0 x −
g
2v02 cos2 θ0
x2 .
(11.20)
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Exemplos de movimentos não-retilı́neos
Caso π/2 < θ0 < π, o projétil
atingirá o solo no ponto de
coordenadas x = −A e y = 0.
Vejamos agora como calcular a altura máxima atingida pelo projétil e a que
distância do ponto de lançamente ele atinge o solo. Essa distância é chamada
alcance do projétil e será denotada por A. Portanto, se o ângulo de lançamento
do projétil for um ângulo agudo (θ0 < π/2), podemos dizer que o projétil atinge
o solo no ponto de coordenadas x = A e y = 0.
Com tudo isso em mente, calculemos, inicialmente, o instante em que o
projétil atinge o ponto mais alto de sua trajetória, instante que denotaremos por
tm . Por definição, nesse instante, a velocidade vertical do projétil é nula, de modo
que:
v0 senθ0
v0 senθ0 − gtm = 0 −→ tm =
.
g
Substituindo esse resultado na segunda equação escrita em (11.18), obtemos a
altura máxima atingida pelo projétil:
ym =
v02 sen2 θ0
.
2g
(11.21)
O alcance pode ser determinado simplesmente calculando-se qual é a coordenada x do projétil no instante em que ele retorna ao solo. Do mesmo modo
que no movimento de queda livre, aqui também o tempo gasto pelo projétil para
atingir a altura máxima (tempo de subida) é igual à metade do tempo total de vôo.
Desse modo, o tempo de vôo é dado por:
A demonstração desse resultado é
totalmente análoga àquela feita
no estudo da queda livre; o tempo
de vôo só depende da
componente vertical da
velocidade no instante do
lançamento (vy0 ) e da aceleração
da gravidade (g), não importando
com que rapidez o projétil se
movimenta horizontalmente. No
entanto, é importante mencionar
que essa independência dos
movimentos horizontal e vertical,
em geral, deixa de ser válida nos
casos mais realistas, nos quais a
resistência do ar influencia o
movimento.
tA = 2tm =
2v0 senθ0
.
g
Substituindo esse resultado na primeira equação escrita em (11.18), obtemos
A =
=
2v02
senθ0 cosθ0 =
g
v02
sen(2θ0 ) ,
g
(11.22)
onde usamos a identidade trigonométrica sen(2α) = 2 senα cosα.
A partir dessa expressão para o alcance, é imediato concluir que, dentre
todos os projéteis lançados com velocidades iniciais de mesmo módulo, mas com
ângulos de lançamento diferentes, terá o maior alcance aquele que for lançado
com θ0 = π/4, isto é, com 45o. Isso ocorre simplesmente porque sen(2θ0 ) tem um
máximo em 2θ0 = π/2. Além disso, como sen(π/2) = 1, o alcance máximo de
um projétil lançado com velocidade inicial de módulo v0 é dado por Am = v02 /g.
Para lançamentos feitos com o mesmo valor de v0 , fica também evidente
que os alcances correspondentes àqueles feitos com ângulos de lançamento complementares são exatamente iguais. Em outras palavras, os alcances de projéteis
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lançados com ângulos iniciais de 45o + α e 45o − α, com 0 < α < 45o , são os
mesmos, como ilustra a Figura 11.2. Demonstre esse resultado!
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Fig. 11.2: Alcance máximo e alcances para ângulos complementares (todos os lançamentos feitos com o mesmo v0 ).
Vale a pena finalizar esta seção comentando que o tipo de movimento que
acabamos de analisar aparece em outras situações de interesse em fı́sica. Por
exemplo, partı́culas carregadas na presença de campos eletrostáticos uniformes
sofrem acelerações constantes. Inclusive, as condições idealizadas em que supusemos não haver resistência do ar podem se cumprir de uma forma mais rigorosa
com partı́culas atômicas ou subatômicas (como os elétrons) do que no caso de
projéteis, pois tais partı́culas podem ser lançadas em regiões de alto vácuo (diminuindo, assim, praticamente a zero a resistência do ar). Justamente movimentos
desse tipo estavam presentes nas experiências que levaram J.J. Thomson a descobrir o elétron em 1897.
J.J. Thomson utilizou um
aparelho conhecido como tubo
de raios catódicos, uma espécie
de versão primitiva dos modernos
tubos de osciloscópio ou de
televisão.
Revendo o movimento circular
Nesta seção, discutiremos novamente o movimento circular já tratado na
aula 9, com o objetivo de rever algumas de suas caracterı́sticas e aprender alguns aspectos novos a respeito desse movimento. Em particular, deduziremos
novamente a fórmula para a aceleração centrı́peta no caso de um MCU utilizando
apenas argumentos geométricos.
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