VETORES
Objetivo
Estudar propriedades de vetores e a obtenção de resultantes.
Introdução
Para localizar um ponto P em uma reta, três elementos são necessários: uma referência
R, escolhida arbitrariamente, um número, que indica a distância de P até a referência R
e uma convenção de sinais, que indica a posição relativa de P (se está à direita ou à
esquerda de R, acima ou abaixo de R, etc.). Este conjunto de elementos constitui uma
coordenada.
P2
P1
- R+
3 cm
4 cm
+
R
-
(direita e esquerda)
Figura 1-a
(acima e abaixo)
Figura 2-a
A coordenada de P1 em relação a R é -4cm (Figura 1-a). A coordenada de P2 em
relação a R é +3cm (Figura 2-a).
A coordenada de R em relação a R é zero, porque a distância de R em relação a R é
zero. É costume chamar a referência R de origem O das coordenadas.
Chama-se eixo à reta com a origem O e a convenção de sinais definida sobre ela.
Podemos indicar a posição de um ponto P por meio de uma seta sobre o eixo, a qual
parte da origem e vai até P. Esta seta representa o vetor posição do ponto P. Por
convenção, representaremos um vetor por uma letra em negrito.
P2
V1
-
+
V2
O
+
O
-
vetor V1 vetor posição do ponto P1
vetor V2 vetor posição do ponto P2
P1
Figura 1-b
Figura 2-b
Nas figuras acima, o vetor está desenhado, mas é claro que seria muito conveniente ter
uma forma mais prática de tratar vetores, que não exigisse que os desenhássemos
sempre em todos os nossos trabalhos. Vamos então introduzir um tratamento analítico,
que dispensa a forma gráfica de lidar com vetores. Para isso, introduzimos um vetor
unitário: ele tem módulo um (1) e serve para indicar a direção do eixo e seu sentido
positivo.
ĵ
î
O
O
Unitário i
Unitário j
Figura 1-c
Figura 2-c
Para a Figura 1-c , o vetor unitário indica que a direção do eixo é horizontal e o sentido
positivo é da esquerda para a direita. Vamos chamar de i este vetor unitário. Agora, o
vetor posição de P1 na Figura 1-b pode ser escrito analiticamente como V1 = -4i (cm).
Esta expressão quer dizer que P1 está sobre o eixo horizontal, 4cm à esquerda da
origem. Um vetor tem direção, sentido e módulo (sempre positivo). V1 tem direção
horizontal, sentido negativo e módulo 4 (cm).
Analogamente, para a Figura 2-c , o vetor unitário indica que a direção do eixo é
vertical, e o sentido positivo é de baixo para cima. Vamos chamar de j este vetor
unitário. Agora, o vetor posição de P2 na Figura 2-b pode ser escrito analiticamente
como V2 = 3j (cm). Esta expressão quer dizer que P2 está sobre o eixo vertical, 3cm
acima da origem. Um vetor tem direção, sentido e módulo (sempre positivo). V2 tem
direção vertical, sentido positivo e módulo 3 (cm).
Na representação gráfica, o módulo do vetor deve ser proporcional ao comprimento da
seta. Vemos agora porque i e j devem ser unitários, isto é, devem ter módulo 1: é
para que V1 = -4i (cm) tenha módulo 4 (cm) e V2 = 3j (cm) tenha módulo 3 (cm).
Como a multiplicação de um número por 1 resulta no mesmo número, assim fica mais
simples. Do contrário, teríamos que levar em conta o valor do módulo de i e j para
obter o módulo de V1 e de V2.
Para localizar um ponto em uma superfície, uma única coordenada não é suficiente.
Vamos então utilizar o que já conhecemos sobre as coordenadas em uma reta e traçar na
superfície duas retas que se cruzam perpendicularmente. Escolhemos como origem O
o ponto em que as retas se cruzam, porque assim temos a mesma origem para as duas
retas. Para cada reta escolhemos uma convenção de sinais, que indica a posição relativa
a O. Temos assim dois eixos. Cada um recebe um nome, para que possamos distinguilos; é costume chamar a um deles de eixo X e ao outro de eixo Y. Para localizar um
ponto P que está sobre um destes eixos medimos a distância de P até O e utilizamos a
convenção de sinais adotada.
y
P2
V2
V1
P1
x
Figura 3
O ponto P1 tem coordenada x = -4cm (isto é, coordenada sobre o eixo X igual a - 4cm)
e o ponto P2 tem coordenada y = 3cm (isto é , coordenada sobre o eixo Y igual a 3cm).
Portanto, os vetores posição dos pontos P1 e P2 são, respectivamente V1 = -4i (cm) e
V2 = 3j (cm).
Como representar um ponto P que está na superfície, mas não está sobre nenhum dos
dois eixos?
y
P V
x
Figura 4
Para isso, vamos agora considerar a regra do paralelogramo para a soma de dois
vetores. Trata-se de uma construção gráfica em que desenhamos os dois vetores com a
mesma origem e construímos o paralelogramo que tem os dois vetores como seus lados.
b
a+b
a
Regra do paralelogramo
Figura 5
O vetor V = a + b, isto é o vetor que é a soma dos vetores a e b é dado pela seta
diagonal que vai da origem até o vértice oposto.
Considerando nossos vetores V1 e V2 como os vetores a e b da regra do paralelogramo
estudada acima , verificamos então que a soma de V1 e V2 fornece o vetor V, que é o
vetor posição do ponto P, situado sobre a superfície e fora dos eixos.
y
P
V2
V
x
V1
Figura 6
Assim, usando os unitário i e j, e todos os possíveis pares de coordenadas x e y,
podemos representar todos os pontos sobre uma superfície.
As coordenadas x e y são as componentes x e y do vetor. Para o vetor V da Figura 6, Vx
(a componente x de V) é -4(cm) e Vy (a componente y de V) é 3 (cm).
As componentes são utilizadas para um tratamento analítico da soma vetorial: se
V = V1 + V2 então Vx = V1x + V2x e Vy = V1y + V2y , ou seja, a componente da soma
é a soma das componentes. Este resultado vale para a soma de qualquer número de
vetores e dispensa o uso de desenhos.
Pela Figura 7 verificamos que V, V1 e V2 formam um triângulo retângulo. As
componentes de V podem então ser facilmente calculadas, a partir da definição das
funções trigonométricas.
y
P
V2
V
θ
x
V1
Figura 7
Como sen θ =
Vy
V
(cateto oposto sobre a hipotenusa) então Vy = V sen θ.
Analogamente, como cos θ =
Vx
V
(cateto adjacente sobre a hipotenusa) então
Vx = V cos θ.
Uma vez que o módulo do vetor corresponde ao tamanho da seta que o representa,
podemos utilizar o teorema de Pitágoras para calcular o módulo de V = |V| se
conhecermos suas componentes: |V|2 = Vx2 + Vy2 . No caso da Figura 7, |V|= 5 (cm).
Portanto, mais uma vez, conhecer as componentes dispensa o uso de desenhos.
Por meio das componentes, podemos determinar o ângulo θ que o vetor faz com o eixo
X:
 Vy
θ = tg-1 
 Vx

 (cateto oposto sobre cateto adjacente).


No caso da Figura 6,
Vy
Vx
=
3
= − 0,75 → θ = 143,1o
( −4 )
Conhecendo as componentes, conhecemos tudo sobre o vetor.
y
3
143,1o
5
x
4
Figura 8
Bancada ______
Data ____________ Turma ________
Nome: ________________________________________________________
VETORES
Procedimento Experimental
Parte I - RESULTANTE DE DOIS VETORES
1. Este equipamento é MUITO sensível e já está calibrado e alinhado. O manuseio deve
ser muito cuidadoso para a obtenção dos resultados.
2. O equipamento está montado com um dinamômetro (instrumento que serve para
medir a intensidade de uma força), duas roldanas e dois fios que passam por elas tendo
em suas extremidades massas iguais de 50,0g (Figura 1).
Fio2
Fio1
Figura 1
3. Verificar a montagem: sistema em equilíbrio com o nó dos fios coincidindo com o
centro da mesa de forças; fio 1 alinhado com o eixo X (θ1 = 0) formando um ângulo de
60º com o fio 2. (Figura 2)
Verificar também que o cilindro interno do dinamômetro não toque em suas
paredes laterais. Isto ajuda a impedir que o atrito entre estas partes do
dinamômetro perturbe as medições.
Fio2
eixo X
Fio1
Figura 2
4. Calcular, no sistema MKS, os módulos das forças F1 e F2 (tensão no fio 1 e tensão no
fio 2). g = 9,79m/s2
|F1 |= _______ (
)
|F2 | = _______ (
)
5. Anotar o valor do módulo da força FD indicado no dinamômetro.
(a menor divisão da escala do dinamômetro corresponde a 0,02N)
e o ângulo θD que ela faz com o eixo X (sentido positivo: anti horário).
|FD |= ________(
)
θD = ________
6. Traçar um sistema de eixos cartesianos em uma folha de papel milimetrado.
Representar os vetores F1 e F2 no sistema de eixos cartesianos observando os ângulos
que eles formam com o eixo x. Escala: 1N = 10cm.
Fazendo as projeções adequadas, obter o valor das componentes diretamente do gráfico.
F1x = ________(
)
F1y = ________(
)
F2x = ________(
)
F2y = ________(
)
Como forças são vetores, para calcular a resultante FR de F1 e F2 , FR = F1 + F2 ,
podemos usar o método analítico (soma das componentes) ou o método gráfico (regra
do paralelogramo).
7. MÈTODO ANALÍTICO: Usar as componentes obtidas no item 6 para determinar a
força resultante FR
a) Obter as componentes de FR
b)
FRx = F1x + F2x = ______ + ______ = _________ (
)
FRy = F1y + F2y = ______ + ______ = _________ (
)
Obter o módulo de FR
|FR | =| F1 + F2 | =
F
+ F
= ___________________________ ( )
c) Obter o ângulo que FR faz com o eixo X:
 FR y
θ R = tg-1 
F
 Rx

 = ________


8. MÈTODO GRÁFICO: No papel milimetrado, determinar FR , resultante entre F1 e F2
pela regra do paralelogramo. Escala: 1N = 10cm
a)
Obter diretamente do gráfico o módulo de FR
|FR | =| F1 + F2 | = ________ ( )
b) Obter diretamente do gráfico o ângulo que FR faz com o eixo X.
θ R = _______
Comparar os resultados dos itens 7 e 8. Comentar.
9. Uma vez que o sistema está em equilíbrio, qual deve ser a relação entre FR e FD ?
10. Comparar os resultados ( módulo, direção e sentido) obtidos nos itens 7 e 8 para FR
com os obtidos no item 5 para FD, e verificar se estão de acordo com a relação teórica
obtida no item 9. Comentar.
Parte II - RESULTANTE DE TRÊS VETORES
Fio3
Fio2
Fio1
Figura 3
1. Cuidadosamente, substituir a montagem de dois fios pela de três fios. As massas
suspensas, de acordo com a figura 3, são: m1 = 50 g ; m2 = 50 g ; m3 = 100 g .
Verificar que o sistema esteja em equilíbrio com o nó dos fios coincidindo com o
centro da mesa de forças; verificar também que o cilindro interno do dinamômetro não
toque em suas paredes laterais.
Alinhamento de acordo com Figura 4.
Girar o transferidor e alinhar o fio 1 com o eixo X (θ1 = 0).
Deslocar a segunda roldana até que o fio 2 faça um ângulo θ12 = 60º com o fio 1.
Deslocar a terceira roldana até que o fio 3 faça um ângulo θ23 = 80º com o fio 2.
Fio2
Fio3
eixo X
Fio1
Figura 4
2. Calcular os módulos das forças F1 , F2 e F3 (tensões nos fios 1, 2 e 3).
|F1 |= ________ (
)
|F2 | = ________ (
)
|F3 | = ________ (
)
3. Anotar o valor do módulo da força FD indicada no dinamômetro e do ângulo que ela
faz com o eixo X.
|FD |= ________
( )
θD= _______
O método gráfico para a soma de vetores torna-se inconveniente quando cresce o
número de vetores a serem somados. Vamos então trabalhar agora apenas com o
método analítico.
4. Traçar um sistema de eixos cartesianos em uma folha de papel milimetrado.
Representar os vetores F1, F2 e F3 no sistema de eixos cartesianos observando os
ângulos que eles formam com o eixo x. Fazendo as projeções adequadas, obter as
componentes.
F1x = ________(
)
F1y = ________( )
F2x = ________(
)
F2y = ________( )
F3x = ________(
)
F3y = ________( )
5. Usar as componentes para determinar a força resultante FR = F1 + F2 + F3
a) Obter as componentes de FR
FRx = _______________ (
)
FRY = ________________ (
)
b) Obter o módulo de FR
|FR | =| F1 + F2 + F3 | =
F
+ F
c) Obter o ângulo que FR faz com o eixo X :
=______________ ( )
 FR y
θ R = tg-1 
F
 Rx

 = _______


6. Uma vez que o sistema está em equilíbrio, qual deve ser a relação entre FR e FD?
7.Comparar os resultados obtidos no item 5 para FR com os obtidos no item 3 para FD e
verificar se estão de acordo com a relação teórica obtida no item 6. Comentar.