Distribuição Gama
• Qual é a distribuição do tempo em que
ocorre a 3a chegada em um Processo de
Poisson de taxa l?
Distribuição Gama
• A distribuição Gama com parâmetros a e l
tem densidade f(x) = la xa–1e–lx/G(a), para
x>0.
• No caso em que a é inteiro, G(a) = (a-1)! e
X tem a distribuição da soma de a variáveis
independentes com distribuição exponencial
de parâmetro l.
Distribuição Normal
• A distribuição normal padrão é a distribuição da
variável aleatória Z de densidade
1
f Z ( z) =
2
z2
e 2
• Notação: Z ~ N(0, 1)
EZ = 0, Var Z = 1
Distribuição Normal
• Uma variável X tem distribuição normal
com parâmetros m (média) e s2 (variância)
quando é da forma X = sZ + m, onde
Z~N(0,1)
• Notação: X~N(m, s2)
Distribuição Normal
• Qual é a densidade da distribuição
X~N(m, s2)?
• De modo geral, qual é a densidade de g(X),
onde g é uma função inversível e X é uma
v. a. de densidade f?
Transformando uma v. a.
• A densidade de Y = g(X) é dada por
f X ( x)
fY ( y ) =
| g ' ( x) |
onde x é tal que g( x) = y.
Transformando uma v.a.
• Caso particular: Se X tem densidade f, então
Y = aX + b (a>0) tem densidade 1 f  y - b 
a  a 
X= Y/2
X
Y = 2X
Y
Densidade da distribuição normal
• A densidade da v.a. X com distribuição normal
N(m, s2) é
1
f X ( x) =
e
2 s
-
( x-m )2
2s 2
Exemplo
•
As notas dos alunos em um teste têm
distribuição normal com média 70 e
desvio padrão 10.
–
–
Se um aluno for escolhido ao acaso, qual é a
probabilidade de que sua nota seja maior que
85?
Qual é a nota correspondente ao percentil
95%?
V. A. Multidimensionais
• Exemplo: moeda honesta lançada 3 vezes
X = número de caras
Y = número de transições
x
0
1
2
3
P(X=x)
1/8
3/8
3/8
1/8
y
0
1
2
P(Y=y)
1/4
2/4
1/4
Qual é a probabilidade de que X = 2 e Y =1?
V. A. Multidimensionais
• Não se pode responder (em geral) a partir
das distribuições individuais (marginais) de
X e Y.
• Pode-se responder com base na distribuição
de (X, Y), também chamada de distribuição
conjunta de X e Y.
Distribuição Conjunta
w
ccc
cck
ckc
kcc
ckk
kck
kkc
kkk
X
3
2
2
2
1
1
1
0
Y
0
1
2
1
1
2
1
0
Distribuição Conjunta
w
ccc
cck
ckc
kcc
ckk
kck
kkc
kkk
P
1/8
1/8
1/8
1/8
1/8
1/8
1/8
1/8
X
3
2
2
2
1
1
1
0
Y
0
1
2
1
1
2
1
0
X
Y
0
1
2
0
1
2
3
Distribuição Conjunta
w
ccc
cck
ckc
kcc
ckk
kck
kkc
kkk
P
1/8
1/8
1/8
1/8
1/8
1/8
1/8
1/8
X
3
2
2
2
1
1
1
0
Y
0
1
2
1
1
2
1
0
X
0
1
2
3
0
1/8
-
-
1/8
1
-
2/8
2/8
-
2
-
1/8
1/8
-
Y
P(X=2 e Y =1) = 2/8
Distribuição Conjunta
• A distribuição conjunta de X = (X1, X2, ...,
Xn) completamente caracteriza
probabilidades envolvendo X1, X2, ..., Xn e
quaisquer subconjuntos delas (distribuições
marginais).
Distribuição Conjunta
X
Y
0
1
2
X
0
1
2
3
1/8
-
2/8
1/8
2/8
1/8
1/8
-
Y
Distribuição Conjunta
X
0
1
2
3
Y
2/8
1/8
3/8
2/8
1/8
3/8
1/8
1/8
1/4
1/2
1/4
X
1/8
1/8
Y
0
1
2
Função de Distribuição Acumulada
• A distribuição conjunta de X = (X1, X2, ...,
Xn) é completamente caracterizada pela sua
função de distribuição acumulada.
FX1, X2, ... Xn (x1, x2, ..., xn) =
P(X1  x1, X2  x2, ..., Xn  xn)
• Exemplo
FX1(x1) = ?
Função de Distribuição Acumulada
• A distribuição conjunta de X = (X1, X2, ...,
Xn) é completamente caracterizada pela sua
função de distribuição acumulada.
FX1, X2, ... Xn (x1, x2, ..., xn) =
P(X1  x1, X2  x2, ..., Xn  xn)
• Exemplo
FX1(x1) = limx2 , ..., xn FX1, X2, ... Xn (x1, x2, ..., xn)
Tipos de distribuição conjunta
• Discretas
Quando existe um conjunto enumerável
A = {x1, x2, ...} tal que P(X  A) = 1.
Neste caso, P(X  B) = xi  B P(X = xi)
Tipos de distribuição conjunta
• Discretas
Quando existe um conjunto enumerável
A = {x1, x2, ...} tal que P(X  A) = 1.
Neste caso, P(X  B) = xi  B P(X = xi)
• Contínuas
Quando existe uma função de densidade f tal que
FX1, X 2 ,..., X n ( x1, x2 ,..., xn ) =
Neste caso:
x1 x2
xn
  ...  f (t1, t 2 ,...t n )dtn ...dt2 dt1
- - - 
P( X  B) =   ...  f (t1, t 2 ,...t n )dtn ...dt2 dt1
B
Exemplo
•
Um ponto (X, Y) é escolhido no quadrado
unitário com densidade proporcional a
x+y.
–
–
Qual é a função de densidade?
Qual é a probabilidade de que X seja menor
que 1/2?
Propriedades
• Esperança de funções de v.a. multidimensionais
E(g(X)) = Si g(xi) P(X=xi) (discreta)
E(g(X)) = Rn g(x) fX(x) dx
(contínua)
• Casos particulares:
• EX = R2 x fX,Y(x,y) dy dx
• E(X+Y) = R2 (x+y) fX,Y(x,y) dy dx =
= R2 x fX,Y(x,y) dy dx + R2 y fX,Y(x,y) dy dx = EX +EY
Propriedades
• Em geral, E (XY)  EX EY
• Mas E(XY) = EX EY se X e Y são independentes.
 -
E ( XY ) =   xy f X ,Y ( x, y )dy dx =
- -
  -
  xy f X ( x) fY ( y )dy dx =
- -
 
 x f X ( x)  y fY ( y )dy
-
 -



-
-

 dx =

 x f X ( x)dx  y fY ( y )dy =EX EY
Observação
• X, Y independentes  E(XY) = EX EY
• E(XY) = EX EY  X, Y independentes
não correlacionadas
Covariância e Correlação
•
Cov(X, Y) = E(X–EX)(Y–EY) =
= E(XY) – EX EY
•
r(X, Y) = Cov(X,Y)/s(X)s(Y)
•
Teorema: –1 ≤ r(X, Y) ≤ 1
Exemplo
• As variáveis aleatórias X e Y têm distribuição
conjunta de densidade fX,Y(x,y) = x+y, para
0 < x, y < 1
–
–
–
–
–
Quais são as distribuições marginais de X e Y?
Qual é a covariância de X e Y?
Qual é o coeficiente de correlação de X e Y?
Qual é a distribuição condicional de X dado Y?
X e Y são independentes?