Vetores Definição: São representações geométricas de algumas grandezas físicas chamadas de grandezas vetoriais (força, velocidade, aceleração, etc). Os vetores do plano ou do espaço, são representados por segmentos orientados e têm, como símbolo, a seta. Todos os segmentos orientados que têm a mesma direção, o mesmo sentido e o mesmo comprimento são representantes de um mesmo vetor. Por exemplo, no paralelogramo da figura abaixo, os segmentos orientados AB e CD determinam o mesmo vetor v , e escreve-se: → → → v = AB = CD → → → B D A C Obs: AB =B − A → Quando escrevemos v = AB , estamos afirmando que o vetor é → → determinado pelo segmento orientado AB de origem A e extremidade B. Porém, qualquer outro segmento de mesmo comprimento, mesma → direção e mesmo sentido de AB representa também o mesmo vetor v . Assim sendo, cada ponto do espaço pode ser considerado como origem → → de um segmento orientado que é representante do vetor v . → O comprimento ou o módulo, a direção e o sentido de um vetor v é o módulo, a direção e o sentido de qualquer um dos seus representantes. → Indica-se módulo de v por |v| ou por ||v||. → Qualquer ponto do espaço é representante do vetor zero (ou vetor nulo), que é indicado por zero. A cada vetor não nulo v corresponde um vetor oposto – v , que tem o → → mesmo módulo, a mesma direção, porém sentido contrário ao de v . Se → v = AB , o vetor BA é o oposto de AB , isto é, BA = – AB . → → → → . → v → → -v → Dois vetores u e v são colineares se tiverem a mesma direção. Em outras palavras: u e v são colineares se tiverem representantes AB e CD pertencentes a uma mesma reta ou a retas paralelas. v → u → B u → D B A C v → A D C Se os vetores u , v e w (o número de vetores não importa) possuem → → → representantes AB , CD e EF pertencentes a um mesmo plano π, dizse que eles são coplanares. → → → π D v → C B F w → u → A E Casos Particulares de Vetores: Dois vetores u e v são paralelos, e indica-se u // v , se os seus representantes tiverem a mesma direção. → → u → v → w → Dois vetores u e v são iguais, u = v , se tiverem iguais o módulo, a direção e o sentido. Qualquer ponto do espaço é representante do vetor zero (ou vetor → → → → nulo), que é indicado por zero ou 0 . Pelo fato deste vetor não possuir direção e sentido definidos, considera-se o vetor zero paralelo a qualquer vetor. → Um vetor u é unitário se |u| = 1. → A cada vetor v , v ≠ 0, é possível associar dois vetores unitários → → de mesma direção de v . u e – u . Na figura abaixo, tem-se que |v| → → → = 3 e |u| = |–u| = 1. O vetor u que tem o mesmo sentido de v é → → chamado versor de v . Na verdade o vetor u não é só versor do → → vetor v , mas sim de todos os vetores paralelos e de mesmo → sentido de v e medidos com a mesma unidade. → v → u → −u → Dois vetores u e v são ortogonais, se algum representante de u formar ângulo reto (90º) com algum representante de v. Dois ou mais vetores são coplanares se existir algum plano onde estes vetores estão representados. É importante observar que dois vetores u e v quaisquer são sempre coplanares, pois basta considerar um ponto P no espaço, e com origem nele, traçar os → → dois representantes de u e v pertencendo ao plano π que passa por aquele ponto. → → π v → P u → Operações com Vetores: Adição de vetores: Sejam os vetores u e v representados, na figura abaixo, pelos → → segmentos orientados AB e BC , respectivamente. → → B v u → A → u +v → → C Os pontos A e C determinam o vetor soma AC = u + v . → → → Observações: 1) A diferença de dois vetores u e v quaisquer é o vetor u + − v . → → → → Sejam os vetores u e v representados pelos segmentos → → orientados AB e AC , respectivamente. Construído o paralelogramo ABCD, da figura abaixo, verifica-se que a soma → → u + v é representada pelo segmento orientado AD (uma das → → → diagonais) e que a diferença u − v é representada pelo segmento → → orientado CB (a outra diagonal). → v → B u → D u +v → → −v → B u −v u → u → → v +u → A → C v → A D u → → C v → 2) Quando os vetores u e v estão aplicados no mesmo ponto, verifica-se que: → → A soma u + v (ou v + u ) tem origem no referido ponto; → → → → A diferença u − v tem origem na extremidade de v (e, por → → → conseguinte, a diferença v − u tem origem na extremidade de u ). → → → Multiplicação de um número real por um vetor: Dado um vetor v ≠ 0 e um número real k ≠ 0, chama-se produto do → número real k pelo vetor v o vetor p = k v , tal que: → → → Módulo: |p| = |k.v| = |k| . |v|; Direção: a mesma de v ; → Sentido: o mesmo de v se k > 0; e o contrário v de se k < 0. → → A figura abaixo mostra o vetor v e os correspondentes 2 v e –3 v . → v → → → 2v → –3 v → Observações: 1) Se k = 0 ou v = 0, o vetor k v é o vetor 0 ; → → → 2) Se k = –1, o vetor (–1) v é o oposto de v , isto é, (–1) v = – v . → → → → 3) Considerando o ponto O como origem de v , v ≠ 0, e de todos os → → vetores α v que lhe são paralelos (figura abaixo), se fizermos α assumir todos os valores reais, teremos representados em uma só → reta todos os vetores paralelos a v . → Por outro lado, supondo u // v , v ≠ 0, sempre existe um número → → → real α tal que u = α v . → → Por exemplo, na figura abaixo, onde DC está dividido em cinco ↔ segmentos congruentes, em relação ao vetor AB (| AB | = 2), temse: → → 3 → AC = AB 2 BD = −2 AB → 5 → CD = − AB 2 → → → 4) Vimos nos casos particulares de vetores, que a cada vetor v , v ≠ → → 0, é possível associar dois vetores unitários paralelos a v . O vetor → unitário 1 |v| → v ou → v → |v| → de mesmo sentido de é o versor de v . → Por exemplo, v se | v | = 5, o versor de v é ; |5| → → se | v | = → → → → 1 , o versor de v é 3 v ; 3 v se | v | = 10, o versor de – v é – ; | 10 | → → → Exercícios Propostos: 1) A figura abaixo é constituída de nove quadrados congruentes. Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações: 2) A figura abaixo representa um paralelepípedo retângulo. Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações: 3) Com base na figura, determinar os vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A: 4) Com base na figura, determinar os vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A: 5) Seja o vetor v ≠ 0. Determinar o vetor paralelo a v tal que → → a) tenha o mesmo sentido de v e módulo 5; → b) tenha sentido contrário ao de v e módulo 10. →