Professor: Chiquinho
Aluno(a):____________________
Assunto: Poliedros convexos
Propriedade
Existem cinco, e somente cinco, tipos de poliedros regulares.
Superfície Poliédrica Convexa
Reunião de um número finito de polígonos planos e convexos
(ou regiões poligonais convexas), tais que:
• dois polígonos não estão num mesmo plano;
• cada lado de polígono(aresta) não está em mais que dois
polígonos;
• havendo lados de polígonos que estão em um só polígono,
eles devem formar uma única poligonal fechada, plana ou
não, chamada contorno;
• o plano de cada polígono deixa os demais num mesmo
semi-espaço (condição de convexidade).
Relação de Euler
Para todo poliedro convexo, ou para sua superfície, vale a
relação
V+F=A+2
onde V é o número de vértices, A é o número de arestas e F é
o número de faces do poliedro.
Poliedros de Platão
É todo poliedro convexo e euleriano que satisfaz as seguintes
condições:
• todas as faces têm o mesmo número de arestas;
• de cada vértice parte o mesmo número de arestas.
Existem cinco, e somente cinco, tipos de poliedros de Platão.
Diagonais do Poliedro
Uma reta que liga um vértice a outro de um poliedro pode ser
:
• aresta
• diagonal de uma face do poliedro
• diagonal do poliedro
Podemos dizer que o número de diagonais de um poliedro é
igual ao total de retas que ligam um vértice a outro, subtraído
do número de arestas e do número de diagonais das faces
deste poliedro.
D = C v,2 − A − ∑ d f
São eles :
Soma dos ângulos das faces
Tetraedro – possui quatro faces triangulares.
Hexaedro – possui seis faces quadrangulares.
Octaedro - possui oito faces triangulares.
Dodecaedro – possui doze faces pentagonais.
Icosaedro – possui vinte faces triangulares
Num poliedro convexo, a soma dos ângulos de todas as faces
é dada por :
Poliedros Regulares
Um poliedro convexo é regular quando:
• suas faces são polígonos regulares e congruentes,
• seus ângulos poliédricos são congruentes.
S = ( V − 2 ) ⋅ 3600
Exercícios
1ª Questão : (UNIPAR)
Qual o número de vértices de um poliedro convexo de 10
faces quadrangulares?
2ª Questão : (PUC - PR)
Qual o número de vértices de um poliedro de 8 faces
triangulares e de 4 faces quadrangulares?
A partir dos pontos médios, quatro triângulos equiláteros
congruentes foram formados em cada face do icosaedro.
Admita que o icosaedro é inflado até que todos os pontos
marcados fiquem sobre a superfície de uma esfera, e os lados
dos triângulos tornem-se arcos de circunferências, como
ilustrado a seguir:
3ª Questão : (UEM - PR)
Um poliedro convexo possui 9 faces triangulares, 9 faces
quadrangulares, 1 face pentagonal e 1 face hexagonal.
Calcule o número de vértices.
4ª Questão : (UFF)
São dados 7 triângulos equiláteros , 15 quadrados e 30
pentágonos regulares, todos de mesmo lado. Utilizando estes
polígonos, o número máximo de poliedros regulares que se
pode formar é :
(A) 5
(B) 6
(C) 7
(D) 8
Observe agora que, substituindo-se esses arcos por segmentos
de reta, obtém-se uma nova estrutura poliédrica de faces
triangulares, denominada geodésica.
(E) 9
5ª Questão : (UEM – 2006)
Uma das possíveis moléculas do
fulereno apresenta-se na forma de
poliedros de 12 faces pentagonais e
20 faces hexagonais, sendo que cada
uma de suas faces apresenta átomos
de carbono nos vértices. A figura
abaixo
ilustra
a
estrutura
tridimensional dessa forma do
fulereno.
O número de arestas dessa estrutura é igual a:
(A) 90
(B) 120
(C) 150
(D) 180
7ª Questão : (CEFET - PR)
Um poliedro convexo possui duas faces triangulares, duas
quadrangulares e quatro pentagonais. Qual a soma dos
ângulos internos das faces desse poliedro?
Sobre essa molécula, assinale a alternativa correta.
8ª Questão :
(A) Ela apresenta mais de 100 ligações carbono-carbono.
(B) O número de átomos de carbono é 60.
(C) A forma da molécula desse fulereno é de um poliedro
regular.
Um poliedro convexo tem 3 faces com 4 lados, 2 faces com 3
lados e 4 faces com 5 lados. O número de vértices desse
poliedro é igual a :
(A) 12
(B) 15
(C) 19
(D) 21
(D) Ela não pode ser considerada uma das formas alotrópicas
do carbono porque cada carbono forma apenas 3 ligações.
9ª Questão : (PUC – SP)
(E) Os ângulos das faces são congruentes.
6ª Questão : (UERJ – E.Q.)
Considere o icosaedro abaixo, construído em plástico inflável,
cujos vértices e pontos médios de todas as arestas estão
marcados.
Num poliedro convexo, o número de arestas excede o número
de vértices de 6 unidades. Calcular o número de faces:
(A) 8
(B) 6
(C) 4
(D) 2
(E) n.d.a.
10ª Questão : (CEFET - RJ)
13ª Questão :
Ari Qui Teto , projetista famoso, pretendendo construir o
prédio de um centro de convenções, inspirou-se em formas
poliédricas com bases regulares. Inicialmente pensou num
prédio com o formato de um poliedro de base quadrada ,
depois evoluiu para um poliedro de base hexagonal ( veja
esboços abaixo) e finalmente concluiu que o mais adequado
seria o formato poliédrico com base igual a um polígono
regular de 32 lados (não esboçado). Calculando-se a soma S
= no de vértices + no de arestas desse “prédio poliédrico”,
finalmente definido por Ari Qui Teto, obtém-se :
(A) 130
(B) 200
(C) 193
Base = 4 lados
(D) 128
(E) 224
Base = 6 lados Base = 32 lados
Numa
molécula
12 pentágonos
tridimensional
de
20 hexágonos
carbono, os átomos
ocupam os vértices
de um poliedro
convexo com 12
faces pentagonais e
20 faces hexagonais
regulares, como em
uma bola de futebol.
Qual é o número
de
átomos
de
carbono na molécula ? E o número de ligações entre esses
átomos ?
14ª Questão : (AFA)
vista
superior
?
vista
frontal
?
11ª Questão : (FATEC)
Um poliedro Q convexo tem 4 faces de 5 lados , 3 faces com
4 lados e 2 faces com 3 lados . Se V é o número de vértices de
Q, então :
(A) V = 9
(B) V = 18
(C) V = 11
(D) V = 14
(E) V = 15
12ª Questão : (UERJ)
Um icosaedro regular tem 20 faces e 12 vértices, a partir dos
quais retiram-se 12 pirâmides congruentes. As medidas das
1
da aresta do
arestas dessas pirâmides são iguais a
3
icosaedro . O que resta é um tipo de poliedro usado na
fabricação de bolas. Observe as figuras. Para confeccionar
uma bola de futebol, um artesão usa esse novo poliedro, no
qual cada gomo é uma face. Ao costurar dois gomos para unir
duas faces do poliedro , ele gasta 7 cm de linha. Depois de
pronta a bola, o artesão gastou, no mínimo, um comprimento
de linha igual a:
(A) 7,0m
(B) 6,3m
(C) 4,9m
(D) 2,1m
Um poliedro convexo tem 16 faces. De um dos seus vértices
partem 5 arestas; de cinco outros vértices partem 4 arestas e,
de cada um dos vértices restantes, partem 3 arestas. Qual o
número total de arestas desse poliedro?
15ª Questão : (ITA)
Um poliedro convexo tem 13 faces. De um dos seus vértices
partem 6 arestas; de 6 outros vértices partem, de cada um, 4
arestas, e finalmente, de cada um dos vértices restantes
partem 3 arestas. O número de arestas desse poliedro é:
(A) 13
(B) 17
(C) 21
(D) 24
(E) 27
16ª Questão : (ESCOLA NAVAL)
Um poliedro convexo é formado por 10 faces triangulares e
10 faces pentagonais. O número de diagonais desse poliedro
é:
(A) 60.
(B) 81.
(C) 100.
(D) 121.
(E)141.
17ª Questão : (UNIRIO)
Um geólogo encontrou, numa de suas explorações, um cristal
de rocha no formato de um poliedro, que satisfaz a relação de
Euler, de 60 faces triangulares. O número de vértices deste
cristal é igual a:
(A) 35
(B) 34
(C) 33
(D) 32
(E) 31