Física Laboratorial
Ano Lectivo 2003/04
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DE ERROS
NAS MEDIDAS DE GRANDEZAS FÍSICAS
1. Introdução ..................................................................................................................2
2. Erros de observação: erros sistemáticos e erros fortuitos ou acidentais ....................2
3. Precisão e rigor ..........................................................................................................3
4. Erro absoluto e erro relativo ......................................................................................3
5. Algarismos significativos ..........................................................................................4
6. Distribuição de medidas ............................................................................................5
7. Média Aritmética e erro padrão na média aritmética ................................................8
7.1 Média aritmética simples e pesada .....................................................................8
7.2 Desvio padrão e variância dos resultados de uma amostra
e da média aritmética .........................................................................................8
8. Combinação de erros ...............................................................................................10
9. Ajuste de uma recta a dados experimentais
Método dos mínimos desvios quadrados ................................................................12
9.1 Ajuste a uma recta da forma y = kx ..................................................................12
9.2 Ajuste a uma recta da forma y = ax + b ............................................................13
10. Avaliação da qualidade do ajuste de uma recta aos dados experimentais
teste do qui-quadrado ...........................................................................................13
Bibliografia..................................................................................................................14
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1. Introdução
É um facto de observação corrente que, se repetirmos a medição de uma grandeza física em
condições supostas idênticas, não obtemos sempre o mesmo resultado mas sim um conjunto de
valores diferentes. Cada um destes valores constitui um “valor medido” da referida grandeza. Como
uma medição nunca é exacta, cada valor medido representa uma aproximação do valor verdadeiro.
As medidas de massa, comprimento, tempo e de todas as grandezas derivadas como, por exemplo,
volume e densidade, são inevitavelmente de precisão limitada. Nestas condições, a crítica dos
resultados obtidos numa experiência é parte fundamental da própria experiência. Ao realizar uma
medição não basta indicar o número que se obteve como resultado: é necessário fazê-lo acompanhar
de um outro que indique em que medida o experimentador está confiante no valor que apresenta.
Por exemplo, ao medir-se a distância focal f de uma lente, o resultado final pode ser apresentado
como f = 256 ± 2 mm. Significa isto que, dadas as condições em que foi efectuada a medição, o
experimentador considera que a distância focal deverá ter um valor compreendido entre 254 mm e
258 mm, sendo 256 mm o valor mais provável.
2. Erros de observação: erros sistemáticos e erros fortuitos ou acidentais
A preocupação fundamental do experimentador que realiza uma medição é, naturalmente, a de
tomar todas as precauções para reduzir os erros durante a experiência. Apesar disso, todas as
medições são afectadas por um erro experimental devido as inevitáveis imperfeições nos aparelhos
de medida ou às limitações impostas pelos nossos sentidos (visão, audição, etc.) que registam a
informação.
Ao repetir várias vezes uma medição, verifica-se que os erros experimentais se agrupam em duas
categorias: uns que se apresentam sempre no mesmo sentido e outros que actuam ao acaso tanto
num sentido como no outro. Os primeiros designam-se por erros sistemáticos; os segundos, por
erros acidentais ou fortuitos.
Suponhamos que medimos o período de um pêndulo com o auxílio de um cronómetro e que
repetimos várias vezes a medição. Os atrasos ou antecipações do experimentador ao ligar e desligar
o cronómetro, os erros na estimativa das divisões da escala, as pequenas irregularidades no
movimento do pêndulo, provocam variações nos resultados das sucessivas medições e podem ser
considerados erros acidentais. Se não se manifestarem outros erros, algumas das medidas
apresentam um valor elevado e outras um valor mais reduzido. Mas se, além disso, o cronómetro
tiver, por exemplo, tendência para se atrasar, todos os resultados virão reduzidos. Trata-se assim de
um erro sistemático.
Relativamente aos erros sistemáticos, muitas vezes difíceis de detectar, não existe qualquer teoria
generalizada que permita o seu estudo. No entanto, e ao contrário dos erros acidentais, são, na maior
parte dos casos, susceptíveis de correcção, podendo mesmo ser eliminados. De facto, os cuidados do
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experimentador, o perfeito conhecimento das condições em que realiza a experiência e do método
que está a seguir, uma permanente desconfiança dos aparelhos de medida e, sobretudo, uma larga
prática, permitem compensar ou evitar este tipo de erros.
Os erros acidentais, dado a carácter aleatório com que se apresentam, podem ser submetidos a
um tratamento matemático baseado na Teoria das Probabilidades. É deles que nos ocuparemos nos
parágrafos que se seguem.
Interessa salientar, porém, que a fronteira entre erros sistemáticos e erros acidentais não é, por
vezes, bem definida e que, se há erros que facilmente podemos identificar como sistemáticos, outros
existem que, estando ligados a incertezas difíceis de esclarecer, tornam impraticável distinguir se
pertencem a uma ou a outra destas categorias.
3. Precisão e rigor
Convém também distinguir os conceitos de precisão e de rigor numa medida. Diremos que uma
medição é feita com elevada precisão se os erros acidentais são pequenos (quando comparados com
o valor da grandeza medida); diremos que uma medição é feita com elevado rigor (ou exactidão) se
os erros sistemáticos são pequenos (quando comparados com o valor da grandeza medida).
O termo precisão é usado para caracterizar a reprodutibilidade dos resultados, indicando o desvio
em relação ao valor médio; exactidão é o termo que se utiliza para exprimir o afastamento do valor
médio relativamente ao verdadeiro valor da grandeza. A precisão é tanto maior quanto mais
próxima do valor médio estiver a medida; a exactidão é tanto maior quanto mais próximo do
verdadeiro valor estiver o valor médio. A precisão pode ser aumentada reduzindo os erros
acidentais; a exactidão pode ser aumentada eliminando os erros sistemáticos e minimizando os erros
acidentais.
4. Erro absoluto e erro relativo
Note-se, também, que um erro, seja ele de que tipo for, pode ser expresso de duas maneiras
diferentes: o “erro absoluto” ou o “erro relativo”.
Chamamos erro absoluto de um resultado medido ou calculado à diferença entre esse resultado e
o valor verdadeiro da grandeza. Se designarmos por x0 o referido resultado e por x o valor
verdadeiro da grandeza, o erro absoluto será:
δx = x0 − x .
Como é evidente, δx não é conhecido, uma vez que não há maneira de conhecer o verdadeiro valor,
x. Porém, como se verá, há casos em que é possível estimar um valor máximo para δx.
Chamamos erro relativo ao valor do quociente entre o erro absoluto e o valor (medido, calculado
ou verdadeiro) da grandeza:
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x0 − x δx δx [1]
=
≈
.
x
x x0
Analisando dimensionalmente as equações anteriores, verifica-se que o erro absoluto se exprime
nas unidades da grandeza enquanto que o erro relativo é uma grandeza adimensional. Estas duas
formas de exprimir um erro distinguem-se ainda pela natureza das informações que fornecem.
Considere-se o exemplo seguinte: um erro de 5kg/cm2 na leitura de uma pressão de 2500kg/cm2
representa um erro absoluto de 5kg/cm2; se a pressão medida for 20kg/cm2 e o erro cometido na
leitura tiver sido o mesmo, o erro absoluto será novamente de 5kg/cm2. Pelo contrário, os erros
relativos cometidos em cada um dos casos serão, respectivamente,
5
5
= 0.002 e
= 0.25 .
2500
20
Ou seja, enquanto que o erro absoluto é independente do maior ou menor valor da grandeza a medir,
o erro relativo é largamente dependente desse valor, revelando a precisão da medida feita: um erro
de 2 cm na medida de uma distância de 200 m representa uma boa precisão, enquanto que o mesmo
erro de 2 cm na medida de uma distância de 10 cm revela uma fraca precisão.
O erro relativo exprime-se, por vezes, em termos de percentagem e define, então, a chamada
percentagem de erro ou erro percentual. No último exemplo apresentado, os erros relativos
percentuais seriam, respectivamente
2
2
x100 = 0.01% e
x100 = 20% .
20000
10
5. Algarismos significativos
Suponhamos o caso de um voltímetro digital que permite leituras da tensão até à milésima de
volt. Então, o voltímetro dá pouca informação sobre décimos milésimos de volt, embora dê alguma.
Se o verdadeiro valor da tensão for, por exemplo, 23.5647 V, o voltímetro indicará 23.565
(admitindo que ele está construído para fornecer o valor mais próximo da sua escala, ao que se
chama “arredondar para o valor mais próximo”)2. Se o verdadeiro valor fosse antes, por hipótese,
23.5654 V ele marcaria de novo 23.565. Em resumo, a indicação 23.565 corresponde a um valor
compreendido entre 23.5645 e 23.5655.
Esta situação é muito comum e convencionou-se que o último algarismo indica que o verdadeiro
valor está num intervalo de amplitude igual ao de uma unidade dessa ordem ± meia unidade da
ordem seguinte. Apresenta-se o resultado da medição como sendo 23.565 em que os algarismos
[1] Geralmente, como se desconhece o verdadeiro valor da grandeza medida, o erro relativo é determinado
através do quociente δx x0 , onde δx corresponde a uma estimativa do erro na medida e x0 ao valor
medido.
[2 ] Pode também acontecer que o aparelho de medida não apresente uma leitura “arredondada” para o valor
mais próximo, limitando-se a truncar o valor medido de acordo com o número de dígitos do visor.
Nesse caso, devemos considerar o erro como sendo de ± 1 unidade no último algarismo lido.
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tomam o nome de “algarismos significativos”. O último algarismo tem um significado especial,
como se viu no exemplo do voltímetro, pois indica qual a incerteza no valor medido. Pode, por isso,
ser um zero. Por exemplo, utilizando esta convenção 7.4200 tem 5 algarismos significativos e indica
que o verdadeiro valor está entre 7.41995 e 7.42005. Se o resultado é expresso por um número sem
parte decimal, escreve-se em notação científica e usa-se a convenção acima. Exemplo: 670000 com
3 algarismos significativos escreve-se 6.70x105.
Ao efectuar operações entre números devem também adoptar-se algumas regras para
apresentação dos resultados. Vamos ilustrar com exemplos.
Seja o primeiro multiplicar 5.74 por 3.8 em que estes valores obedecem à convenção dos algarismos
significativos. O produto dá 21.812 mas como o primeiro factor indica um valor qualquer
compreendido entre 5.735 e 5.745 e o segundo um valor entre 3.75 e 3.85, só podemos afirmar que
o produto estará entre:
5.735 x 3.75 = 21.50625 e 5.745 x 3.85 = 22.11825.
Se quisermos representar a produto dentro da convenção dos algarismos significativos devemos
adoptar apenas o número 22. Evidentemente que, ao proceder assim, estamos a afirmar que o valor
está entre 21.5 e 22.5 o que, sendo verdade, alarga porém a imprecisão. A vantagem está na
simplificação que advém da adopção neste caso de uma regra simples como a que se segue:
Multiplicação, divisão e raiz quadrada: o número total de algarismos significativos do resultado é o
número total de algarismos significativos do factor que tiver menor número deles.
Ex: 56.25 x 5.37 = 302.0625 mas como 5.37 tem 3 algarismos significativos há que arredondar o
resultado para 302.
Adição e subtracção: o número de casas decimais significativas do resultado é o da parcela que tiver
menor número delas.
Ex: 4.17 + 1.6 = 5.77 mas como 1.6 tem 1 casa decimal significativa há que arredondar o resultado
para 5.8.
6. Distribuição de medidas
Sabemos já que, em virtude dos erros acidentais, se repetirmos a medição de uma mesma
grandeza física em condições supostas idênticas obtemos um conjunto de resultados diferentes. Um
processo gráfico para exprimir os diferentes resultados obtidos consiste em desenhar um
histograma.
Para construir um histograma procede-se do seguinte modo:
1. Marcam-se no eixo das abcissas os valores máximo e mínimo das leituras obtidas;
2. Divide-se o intervalo assim obtido num número conveniente de sub-intervalos iguais;
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3. Tendo por base cada um desses sub-intervalos constroem-se rectângulos cujas alturas sejam
proporcionais ao número de leituras de valor compreendido em cada sub-intervalo.
Suponhamos que um determinado comprimento é medido 30 vezes. As sucessivas leituras
obtidas, x1, x2, ..., x30, estão representadas na Tabela I. Os valores mínimo e máximo dessas leituras
são respectivamente,
99.2 e 113.0 mm.
Pode, assim, traçar-se o histograma para o intervalo [99, 113]. Dividindo este intervalo em, por
exemplo, sete sub-intervalos, pode estabelecer-se a Tabela II.
Tabela I
x1 = 105.2 mm
x2 = 103.6 mm
x3 = 110.3 mm
x4 = 102.0 mm
x5 = 101.5 mm
x6 = 109.4 mm
x7 = 103.6 mm
x8 = 99.2 mm
x9 = 108.0 mm
x10 = 107.6 mm
x11 = 109.3 mm
x12 = 105.9 mm
x13 = 103.9 mm
x14 = 104.0 mm
x15 = 110.8 mm
x16 = 113.0 mm
x17 = 108.2 mm
x18 = 102.4 mm
x19 = 104.3 mm
x20 = 109.3 mm
x21 = 107.3mm
x22 = 106.6mm
x23 = 105.3mm
x24 = 105.8mm
x25 = 104.5mm
x26 = 106.3mm
x27 = 106.1mm
x28 = 103.2mm
x29 = 106.9mm
x30 = 106.6mm
Tabela II
Intervalos
Nº de leituras em cada intervalo
99-101
101-103
103-105
105-107
107-109
109-111
111-113
1
3
7
9
4
5
1
O histograma correspondente a estes resultados vem representado na fig.1.
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Nº de leituras em cada intervalo
Imaginemos
agora
que
continuávamos a fazer medições até
obter um número de leituras N
muito elevado. Esta colecção
8
hipotética de leituras tende, quando
N → ∞ , para uma distribuição e a
6
linha poligonal correspondente ao
contorno do histograma tende para
4
uma curva contínua. O conjunto das
N leituras constitui uma amostra da
2
distribuição. Se o número N for
efectivamente
muito
elevado,
0
podemos escolher intervalos com
98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114
largura muito pequena e ter ainda
Comprimento/cm
um número apreciável de leituras
Figura 1
em cada intervalo. Se considerarmos
intervalos com largura infinitamente pequena dx, o histograma transforma-se numa curva contínua
(fig. 2) que representa o número de leituras que caem em cada intervalo infinitesimal (x, x+ dx).
f(x)
x
Figura 2
Podemos definir a função f(x), conhecida por função de distribuição, em que (após conveniente
norma1ização,
f ( x )dx = 1 ), f(x)dx representa a fracção das leituras que se situa no intervalo de x
−∞
a x+dx. Por outras palavras, f(x)dx é a probabi1idade de que uma única leitura se situe no intervalo
(x, x + dx).
Quando estas curvas são simétricas relativamente a uma recta paralela ao eixo das ordenadas e
que passa pelo seu máximo a média da distribuição coincide com o valor mais provável da
grandeza. A distribuição normal ou de Gauss é um exemplo de uma distribuição simétrica da mais
∫
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vasta aplicação em Física.
7. Média aritmética e erro padrão na média aritmética
7.1 Média aritmética simples e pesada
Suponhamos que fazemos N medições sucessivas de uma mesma grandeza física e que estas
medições foram efectuadas sem que se verificasse qualquer erro sistemático. Sejam x1, x2, ..., xN as
leituras obtidas. Em termos de probabilidades, o valor mais provável da quantidade a medir é a
média aritmética das leituras obtidas, dada por:
N
x=
(x1 + x 2 + ... + x N )
N
=
∑x
i =1
N
i
.
(1)
Em outros casos há que extrair o valor mais provável a partir de um conjunto de medidas mas
acontece que não se atribui igual confiança (ou peso) a todas elas. Isso não leva a desprezar as de
menor confiança pois contribuem também com informação válida sobre o verdadeiro valor. A média
pesada de um conjunto de N resultados xi, cada um com peso ωi é:
N
∑ω x
i
x=
i =1
N
∑ω
i
.
(2)
i
i =1
7.2 Desvio padrão e variância dos resultados de uma amostra e da média aritmética
Resta esclarecer qual o erro que se comete ao tomar a média aritmética como a melhor estimativa
do valor verdadeiro [3]. Seja x o valor verdadeiro da quantidade a medir e que evidentemente
desconhecemos. O erro absoluto δxi na leitura de ordem i é
δx i = x i − x .
Do mesmo modo, o erro δx na média aritmética será
δx = x − x .
Porém, estas duas expressões pressupõem o conhecimento do valor verdadeiro x. Um processo de
tornear esta dificuldade consiste em trabalhar em termos de desvios (ou resíduos). O desvio (ou
[3] Repare-se que quantas mais vezes se repetir uma medida tanto maior é a probabilidade de reduzir os
efeitos dos erros acidentais ao considerar a média aritmética dos valores obtidos. Porém, por mais medidas
que se façam não se consegue aumentar o número de algarismos significativos no resultado. O que obtemos
é uma garantia de que o número obtido está mais perto do verdadeiro valor da grandeza, o qual devemos de
antemão renunciar a conhecer.
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resíduo) da leitura i é definido por
d i = xi − x ,
quantidade que é já possível calcular.
Admitindo que a amostra obtida com N determinações constitui uma representação da
distribuição em causa (no caso de N → ∞ ), então os parâmetros da amostra constituem estimativas
dos parâmetros da distribuição.
O desvio médio da amostra representa a média aritmética dos valores absolutos dos desvios mas
não pode ser utilizada pois dá sempre zero. Com efeito:
d =
1
N
N
∑ ( xi − x ) =
i =1
1
N
N
∑
xi −
i =1
1
N
N
∑x = x − x = 0.
i =1
Este resultado é devido, evidentemente, às definições correlacionadas de média e desvio,
conduzindo a que haja desvios positivos e negativos cuja soma é nula. Isto sugere que em vez dos
desvios usemos os seus módulos ou os seus quadrados, por exemplo.
O desvio padrão [4] dos resultados σN é a média quadrática dos desvios, ou seja, é a raiz
quadrada do valor médio dos quadrados dos desvios:
σN =
1
N −1
N
∑d
2
i
.
(3)
i =1
A variância dos resultados é o valor médio dos quadrados dos desvios. É, portanto, o quadrado do
desvio padrão dos resultados:
1 N 2
σ N2 =
di .
(4)
N − 1 i =1
∑
Utilizam-se, também, o desvio padrão relativo ou o desvio padrão percentual:
σN =
r
σN
x
(5)
ou
σ %N =
σN
x
x100
(6),
respectivamente.
Desvio padrão e variância da média - A própria média é uma variável aleatória que está também
[4] Em rigor, as equações (3) e (4) designam-se por desvio padrão ajustado e variância ajustada,
respectivamente. Nas expressões do desvio padrão e da variância simples o denominador é N e não N-1
como vem nas equações (3) e (4). Prova-se, contudo, que o desvio padrão ajustado e a variância ajustada são
parâmetros mais correctos quando o número N de medidas experimentais não é muito grande.
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sujeita a uma distribuição de probabilidade cuja variância, σ m2 , será tanto menor quanto maior for o
número N de determinações. Temos assim como desvio padrão da média:
σm =
σN
N
.
(7)
8. Combinação de erros
Muitas vezes o resultado de uma experiência depende de um certo número de quantidades
medidas, cada uma das quais está afectada de um certo erro. Pretende-se saber como combinar esses
erros, que admitimos independentes, de maneira a obter o erro no resultado final. Por exemplo,
poderemos medir a densidade d do material que constitui uma peça paralelepipédica medindo a sua
massa M e as dimensões a, b, e c da peça. A relação funcional entre a quantidade que pretendemos,
d, e as quantidades primárias M, a, b, e c é expressa por
M
.
d=
a .b.c
Como as quantidades primárias são inevitavelmente medidas com um certo erro, interessa-nos
esclarecer de que maneira esses erros individuais se propagam ao resultado d.
Generalizando, designemos por Z a quantidade final e por A, B, C, etc. as quantidades primárias.
Suponhamos que cada uma destas quantidades primárias foi medida várias vezes. Então, no caso de
A teremos o melhor valor A e uma estimativa do respectiva erro padrão σ A . Do mesmo modo
teremos B e uma estimativa do erro padrão σ B , e assim sucessivamente. Partimos do princípio de
que as medidas das quantidades primárias são independentes e, portanto, que os erros nelas
cometidos são também independentes. Seja então a função
Z = Z (A, B, C, ...)
e seja σ A , σ B , etc. o erro padrão em A , B , etc.. Demonstra-se que o erro padrão σ Z em Z é dado
pela expressão (fórmula de propagação dos erros):
(σ Z )
 ∂Z
  ∂Z

=  σ A  +  σ B  + ...
 ∂A
  ∂B

2
2
2
(8)
Apresenta-se a seguir uma tabela que indica as expressões de Z para algumas das relações mais
comuns entre Z e A, B, etc.:
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Função
Relação entre erros
Somas e Diferenças
Z = A + B + ...
Z = A − B + ...
(σ Z )2 = (σ A )2 + (σ B )2 + ...
Produto e quociente
Z = A.B
Z = A/ B
σ Z 
σ  σ 

 = A  + B 
 Z 
 A   B 
Z = A n xB m
σ Z 
2σ 
2σ 

 =n  A  +m  B 
 Z 
 A 
 B 
Potências
2
2
2
2
2
2
Exemplo: Dada uma função Z = a − 2 B , onde A e B são medidas independentes, pretende-se
calcular a valor de Z e do seu erro padrão σ Z a partir dos seguintes valores de A e de B:
A = 100 ± 3; B = 45 ± 2
Resolução:
O cálculo de Z é imediato: basta considerar que Z = A − 2 B e então Z = 100 − 2 x45 = 10 .
Para calcular σ Z , recorrendo a expressão geral,
(σ Z )
e como
2
2
 ∂Z
  ∂Z

=  σA + σB
 ∂A
  ∂B

2
∂Z
∂Z
=1 e
= −2
∂A
∂B
vem σ Z = 5 .
O resultado final será pois
Z = 10 ± 5 .
Este resultado presta-se a algumas considerações. Verificamos assim que, embora os valores das
quantidades A e B estejam afectados de um erro relativamente baixo (< 5%), o mesmo não acontece
para o resultado final, onde o erro padrão é quase tão elevado como o próprio valor de Z (erro
relativo 50%). Este exemplo indica que, se pretendermos que o erro padrão no resultado final não
exceda um valor prefixado temos de, utilizando a fórmula de propagação dos erros, determinar quais
os limites superiores do erro a admitir em cada uma das quantidades primárias. O processo de
medida duma (ou mais) dessas quantidades poderá ser crucial para que o erro final possa estar
dentro dos limites pretendidos.
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9. Ajuste de uma recta a dados experimentais – método dos mínimos desvios quadrados
“O melhor valor de uma grandeza é aquele que torna mínima a soma dos quadrados dos desvios.”
Aplicação deste princípio ao ajuste de uma recta aos dados experimentais
Limitaremos o nosso estudo ao caso em que são unicamente duas as grandezas relacionadas entre si.
Contudo, os conceitos fundamentais envolvidos generalizam-se para o caso de várias grandezas.
Sejam medidos N pares de valores experimentais (também chamados “pontos experimentais”):
(xi, yi)
i = 1, 2, …, N
As medidas yi podem ser realizadas de modo a que seja conhecido o desvio padrão σi associado a
cada valor yi. Quando os pares de pontos (xi, yi) são marcados num gráfico, os erros em yi são
representados sob a forma de segmentos verticais (barras de erro) centrados nos pontos
experimentais e de comprimento 2σi [5]. Nas expressões que se seguem consideraremos que todos
os yi vêm afectados do mesmo desvio padrão σi.
9.1 Ajuste a uma recta da forma y = kx
Admita-se que a relação entre as grandezas x e y é da forma y = kx. Se as medidas não viessem
afectadas de erro bastaria achar um par de valores (x1, y1) para se obter logo k = . Na realidade,
x1
os valores medidos têm erros e torna-se necessário melhorar a precisão aumentando
a informação
disponível mediante a obtenção de mais pares (xi, yi).
N
Determinação do parâmetro k: k =
∑x y
i
i =1
N
∑x
i =1
i
(9)
2
i
σ2
Desvio padrão do parâmetro k: σ k =
∑x
.
2
i
(10)
i
Desvio padrão (σ) das medidas yi (admitindo que o desvio padrão de todos os yi é o mesmo, como
se referiu)
σ=
1
N
N
∑ (y
i =1
− kxi ) .
2
i
(11)
[5] Na verdade, também os valores xi podem vir afectados de erros e, nesse caso, também traçaríamos barras horizontais
centrados nos mesmos pontos experimentais. Consideraremos que os erros em x são desprezáveis em face dos erros em
y.
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9.2 Ajuste a uma recta da forma y = ax + b
Determinação dos parâmetros a e b:

 


N  ∑ xi y i  −  ∑ xi  ∑ y i 
i
  i
 i

a= 
2

 

N  ∑ xi2  −  ∑ xi 
 i
  i

(12)


 


 ∑ yi  ∑ xi2  −  ∑ xi y i  ∑ xi 
i
 i
  i
 i
.
b=
2

 

N  ∑ xi2  −  ∑ xi 
 i
  i

(13)
Desvio padrão dos parâmetros a e b:
N 2
σ
∆
σa =
∑x
σb =

 

onde ∆ = N  ∑ xi2  −  ∑ xi 
 i
  i

i
∆
(14)
2
i
,
(15)
2
Desvio padrão dos valores de y:
σ=
1
N
N
∑ [ y − (ax + b )]
i =1
2
i
.
(14)
10. Avaliação da qualidade do ajuste de uma recta aos dados experimentais – teste do
qui-quadrado
Trata-se de arranjar um número cujo valor permita estabelecer juízos padronizados sobre a
qualidade do ajustamento da recta aos dados experimentais. Esse número denomina-se “quiDepartamento de Física da FCTUC
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Física Laboratorial
Ano Lectivo 2003/04
quadrado”, χ2, e é dado por:
N
χ2 = ∑
i =1
[ y ( xi ) − yi ]2 ,
σ i2
(17)
onde y(xi) são os valores de y obtidos a partir do ajuste da recta y = ax + b aos N pares de valores
(xi, yi) e σi são os desvios padrão nos valores medidos yi.
No entanto, um dado valor de χ2, por si só, não indica se se trata de um bom ou mau ajuste. Esta
indicação é fornecida pelo qui-quadrado normalizado, χ 2n , ou seja, pelo quociente entre o χ2 e o
nº de graus de liberdade (este corresponde ao número de pares de pontos experimentais menos o
número de parâmetros de ajuste (no caso da recta, os parâmetros a e b)). Um bom ajuste
caracteriza-se por um valor de χ 2n muito próximo de 1. Quanto mais χ 2n se afaste de 1, pior será
a qualidade do ajuste.
Bibliografia
- N. Ayres de Campos, Introdução à Análise de Dados, Coimbra, Departamento de Física da
Universidade (1995/1996).
- P.R. Bevington e D.K. Robinson, Data reduction and error analysis for the physical sciences, 2ª
edição, WCB/McGraw-Hill (1992).
Departamento de Física da FCTUC
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