X Encontro Nacional de Educação Matemática
Educação Matemática, Cultura e Diversidade
Salvador – BA, 7 a 9 de Julho de 2010
MÉDIA ARITMÉTICA NOS LIVROS DIDÁTICOS – UM ESTUDO DAS
PROPRIEDADES E SIGNIFICADOS
José Ivanildo Felisberto de Carvalho
Universidade Federal de Pernambuco
[email protected]
Verônica Gitirana
Universidade Federal de Pernambuco
[email protected]
Resumo: A Estatística trata os dados e busca identificar diversos índices ou medidas
que auxiliam a interpretação do comportamento dos dados, como frequências, medidas
de tendência central, desvios, dentre outros. As médias, modas e medianas são medidas
que buscam caracterizar a tendência de um grupo de dados, das quais a Estatística
denomina de Medidas de Tendência Central. Esses temas a mais de uma década vêm
sendo indicados para serem ensinados na disciplina de Matemática do Ensino
Fundamental, desde os anos iniciais do Ensino Fundamental até o Ensino Médio. Este
artigo relata uma investigação por meio de um mapeamento nas 16 coleções de livros
didáticos dos anos finais do ensino fundamental aprovados pelo PNLD 2008,
contabilizando mais de 300 atividades. Tal procedimento nos revela algumas lacunas,
quando tomamos, por exemplo, os significados que o conceito de Média Aritmética
pode assumir; alguns significados defendidos pela literatura atual não são trabalhados
em nenhuma das coleções ou até mesmo propriedades importantes do conceito não são
enfatizadas.
Palavras-chave: Média aritmética; Teoria dos campos conceituais; Livro didático.
A média aritmética nos livros didáticos
Os livros didáticos desempenham um papel essencial no sistema escolar, sendo
assim, motivo de inúmeras pesquisas acadêmicas. No dia a dia da sala de aula, o livro
didático tornou-se uma ferramenta ímpar no trabalho do professor, e na maioria das
vezes, a única ferramenta pedagógica. Com as indicações dos Parâmetros Curriculares
Nacionais, é importante analisar como os livros didáticos estão incorporando os novos
paradigmas educacionais, principalmente com relação ao ensino-aprendizagem do
Tratamento da Informação.
Lopes afirma a respeito do livro didático que,
ele sempre representou – e continua representando – para o
professor, o complemento de sua formação acadêmica e o apoio
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na prática escolar, principalmente pelas condições de trabalho,
não tão favoráveis, que o professor enfrenta. (LOPES, 2000, p.
224)
Observando o livro didático como um elemento referencial com relação ao saber
a ser ensinado, bem como, um condutor dos conteúdos e processos envolvidos na
prática pedagógica do professor, torna-se pertinente analisar como as medidas de
tendência central estão estruturadas e organizadas nas coleções dos livros didáticos,
principalmente com relação à média aritmética.
No Brasil, o Programa Nacional do Livro Didático – PNLD desde o ano 1999
publica o Guia Nacional do Livro Didático. As coleções são analisadas com base em
critérios estabelecidos que visem a adequações de aspectos teórico-metodológicos,
estrutura editorial e manual do professor.
Alicerçado na Teoria dos Campos Conceituais como suporte teórico e em
estudos da literatura na área, analisamos as 16 coleções de livros didáticos dos anos
finais do ensino fundamental aprovadas no PNLD 2008, acreditando ser um material de
referência para a condução das abordagens de ensino nas escolas públicas brasileiras.
Até mesmo porque, concordando com Chevallard (1991) “os conceitos apresentados
nos livros didáticos se constituem em um significado institucional de referência”.
Foram analisadas todas as atividades propostas nos livros de cada coleção. As
atividades incluem exemplos, exercícios a resolver, exercícios resolvidos e explicações
teóricas. Observamos todas as atividades que trabalham com as medidas de tendência
central – mesmo quando a atividade solicitava apenas a aplicação procedimental do
conceito. Em seguida as atividades foram classificadas com relação aos invariantes
operatórios, significados e habilidades já categorizados anteriormente. Das 16 coleções
aprovadas pelo PNLD 2008, apenas uma coleção – Coleção Matemática em
Movimento, autor Adilson Longen, Editora do Brasil – não apresenta atividades
relacionadas com medidas de tendência central. Este estudo parte do estudo de Dos
Anjos e Gitirana (2009) que analisou as propriedades trabalhadas nos livros didáticos,
diferentemente deste, o presente estudo inclui também as atividades de média
encontradas em capítulos ou seções dedicadas a outros campos de conteúdos. Este
estudo revisita tal estudo e acrescenta uma análise dos significados de média atribuídos.
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Os invariantes operatórios (propriedades) da Média aritmética nos livros didáticos
Neste trabalho assumimos as propriedades descritas por Strauss e Bichler (1988).
Propriedade 1 – A média é de um valor entre os extremos da distribuição
(valor mínimo ≤ média ≤ valor máximo).
A propriedade nos diz que o valor da média estará sempre entre o menor e o
maior valor do conjunto de dados. Do total de atividades pesquisadas apenas 03
atividades trabalham esta propriedade representando 0,9% das atividades. Estas
atividades se distribuem em 03 coleções. Segue um exemplo de aplicação desta
propriedade:
52. Foi feita a média das notas em uma série de provas. Essa média pode ser igual à maior nota? E igual à
menor nota? Explique sua resposta.
Coleção Aplicando Matemática – Vol. 5 – p.276
Propriedade 2 - A soma dos desvios dos dados em relação à média é zero.
(∑(Xi – média) = 0).
Esta propriedade desenvolve a idéia de que somando os desvios de todos os
valores com relação à média, o resultado da soma será igual a zero. Neste caso, apenas
01 atividade é trabalhada representando apenas 0,3% de todas as atividades analisadas.
Acredita-se que o baixo índice desta propriedade se deve ao fato de que o desvio padrão
ser um conteúdo mais focalizado no ensino médio. Vejamos a atividade que utiliza a
referida propriedade:
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Figura 01: A soma dos desvios dos dados em relação a média é zero. 1
Fonte: Coleção Matemática e Realidade – vol. 8 – p. 178/179.
Propriedade 3 - A média é influenciada por cada um e por todos os valores.
(média = ∑Xi / n).
A propriedade 3 ressalta que se um valor for modificado, a média será alterada;
ou também se um valor for adicionado ou excluído do conjunto, a média também será
alterada, a menos que o valor seja igual o da média. No total de atividades analisadas,
98,5% utilizaram esta propriedade. Considerando que dentre estas atividades temos
atividades que trabalham apenas o cálculo procedimental, procuramos analisar as
atividades e observar aquelas que exigem outras habilidades, tais como o trabalho com o
cálculo inverso e o significado disto, ficamos com apenas 12,6%. Conhecendo a forma
de calcular a média não implica a sua compreensão, como defende Batanero et al
(1994).
Figura 02: A média é influenciada por cada um e por todos os valores.
Fonte: Coleção Matemática e Realidade – Vol. 7 – p. 154.
Propriedade 4 - A média não é necessariamente igual a um dos valores da amostra.
1
No exemplo apresentado acima, quando o autor cita desvio padrão, o mesmo dá continuidade na explicação do
referido tópico chegando a definição do desvio padrão. Como a figura é um recorte foi apresentado apenas o necessário para
ilustração desta propriedade.
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Pode ocorrer que a média seja um valor que não pertença ao conjunto numérico
dos elementos levados em conta na realização do cálculo, ou seja, pode ser diferente dos
valores do conjunto em questão. Em 75,9% das atividades analisadas ocorre a utilização
desta propriedade. Apesar de que os livros não explicitam essa característica da média.
Este invariante contribui no sentido de que, se a média encontrada não for igual a um
dos valores da amostra, deve-se buscar um significado interpretativo para ela.
Figura 03: A média não é necessariamente igual a um dos valores do conjunto.
Fonte: Coleção Novo Praticando Matemática – Vol. 6 – p.72.
Propriedade 5 - O valor da média pode ser uma fração. Este pode inclusive ser um valor
que não coincide com os valores que a variável pode assumir.
A exploração de situações que ponham em cheque o fato da média poder
assumir um valor que a variável não pode auxilia a busca de um significado para o valor
da média. A propriedade 5 foi trabalhada em 10,6% das atividades analisadas.
Figura 04: A média pode ser um valor que a variável não pode assumir.
Fonte: Coleção Matemática e Realidade – Vol. 8 – p. 176
Propriedade 6 - É preciso ter em conta valores zero e os negativos no cálculo da média.
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A propriedade 6 apresenta que no cálculo da média deve-se considerar todos os
valores, incluindo os nulos e negativos. As atividades que trabalharam com números
nulos e negativos correspondem a 8,8% do total de atividades.
Figura 05: É preciso ter em conta valores zero e os negativos no cálculo da média.
Fonte: Coleção Aplicando a Matemática – Vol. 6 – p. 267.
Propriedade 7 - A média é um "representante" dos dados a partir da qual foi calculada,
ou seja, é o valor que está mais próximo de todos os demais dados (aspecto espacial).
Esta propriedade corresponde a 8% das atividades. Uma significativa quantidade
de atividades trabalhava esta propriedade para apresentar que nem sempre a média é a
melhor medida para a representação dos dados da amostra.
Figura 06: A média é um representante dos dados a partir da qual foi calculada.
Fonte: Coleção Matemática na vida e na escola – Vol. 4 – p. 15
Significados apresentados nos livros didáticos
Para esta análise utilizamos a categorização feita por Batanero (2007) e Cobo
(2003), além de acrescentarmos o significado procedimental e o significado da média
enquanto um bom elemento para se ter o total.
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1. Estimação de uma quantidade desconhecida na presença de erros de medição –
cálculo da melhor estimativa de um valor desconhecido.
Como citado anteriormente este significado é que historicamente da origem ao
conceito de média. Problemas que envolvem a melhor estimativa de um valor
desconhecido aparecem na Física e em modelos estatísticos, constituindo-se desta forma
um importante campo de problema a ser desenvolvido com os alunos.
Nenhuma das coleções analisadas apresenta atividades que trabalhe a média
aritmética como a melhor estimativa de um valor desconhecido. Concordando com
COBO (2003), pensamos que este tipo de problema deveria apresentar-se com maior
frequencia no ensino das medidas de tendência central por permitir a construção da
ideia de média como melhor estimador de uma quantidade desconhecida.
2. Necessidade de obter um valor justo/equitativo para uma distribuição uniforme.
A média como um valor equitativo para uma distribuição uniforme é encontrado
em 7,5% das atividades analisadas. Das 15 coleções que trabalha atividades com as
medidas de tendência central, apenas 04 não desenvolve este significado. Consideramos
aqui, as atividades que faziam referencia a este significado de forma explícita,
mencionando a distribuição uniforme com frases tipo: se todos tivessem feito o mesmo
número; se todos tivessem o mesmo peso; se os pontos fossem divididos igualmente,
etc. Vejamos um exemplo utilizando o significado acima:
Figura 07: Significado da média aritmética como um valor equitativo.
Fonte: Coleção Fazendo a diferença – vol. 8 – p. 273.
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3. Servir de elemento representativo de um conjunto de dados, cuja distribuição é
simétrica.
Este significado apresenta a média aritmética como um elemento representativo
de um conjunto de dados, desde que a distribuição dos dados deste conjunto seja
simétrica. Caso contrário a média não é uma boa representante. Acreditamos ser este
significado a principal aplicação da média aritmética e apresenta-se na maioria das
atividades de forma explícita. Tal significado foi trabalhado em 85,3% do total das
atividades analisadas. A seguir, apresentamos um exemplo de atividade onde é preciso
encontrar a média como representante dos dados de dois jogadores e proceder a uma
comparação para decidir quem teve o melhor desempenho.
Figura 08: Média como elemento representativo de um conjunto de valores.
Fonte: Coleção Aplicando a Matemática – vol. 6 – p. 265
4. Valor mais provável quando aleatoriamente tomamos um elemento de uma
população.
Também não foram encontradas atividades que apresentassem este significado.
Nosso resultado iguala-se ao resultado apresentado por COBO (2003) em que não
encontrou nenhuma atividade que fizesse referência a este significada em uma pesquisa
com 22 livros-textos no contexto espanhol.
Na classificação das atividades quanto aos significados, percebemos que
algumas atividades não envolviam os significados acima e utiliza apenas o cálculo em si
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mesmo, assim chamamos de significado procedimental – procedimento do cálculo.
Neste caso, temos um quantitativo de atividades que representa também 7,4% do total
de atividades analisadas.
Outro significado pesquisado foi a média como elemento para se ter o total,
também não encontrada nenhuma atividade que fizesse referência a este significado.
De acordo com o estudo, podemos perceber que a média enquanto valor
representativo é trabalhado por todas as coleções, isso é um bom sinal, pois enfatiza o
caráter representativo desta medida. Quanto ao significado da média como uma
estimadora de uma quantidade desconhecida na presença de erros de medição não ser
desenvolvida poderá causar futuras dificuldades na construção do conhecimento pelos
estudantes.
Considerações Finais
A análise dos livros didáticos de matemática para os anos finais do ensino
fundamental, recomendado pelo PNLD 2008, mostrou que o trabalho com o conceito de
média aritmética ainda se distancia do ideal. Com relação aos sete invariantes
operatórios do conceito de média aritmética, as atividades concentram-se basicamente
na propriedade 3, “A média é influenciada por cada um e por todos os seus valores
(98,5%)”, seguida da propriedade 4, “A média não é necessariamente igual a um dos
valores da amostra (75,9%)”. As outras cinco propriedades não são desenvolvidas de
modo consistente nos livros didáticos. No caso dos significados, existe uma maior
ênfase na média enquanto valor representativo (85,3%). Devemos ficar atentos uma vez
que trabalhar apenas algumas propriedades e/ou significados de forma restrita pode-se
comprometer a compreensão do campo conceitual de média aritmética.
Esses resultados mostram que o trabalho com o tratamento de dados realizado
pelos livros didáticos encontra-se distante de possibilitar aos estudantes a construção de
procedimentos para coletar, organizar, comunicar e interpretar dados, utilizando as
medidas de tendência central, principalmente a média aritmética, tão comum em
situações do cotidiano. Este estudo pontua a necessidade de maiores atenções a
abordagens que explorem as medidas de tendência central privilegiando diferentes
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significados e possibilitando o desenvolvimento pelo aluno de invariantes que se
aproximem das propriedades de média.
Referências
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