ENSINANDO MATEMÁTICA COM O GEOGEBRA
Roberto Claudino Ferreira
Professor Especialista da Disciplina de Computação da Universidade
Estadual do Sudoeste da Bahia / Campus de Itapetinga.
[email protected]
Itapetinga-BA - Brasil
RESUMO
Este artigo traz uma proposta de aplicação prática das novas tecnologias da
informação e comunicação na educação (TIC’s) através da utilização de um software
de geometria dinâmica, cálculo e álgebra chamado GeoGebra, aplicado ao ensino
de Matemática do ensino fundamental II. Para isso, haverá uma breve definição do
que é o GeoGebra, para que serve, como adquirir, uma breve abordagem de uso do
GeoGebra sobre o ponto de vista da Aprendizagem Significativa de Ausubel e
Novak, e ainda serão abordados aspectos técnicos e operacionais deste programa
seguido de exemplos de construções geométricas e de álgebra de forma prática,
assim como propostas de aplicação em sala de aula.
PALAVRAS CHAVE: Tecnologia da Informação e Comunicação, software
educativo, ensino de Matemática.
TEACHING MATHEMATICS WITH GEOGEBRA
ABSTRACT
This article presents a proposal for a practical application of new information
technologies in education and communication (ICT) through the use of a software of
dynamic geometry, algebra and calculus called GeoGebra, applied mathematics
education of elementary school II. This was to be a brief definition of what is
GeoGebra, what it does, how to acquire, a brief overview of the use of GeoGebra on
the point of view of Meaningful Learning of Ausubel and Novak, and still be
addressed technical and operational aspects of this program followed by examples of
geometric constructions and algebra in practice, as well as proposals for
implementation in the classroom.
KEYWORDS: Information Technology and Communication, software educational,
mathematics education.
1- INTRODUÇÃO
O avanço do desenvolvimento tecnológico no mundo cresce de forma
exponencial, todos nós estamos vivendo em uma era onde as máquinas estão
presentes em praticamente tudo no nosso cotidiano. Este avanço tecnológico ainda
encontra portas pesadas e fechadas na educação, os motivos são diversos, no
entanto, o foco deste artigo não é realizar um debate sobre esta problemática, e sim
propor uma alternativa de integrar as NOVAS TECNOLOGIAS DA INFORMAÇÃO E
COMUNICAÇÃO (TIC’S) com o ensino de Matemática, utilizando o software
educativo GeoGebra.
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Muitos programas de computador já utilizados podem ser adaptados para um
foco educacional, porém já existem muitos softwares desenvolvidos para a
educação, como é o caso do GeoGebra, escolher e avaliar um software educativo
ou educacional, envolve inúmeros aspectos, dentre eles os custos, disponibilidade,
recursos tecnológicos da escola, características técnicas e outros, como abordado
por (CABERO 98), mas o mais importante está no aperfeiçoamento do professor em
utilizar qualquer software em suas atuações pedagógicas, sem essa preocupação,
qualquer equipamento destinado a aplicação das novas tecnologias na educação,
perde totalmente sua importância na escola.
A educação contemporânea é composta por um sistema onde temos a grande
maioria dos alunos com um conhecimento dos recursos tecnológicos, sobre tudo o
computador, e professores que não tiveram o contato com essas novas tecnologias
durante sua formação, ou que tiveram apenas noções básicas e pouca ou nenhuma
metodologia de sua aplicabilidade.
Há de se ter uma preocupação com o trabalho de aperfeiçoamento dos
professores, visto que, não se trata apenas de um treino técnico de conhecimento e
operação de programas e equipamentos, mas sim, propostas de metodologias de
aplicações na prática pedagógica em suas vivências em sala de aula. Os
parâmetros curriculares nacional do ensino fundamental e médio (PCNs, 1999)
demandam cursos de formação continuada aos professores formados e atuantes
para suprir estas necessidades citadas nas premissas.
É preciso, portanto, trazer aperfeiçoamentos nesta nova tendência
educacional aos professores para que não se torne mais um modismo como muitos
outros foram. (CYSNEIROS 98).
2 – RESULTADOS E DISCUSSÃO
2.1 – Uso do GeoGebra sobre a ótica da aprendizagem significativa de Ausubel
e Novak.
É bastante relevante que o uso de qualquer software educativo - isso inclui o
GeoGebra – ou até mesmo educacional, seja proposto por um ponto de vista
pedagógico, isso é uma das atitudes iniciais na escolha e avaliação de um software.
Aproveitar o conhecimento prévio dos educandos contemporâneos com as novas
tecnologias pode ser um bom começo, dessa forma, o computador não seria um
instrumento que requer treino prévio de operacionalização, além disso, é algo que
faz parte do cotidiano e do lazer deles, é um hábito que os estudantes
contemporâneos já trazem consigo para a escola. Portanto, é bastante relevante
este ponto de vista da fundamentação teórica para o uso do software, que se
encontra inserida na Teoria da Aprendizagem Significativa proposta por Ausubel e
Novak.
Foi proposta por Ausubel uma teoria, conhecida por Teoria da Aprendizagem
Significativa, esta teoria parte do princípio que cada indivíduo traz consigo um
conhecimento prévio sobre determinado assunto acumulados em sua Estrutura
Cognitiva, é fato que os educandos contemporâneos dominam o uso do computador
e fazem do contanto com ele uma constante em sua rotina. Então estes
conhecimentos prévios sobre o computador deverão receber novos conteúdos que,
por sua vez, poderão modificar e dar outras significações àquelas pré-existentes.
Como o próprio autor define “o fator mais importante que influi na aprendizagem é
aquilo que o aluno já sabe. Isto deve ser averiguado e o ensino deve depender
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desses dados” (Ausubel, Novak e Hanesian, 1983). Isso é lógico, que transcende os
conhecimentos apenas sobre o computador, envolvendo a partir de então os
conteúdos a serem trabalhados no GeoGebra.
2.2 – O que é o GeoGebra.
FIGURA 01: Logomarca do software GeoGebra.
Fonte: Software GeoGebra 2010.
GeoGebra é um software de matemática dinâmica para utilizar em ambiente
de sala de aula, que reúne GEOmetria, álGEBRA e cálculo. Recebeu muitos
prêmios internacionais incluindo o prêmio de software educativo Alemão e Europeu.
Idealizado e criado por Markus Hohenwarterodar na universidade de Salzburg.
Por ser um sistema dinâmico de geometria permite ao construtor que optar
por seu uso, fazer construções com pontos, vetores, segmentos, retas, seções
cônicas bem como funções e mudá-los dinamicamente depois, e ainda equações e
coordenadas podem ser inseridas diretamente. Assim, o GeoGebra tem a habilidade
de tratar das variáveis para números, vetores e pontos, permite achar derivadas e
integrais de funções e oferece comandos como Raízes ou Extremos.
Existem duas perspectivas que são características do GeoGebra: uma expressão na
janela algébrica corresponde a um objeto na janela geométrica e vice-versa.
É um software de fácil aquisição, visto que se trata de um software Freeware,
ou seja, é livre para baixar em seu micro, distribuir entre colegas e alunos e de fácil
acesso visto que está disponível gratuitamente em vários idiomas no endereço
http://www.professores.uff.br/hjbortol/, o funcionamento deste software em qualquer
micro depende da instalação da linguagem Java, pois esta é a plataforma em que
este programa funciona. Portanto, antes de baixar este software é necessário
acessar o site http://www.java.com/pt, estando lá, a própria página exibe uma caixa
de diálogo que ao ser acessado inicia automaticamente a conferência do Java no
micro que se está conectado, caso não exista esta plataforma o site direcionará
automaticamente para o setor de download, onde a aquisição que também é gratuita
pode ser executada.
2.3 – Familiarizando com o GeoGebra.
O GeoGebra tem inúmeras ferramentas que serão úteis na produção de
figuras para as aulas expositivas, criação de applet para rodar na internet, execução
de seqüências didáticas para conteúdos de Matemática do ensino fundamental e
médio.Trata-se de um software com cinco áreas de trabalho:
a) Menu Principal;
b) Barra de Ferramentas;
c) Janela de Álgebra;
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d) Janela de Visualização;
e) Campo de Entrada;
FIGURA 02: Tela do GeoGebra mostrando as áreas de trabalho.
Fonte: Software GeoGebra 2010.
Além da barra de tarefas do Windows (arquivo, editar, exibir, opções,
ferramentas, janela e ajuda) o GeoGebra tem uma barra de ferramenta com caixas
indicando com ícones suas funções que vão desde a construção de pontos, retas,
vetores, ângulos, polígonos, círculos, arcos, mediatriz, bissetriz, inserir imagens,
inserir texto e muito mais, até um campo de entrada onde pode-se digitar comandos
para inúmeras construções inclusive de gráficos. Todas as funções ícones e
potencialidades do software GeoGebra podem ser melhor visualizadas com a prática
de atividades. Poucos são os livros que falam sobre software de geometria
dinâmica, por isso grande parte das atividades abaixo foram criadas ao longo de
uma prática como docente de Matemática. Poderia citar como alternativa o livro:
Atividades com Cabri-Geométric II, de BALDIN e VILLAGRA (2002), que apresenta
exercícios que podem ser aplicados aos trabalhos com o GeoGebra.
2.4 – Atividades com o GeoGebra.
EXEMPLO 1: Construa um triângulo Escaleno. Determine: Suas medidas de lados,
perímetro, área, e ângulos.
1º PASSO: Clique na terceira caixa de ferramentas e em polígono.
2º PASSO: Clique em três pontos distintos e não colineares da tela do
GeoGebra, e mais um clique em cima do primeiro ponto. Está construído um
triângulo Escaleno.
3º PASSO: Clique na sexta caixa de ferramentas, em seguida em distância ou
comprimento, depois no ponto A em seguida em B. Está medido o segmento AB .
Repita o terceiro passo para os segmentos BC e CA .
4º PASSO: Quanto ao perímetro. Relembrando seu conceito: “é a soma das
medidas de todos os lados de um polígono”. Portanto, é só somar os valores dos
segmentos encontrados nos passos anteriores.
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5º PASSO: Medir a área do polígono. Clique na sexta caixa de ferramentas
depois em área. Depois clique dentro do triângulo e então aparecerá o valor da área.
6º PASSO: Para medir os ângulos, clique na sexta caixa de ferramentas,
depois em três pontos distintos, sempre em sentido anti-horário em relação aos
pontos do polígono, sendo o ponto do centro, o ângulo a ser medido. Portanto, para
medir o ângulo B Â C, clicar em B, depois em A e por fim em C. Repetir o 6º passo
com os demais ângulos. Veja o resultado da construção nas figuras 03 ou 04.
FIGURA 03: Tela do GeoGebra ilustrando a construção de um triângulo.
Exemplo 1.
Fonte: Software GeoGebra 2010.
Caso o construtor optar em salvar como figura. Verá uma imagem
como a da Figura 04.
FIGURA 04: Ilustração de um triângulo
construído com o GeoGebra.
Exemplo 1.
Fonte: Software GeoGebra 2010.
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Na Figura 03, temos a imagem salva com toda a tela do Windows,
neste caso com toda a visualização dos recursos do GeoGebra mais o que foi
construído. Na Figura 04, está ilustrado apenas a figura geométrica construída pelo
construtor com GeoGebra. A escolha de como salvar seus trabalho do GeoGebra
fica a critério e necessidades de cada um.
EXEMPLO 2: Construa um quadrado.
Para esta construção existe apenas um passo a ser feito. Clicar na
terceira caixa de ferramentas e em “polígono regular”, em seguida clique na tela do
GeoGebra em dois pontos distintos não colineares, irá aparecer uma caixa de
diálogo “aplicar 4”, clique em aplicar. Está criado o quadrado ABCD. Veja Figura 05.
FIGURA 05: Tela do GeoGebra mostrando o quadro ABCD, construção do
exemplo 2.
Fonte: Software GeoGebra 2010.
EXEMPLO 3: Construa um triângulo dados três lados AB = 6 cm, AC = 4 cm
e BC = 4,5 cm.
1º PASSO: Criar o segmento AB . Clique na terceira caixa de ferramentas,
em seguida em “segmento com dado comprimento a partir de um ponto”. Seguindo,
clique em um ponto da tela do GeoGebra, aparecerá uma caixa de diálogo
solicitando o tamanho do segmento, digite 6. Está criado o segmento AB .
2º PASSO: Crie um círculo de raio AC , centro em “A”. Clique na quinta caixa
de ferramentas, e em “círculo dado centro e raio”. Depois clique no centro do círculo
que será o ponto “A”, aparecerá uma caixa de diálogo escrita raio, digite o raio que é
a medida do segmento AC = 4 cm. Você criou o círculo “c”.
3º PASSO: Crie um círculo de raio AC , centro em “B”. Clique na quinta caixa
de ferramentas, e em “círculo dado centro e raio”. Depois clique no centro do círculo
que será o ponto “B”, aparecerá uma caixa de diálogo escrita raio, digite o raio que é
a medida do segmento BC = 4.5 cm. Você agora criou o círculo “d”.
4º PASSO: Criar a interseção entre os dois círculos. Para isso clique na
segunda caixa de ferramentas e “interseção de dois objetos”. Em seguida clique em
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cada círculo, aparecerá o ponto “C” e “D”, que se tratam das interseções de “c” e “d”,
escolha um deles, “C” por exemplo.
5º PASSO: Traçar os segmentos BC e AC . Clique na terceira caixa de
ferramentas e em “segmento defino por dois pontos”, em seguida clique em “A”
depois em “D”, clique agora em “B” e em seguida em “D”. Veja a figura 06.
FIGURA 06: Tela do GeoGebra ilustrando a construção do triângulo
proposto no exemplo 3.
Fonte: Software GeoGebra 2010.
Caso o construtor opte por uma construção mais visível e destacada das
demais linhas e segmentos, pode destacar o triângulo com uma cor diferente, e
linhas mais grossas. Para isso clique com o lado direito do “mouse” em cima do
segmento que queira alterar, em seguida em “propriedades”, depois em estilo, lá
você pode mudar a linha para um estilo mais grosso, para finalizar clique ainda na
caixa de diálogo em “fechar”. Para mudar de cor, repita o procedimento anterior, e
clique em “cor” ao invés de “estilo”. Veja o resultado na Figura 07, com estilo da
linha em sete e cor azul.
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FIGURA 07: Tela do GeoGebra ilustrando o triângulo da construção anterior
com cor e estilo alterados.
Fonte: Software GeoGebra 2010.
EXEMPLO 4: Construa um paralelogramo.
1º PASSO: Construa dois segmentos AB e AC , com vértice comum “A”, nãocolineares. Para isso clique na terceira caixa de ferramentas, e em “segmento
definido por dois pontos. Clique em qualquer ponto da tela do GeoGebra e criará “A”
em seguida clique em outro ponto e criará “B” e consequentemente o segmento AB ,
clique novamente em “A” e depois em outro ponto que não seja no segmento AB ,
criando o ponto “C” e consequentemente o segmento AC .
2º PASSO: A partir do ponto “C” crie uma reta paralela ao segmento
AB .Neste passo clique na quarta caixa de ferramentas e em “reta paralela”, depois
clique no segmento AB e em seguida em “C”. Está criada a reta paralela a AB
denominada “reta c”.
3º PASSO: Construa um círculo de centro em “C” e raio AB . Antes de criar o
círculo, temos que saber o tamanho do segmento AB , que é o raio, para saber,
clique na sexta caixa de ferramentas, em seguida em distância ou comprimento,
depois no ponto A em seguida em B. Está medido o segmento AB . Para construir o
círculo, clique na quinta caixa de ferramentas, e em “círculo dado centro e raio”.
Depois clique no centro do círculo que será o ponto “A”, aparecerá uma caixa de
diálogo escrita raio, digite o raio que é a medida do segmento AB = 4.8 cm. Você
criou o círculo “c”.
4º PASSO: Marque o ponto “D” na interseção entre o círculo “d” e a reta “c”.
Para isso clique na segunda caixa de ferramentas e em “interseção de dois objetos”.
Em seguida clique no círculo “d” e depois na reta “c”, aparecerá o ponto “D”, que se
trata da interseção entre “c” e “d”.
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5º PASSO: Construa o polígono ABCDE. Para isso clique na sexta caixa de
ferramentas e em “polígono”, em seguida clique consecutivamente em A, B, C, D e
depois novamente em A. Está construído o paralelogramo.
FIGURA 08: Tela do GeoGebra ilustrando o paralelogramo do exemplo 4.
Fonte: Software GeoGebra 2010.
EXEMPLO 5: Criar um triângulo retângulo dado sua hipotenusa.
1º PASSO: Construa o segmento de reta
. Clique na terceira caixa de
ferramentas em seguida em “segmento definido por dois pontos”. Crie o segmento.
2º PASSO: Construa o ponto médio
de
. Vá até a segunda caixa de
ferramentas e clique em “ponto médio”. Depois clique no ponto “A” e depois em “B”.
Nomear
o
ponto
para
“M”.
3º PASSO: Construa a circunferência com centro no ponto “M” passando em
. Clique na quinta caixa de ferramenta e em “círculo definido pelo centro e um de
seus
pontos”.
Clique
em
“M”
e
depois
em
“A”.
4º PASSO: Construa um ponto
sobre a circunferência. Clique na segunda
caixa de ferramentas e em “ponto”, depois clique na linha do círculo. Nomear o
ponto
para
“P”.
5º PASSO: Construa o segmento de extremos
e
. Clique na terceira
caixa de ferramentas em seguida em “segmento definido por dois pontos”, em “A” e
“P”.
6º PASSO: Construa o segmento de extremos
e
. Clique na terceira
caixa de ferramentas em seguida em “segmento definido por dois pontos”, em “B” e
“P”.
7º PASSO: Meça os segmentos
, AP e BP . Clique na sexta caixa de
ferramentas, em seguida em distância ou comprimento, depois no ponto A em
seguida em B. Está medido o segmento AB , repita o mesmo para
e
.
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8º PASSO: Calcule, com auxílio da calculadora,
calcule,
,
e
. Depois
.Compare
com
.
9º PASSO: Movimente o ponto . O que se pode dizer sobre o resultado
obtido
no
8º
passo
quando
é
movido.
10º PASSO: O ângulo
é reto? Por quê?
Veja resultado da construção na figura 09.
FIGURA 09: Tela do GeoGebra ilustrando a construção do triângulo
retângulo. Exemplo 5.
Fonte: Software GeoGebra 2010.
EXEMPLO 6: Reta tangente a um círculo.
1º PASSO: Construa um círculo de centro “O” e raio OP . Clique na quinta
caixa de ferramentas e em “círculo definido pelo centro e um de seus pontos”,
depois nomeie o ponto “B” para “P”.
2º PASSO: Pelo ponto “P” trace uma reta perpendicular ao raio OP . Construa
o segmento OP , depois clique na quarta caixa de ferramentas e em “reta
perpendicular”. Em seguida clique no raio OP e depois em no ponto “P”. Temos
construída a reta tangente ao círculo onde “P” é o ponto de contato. Veja figura 10.
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FIGURA 10: Tela do GeoGebra ilustrando uma tangente ao circulo.
Exemplo 6.
Fonte: Software GeoGebra 2010.
EXEMPLO 7: Aproveitando a construção do exemplo anterior, demonstre o
teorema: “Uma reta é tangente ao círculo em P se e somente se for reta
perpendicular ao raio que contém P”. Para isso seguiremos os três passos abaixo.
1º PASSO: Pelo ponto “P” construa uma reta PQ , em que “Q” é outro ponto
qualquer do círculo.
2º PASSO: Marque e calcule o ângulo Q P̂ O. Veja figura 11.
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FIGURA 11: Tela do GeoGebra mostrando a construção parcial do
exemplo 7.
Fonte: Software GeoGebra 2010.
3º PASSO: Manipule o ponto Q ao longo do círculo. Veja figura 12.
FIGURA 12: Tela do GeoGebra ilustrando a demonstração do teorema da
tangente.
Fonte: Software GeoGebra 2010.
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Observe que, quando “P” e “Q” coincidem, isto é, quando a reta é
tangente ao círculo, o ângulo se torna 90 graus, isto é, a reta tangente por “P” é
perpendicular ao raio OP . Veja Figura 11 e Figura 12.
Veremos agora uma breve abordagem, de como trabalhar gráficos das
funções de 1º e 2º grau.
EXEMPLO 8: Construa o gráfico da função y = 3.x + 2.
Para esta construção exige apenas um único passo a ser dado. Veja abaixo.
1º PASSO: No rodapé esquerdo inferior da tela do GeoGebra tem um campo
escrito “entrada”, neste local digite a função: y = 3*x + 2 e em seguida tecle “enter”.
OBS: O asterisco se faz necessário, visto que é o símbolo que o software reconhece
para multiplicação. Veja Figura 13 abaixo.
FIGURA 13: Tela do GeoGebra ilustrando a curva da função y = 3.x + 2.
Fonte: Software GeoGebra 2010.
EXEMPLO 9: Construa o gráfico da função y = x² + 4.x + 3.
1º PASSO: No rodapé esquerdo inferior da tela do GeoGebra tem um campo
escrito “entrada”, neste local digite a função: y = x^2 + 4*x + 3 e em seguida tecle
“enter”. OBS: Nesta situação além do asterisco que é o símbolo que o software
reconhece para multiplicação, aparece o símbolo “^” entre o “x” e o “2”, para que o
GeoGebra reconheça o “2” como expoente de “x”. Veja Figura 14 abaixo.
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FIGURA 14: Tela do GeoGebra mostrando a parábola da função y =
x² + 4.x + 3.
Fonte: Software GeoGebra 2010.
EXEMPLO 10: Construa o gráfico da função y = x² + 3.x + 1 e y = x + 2.
1º PASSO: Digite no campo de entrada as funções y = x^2 + 3*x + 1,
tecle “enter”, em seguida digite também na caixa de entrada a outra função y
= x + 2, tecle “enter”.
FIGURA 15: Tela do GeoGebra ilustrando a construção das duas curvas
do exemplo 10.
Fonte: Software GeoGebra 2010.
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2.5 - Sugestões de atividades para praticar.
Abaixo estão algumas sugestões de atividades com o passo a passo para
suas respectivas construções, as quais tem o objetivo de propiciar uma prática da
Matemática com o uso do GeoGebra, ao mesmo tempo que fica como sugestão e
modelo de seqüências didáticas para o professor que se motive a desenvolver
trabalhos com esta metodologia.
ATIVIDADE 01.
Disciplina: Matemática.
Software: GeoGebra
Assunto: Triângulo
Objetivo: Utilizar a dinâmica dos softwares de Geometria Dinâmica para inserir e
reforçar conceitos e propriedades relativos aos triângulos.
Atividades: Utilize o software GeoGebra para proceder na construção dos objetos
geométricos como segue.
Triângulo Eqüilátero.
1º PASSO: Construa o segmento de reta
.
2º PASSO: Construa a circunferência com centro no ponto
passando em .
3º PASSO: Sobre a circunferência construída, marque um ponto e chame-o de .
4º PASSO: Construa um segmento com extremos nos pontos e .
5º PASSO: Construa um segmento com extremos nos pontos e .
6º PASSO: Meça os segmentos
,
e
.
7º PASSO: Construa a circunferência com centro no ponto passando em .
8º PASSO: Movimente o ponto de modo que o triângulo
seja eqüilátero.
9º PASSO: Movimente o ponto ou e verifique se o triângulo
ainda ficou
eqüilátero.
10º PASSO: Identifique o ponto de interseção entre as circunferências. Movimente
os pontos
ou .
11º PASSO: Qual a diferença entre 8º e 10 passo?
ATIVIDADE 02.
Disciplina: Matemática.
Software: GeoGebra.
Assunto: Quadrado.
Objetivo: Utilizar a dinâmica dos softwares de Geometria Dinâmica para inserir e
reforçar conceitos e propriedades do quadrado.
Atividades: Utilize o software GeoGebra para proceder na construção dos objetos
geométricos como segue.
Quadrado dado um lado.
1º PASSO: Construa o segmento de reta
.
2º PASSO: Construa a circunferência
com centro no ponto passando em .
3º PASSO: Construa a circunferência
com centro no ponto passando em .
4º PASSO: Trace as perpendiculares ao segmento
passando nas extremidades,
denote-as por a que passa em e a outra.
5º PASSO: Chame de o ponto de interseção entre e
e o ponto de
interseção entre e
.
6º PASSO: Meça os segmentos
,
,
e
. O que se pode observar?
7º PASSO: Movimente os pontos
e
e veja o que acontece com as medidas dos
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segmentos
,
,
e
8º PASSO: O quadrilátero
.
é um quadrado? Por quê?
ATIVIDADE 03.
Disciplina: Matemática.
Software: GeoGebra
Assunto: Bissetriz de um ângulo.
Objetivo: Utilizar a dinâmica dos softwares de Geometria Dinâmica para inserir e
reforçar conceitos de bissetriz de um ângulo.
Atividades: Utilize o software GeoGebra para proceder na construção da bissetriz
de um ângulo com os seguinte procedimentos.
Construindo a bissetriz de um ângulo dado.
1º PASSO: Localize três pontos distintos, , e ;
2º PASSO: Construa as semi-retas
e
;
3º PASSO: Construa a circunferência
de centro
que passe por
;
4º PASSO: Construa o ponto de interseção entre
e a semi-reta
;
5º PASSO: Construa as circunferências
, de centro que passe por , e
centro
que passe por ;
6º PASSO: Construa o ponto , interseção entre
e
;
7º PASSO: Construa a semi-reta
, de
.
8º PASSO: Construa o ponto , interseção da semi-reta
e circunferência
9º PASSO: Meça os arcos
e
. O que se pode afirmar?
;
ATIVIDADE 04.
Disciplina: Matemática.
Software: GeoGebra.
Assunto: Geometria aplicada.
Objetivo: Utilizar a dinâmica dos softwares de Geometria Dinâmica para demonstrar
geometricamente o movimento de um pistão dentro do motor de combustão interna,
(motor de um automóvel)
Atividades: Utilize o software GeoGebra para proceder na construção de um
modelo geométrico que representa o funcionamento de um pistão dos motores a
combustão interna, como procedimentos abaixo.
1º PASSO: construir segmento AB e ponto C sobre este segmento;
2º PASSO: construir círculo C1 de centro O e raio BC;
3º PASSO: construir ponto P sobre o círculo C1;
4º PASSO: construir segmento OX;
5º PASSO: construir círculo C2 de centro P e raio AC;
6º PASSO: construir ponto Q interseção de C2 com segmento OX;
7º PASSO: construir segmentos OP e PQ, as hastes do pistão;
Ao final da construção, o movimento do ponto P acarreta o movimento de Q, o
qual desloca o pistão.
3 - CONCLUSÃO
Muitos são os tópicos matemáticos que podem ser explorados com os
diferentes recursos deste software, assim como se percebe que depois de algum
tempo de uso deste recurso, as aulas com o software se tornam muito produtivas
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desde que o professor tenha o domínio do conteúdo e que os aspectos operacionais
do software são problemas de segundo plano. O GeoGebra é uma excelente
sugestão para práticas com a Matemática fazendo uso dos recursos tecnológicos,
dando também uma opção de uso dos laboratórios de informática da escolas que
andam fechados e ociosos.
REFERÊNCIAS.
AUSUBEL, D. P.; NOVAK, J. D., HANESIAN, H. Psicología Educativa: Un punto
de vista cognoscitivo. México: Trillas, 1983.
BALDIN, Yuriko Yamamoto e VILLAGRA, Guilermo Antônio Lobos. Atividades com
Cabri-Geometre II para cursos de Licenciatura em Matemática e professores do
ensino fundamental médio. São Carlos: EdUFSCar, 2002.
BRASIL. Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino Fundamental e Médio.
Ministério da Educação, Secretaria de Educação Média e Tecnológica. Brasília,
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ENCICLOPÉDIA BIOSFERA, Centro Científico Conhecer - Goiânia, vol.6, N.10, 2010 Pág.17