Geometria Plana 02
Prof. Valdir
VI – ÂNGULOS DE UMA CIRCUNFERÊNCIA
3. ÂNGULO ENTRE DUAS CORDAS (vértice interno)
1. ÂNGULO CENTRAL
É todo ângulo cujo vértice coincide com o centro da
circunferência.
A medida de um ângulo central é igual à medida do arco que seus
lados delimitam na circunferência cujo centro coincide com o seu
vértice.
V
α=
α
B
A
α = med AB
α
O
D
A
+ CD
AB
2
C
4. ÂNGULO ENTRE DUAS SECANTES (vértice externo)
A
D
B
V
α
α=
2. ÂNGULO INSCRITO
É todo ângulo cujo vértice pertence à uma circunferência e os
seus lados são retas secantes desta.
A medida de um ângulo inscrito é igual à metade da medida do
arco que seus lados delimitam na circunferência.
C
- CD
AB
2
B
Teorema do quadrilátero inscritível
“Se um quadrilátero é inscrito em um círculo, então seus ângulos
opostos são suplementares”.
A
A
C
AB
med α=
2
α
D
α
β
B
B
C
Obs.: Todo ângulo inscrito numa semicircunferência é reto. Ou seja,
se um triângulo é inscrito numa semicircunferência, então ele é
retângulo.
O – centro
Demonstração:
ABC
ADC
α=
e β=
2
2
Como ABC + ADC = 360º, então: α + β = 180º
Observação:
“Em todo quadrilátero inscritível, o produto das diagonais é igual
à soma dos produtos dos lados opostos”. (Teorema de Hiparco).
O
Demonstração:
Consideremos as diagonais AC e BD e um segmento de reta AE,
com extremidade E na diagonal BD, tal que α = β.
A
5. ÂNGULO DE SEGMENTO
É todo ângulo cujo vértice pertence à circunferência, sendo que
um de seus lados é uma secante e o outro tangente à circunferência
num dos pontos onde a secante corta a circunferência.
O
β
θ
B
B
α
α
α=
AB
med 2
E
D
θ
C
Dessa forma, teremos ∆ABC ∼ ∆ADE. Logo, podemos afirmar que:
A
AC BC
=
⇒ AC.ED = AD.BC (I)
AD ED
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1
Da mesma forma, teremos ∆ABE ∼ ∆ADC. Daí, teremos:
02. Na figura a seguir, os pontos A, B, C, D e E pertencem à
circunferência de centro O. Assim, calcule a medida do ângulo x
assinalado.
C
AC CD
=
⇒ AC.BE = AB.CD (II)
AB BE
B
25º
A
F
40º
Adicionando, membro a membro, as igualdades (I) e (II), vem:
AC.(BE + ED) = AB.CD + AD.BC
x
Resolução:
O
E
D
Da figura temos:
= 2.25° ⇒ BE
= 50° ⇒ EDB
ˆ = 25º
BE
ˆ
Como CBD é ângulo externo do triângulo ABD, temos:
Como BE + ED = BD, obtemos:
AC.BD = AB.CD + AD.BC
ˆ
ˆ
CBD
= 40° + 25° ⇒ CBD
= 65°
Como x é medida de um ângulo externo do triângulo BCF, temos:
x = 65° + 25° ⇒ x = 90°
Resposta: x = 90°
Exercícios resolvidos:
01. Na figura a seguir, os arcos AB e CD medem respectivamente, 60°
e 90°. Determine a medida do ângulo α entre as cordas AC e BD.
VII – POTÊNCIA DE UM PONTO
D
A
1. DUAS SECANTES COM O PONTO INTERIOR
V
60°
B
D
90°
α
A
PA.PC = PB.PD
P
C
Resolução:
Sabemos que α =
+ CD
AB
2
Resposta: 75°
α=
+ CD
AB
. Então, teremos:
2
⇒ α=
90° + 60°
2
B
C
Dica: O triângulo APB é semelhante ao triângulo PCD
⇒ α = 75°
2. DUAS SECANTES COM O PONTO EXTERIOR
A
D
03. Na figura a seguir, os arcos AB e CD medem, respectivamente,
100° e 60°. Determine a medida α do ângulo entre as secantes VA e
VB.
P
PA.PD = PB.PC
O
C
A
D
α
V
B
100°
60°
Dica: O triângulo PAC é semelhante ao triângulo PBD.
C
B
Resolução:
Sabemos que α =
α=
- CD
AB
2
3. UMA SECANTE E UMA TANGENTE
A reta que passa por A e P é tangente à circunferência no ponto A.
Observe que AO ⊥ PA, sendo AO o raio da circunferência.
- CD
AB
. Então, teremos:
2
⇒ α=
Resposta: 20°
100° - 60°
2
A
P
O
⇒ α = 20°
B
2
(PA) = PB.PC
C
Dica: Como no caso 2, temos PA.PA = PB.PC.
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2
02. Na figura a seguir, os segmentos de reta PA e PB medem,
respectivamente, 6 cm e 4 cm. Determine a medida do segmento de
reta BC, sabendo-se que a reta PA é tangente à circunferência no
ponto A.
4. DUAS RETAS TANGENTES
A
A
P
6 cm
A
O
2
(PA) = (PB)
P
2
4 cm
O
B
C
Obs.: Nesse caso PA = PB.
Teorema do quadrilátero circunscritível.
“Se um quadrilátero ABCD é circunscritível em um círculo, então
AB + CD = BC + AD”.
R
D
Q
Resposta: 5 cm
B
P
Resolução:
Aplicando pontência do ponto P em relação à circunferência,
teremos:
2
2
(PA) = PB.PC ⇒ 6 = 4.(4 + BC) ⇒ 36 = 16 + 4.BC ⇒ BC = 5 cm
C
S
A
B
Demonstração:
03. (ITA) Seja E um ponto externo a uma circunferência. Os
segmentos EA e ED interceptam essa circunferência nos pontos B e A,
e, C e D, respectivamente. A corda AF da circunferência intercepta o
segmento ED no ponto G. Se EB = 5, BA = 7, EC = 4, GD = 3 e AG = 6,
calcule o comprimento do segmento GF.
Sejam P, Q, R e S os pontos de tangência aos lados AB, BC, CD e DA,
respectivamente. Assim, teremos:
A
7
B
5
E
6
AB + CD = (AP + BP) + (CR + DR)
4
3
D
AB + CD = (AS + BQ) + (CQ + DS)
AB + CD = (AS + DS) + (BQ + CQ) = AD + BC
Assim, fica provado que: AB + CD = BC + AD.
C
G
Como: AP = AS, BP = BQ, CQ = CR e DR = DS, temos:
F
Resolução:
Fazendo GC = x, da potência do ponto E, temos:
4.(7 + x) = 5.12 ⇒ 7 + x = 15 ⇒ x = 8 cm
Fazendo GF = y, da potência do ponto G, temos:
Exercícios resolvidos:
y.6 = 3.8 ⇒ y = 4 cm
01. Na figura a seguir, os segmentos de reta PA, PB e PC, medem,
respectivamente 6 cm, 3 cm e 4 cm. Determine a medida do
segmento de reta PD.
Resposta: GF = 4 cm
D
A
6 cm
P
4 cm
3 cm
B
C
Resolução:
Aplicando pontência do ponto P em relação à circunferência,
teremos:
PA.PC = PB.PD ⇒ 6 . 4 = 3 . PD ⇒ PD = 8 cm.
Resposta: PD = 8 cm
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