Matemática
Triângulo Retângulo e Qualquer
Eduardo
Matemática | Trigonometria
Triângulo Retângulo
Definição
Quando um dos seus ângulos internos é reto.
S
O
H
C
A
H
T
O
A
eno
posto
ipotenusa
osseno
djacente
ipotenusa
angente
posto
djacente
A
c
B
senα =
c
a
b
senβ =
a
Matemática | Trigonometria
b
β
α
a
cosα =
b
a
c
cosβ =
a
C
tgα =
c
b
b
tgβ =
c
Triângulo Retângulo
Exemplo 1: (UFSC 2012) Um viajante sobe uma trilha com 30º
de inclinação constante a partir da base de uma árvore,
conforme a Figura 2. Após subir 25 m em linha reta e
estando em pé, o viajante verifica que seus olhos estão
no mesmo nível do topo da árvore. Se a altura do
viajante é 1,80 m e seus olhos estão a 10 cm do topo de
sua cabeça, a árvore mede 14,30 m.
x
o
sen30 =
Resolução:
25
1
x
=
⇒ x = 12,5
2 25
1,7m
25m
x
Altura = 12,5 + 1,7 = 14,2m
Incorreto
Matemática | Trigonometria
Triângulo Retângulo
Tabela Trigonométrica de Valores Notáveis
1
2
2
2
3
2
3
2
2
2
1
2
3
3
1
Matemática | Trigonometria
3
Triângulo Retângulo
Teorema de Pitágoras
a
b
c
b
c
a
Demonstração:
AQc = AQ(a+b) - 4A T
c² = (a + b)² - 4ab/2
c
a
c
b
a
Matemática | Trigonometria
b
c² = a² + 2ab + b² - 2ab
c² = a² + b²
Triângulo Retângulo
Exemplo 2: (FAFI) Com base na figura abaixo,
podemos concluir que a área do triângulo ACD vale:
25 2
a)
2
b)24
25 3
c)
2
d)25
y
10
25 2
e)
3
Matemática | Trigonometria
x
Resolução:
x
o
sen30 =
10
1
x
=
2 10
x=5
y
cos30 =
10
3
y
=
2
10
y=5 3
o
x.y 5.5 3 25 3
=
=
A=
2
2
2
Gabarito: c
Triângulo Retângulo
Exemplo 3: Uma pessoa na margem de um rio vê, sob um
ângulo de 60°, uma torre na margem oposta. Quando
ela se afasta 40 m, esse ângulo é de 30°. A largura do
rio é:
a. 5 m
b. 10 m
c. 20 m
d. 20√3 m
e. n.d.a.
y
30°
40m
60°
x
rio
Matemática | Trigonometria
Triângulo Retângulo
30°
40m
120°
30°
60°
x
40m
rio
a. 5 m
b. 10 m
c. 20 m
d. 20√3 m
e. n.d.a.
Matemática | Trigonometria
y
Cos60° =
1
x
=
2 40
x = 20
x
40
Triângulo Retângulo
Teorema Angular de Tales
γ
α
β
Si = α + β + γ = 180°
Se = 360°
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Triângulo Retângulo
Ângulos Complementares
α
β
a + β = 90°
senα = cosβ
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Triângulo Retângulo
Perímetro de Triângulos
a
c
b
2P = a + b + c
a+b+c
P=
2
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Triângulo Retângulo
Áreas de Triângulos Retângulos
Mais usual
a
c
b.c
A=
2
b
Produto dos catetos
dividido por dois.
Exemplo 6: Calcule a área do triângulo retângulo abaixo.
12
h
5
13
Matemática | Trigonometria
Resolução:
5.12
A=
= 30u.a.
2
Triângulo Qualquer
Definição
Para encontrar o valor de um lado ou de um
ângulo em um triângulo qualquer, são necessárias
pelo menos três informações sobre o triângulo,
onde uma delas deve ser um segmento.
A
c
B
α
β
a
Matemática | Trigonometria
b
γ
C
Triângulo Qualquer
Lei dos Senos
a
ˆ
senA
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=
b
senBˆ
=
c
ˆ
senC
= 2R
Triângulo Qualquer
Lei dos Senos
Exemplo 1: (CESGRANRIO) No triângulo ABC, os lados
AC e BC medem 8 cm e 6 cm, respectivamente, e o
ângulo A vale 30º. O seno do ângulo B vale:
a. 1/2
C
b. 2/3
6
c. 3/4
8
B̂
d. 4/5
B
30º
e. 5/6
A
Resolução:
8
8
6
8
6
8 2
ˆ
=
⇒
12
=
⇒
=
⇒ senB =
=
o
ˆ
ˆ
ˆ
1
sen30
senB
senB
senB
12 3
2
Matemática | Trigonometria
Gabarito: b
Triângulo Qualquer
Lei dos Senos
Exemplo: No triângulo ABC, os lados AC e BC medem 8 cm e 6
cm, respectivamente, e o ângulo A vale 30º. O seno do ângulo B
vale:
a. 1/2
C
b. 2/3
6
c. 3/4
8
x
B̂
d. 4/5
B
30º
e. 5/6
A
Matemática | Trigonometria
Triângulo Qualquer
Lei dos Cossenos
ˆ
a2 = b2 +c2 -2.b.c.cosA
b2 = a2 +c2 -2.a.c.cosBˆ
ˆ
c2 = a2 +b2 -2.a.b.cosC
Matemática | Trigonometria
Triângulo Qualquer
Lei dos Cossenos
Exemplo: A água utilizada na casa de um sítio é
captada e bombeada do rio para um caixa d’água a 50
m de distância. A casa está a 80 m de distância da
caixa d’água e o ângulo formado pelas direções caixa
d’água-bomba e caixa d’água-casa é de 60º. Se
pretende bombear água do mesmo ponto de captação
até a casa, quantos metros de encanamento serão
necessários?
Caixa d’agua
80m
Casa
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60º 50m
Bomba (rio)
x
Triângulo Qualquer
Lei dos Cossenos
Caixa d’agua
80m
60º 50m
Rio
x
Casa
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x² = 50² + 80² - 2.50.80.cos60º
x² = 2500 + 6400 - 8000.cos60º
x² = 8900 - 8000.1/2
x² = 8900 - 4000
x² = 4900
x = 70m
Triângulo Qualquer
Teorema dos Cossenos
ˆ + c.cosB
ˆ
a = b.cosC
ˆ + c.cosA
ˆ
b = a.cosC
ˆ + b.cosA
ˆ
c = a.cosB
Matemática | Trigonometria
Triângulo Qualquer
Teorema dos Cossenos
Exemplo: (UFSC) Na figura a seguir determine a
medida do segmento AB, em cm, sabendo
que senα = 0,6.
Matemática | Trigonometria
Triângulo Qualquer
Teorema dos Cossenos
6
3
=
senα = 0, 6 =
10 5
Resolução:
x
100cm
y
3
5
α
4
cosα =
5
4
x = 100cosα +100cosα
x = 2.100cosα
x = 200cosα
4
x = 200. = 160cm
5
Matemática | Trigonometria
y
senα =
x
y
0, 6 =
160
y = 96cm
Áreas de Triângulos
Área do Triângulo
b.h
A=
2
Exemplo: Dado um triângulo retângulo de catetos 5
e 12, calcule sua área.
5
h
12
13
Matemática | Trigonometria
Em triângulos retângulos use os
catetos como base e altura.
A=
b.h 5.12
=
= 30 u.a.
2
2
Áreas de Triângulos
A = p(p - a)(p - b)(p - c)
a) UNICAMP | Calcule a área de um triângulo de lados
21, 17 e 10.
10 +17 + 21 = 48 = 24
p=
2
2
10
17
21
A = 2.2.3.7
A = 84 cm 2
Matemática | Trigonometria
A = p(p - a)(p - b)(p - c)
A = 24(24 - 21)(24 -17)(24 -10)
A = 24(3)(7)(14)
A = 2.2.2.3.(3).(7).(7.2)
Áreas de Triângulos
b) UNICAMP | Calcule o valor da altura relativa ao lado
que mede 21 cm
10
h
17
21
Matemática | Trigonometria
A=
b.h
2
84 =
21.h
2
h = 8 cm
Áreas de Triângulos
ˆ
a.b.senC
A=
2
Exemplo: Uma pizza de raio 20 cm foi dividida
igualmente em 12 fatias (Figura abaixo ilustra uma das
fatias). Qual a área da fatia que é comida, ou seja, sem
a borda?
1
ˆ
a.b.senC
A=
2
20cm
Área
30°
400.
2
A=
2
A = 20.20.sen30
2
Matemática | Trigonometria
O
A = 200
2
A =100 cm2
Áreas de Triângulos
Área do Triângulo Equilátero
2
l
h l
l/2
l
⎛l⎞
l 2 = h2 + ⎜ ⎟
⎝ 2 ⎠ A = b.h
2
2
l
2
2
l =h +
l 3
4
l.
2
l
2
2
2
A
=
l - =h
2
4 2
3l
2
l2 3
h =
A=
4
4
l 3
h=
2
Matemática | Trigonometria
Exemplo:
Calcule a área de um
triângulo equilátero de
lado 2cm.
l2 3
A=
4
22 3
A=
4
A = 3 cm2
Áreas de Triângulos
Exemplo: Calcule a Área, o raio da circunferência
interna e externa ao triângulo:
S = p.a
A = a.b.c
4R
Matemática | Trigonometria
A = p.r