MODELOS MATEMÁTICOS PARA A ALOCAÇÃO DE PEÇAS A
EMBALAGENS NO ABASTECIMENTO DE LINHAS DE MONTAGEM
Maurício Cardoso de Souza
Departamento de Engenharia de Produção
Universidade Federal de Minas Gerais
Av. Presidente Antônio Carlos 6627
Cep 30161-010
Belo Horizonte – MG
[email protected]
Carlos Roberto Venâncio de Carvalho
Departamento de Engenharia de Produção
Universidade Federal de Minas Gerais
Av. Presidente Antônio Carlos 6627
Cep 30161-010
Belo Horizonte – MG
[email protected]
Wellington Bretz Brizon
FIAT Automóveis S/A
[email protected]
Resumo: Este trabalho apresenta dois modelos de programação matemática para determinação de
tamanhos de embalagens no abastecimento de peças em linhas de montagem. O estudo foi
conduzido numa grande indústria do setor automobilístico. O problema logístico encontrado
consiste em definir, para cada tipo de peça, qual o tamanho de embalagem deve ser utilizado no
abastecimento da linha de maneira que o custo total com estocagem e movimentação no horizonte
considerado seja minimizado. Devem ser consideradas as seguintes restrições: (i) o atendimento da
demanda por cada tipo de peça; (ii) a constância, dentro do horizonte planejado, na alocação de um
tipo de peça a um tamanho de embalagem; e, (iii) o limite sobre a quantidade de embalagens de um
mesmo tamanho dísponíveis para a movimentação de peças num determinado período. São
apresentados resultados numéricos preliminares sobre um cenário real do chão de fábrica onde o
estudo foi conduzido.
Palavras-Chave: abastecimento de linhas de montagem, tamanho de lote, programação
matemática.
Abstract: In this paper we present two mathematical models for lot sizing in assembly lines. We
conducted our study in a major automobile industry. The logistic problem is to determine among
discrete standard lot sizes which one to be used to feed the assembly line in order to minimize
constant and inventory holding costs. The following constraints should be considered: (i) demand
requirements; (ii) lot size can not be varied over the horizon; and, (iii) quantities of standard
containers sizes are limited. Preliminary numerical results over a real problem from the shop floor
are presented.
Keywords: assembly-lines, lot sizing, mathematical programming.
1. Introdução
Em um sistema de produção estruturado em linhas de montagem, um dos problemas importantes de
logística interna consiste no abastecimento das linhas com as peças que compõem o produto. A
questão crucial neste problema é definir o tamanho de lote que será utilizado no abastecimento. A
resposta desta questão deve ser uma solução de compromisso que minimize custos fixos incorridos
a cada liberação de ordem e/ou movimentação e custos variáveis que incidem sobre as peças em
estoque ao lado da linha de montagem. O leitor pode se referir, por exemplo, a Bahl et al (1987)
para uma revisão de literatura de modelos para definição de tamanho de lote em problemas de
planejamento da produção. No caso específico de abastecimento de linhas de montagem, uma
referência é o trabalho de Bitran e Chang (1987) para modelos de controle da produção via sistema
Kanban, embora a questão do tamanho de lote não seja tratada por estes autores.
Neste trabalho estuda-se o problema do abastecimento de linhas de montagem no ambiente de uma
grande indústria automobilística. A empresa estudada ocupa hoje um lugar de destaque no ranking
das montadoras no Brasil, tendo, por exemplo, a participação de 25,3 % do mercado brasileiro em
2003, e sendo uma das principais exportadoras privadas do Brasil – o volume de veículos montados
e desmontados representa mais da metade de automóveis de passeio e comerciais leves exportados
pela indústria brasileira em 2002.
O artigo está organizado da seguinte forma. Na Seção 2 descreve-se o problema logístico do
abastecimento das linhas de montagem da indústria do setor automotivo onde foi conduzido o
estudo. Nas Seções 3 e 4 propõem-se dois modelos cuja diferença entre eles está no tratamento da
demanda, e conseqüentemente em como os custos variáveis incidem sobre as peças em estoque. Na
Seção 5 apresentam-se resultados numéricos preliminares sobre um cenário real do chão de fábrica
onde o estudo foi conduzido. Finalmente, na Seção 6 apresentam-se conclusões e extensões.
2. Descrição do problema logístico de abastecimento das linhas de montagem
A unidade fabril onde o estudo foi conduzido tem uma capacidade produtiva estimada em 2.300
veículos por dia, com uma produção atual de aproximadamente 1.700 veículos por dia. A fábrica
possui uma área total de mais de 2.000.000 m2 com 600.000 m2 de área construída. A produção é
subdividida nas seguintes cinco unidades operativas (cada uma responsável por uma etapa do
processo): mecânica, prensas, funilaria, pintura, e montagem final. O foco do presente trabalho é o
abastecimento das linhas na montagem final. Esta unidade operativa é composta por quatro linhas
de montagem onde os veículos produzidos pela empresa são agregados de acordo com as suas
principais características, tais como, por exemplo, similaridade de peças. Cada veículo é composto
de aproximadamente 4.000 itens. Ao todo, na montagem, existem 13.000 itens para compor as
diferentes versões de cada modelo.
O parque de embalagens da fábrica utilizada no estudo é de tamanho considerável quando
comparado às grandes indústrias de manufatura discreta instaladas no Brasil. Entre as embalagens
empregadas no abastecimento de suas linhas de montagem encontram-se vasquetas plásticas,
caçambas metálicas, pallets, etc. As embalagens são utilizadas na movimentação entre
almoxarifados e linhas de montagem e entre fornecedores de material direto e a própria fábrica.
Grande parte dos fornecedores entregam seus materiais já nas embalagens adequadas ao
abastecimento das linhas de montagem. A Figura 1 ilustra a movimentação interna no
abastecimento de uma linha de montagem.
963
A produção é planejada num horizonte de tempo discretizado em dias. As demandas de uma
determinada linha de montagem são portanto definidas em peças por dia. As embalagens são
padronizadas em três tamanhos – grande, médio, e pequeno – para abastecer a linha de montagem.
Existem custos associados tanto às movimentações de embalagens quanto aos estoques lado-linha.
O custo de movimentação incide sobre toda embalagem que é carregada do almoxarifado à linha de
montagem para seu abastecimento. Com relação ao custo de estoque lado-linha consideram-se no
presente trabalho duas versões que estão relacionadas à maneira como a demanda é tratada. Por um
lado, quando na existência de uma demanda uniforme sem horizonte pré-definido, o custo variável
incide sobre o estoque médio que se observa ao lado da linha de montagem. Por outro lado, quando
a demanda é variável por período dentro de um horizonte limitado, o custo variável incide somente
sobre as peças que viram de período ao lado da linha de montagem.
O problema logístico encontrado no abastecimento de uma linha de montagem consiste então em
definir, para cada peça, qual o tamanho de embalagem deve ser utilizado no abastecimento da linha
de maneira que o custo total com estocagem e movimentação no horizonte considerado seja
minimizado. A decisão sobre a alocação de peças às embalagens é balizada por certas restrições.
Inicialmente deve-se considerar o atendimento de demanda, pois a linha tem que ser abastecida com
todas as peças necessárias à montagem do produto final. Deve-se também manter a constância,
dentro do horizonte planejado, na alocação de um tipo de peça a um tamanho de embalagem; isto é,
o mesmo tamanho de embalagem deve ser utilizado no abastecimento da linha com uma
determinada peça em todos os períodos do horizonte considerado, com o intuito de evitar distúrbios
no processo com modificações freqüentes na alocação de tipos de peças a tamanhos de embalagens.
Uma última restrição está relacionada ao limite sobre a quantidade de embalagens de um mesmo
tamanho dísponíveis para a movimentação de peças num determinado período. Esta última restrição
pode ser interpretada, tanto como um limite físico sobre o número de embalagens de um
determinado tamanho disponíveis, quanto como um limite sobre o número de viagens no chão de
fábrica que pode ser realizado.
3. Demanda uniforme – custos sobre o estoque médio lado-linha
No caso em que a taxa de demanda por unidade de tempo é constante, consideram-se custos
variáveis incidindo sobre o estoque médio de peças mantido ao lado da linha de montagem. As
decisões de tamanho de lote – que, para cada tipo de peça visto de forma independente, poderiam
ser tomadas com o modelo clássico de lote econômico (ver, por exemplo, Hillier e Lieberman
964
(2002)) – estão entretanto sujeitas a restrições de acoplamento entre os tipos de peças, já que o
número de embalagens de um determinado tamanho disponíveis é limitado.
A demanda uniforme acontece quando a empresa mantém um fluxo de materiais constante em
linhas de montagem trabalhando sem interrupção. Sendo I o número de tipos de peças, tem-se que a
demanda di pela peça i, i = 1, ..., I, por unidade de tempo é constante. Sendo K o número de
tamanhos diferentes de embalagens, tem-se a quantidade qik de peças do tipo i que cabem na
embalagem de tamanho k, k = 1, ..., K. Portanto o custo de estocagem por ciclo qik/di ao se abastecer
a linha com a peça do tipo i na embalagem de tamanho k é ci(qik)2/2di onde ci é o custo unitário de
estoque que incide sobre a peça i. O custo fixo de movimentação da embalagem k é dado por bk. O
limite sobre o número de embalagens do tamanho k disponíveis para a movimentação de peças é
representado por lk. O número wik de embalagens do tamanho k necessárias ao abastecimento da
linha com a peça i pode ser calculado utilizando-se a fómula para o número de cartões Kanban (ver,
por exemplo, Monden (1981) ou Krajewski e Ritzman (1993)), wik=dih/qik, onde h é o tempo de
ressuprimento – tempo que decorre desde que a embalagem é liberada vazia ao lado da linha até
retornar cheia. No presente estudo considera-se a demanda estipulada por dia e o tempo de
d 
ressuprimento de um dia, daí wik =  it  .
 qik 
A variável de decisão xik assume o valor 1 se a linha de montagem será abastecida com a peça i na
embalagem de tamanho k, e 0 caso contrário. Propõe-se então o seguinte modelo, doravante
denominado MDU, para o problema logístico do abastecimento de uma linha de montagem
considerando-se a demanda uniforme e os custos variáveis incidindo sobre o estoque médio ladolinha.
K
Minimizar
 d i bk ci qik 

 xik
+
2 
 q ik
I
∑∑
k =1 i =1
K
Sujeito à
∑x
k =1
=1
ik
I
∑w
ik
x ik ≤ l k
(1)
para todo i = 1, ..., I
(2)
para todo i = 1, ... I, k = 1, ..., K,
(3)
para todo i = 1, ..., I, k = 1, ..., K,
(4)
i =1
xik ∈ {0,1}
A função objetivo (1) contabiliza, para o tamanho k de embalagem utilizado para abastecer a linha
com a peça i, o custo total (movimentação e estocagem) por dia segundo o modelo de lote
econômico. A restrição (2) garante que cada tipo de peça será alocado a apenas um tamanho de
embalagem. A restrição (3) garante que o número de embalagens do tamanho k utilizadas no
abastecimento da linha não excede o limite de embalagens deste tamanho disponíveis para a
movimentação de peças. Vale notar que sem a restrição (3) o problema seria separável por peça,
podendo em cada peça ser resolvido analiticamente a partir da solução ótima do modelo de lote
econômico.
4. Demanda variável – custos sobre o estoque lado-linha ao fim de cada período
Wagner e Whitin (1958) desenvolveram um modelo cujas restrições de balanço (que incluem
estoques incial e final e quantidades produzidas) garantem que demandas diferentes em cada
período do horizonte de planejamento sejam atendidas. Este tipo de situação é encontrada quando
um horizonte de planejamento é discretizado em períodos e há uma interrupção de produção de um
965
período para o outro. Os custos variáveis incidem então sobre as peças que viram o período em
estoque ao lado da linha de montagem.
O horizonte de planejamento neste caso é discretizado em t = 1, ..., T períodos, e tem-se portanto
uma demanda dit pela peça i, i = 1, ..., I, no período t. O modelo proposto apresenta três grupos de
variáveis. O primeiro grupo, de maneira análoga ao modelo anterior, diz respeito às decisões de
alocação de cada tipo de peça à cada tamanho de embalagem (a variável binária xik assume o valor 1
se a linha de montagem será abastecida com a peça i na embalagem de tamanho k, e 0 caso
contrário). O segundo grupo indica a freqüência fkit de abastecimento no período t com a peça i na
embalagem de tamanho k; ou seja, o número de vezes no período t que as embalagens de tamanho k
com peças do tipo i serão movimentadas do almoxarifado para a linha de montagem. Finalmente, o
terceiro grupo indica a quantidade sit de peças do tipo i em estoque lado-linha ao final do período t.
Propõe-se então o seguinte modelo, denominado MDV, para o caso em que a demanda é variável.
T
Minimizar
I
K
∑∑ (c s + ∑ b
i it
t =1 i =1
k =1
k
f itk )
(1)
K
Sujeito à
s i (t −1) − sit + ∑ qik f itk = d it
para todo i = 1, ..., I e t = 1, ..., T
(2)
para todo i = 1, ..., I
(3)
para todo i = 1, ..., I e k = 1, ..., K
(4)
para todo i = 1, ... I, k = 1, ..., K, e t = 1, ..., T
(5)
k =1
K
∑x
k =1
=1
ik
T
Mxik − ∑ f itk ≥ 0
t =1
I
∑w
ik
x ik ≤ l k
i =1
xik ∈ {0,1} e sit e f itk ∈ N
para todo i = 1, ..., I, k = 1, ..., K, e t = 1, ..., T (6)
A função objetivo (1) é composta, no somatório em todas as peças e todos os períodos, de duas
parcelas. A primeira parcela corresponte ao custo de estoque lado-linha que incide sobre o número
de peças em estoque no fim de cada período. A segunda parcela corresponde ao custo total de
movimentação das embalagens. A restrição (2) garante que a diferença entre os estoques nos fins
dos períodos t e (t-1) somado ao total de peças com que a linha foi abastecida no período t é igual à
demanda do período. As restrições (3) e (4) garantem respectivamente que: (i) cada peça será
alocada a apenas um tamanho de embalagem; e, (ii) somente esse tamanho de embalagem será
utilizado para abastecer a linha montagem com a peça em questão. Na restrição (4), o coeficiente M
 d it 
 : i = 1, ..., I }, onde k' é a menor embalagem.
t =1  ik ' 
T
assume um valor maior ou igual ao max{
∑q
Assim, caso uma peça i for alocada em um tamanho de embalagem k (ou seja, xik = 1), a restrição é
satisfeita, pois, o número de vezes que a linha de montagem é abastecida com a embalagem k no
horizonte de planejamento não pode ser maior de que M. Caso contrário, se uma peça i não for
alocada em um tamanho de embalagem k (ou seja, xik = 0), garante-se que não haverá, em nenhum
período, abastecimento com a peça i no tamanho de embalagem k (ou seja, Σt fkit = 0). A restrição
(5) garante que o número de embalagens do tamanho k utilizadas no abastecimento da linha não
excede o limite de embalagens deste tamanho disponíveis para a movimentação de peças. Os
domímios das variáveis são definidos pela restrição (6).
966
5. Resultados preliminares
Considera-se, para fins de uma primeira noção sobre a potencialidade dos modelos propostos para
abordar o problema logístico de abastecimento de linhas de montagem, um cenário restrito a uma
Unidade Tecnológica Elementar (UTE) da fábrica onde o estudo foi conduzido. Uma UTE é um
trecho da linha de montagem responsável por um certo número de operações no veículo. Cada UTE
tem total responsabilidade e controle sobre suas operações e sobre a gestão dos custos envolvidos
em seus processos.
No cenário utilizado na condução de um experimento numérico, são considerados 191 tipos de
peças com as quais uma determinada UTE deve abastecer sua linha de montagem. Vale notar que os
tipos de peças podem ser vistos como diferentes famílias onde diversas peças são agregadas, por
exemplo, por alguma similaridade funcional. As demandas por cada tipo de peça e seus custos
unitários de estoque variam, respectivamente, de unidades a dezenas de milhares, e, de centavos a
dezenas unidades monetárias. Observa-se que não existe nenhuma relação entre demanda e custo
unitário de estoque (pode por exemplo haver uma alta demanda por uma peça com alto custo
unitário de estoque). O custo de movimentação é constante para qualquer um dos três tamanhos de
embalagem (grande, médio, e pequeno) e seu valor está em torno de uma unidade monetária.
Para efeito de comparação da dificuldade de se resolver cada um dos modelos, optou-se por rodar
MDV (c.f. Seção 4) com as mesmas demandas utilizadas em MDU (c.f. Seção 3), ou seja, os
valores das demandas de cada tipo de peça em MDV são os mesmos em todos os períodos do
horizonte – fixado em uma semana e discretizado em dias. Foi utilizado o CPLEX para obter todos
os resultados apresentados.
O cenário com 191 tipos de peças e 3 tamanhos de embalagem geram em MDU 573 variáveis
binárias. Estuda-se, neste caso, o impacto do limite ao número de embalagens de um mesmo
tamanho disponíveis para movimentação tanto no custo total da solução quanto no salto (gap) entre
a solução inteira e a obtida com a relaxação linear. A Tabela 1 apresenta, para cada valor do limite
ao número de embalagens (considerado o mesmo para todos os tamanhos, i.e. l1 = l2 = l3), os custos
totais sobre todo o horizonte da solução ótima inteira e da relaxação linear. Para valores de lk abaixo
de 325, o problema não é viável. Para o valor 1.000 de lk, a restrição sobre o número de embalagens
disponíveis já não interfere no modelo, isto é, o problema passa a ser separável por tipo de peça e
pode ser resolvido pelo modelo de lote econômico. Para valores de lk maiores que 1.000 portanto o
custo da solução não muda. Percebe-se que neste caso não há salto entre os valores da solução
ótima inteira e da relaxação linear. Nos outros casos o salto é pequeno (não chegando a 1%) devido
ao fato que para no máximo 2 ou 3 tipos de peça dentre os 191 os davariável xik são fracionários. Os
tempos de execução são da ordem de frações de segundos.
lk
325
350
400
500
750
1000
solução inteira relaxação
20.162,2 20.127,5
18.183,4 18.183,1
17.972,0 17.971,5
17.729,5 17.726,6
17.481,7 17.480,3
17.441,0 17.441,0
Tabela 1: custos da solução inteira e relaxação
967
O gráfico da Figura 2 ilustra a queda no custo da solução ótima quando o valor de lk aumenta.
20250
19750
19250
18750
18250
17750
17250
lk =
325
lk =
350
lk =
400
lk =
500
lk =
750
lk =
1000
Figura 2 : queda no custo da solução ao se aumentar o valor de lk
A dificuldade numérica cresce substancialmente ao se tratar o problema com o modelo MDV
(considerando os custos variáveis incidindo sobre as peças em estoque no final de cada período). O
mesmo cenário com 191 tipos de peças e 3 tamanhos de embalagem, considerando um horizonte de
7 períodos, geram em MDV 5.921 variáveis inteiras. Para a instância mais simples no modelo
MDU, aquela em que o valor de lk é 1.000, após 42.073 segundos de execução no CPLEX não foi
obtida a solução ótima. Os custos da melhor solução inteira e do melhor limite inferior obtidos
foram respectivamente 159.149 e 135.846 – um salto de 14%.
6. Conclusões e extensões
Os modelos matemáticos apresentados neste trabalho surgiram de um problema real encontrado na
logística interna de uma grande indústria do setor automobilístico. O sistema de abastecimento das
linhas de montagem por meio de embalagens padronizadas está em fase inicial de implantação no
chão da fábrica onde foi conduzido o estudo. A diferença entre os dois modelos propostos – MDU e
MDV – está no tratamento da demanda, e conseqüentemente em como os custos variáveis incidem
sobre as peças em estoque. Constatou-se, com resultados numéricos preliminares, que a dificuldade
de se resolver instâncias com os mesmos tipos de peças e suas respectivas demandas com o modelo
MDV é substancialmente maior que com o modelo MDU. Pretende-se seguir duas linhas em
extensão ao trabalho ora apresentado, ambas com o intuito de melhorar a performance de resolução
quando o problema é abordado com o modelo MDV. A primeira extensão seria aproveitar, no
desenvolvimento de algoritmos exatos, o fato que o problema é separável nos tipos de peças se
relaxada a restrição sobre o número de embalagens disponíveis. A segunda seria desenvolver
metaheuristicas para obter soluções de boa qualidade em tempos computacionais razoáveis.
Referências
Bahl, H.C., L.P. Ritzman, e J.N.D. Gupta. 1987. “Determining lot sizes and resource requirements:
a review.” Operations Research 35, 329 – 345.
Bitran, G.R., e L. Chang. 1987. “A mathematical programming approach to a deterministic Kanban
system.” Management Science 33, 427 – 441.
968
Hillier, F.S., e G.L. Lieberman. 2002. Introduction to Operations Research. McGraw Hill.
Krajewski L.J., e L.P. Ritzman. 1993. Operations Management. Addison Wesley.
Monden, Y. 1981. “What makes the Toyota production system really tick?” Journal of
Industrial Engineering 36, 36 – 46.
Wagner H.M., e T.M. Whitin. 1958. “A dynamic version of the economic lot size model.”
Management Science 5, 89 – 96.
969