Universidade Federal do Pará
Instituto de Ciências Exatas e Naturais
Programa de Pos-graduação em Matemática e Estatı́stica - PPGME
Curso de Análise Funcional
Lista de Exercı́cios 7
Professora: Giovany Figueiredo
As Topologias fraca e fraca ∗ (2a parte)
1. Sejam E e F espaços de Banach e T : E → F um isomorfismo isométrico. Mostre
que E é reflexivo se, e somente se, F é reflexivo.
2. Sejam E um espaço de Banach uniformemente convexo, (xn ) ⊂ E e x ∈ E. Mostre
que se xn * x e lim sup k xn k≤k x k, então xn → x em E.
n→∞
3. Seja E um espaço de Banach. Mostre que E é reflexivo se, e somente se, E 0 é
reflexivo.
4. Seja E um espaço de Banach. Mostre que todo conjunto K ⊂ E compacto segundo
a topologia σ(E, E 0 ) é limitado.
5. Seja E um espaço de Banach reflexivo. Mostre K ⊂ E é compacto segundo a
topologia σ(E, E 0 ) se, e somente se, K é fracamente fechado e limitado.
6. Dê exemplo de um espaço normado E onde existe uma sequência (xn ) tal que
xn * x e k x k< lim inf k xn k.
n→∞
7. Seja E um espaço de Banach separável. Mostre que para cada x ∈ E existe uma
sequência (xn ) ⊂ E não-constante tal que xn * x.
8. Seja E um espaço de Banach não-reflexivo. Mostre que σ(E 0 , E) está estritamente
contida em σ(E 0 , E 00 ).
1
9. Seja X um espaço topológico compacto e ϕ : X → IR uma função semi-contı́nua
inferiormente com relação a topologia de X. Mostre que ϕ é limitada inferiormente
e assume mı́nimo sobre X.
10. Sejam C um subconjunto convexo, fechado e não-vazio de um espaço de Banach
reflexivo E e ϕ : C → IR uma função não-nula, convexa e fortemente semi-contı́nua
inferiormente, tal que
lim ϕ(x) = ∞.
kxk→∞
Mostre que ϕ atinge mı́nimo sobre C. Mostre que este resultado ainda é válido se
ϕ estiver definida sobre todo o espaço E.
11. Seja C um subconjunto convexo, fechado e não-vazio de um espaço de Banach
reflexivo E. Mostre que existe x0 ∈ C, tal que
k x0 k= inf k x k .
x∈C
12. Dê exemplos de:
a) espaços normados uniformemente convexos;
b) espaços normados que não são uniformemente convexos.
13. Seja E um espaço de Banach com dim E = ∞. Mostre que mesmo quando E é
reflexivo as topologias forte e fraca sobre E 0 não coincidem.
14. Sejam E um espaço de Banach e M ⊂ E um subespaço fechado. Mostre que
σ(M, M 0 ) = M ∩ σ(E, E 0 ).
15. Mostre que lp é reflexivo, para 1 < p < ∞. O que podemos afirmar quando p = 1
ou p = ∞? Justifique sua resposta.
16. Seja (X, τ ) um espaço topológico compacto e metrizável. Mostre que toda sequência
(xn ) ⊂ X possui uma subsequência que converge na topologia τ .
2
17. Seja E um espaço de Banach para o qual existe uma sequência limitada (fn ) ⊂ E 0
que não admite subsequência convergente. Mostre que E não é reflexivo, nem
separável.
18. Mostre que em todo espaço de Banach E reflexivo com dim E = ∞, existe uma
subsequência que converge fraco, mas não converge forte.
19. Seja E um espaço de Banach reflexivo. Mostre que para todo f ∈ E 0 existe x ∈ E,
com k x k= 1, tal que f (x) =k f kE 0 .
20. Seja E um espaço de Banach com dim E = ∞. Mostre que as topologias σ(E, E 0 )
e σ(E 0 , E 00 ) não são geradas por normas.
21. Sejam E um espaço normado e (xn ) ⊂ E. Dizemos que (xn ) é de Cauchy na
topologia σ(E, E 0 ) se, para cada f ∈ E 0 , a sequência (f (xn )) ⊂ IR é de Cauchy.
Além disso, dizemos que E é Banach com relação a topologia σ(E, E 0 ) se toda
sequência de Cauchy na topologia σ(E, E 0 ) converge fraco. Mostre que se E é
Banach com relação a topologia σ(E, E 0 ), então E é Banach.
22. Seja E um espaço vetorial normado em que toda sequência limitada admite uma
subsequência que converge na topologia σ(E, E 0 ). Mostre que E é Banach.
23. Sejam E um espaço de Banach reflexivo e ϕ : E → IR um função semi-contı́nua
inferiormente, limitada inferiormente e convexa. Mostre que, dado > 0, para cada
x ∈ E verificando inf ϕ ≤ ϕ(x ) < inf ϕ + e para cada λ > 0 dado, existe x ∈ E
E
E
tal que
ϕ(x ) ≤ ϕ(x ) , k x − x k≤ λ
e
ϕ(x ) ≤ ϕ(x ) +
k x − x k, ∀x ∈ E.
λ
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24. Sejam E um espaço de Banach reflexivo e M ⊂ E um subespaço fechado. Mostre
que o espaço quociente E\M é reflexivo.
25. Mostre que c0 e c não são reflexivos.
26. Seja E um espaço de Banach. Mostre que as topologias fraca e fraca ∗ em E 0 são
metrizáveis se, e somente se, dim E < ∞.
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