Vetores e Geometria Analítica
Prof. Alexandre S. Oliveira
1ª Lista de Exercícios
1) Dados os vetores u
3, 1 e v
1, 2 , determinar o vetor x tal que
1
x 2 u x Resp: (­15/2,15/2)
3
2 v u 2 4 x 3 u Resp: (23/5, ­11/5)
a) 4 u v
b) 3 x
2) Dados os pontos A
1, 3 , B 2, 5 , C 3, 1 e O 0, 0 , calcular
a) OA AB Resp: (­4,1)
b) OC BC Resp: (2,5) c) 3 BA 4 CB Resp: (­5,­30) 3) Dados os vetores u 2 i
3 j , v i
a) 2 u v Resp: (3,­5)
c) b) v u 2 w Resp: (­5,4)
4) Dados os vetores u
j e w
2, 4 , v
j , determinar
1
u 2 v w Resp: (1,­1/2)
2
1
v
2
d) 3 u
2i
1
w Resp: (13/2,­9)
2
5,1 e w
12, 6 , determinar a1 e a2 tais que
w a1u a2 v Resp: a1=­1 e a2=2
5) Dados os pontos A 3, 4 e B
1,1 e o vetor v
a) B A
2 v Resp: (­8,11)
c) B 2 B A Resp: (­9,11)
b) A B
v Resp: (6,­8)
6) Sejam os pontos A
d) 3 v 2 A B Resp: (­14,19)
5, 1 e B 1, 3 . Determinar o vetor v
a) B A 2 v Resp: (3,1)
7) Sendo A
2,3 , calcular
a , b tal que
b) A B 3 v Resp: (­2,­2/3)
2, 3 e B 6, 3 extremidades de um segmento, determinar
a) os pontos C, D e E que dividem o segmento AB em quatro partes de mesmo comprimento;
Resp: C(0,3/2), D(2,0), E(4,­3/2)
b) os pontos F e G que dividem o segmento AB em três partes de mesmo comprimento.
Resp: F(2/3,1), G(10/3,­1)
8) Dados os vetores u
a) u Resp:
1, 1 , v
3, 4 e w
8, 6 , calcular
√ 2 c) w Resp:10 e) 2 u w Resp: 2 √ 13
b) v Resp: 5
d) u v Resp: v
f) w 3 u Resp:
√ 13
9) Calcular os valores de a para que o vetor u
Resp: (­3/5,4/5)
√ 34
h)
u
u
Resp:1
a , 2 tenha módulo 4. Resp: a= ±√12
Calcular os valores de a para que o vetor u
10)
v
g) a,
1
±√ 3
seja unitário.Resp:a=
2
2
11)
Encontrar o vetor unitário que tenha I) o mesmo sentido de v e II) sentido contrário a v
nos casos:
a) v
c) v
i
j Resp: ±(
1 −1
,
)
√ 2 √2
1 √3
1, 3 Resp: ±( , )
2 2
b) v 3 i
j Resp: ±(
d) v
3 √ 10 −√10
,
)
10
10
0, 4 Resp: ±(0,1)
12)
Dado o vetor v 1, 3 , determinar o vetor paralelo a v que tenha:
a) o sentido contrário ao de v e duas vezes o módulo de v ; Resp: (­2,6)
2 −6
,
)
b) o mesmo sentido de v e módulo 2. Resp: (
√ 10 √ 10
13)
Dados os pontos A 2, 2, 3 e B 1, 1, 5 e o vetor v
a) A 3 v Resp: (5,7,­9)
c)
A B
v Resp: (0,­6,2)
1,3, 4 , calcular:
b) B 2 B A Resp: (­1,7,9)
d) 2 v 3 B A Resp: (5,­3,­14)
14)
Sabendo que 3 u 4 v 2 w , determinar a, b e c , sendo u
w 4, 1, 0 .Resp: a=1/2, b=7/4, c=4
15)
Dados os vetores u 2, 3, 1 , v 1, 1, 1 e w
3 u v x 4 x 2 w .Resp: (11/3, 2/3, ­4/3)
16)
Quais dos seguintes vetores u 4, 6, 2 , v
u ,⃗v , w
⃗
10, 15, 5 são paralelos? Resp: ⃗
t
17)
u
Verificar se são unitários os seguintes vetores:
1
2 1
,
,
Resp: ∣⃗u∣=√ 3 ,∣⃗v∣=1
1,1, 1 e v
6
6 6
2, 1, c , v
a , b 2, 3 e 3, 4, 0 , determinar o vetor x tal que 6, 9, 3 , w
14, 21, 9 e 18)
Dados os vetores u
3, 2,1 e v
19)
Dados os vetores u
2, 3, 1 e v
a) 2 u
c)
v Resp: ­2
u 3v
b) u v
v 2 u Resp: 21
1, 4, 1 , calcular u v
2 u v . Resp: ­2
1, 1, 4 , calcular
u v Resp: ­4
d) u v
v u Resp: 4
20) Mostre que o triângulo de vértices A 2,3, 1 , B 2, 1, 1 e C 2, 2, 2 é um triângulo retângulo.