UNIVERSIDADE DO ALGARVE
FACULDADE DE CIÊNCIAS E TECNOLOGIA
Departamento de Fı́sica
Sebenta de Fı́sica
Licenciatura em Ciências Farmacêuticas
Leonor Cruzeiro
c
°L.
Cruzeiro (2003), todos os direitos reservados
Grandezas Fı́sicas
1
Capı́tulo 0. Grandezas Fı́sicas
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°Leonor
Cruzeiro (2003)
1
Unidades
O objectivo da Fı́sica é construir imagens do Universo. Desse ponto de vista não
é muito diferente da Biologia, cujo objectivo é construir imagens dos sistemas vivos.
Mas enquanto a Biologia começou por ser uma ciência largamente descritiva (em certos
ramos continua a ser assim), a Fı́sica foi, desde o princı́pio, uma ciência quantitativa.
Os modelos que desenvolve devem não só dar uma imagem do Universo, de como os
fenómenos ocorrem, quais as suas causas e os seus efeitos, assim como devem possibilitar previsões quantitativas. Por isso, desde o inı́cio as medições tiveram um lugar
muito importante no desenvolvimento das teorias fı́sicas. Uma teoria fı́sica legı́tima
não é apenas uma possı́vel explicação de um acontecimento, deve poder ser usada para
prever fenómenos ainda novos e só é considerada válida quando esses fenómenos previstos são observados. Nas aulas práticas será feita a demonstração de como se fazem
muitos tipos de medições.
Medir uma grandeza consiste em comparar um dos seus atributos com uma referência. Quando dizemos que a Terra tem uma dimensão de 130,000 km, ou seja, 130
milhões de metros, estamos a comparar o seu tamanho com um padrão. Esse padrão
começou por ser a distância entre duas marcas feitas numa placa de platina iridiada.
Mas como as comparações com um padrão que se encontra fechado no laboratório, além
de ser imprecisas, não se fazem muito facilmente, depois de várias outras definições, em
1983, adoptou-se um outro padrão para o metro, que se define agora como a distância
percorrida pela luz no vácuo durante numa fracção de 1/299,792,458 de um segundo.
Teremos ocasião de estudar vários tipos de sistemas fı́sicos, mas para já concentremonos nos sistemas mecânicos. As quantidades mecânicas podem ser caracterizadas por
três grandezas fundamentais: o comprimento, o tempo e a massa. Tal como o comprimento, também o tempo e a massa têm os seus padrões. Uma unidade de tempo
é o segundo que se define como o tempo necessário para completar 9,192,631,770 vibrações de um átomo de 133 Cs. A forma como se definem actualmente os padrões do
comprimento e do tempo estão associadas à precisão com que é possivel medir essas
quantidades. Por exemplo, neste momento é possivel medir intervalos de tempo com
uma precisão de 1 segundo em 30,000 anos.
A unidade de massa podia ser definida como a massa de 5.0188 x 1025 átomos de
12
C mas a precisão com que é possivel medir a massa não é comparável com a ordem
de grandeza das massas atómicas. Por isso, a massa-padrão continua a ser a massa de
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Grandezas Fı́sicas
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um bloco de platina guardada num laboratório internacional de padrões, com 1 kg.
Qualquer medição só faz sentido num certo sistema de unidades. Mas existem sistemas de unidades diferentes. Quando dizemos que a unidade de comprimento é o
metro, e a unidade de tempo é o segundo e a unidade de massa é o kilograma, estamos
a falar de um sistema de unidades particular, o Sistema Internacional (SI). Um outro
sistema de unidades é o sistema CGS. No sistema CGS a unidade tempo é também
o segundo mas a unidade de comprimento é o centı́metro e a unidade de massa é o
grama. Outras unidades de comprimento são por exemplo, a milha ( 1.609344 km) e a
polegada ( 2.54 cm).
O comprimento, a massa e o tempo são grandezas fundamentais dos sistemas
Mecânicos, que são grandezas que se definem sem recorrer a relações com qualquer
outra. Outras grandezas fı́sicas fundamentais são a temperatura para um sistema termodinâmico e a carga para um sistema eléctrico. Além das grandezas fundamentais,
há ainda as grandezas derivadas, como a velocidade, que é o espaço percorrido por
unidade de tempo. As grandezas derivadas definem-se a partir de outras já definidas.
Neste curso vamos usar preferencialmente o sistema SI, que é o sistema de unidades
mais generalizado. Definir-se-ão as unidades para outras grandezas à medida que formos tratando delas.
2
Equações de Dimensões
2.1
O que são equações de dimensões
Como já sabemos as grandezas derivadas são definidas a partir de outras que já foram
previamente definidas. A grandeza aceleração, por exemplo, é definida a partir das
grandezas velocidade e tempo. Como, porém, a grandeza velocidade é definida a partir
das grandezas comprimento e tempo conclui-se que será possı́vel definir a grandeza aceleração (grandeza derivada) a partir das grandezas comprimento e tempo (grandezas
fundamentais). Por este processo, todas as grandezas derivadas que se estudam na
Mecânica podem ser relacionadas com as grandezas fundamentais, em geral: comprimento, massa e tempo.
Designa-se por equação de dimensões a expressão simbólica que relaciona uma
grandeza derivada com as grandezas fundamentais.
2.2
Escrita das equações de dimensões
Na escrita das equações de dimensões usa-se uma simbologia própria dada pelas seguintes
regras:
1. as grandezas derivadas representam-se pelos seus sı́mbolos dentro de parênteses
rectos;
2. as grandezas comprimento, massa e tempo representam-se, respectivamente, por
L, M e T , e é por esta ordem que devem figurar nas equações. Dispensam-se os
parênteses rectos para essas letras.
Grandezas Fı́sicas
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De acordo com esta simbologia a equação de dimensões da grandeza velocidade
será:
[v] = LT −1
(1)
visto ser dada pelo quociente entre um comprimento e um intervalo de tempo.
A equação das dimensões da grandeza aceleração será:
[a] = LT −2
(2)
visto que uma aceleração é dada pelo quociente entre uma variação de velocidade e um
intervalo de tempo.
A equação de dimensões da grandeza força será
[F ] = LM T −2
(3)
visto que uma força é dada pelo produto de uma massa por uma aceleração.
2.3
Dimensões das grandezas
Em geral, a equação de dimensões de uma grandeza mecânica, G, apresentar-se-á na
forma:
[G] = Lα M β T γ
(4)
em que α, β, γ podem ser números positivos e negativos, inteiros e até fraccionários.
Estes expoentes chamam-se dimensões da grandeza G, relativamente às grandezas fundamentais. Usando a linguagem apropriada a este assunto diz-se, por exemplo, que
a grandeza força tem a dimensão 1 relativamente ao comprimento, 1 relativamente
à massa, e - 2 relativamente ao tempo. Note-se que as dimensões de uma grandeza
dependem das grandezas que se escolheram para fundamentais e que, portanto, nada
têm a ver com a sua natureza. As grandezas fundamentais são dimensionalmente
independentes.
2.4
Grandezas fı́sicas com iguais dimensões e grandezas fı́sicas
sem dimensões
Existem grandezas fı́sicas que, embora diferentes, têm iguais dimensões. Servem de
exemplo a frequência e a velocidade angular ou frequência angular. A equação de dimensões de qualquer delas é L0 M 0 T −1 ou, simplesmente, T −l . Há também grandezas
fı́sicas que não têm dimensões. Dizem-se adimensionais. Servem de exemplo as
grandezas cujos valores são quocientes obtidos a partir de valores de uma mesma
grandeza, como sucede com a densidade cujo valor é um quociente entre massas.
2.5
Homogeneidade das equações fı́sicas
Em consequência do modo como se definem as grandezas derivadas resulta que, qualquer equação que traduza relações entre grandezas fı́sicas, não poderá estar certa se,
depois de efectuadas as operações matemáticas nela expressas, se verificar que as dimensões não são as mesmas em ambos os membros. Uma equação fı́sica deve ser
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Grandezas Fı́sicas
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homogénea, isto é, deve apresentar as mesmas dimensões em ambos os membros. A
esta propriedade das equações fı́sicas chama-se homogeneidade.
Suponhamos que alguém queria servir-se da equação que traduz a lei dos espaços
no movimento uniformemente acelerado, com velocidade inicial nula, e tinha dúvidas
se essa equação seria
1
s = at2
(5)
2
ou
1a
s= 2
(6)
2t
Se o 1 membro destas expressões tem as dimensões de um comprimento [s] = L, o
2 membro também deverá ter as dimensões de um comprimento. Ora a equação de
dimensões de at2 (eq. 5) é [at2 ] = L; a equação de dimensões de a/t2 (eq. 6) é
[a/t2 ] = LT −4 . Conclui-se que a expressão 5 é homogénea e que a expressão 6 não
é homogénea. A equação 5 pode, portanto, estar certa; a equação 6 está, de certeza,
errada. Esta é uma das utilidades das equações de dimensões: verificar a possı́vel
validez das equações fı́sicas.
Para simplificar, pode-se também usar a mesma notação para exprimir as unidades
de uma quantidade Q, embora não seja o mais correcto. Esta notação alternativa
não apresenta inconvenientes de maior se trabalhamos sempre no mesmo sistema de
unidades. Por exemplo, pode-se dizer que no sistema SI, a unidade de massa, [M ] é o
kg, a unidade de comprimento, [L] é o metro e a unidade de tempo, [t] = s.
Aplicações.
Quando se considera relações entre variáveis é muito importante tomar atenção às
unidades. Se nos dizem que a velocidade de um carro é 80 km/h e queremos saber
qual o espaço percorrido em 10 segundos, em metros, temos primeiro que converter a
velocidade de km/h a m/s (22.22224 m/s) para calcular que o espaço percorrido em 10
segundos é aproximadamente 222.224m.
Quando se diz que o espaço percorrido é igual à velocidade vezes o tempo, não
se especificam unidades mas sabemos que em cada caso concreto elas devem ser todas consistentes. Assim, se um carro vai a 60 km/h, em 30 minutos=0.5 h percorre
uma distância de 30 km. Mas também podı́amos ter a velocidade em milhas por hora
(1 milha = 1.609 km) e a distância calculada viria então em milhas (18.641 milhas).
Obviamente, que cada grandeza com dimensões só faz sentido quando se especifica a
unidade que se está a usar. Isto é, não tem qualquer significado dizer que a velocidade
é 60 se não se disser se é km/h ou outra unidade possı́vel de velocidade.
Só se podem somar (ou diminuir) grandezas com as mesmas dimensões (só se somam
laranjas com laranjas, não se somam laranjas com maçãs). Esta regra é às vezes muito
útil para corrigir expressões sobre as quais haja dúvidas. Por exemplo, dada a equação
x = x0 + v0x t + 1/2 ax t2 , então [x] = [x0 ] = [v0x t] = [ax t2 ], ou seja, todos os termos
têm que ser comprimentos.
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Grandezas Fı́sicas
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Noções de Escala
Quando contemplamos o Universo e os sistemas fı́sicos nele contidos, a primeira observação é a enorme diversidade de escalas dos sistemas nele contidos. Enquanto o
Universo visı́vel tem uma dimensão da ordem dos 1024 km a Terra tem uma dimensão
de 13 x 104 km. Em biologia, encontramos também uma hierarquia semelhante. Enquanto um átomo ou ião tem uma dimensão de 1 Å (ou 10−10 m), uma célula pequena
tem uma dimensão de 1 micron (ou 10−6 m) e certas árvores podem crescer até alturas
de mais de 100 m. Os maiores organismos vivos podem pois ser mais de 100 milhões de
vezes maiores que os mais pequenos (oito ordens de grandeza). Mas há limites para as
dimensões que os diferentes organismos podem ter. Em ficção cientı́fica joga-se muitas
vezes com a possibilidade de fazer certos organismos muito maiores do que normalmente
são (formigas ou abelhas gigantes) ou muito menores (homens minúsculos, capazes de
ir fazer investigações dentro do corpo de outros homens). Por muito interessantes que
sejam estas histórias, a verdade é que cada organismo, com os materiais de que é feito,
não tem grande possibilidade de variações de escala desta ordem de grandeza.
Como sabemos a área é proporcional ao quadrado do comprimento, A ∝ L2 e o
volume é proporcional ao cubo do comprimento, V ∝ L3 . Assim, se o comprimento de
um corpo aumenta 10 vezes, a área aumenta 100 vezes e o volume aumenta 1000 vezes.
Estas diferenças têm consequências biológicas!
Consideremos por exemplo a força relativa de dois organismos: o humano e o de um
gafanhoto. Um ser humano pode carregar um peso igual ao seu peso (os levantadores
de pesos têm mais sucesso que os outros!). O gafanhoto, por sua vez, pode carregar
pesos 15 vezes maior que o seu peso. À primeira vista, parece que o gafanhoto é mais
forte que um homem, em termos relativos. Mas vamos ver que não é bem assim. Para
comparar um homem com um gafanhoto temos que considerar uma grandeza que não
dependa das diferenças de massa dos dois organismos: a força especı́fica, definida como
a força por unidade de massa. A força que um organismo pode exercer é proporcional
à sua massa muscular, a qual é proporcional à àrea da secção transversal do músculo
ou seja é proporcional ao quadrado do comprimento caracteristico. Por outro lado
a massa do organismo é proporcional ao volume (assumindo densidade uniforme), ou
seja, a massa é proporcional ao cubo do comprimento caracteristico. Assim, a força
especı́fica, fe é:
F
A
L2
1
fe =
∝
= 3 =
(7)
M
V
L
L
Assim, a razão entre as forças especı́ficas do gafanhoto e do homem é:
1/L(gafanhoto)
L(homem)
200 cm
fe (gafanhoto)
=
=
≈
= 100
fe (homem)
1/L(homem)
L(gafanhoto)
2 cm
(8)
Uma vez que o homem consegue levantar pesos iguais ao seu próprio peso, conclui-se
que o gafanhoto deveria ser capaz de levantar pesos 100 vezes maiores que o seu peso,
se usasse os seus músculos com a mesma eficiência com que o homem usa os seus.
Como só consegue levantar pesos 15 vezes maiores que a sua massa, o gafanhoto é de
facto relativamente mais fraco que o homem.
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Grandezas Fı́sicas
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Outra consequência da forma como as diferentes quantidades se escalam é a seguinte.
A quantidade de comida que cada ser necessita é, entre outras coisas, proporcional ao
calor que tem de gerar para manter o seu organismo aquecido. Como a quantidade
de calor que se perde é proporcional à superfı́cie, Q ∝ L2 e a quantidade de comida
é proporcional à massa, ou seja, ao volume, C ∝ L3 , a quantidade de calor perdido
por unidade de massa é proporcional ao inverso do comprimento caracteristico, 1/L.
Quanto mais pequeno é um organismo, maior é o calor que esse organismo perde por
unidade de massa. Um rato come cada dia uma quantidade de comida igual a um
quarto da sua massa para se conseguir manter quente. Por outro lado, um elefante
tem o problema inverso, de como dissipar todo o calor que gera. Por isso os elefantes
aproveitam todas as fontes de água que encontram para se regarem e manterem a pele
molhada.
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Análise de Dados
1
Capı́tulo I. Análise de Dados
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°Leonor
Cruzeiro e José Mariano (2004)
1
Introdução
É um facto de observação corrente que, se repetirmos a medição de uma mesma
grandeza fı́sica G em condições supostas idênticas, não obtemos sempre o mesmo resultado mas sim um conjunto de valores diferentes. Cada um destes valores representa
um valor medido g da referida grandeza, e torna-se evidente que não se pode esperar
que o valor medido represente o seu valor verdadeiro (exacto) g0 . Nenhuma medição é
exacta. As medidas de massa, comprimento, tempo e todas as propriedades derivadas
como o volume, densidade, força, energia, são inevitavelmente de precisão limitada.
Nestas condições, a crı́tica dos resultados obtidos numa experiência é parte fundamental da própria experiência. Ao realizar uma medição, não basta indicar o número que
se obteve como resultado: é necessário fazê-lo acompanhar de um outro que indique
em que medida o experimentador está certo do valor que apresenta.
O erro absoluto cometido na determinação da grandeza G é a diferença entre o valor
medido g e o valor exacto g0 . Uma vez que este é desconhecido, o mesmo se passa com
o erro absoluto. A incerteza absoluta ∆g é um majorante do erro absoluto, avaliada
nas condições mais desfavoráveis. Tem as mesmas dimensões fı́sicas da grandeza a que
se refere e exprime-se através de um número positivo com as mesmas unidades que a
grandeza. O erro relativo ∆g/g é o quociente entre a incerteza absoluta ∆g e o valor
medido g. É uma relação entre duas grandezas com a mesma natureza, portanto, não
possui dimensões fı́sicas. Exprime-se em percentagem ou na forma fraccionaria, mas
sempre sem unidades.
De maneira geral, o resultado de uma medição experimental deve ser apresentado
na seguinte forma:
G = (g ± ∆g) unidades.
Por exemplo, ao medir-se o comprimento l de um objecto, o resultado final pode ser
apresentado como
l = (256 ± 2) mm.
Significa isto que, dadas as condições em que foi efectuada a medição, o experimentador
considera como provável que o comprimento tenha um valor qualquer compreendido
entre 254 mm e 258 mm.
2
Erros sistemáticos e erros acidentais
A preocupação fundamental do experimentador que realiza uma medição é, naturalmente, a de tomar todas as precauções para reduzir os erros durante a experiência.
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Análise de Dados
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Apesar disso, todas as medições são afectadas por um erro experimental devido às inevitáveis imperfeições nos aparelhos de medida ou às limitações impostas pelos nossos
sentidos (visão, audição, etc) que registam a informação
Consideram-se normalmente dois tipos de erros: os erros sistemáticos e os erros
aleatórios. Os erros sistemáticos vão sempre no mesmo sentido e resultam de defeitos
do aparelho ou de enganos na calibração. Os erros aleatórios tanto podem ser por
defeito como por excesso e têm tendência a anular-se quando se faz uma média.
3
Estimação dos Erros
Quando se realiza uma experiência, o valor atribuı́do à grandeza medida depende
do número de medições efectuadas. Há assim que distinguir dois tipos de situações:
quando se efectua apenas uma medida e quando se efectua mais que uma medida.
Muitas vezes tem que se estimar um limite superior para o erro de uma só medição,
quer porque não ser possı́vel realizar mais medidas, quer porque não se justificar.
Quando se dispõe de apenas uma medida, será este o valor que se considera como a
melhor estimativa do verdadeiro valor da grandeza medida. Quanto à incerteza, tomase para a incerteza o valor do incerteza de leitura, que é, no caso de um aparelho
analógico (régua, termómetro de coluna, aparelho de agulha, etc), igual a metade
da menor divisão da escala, e no caso de um aparelho digital (cronómetro digital,
voltı́metro digital, etc.), igual à menor divisão da escala, i.e., igual a uma unidade do
último dı́gito que aparece no visor.
Por exemplo, ao medirmos um comprimento de um determinado objecto com uma
régua graduada em milı́metros, uma vez que a menor divisão da escala é 1 mm, dir-se-à
que o comprimento do objecto é, por exemplo, (10, 0 ± 0, 5)mm
Se existirem mais que uma medida, a estatı́stica matemática permite-nos estimar
como valor mais provável da medida, a média amostral :
n
1X
x̄ =
xi
n i=1
(1)
em que xi é o valor individual de cada uma das n repetições efectuadas. Quanto ao
erro, far-se-á uso do desvio padrão. O desvio padrão s define-se como:
v
u
n
u 1 X
(xi − x̄)2
(2)
s=t
n − 1 i=1
vindo expresso nas mesmas unidades que xi . Se s for pequeno, quer dizer que os dados
estão concentrados em torno de x̄ e a precisão da medida é elevada. A incerteza no
valor médio xi é dada pelo desvio padrão da média sm :
v
u
n
X
u
1
s
t
(xi − x̄)2
(3)
sm = 1/2 =
n
n(n − 1) i=1
Esta expressão é tanto mais certa quanto maior for a dimensão da amostra. No entanto,
adopta-se por convenção que pode ser utilizada quando n ≥ 10.
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Análise de Dados
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Quando não é possı́vel realizar um número elevado de repetições da medida mas
dispõe-se de mais que uma medida (< n ≥ 10), a estatı́stica é pouco significativa.
Usa-se a média amostral para estimar o valor mais provável da medida e estima-se o
valor da incerteza aleatória que lhe está associada através do maior desvio em relação
á média:
∆x = max |xi − x̄|
(4)
Uma forma alternativa de estimar a incerteza é através da média dos desvios em relação
à média:
n
1X
|xi − x̄|
(5)
∆x =
n i=1
embora neste curso se adopte a primeira expressão.
Quando, numa medida não se indica o limite superior de erro assume-se que esse
limite é igual a metade do valor da unidade do último algarismo da direita, considerado
significativo. Por exemplo, se se diz que a altura medida é 1.62 m, implicitamente
assume-se que o erro é 1/2 0.01 m, ou seja 0.005 m e pode-se escrever que essa altura
está no intervalo [1.62 − 0.005, 1.62 + 0.005].
4
Propagação de erros
Há grandezas fı́sicas, chamadas derivadas por oposição às fundamentais, que se calculam mediante os valores de outras grandezas. Como é óbvio, se as grandezas usadas no
cálculo resultam de medidas afectadas de uma incerteza, então as grandezas calculadas
virão também afectadas de alguma incerteza. Esta incerteza é calculada mediante
fórmulas adequadas de propagação de erros ou incertezas.
Suponhamos que pretendemos determinar o erro que afecta uma quantidade w, que
é função da quantidade x que podemos medir, w = f (x). Sendo o erro da medição da
grandeza x igual a ∆x, qual o erro em w = f (x)? Considerando um erro ∆x pequeno
temos, por definição de derivada de w em ordem a x que:
f ′ (x) =
w + ∆w − w
∆w
f (x + ∆x) − f (x)
=
=
∆x
∆x
∆x
(6)
pelo que podemos escrever:
∆w = f ′ (x) ∆x
(7)
Quando uma função depende de mais de uma variável, por exemplo, w = f (x, y, z),
cada uma das quais é medida com um erro ∆x, ∆y e ∆z, o erro na grandeza w é:
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯ ∂f (x, y, z) ¯
¯ ∂f (x, y, z) ¯
¯ ∂f (x, y, z) ¯
¯ ∆x + ¯
¯ ∆y + ¯
¯ ∆z
(8)
∆w = ¯¯
¯
¯
¯
¯
¯
∂x
∂y
∂z
em que ∂f (x,y,z)
é a derivada parcial de f em ordem a x. Esta expressão fornece
∂x
um método aproximado de estimar a incerteza ∆w. Existem outras expressões mais
rigorosas, mas cuja utilização por ser mais complicada não se justifica neste nı́vel de
estudo.
As incertezas na expressão 8 podem ser estimadas utilizando o erro de observação,
o módulo do maior desvio em relação á média, a média dos módulos dos desvios em
relação à média ou desvio padrão da média.
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O problema de estimar o erro que afecta w reduz-se assim ao cálculo das derivadas
parciais desta função em ordem a cada uma das variáveis de que esta depende. Os
casos mais frequentes estão indicados na tabela seguinte:
Função w
w =x±y±z
w = a.b.c
w=
x
y
w = xn
w = kx
w = ekx
5
Expressão do erro
∆w = ∆x + ∆y + ∆z
∆x ∆y ∆z
+
+
)|w|
∆w = (
|x|
|y|
|z|
∆x ∆y
∆w = (
+
)|w|
|x|
|y|
∆x
|w|
∆w = n
|x|
∆w = |k|∆x
∆w = |k||w|∆x
Apresentação dos resultados
Geralmente, os cálculos numéricos do valor de uma grandeza e da sua incerteza fazem
surgir um elevado número de casas décimais supérfluas que não devem ser mantidas
na apresentação finals dos resultados uma vez que não têm significado.
Por exemplo, se se pretender determinar a resistência eléctrica de um condutor
sabendo que a diferença de potencial aos seus terminais é U = (3, 13 ± 0, 03)V quando
é atravessado por uma corrente de intensidade I = (2, 09 ± 0, 02)A, tem-se que
R=
e a incerteza
U
3, 13
=
= 1, 4976 . . . Ω
I
2, 09
∆R
∆U
∆I
0, 03 0, 02
2
=
+
=
+
≃
= 2%
R
U
I
3, 13 2, 09
100
onde, ∆R = 0, 029952 . . . Ω. Em caso algum se deve escrever
R = (1, 4976 ± 0, 029952)Ω
uma vez que todas as casas décimais além da segunda ordem não têm nenhum significado. Deve-se escrever
R = (1, 50 ± 0, 03)Ω
que exprime que a incerteza absoluta de R é da ordem de 3 unidades da segunda casa
décimal.
No caso de leituras directas de um instrumento, como regra geral o valor da medida
deve apresentar o número de casas decimais possı́vel de acordo com a escala do instrumento que está a ser usado (além disso o número de casas decimais do valor numérico
deve ser igual ao da incerteza). Com instrumentos de escala contı́nua usa-se o número
de casas decimais correspondente à menor divisão da escala e estima-se mais uma casa;
com instrumentos de escala discreta usa-se o número de casas decimais correspondente
à menor divisão da escala.
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Análise de Dados
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Histogramas
Sabe-se já que, em virtude dos erros aleatórios, se se repetir a medição de uma mesma
grandeza fı́sica em condições supostas idênticas, não se obtém sempre o mesmo resultado, mas sim um conjunto de resultados diferentes. Sabe-se também que na maioria
das situações, numa série de medidas da mesma grandeza, os desvio das medidas em
relação ao valor médio têm um distribuição de probabilidades do tipo Normal ou Gaussiana. Por outro lado, as expressões empregues para estimar a incerteza nas medidas
assumem para estas este tipo de distribuição. Assim, um processo que permita estimar a distribuição de probabilidades é útil porque permite aferir se os resultados da
experiência são ”bem comportados”e se se pode utilizar as expressões para estimar as
incertezas.
Um processo gráfico de exprimir os diferentes resultados obtidos consiste em desenha
um histograma. Para construir um histograma procede-se do seguinte modo:
1. Marcam-se no eixo da abcissa os valores máximo e mı́nimo das leituras obtidas;
2. Divide-se o intervalo obtido num número arbitrário de subintervalos iguais;
3. Tendo por base cada um destes subintervalos constroem-se rectângulos cujas
alturas sejam proporcionais ao número de vezes que se obteve uma leitura de valor
compreendido no subintervalo em causa. Considera-se que um valor pertence
a um determinado intervalo se for igual ou maior que o estremo esquerdo do
intervalo e menor que o estremo direito do referido intervalo.
7
Traçado de Gráficos
Ao pretender-se tirar conclusões, de natureza qualitativa e/ou quantitativa sobre a
dependência relativa das duas grandezas, há em geral o maior interesse em traduzir
os resultados numéricos de que se disponha sob a forma de gráficos. Com efeito, a
representação gráfica dos valores experimentais (ou calculados, eventualmente), além
de evidenciar os aspectos particulares da dependência entre as grandezas com maior
nitidez do que o correspondente conjunto de valores numéricos, possibilita uma análise
numérica rápida e relativamente precisa de muitos problemas.
A informação que se pode obter de um gráfico é tanto mais completa e significativa
quanto mais funcional e objectivo for o gráfico. Além disso, quando se constrói um
gráfico, convém não esquecer que ele deve poder ser lido e explorado por qualquer pessoa, em particular alguém que não tenha de todo participado no trabalho experimental.
Para conseguir que um gráfico desempenhe convenientemente a sua finalidade, torna-se
necessário seguir determinadas normas.
7.1
Normas
Suponhamos que se tem um conjunto de valores numéricos respeitantes à variação de
y com x (x é a variável independente e y é a variável dependente), e que se pretende
representá-lo graficamente. As normas gerais mais importantes a que se deve obedecer
no traçado do gráfico são as seguintes:
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(a)
Análise de Dados
6
(b)
Figura 1: Exemplos de gráficos bem feitos: (a) à mão, (b) no computador.
1. É conveniente marcar os valores de x em abcissas e os valores de y em ordenadas.
Junto dos respectivos eixos deve caracterizar-se as grandezas em causa (mediante
uma palavra ou conjunto de palavras e/ou sı́mbolo da grandeza) e deve indicar-se
também as unidades em que estão expressas essas grandezas.
2. As escalas devem ser escolhidas de acordo com a gama de valores das variáveis,
sem esquecer no entanto o que se pretende com o gráfico (por exemplo, as escalas lineares não têm que começar necessariamente em zero, mas se se pretender
verificar se os pontos experimentais definem uma linha passando pela origem do
referencial, isto é, pelo ponto (0, 0), então é óbvio que este ponto deve figurar no
gráfico). Deve ainda estabelecer-se um compromisso entre o numero de algarismos a considerar na marcação dos pontos experimentais e o tamanho do gráfico.
Por outro lado a escolha das escalas deve ser feita de modo a permitir uma leitura
directa fácil dos valores.
3. Nos eixos deve indicar-se exclusivamente os valores que caracterizam a escala (não
se deve jamais indicar nos eixos os valores numéricos dos pontos a marcar, nem
tão pouco desenhar as linhas em cujo cruzamento se situa o ponto experimental
a assinalar).
4. Para marcar um par de valores (x, y) num gráfico, basta assinalá-lo mediante um
pequeno sı́mbolo (cruz, circunferência, quadrado, triângulo, etc.). Tornando-se
necessário traçar mais do que uma curva num mesmo gráfico, os pontos de cada
conjunto de valores numéricos devem ser assinalados com sı́mbolo diferentes.
5. Todo o gráfico deve ter uma legenda que o identifique e esclareça completamente
(neste particular, é preferı́vel pecar por excesso de pormenores do que por defeito...). É habitual colocar a legenda sob o eixo das abcissas ou num espaço
(suficientemente) livre do próprio gráfico.
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Análise de Dados
7
6. Ao traçar a linha que melhor se ajusta aos pontos experimentais, não se deve
”pretender”que ela passe necessariamente por todos os pontos. Deve haver apenas
a preocupação de traçar a linha que melhor traduza a (dependência global relativa
das grandezas em causa.
Atenção: Não se deve construir uma curva ligando os diferentes pontos experimentais
por segmentos de recta. A linha quebrada obtida não teria significado fı́sico dado
que as funções normalmente representadas têm variações suaves (derivadas finitas e
contı́nuas).
7.2
Rectângulos de precisão
Como se viu, o resultado de uma medição, a, tem sempre associado um certo erro,
∆a (limite superior do erro, erro de leitura, erro padrão, erro provável, etc.). Para
representar graficamente a margem de erro ∆a, desenha-se no gráfico a correspondente
barra de erro, isto é, um segmento de recta de ”comprimento”2.∆a centrado no ponto
a.
No caso geral um ponto experimental corresponde a um par de valores, x e y,
cada um dos quais com um certo, ∆x e ∆y. Então a cada ponto do gráfico estão
associadas duas barras de erro, uma paralela ao eixo dos yy e de ”comprimento”2.∆y,
e outra paralela ao eixo dos xx e de ”comprimento”2.∆x, e ambas centradas no ponto
experimental. Tem-se assim uma margem de erro a duas dimensões, definindo-se aquilo
a que se chama r ectângulo de precisão do ponto experimental. Quando os erros de x
e/ou de y são desprezáveis (em si mesmo(s) e/ou em relação à(s) escala(s) do gráfico),
um rectângulo de precisão reduz-se a um ”ponto”ou a uma barra de erro, conforme o
caso.
8
Tipos de papel. Linearização de gráficos
No parágrafo anterior chamou-se a atenção para a conveniência de escolher as escalas
em função da gama dos valores numéricos a representar graficamente. Isto pressupõe
complementarmente uma escolha prévia do tipo de papel mais adequado ao traçado
do gráfico em causa: com duas escalas lineares (papel milimétrico), com uma escala
logarı́tmica e outra linear (papel semilog ou log-lin), com ambas as escalas logarı́tmicas
(papel log-log), etc. As folhas de papel gráfico podem ter vários formatos: A5, A4 ,
A3, etc. As escalas logarı́tmicas podem ter várias décadas, completas ou não. De notar
que uma escala logarı́tmica nunca pode começar em zero, pois log 0 = ln 0 = −∞
O tipo de papel de gráfico que se usa frequentemente é o papel milimétrico, mas em
certos casos convém utilizar outros. Vejamos alguns casos tı́picos, a tı́tulo de exemplo.
8.0.1
Papel semi-logarı́tmico
Quando a relação entre as variáveis x e y é de tipo exponencial (actividade de uma
fonte radioactiva ”versus”tempo, absorção de uma radiação ”versus”espessura do filtro,
etc.):
y = y0 eαx , (α 6= 0)
(9)
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8
e se pretende, a partir de um conjunto de valores experimentais, determinar α e/ou
y0 , o gráfico deve ser feito em papel semilog. Com efeito, logaritmizando a expressão
9 (pode aplicar-se indiferentemente logaritmos decimais ou naturais), tem-se
ln y = ln y0 + αx
(10)
portanto, em papel semilog (e marcando y na escala logarı́tmica), o gráfico de 9 é uma
recta cujo declive vale α e cuja ordenada na origem vale y0 . De notar que
ln yy12
2, 3026 log yy21
ln y2 − ln y1
α=
=
=
x2 − x1
x2 − x1
x2 − x1
(11)
em que (x1 , y1 ) e (x2 , y2 ) são dois pontos da recta ajustadas aos pontos experimentais.
Em papel milimétrico o gráfico de 9 seria evidentemente um troço de exponencial, e
a determinação de α ou y0 seria menos rápida e menos precisa. O interesse m linearizar
um gráfico reside precisamente no facto de ser mais fácil ”trabalhar”com uma linha
recta do que com uma linha curva.
Convém também utilizar papel semilog quando é muito vasta a gama de valores a
marcar num dos eixos coordenados. Se, por exemplo, y representar o fluxo de neutrões
térmicos (com energias da ordem de três dezenas de meV ) num ponto de um meio como
a água e x designar a distância desse ponto á fonte de neutrões, os valores de y podem
variar de 4 ordens a grandeza (de 105 a 10 neutrões cm−2 s−1 , por exemplo) enquanto
x varia apenas de 1 a 25 cm. Num caso como este, os valores de y devem ser marcados
numa escala logarı́tmica e os valores de x numa escala linear. Se se fizesse o gráfico em
papel milimétrico, mesmo fazendo corresponder a 1 mm 100 neutrões cm−2 s−1 seria
necessária uma folha de papel com 1 m de comprimento, o que é pouco prático.
8.0.2
Papel log-log
Se as gamas de valores a marcar compreenderem várias ordens de grandeza tanto em
ordenadas como em abcissas, vê-se agora facilmente que há conveniência em utilizar
papel com ambas as escalas logarı́tmicas. É o que acontece, por exemplo, quando
se pretende representar graficamente a secção eficaz de absorção de certos núcleos
para neutrões com energias compreendidas entre uma dezena de meV e alguns M eV
(espectro neutrónico de um reactor nuclear térmico).
Existe uma outra situação, de natureza diferente, em que se deve empregar papel
log-leg. É necessário com frequência verificar experimentalmente relações do tipo
y = k.xβ
(12)
em que β e ou k são constantes (reais, quaisquer) a determinar. Logaritmizando a
expressão em 12, tem-se
log y = log k + β log x
(13)
Assim, em papel log-log, y varia linearmente com x, sendo β o valor do declive
da recta. De notar que, como as escalas são idênticas no papel log-log, os seus eixos
coordenados são do tipo dos do chamado ”cı́rculo trigonométrico”, e β pode ser determinado mediante a razão dos comprimentos dos catetos de um triângulo rectângulo
desenhado convenientemente sobre o gráfico. A outra maneira de calcular é análoga à
indicada na alı́nea a), tendo agora em conta a expressão 13.
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9
É possı́vel ainda linearizar o gráfico correspondente á expressão (12) por outra via:
marcando, em papel milimétrico, y em ordenadas e xβ em abcissas. Neste caso β
funciona como parâmetro conhecido e k representa o declive da recta.
Como se vê, dado um conjunto de valores experimentais e conhecida a forma da lei
de variação das grandezas em causa, pela conjugação dos dois processos de linearização
indicados acima é possı́vel inferir os valores dos parâmetros da lei, β e k no caso da
expressão (12)
9
Cálculo do limite superior dos erros dos parâmetros
de uma recta ajustada a pontos experimentais
Suponha-se que se obtém numa realização experimental n pontos experimentais (xi , yi )
que obedecem a uma relação do tipo y = mx+b, com m e b constantes. Marque-se estes
pontos num gráfico. Em geral, devido aos erros que afectam as medidas, os pontos não
se distribuirão exactamente sobre uma linha recta. A recta a considerar então deverá
ser a que ”melhor”traduzir a lei de variação de y com x (os pontos experimentais que
caiam fora dessa recta ”média”e que estejam acima dela deverão ”compensar”os que
se encontram abaixo). Pretende-se determinar o limite superior do erro de b (ordenada
na origem) e de m (declive da recta). Para isso, procede-se do seguinte modo, supondo
um conjunto de n pontos experimentais (xi , yi ):
R2
y
2
R0
3
R1
1
4
x
Figura 2:
1. Faz-se o gráfico, traçando a recta que melhor se ajusta aos pontos experimentais
(R0 ).
2. Desenham-se duas linhas paralelas a R0 passando pelos pontos experimentais
mais afastados de R0 para cima e para baixo, incluindo as respectivas barras de
erro.
Análise de Dados
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3. Desenham-se duas linhas paralelas ao eixo do yy, uma passando pelo primeiro
ponto experimental à esquerda e outro passando pelo último ponto experimental
à direita. Estas quatro linhas definem quatro pontos (1, 2, 3, 4, na figura), que
são os vértices do chamado paralelogramo de incerteza
4. Pelos vértices opostos do paralelogramo fazem-se passar as rectas R1 (definida
pelos ponto 1 e 3) e R2 (definida pelos pontos 2 e 4).
5. Determinam-se os valores dos parâmetros m e b das três rectas R0 , R1 e R2 ,
respectivamente m0 , m1 , m2 e b0 , b1 , b2 .
6. Calculam-se as diferenças |m1 − m0 | e |m2 − m0 |. Toma-se ∆m como a maior
destas diferenças. Calculam-se as diferenças |b1 − b0 | e |b2 − b0 |. Toma-se ∆b
como a maior destas diferenças.
7. O limite superior dos erros ∆m e ∆b será dado por:
∆m
,
∆m0 = √
n−2
∆b0 = √
∆b
,
n−2
(14)
1
Radiações
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°Leonor
Cruzeiro
1
Estrutura do átomo
Um fı́sico famoso, chamado Richard Feynman, disse que se tivesse de condensar
os conhecimentos que tinha da fı́sica numa frase diria que a matéria é constituı́da
por átomos em constante agitação, porque grande parte da Fı́sica se pode deduzir
deste pressuposto. Aqui vamo-nos concentrar nas propriedades destes constituintes, enquanto entidades independentes.
Os átomos são sistemas de carga nula, constituı́dos por núcleos, à volta dos
quais gravitam electrões. Enquanto a dimensão dos átomos é da ordem de 1 Å,
os núcleos são 100,000 vezes mais pequenos. A maior parte do espaço ocupado
pelos átomos é vazio!
Apesar da reduzida dimensão dos núcleos, a massa dos átomos é essencialmente devida à massa dos núcleos. Os núcleos atómicos são constituı́dos por
protões e neutrões, os primeiros dos quais têm carga positiva e os segundos dos
quais são neutros. Se as interacções entre estes elementos dos núcleos fosse apenas
electromagnética, todos os núcleos seriam instáveis, porque os protões repelemse. A estabilidade dos núcleos deve-se a um outro tipo de força que só se manifesta a distâncias muito curtas, chamada a força forte. Esta força é atractiva
e às distâncias a que os núcleões se encontram uns dos outros dentro do núcleo
atómico, é muito maior que a força electromagnética. A relação entre a massa e
energia de Einstein diz-nos que:
E = m c2
(1)
onde E é a energia do sistema, m é a sua massa e c é a velocidade da luz no vácuo.
Pode obter-se uma medida da interacção forte entre os nucleões calculando a
diferença entre a massa de um núcleo e a soma das massas dos seus constituintes.
Consideremos um isótopo do hidrogénio chamado deuterão, que é constituı́do
apenas por um protão e um neutrão. A soma das massas dos seus constituintes
é:
mp + mn = 1.007825 + 1.008665 = 2.016490 u
(2)
em unidades de massa atómica, u (u = 1/12 do peso de um átomo de carbono
12). Por outro lado, a massa do deuterão é 2.014102 u. De acordo com a relação
de Einstein, esta diferença de massa é devida a uma interacção forte atractiva
entre o protão e o neutrão igual a:
EB = (2.016490 − 2.014102) × c2 = 2.224MeV
(3)
Radiações
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°L.
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2
EB chama-se energia de ligação. Quanto maior é a energia de ligação de um
núcleo, maior é a sua estabilidade. Pode verificar-se que esta energia de ligação
primeiro aumenta com o número atómico, e depois volta a diminuir. Todos os
elementos com um número atómico superior a 210 são instáveis1 . Isto acontece porque para os núcleos com grandes números atómicos, a força de repulsão
eléctrica, que se manifesta a distâncias maiores, começa a ser mais importante e
acaba por suplantar a força forte.
Contando com os elementos e seus isótopos, existem cerca de 400 núcleos
estáveis. Além destes há também centenas de núcleos instáveis. Estes núcleos
encontram-se em estados que não têm energia mı́nima e, num tempo mais ou
menos curto, vão desexcitar-se espontaneamente, emitindo radiações.
2
Tipos de Emissão Radioactiva
Os núcleos emitem três tipos de radiação: a radiação α, a radiação β e a radiação
γ.
Uma outra forma de decaimento de um núcleo, que é muito menos frequente que
as anteriores, é a cisão nuclear, em que um núcleo se divide em dois ou mais
núcleos com massas sensivelmente inferiores à do núcleo progenitor.
2.1
A Emissão α
Este processo de desexcitação (declı́neo α) é uma consequência da instabilidade
devida à força de Coulomb, que ocorre em núcleos grandes, de número atómico
superior a 82. As partı́culas emitidas são partı́culas pesadas com carga positiva
(núcleos de 4 He), designadas por partı́culas α. O núcleo emite estas partı́culas, e
não só um protão, porque elas são muito estáveis do ponto de vista da interacção
nuclear, a qual domina as ligações do núcleo. Um elemento que perde uma
partı́cula α muda de identidade quı́mica, ou seja, o seu progenitor não é um
elemento diferente do núcleo descendente. Seja X um elemento cujo núcleo emite
uma radiação α. Sendo Z o número atómico de X e A o seu número de massa
(número de protões de neutrões do núcleo), vamos ter:
A
ZX
1
→α +
A−4
Z−2 Y
O número atómico é o número de protões de um núcleo.
Radiações
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2.2
3
Emissão β
As partı́culas emitidas neste caso são electrões ou positrões2 . Se a partı́cula
emitida é um electrão, dizemos que se trata de um declı́neo β − e temos:
A
ZX
→ β− +
A
Z+1 Y
Se a partı́cula emitida é um positrão, dizemos que se trata de um declı́neo β +
e temos:
A
+
+ A
ZX → β
Z−1 Y
Também no declı́neo β os elementos sofrem uma transformação da sua identidade quı́mica, visto que também neste caso o seu número atómico se transforma.
No caso de declı́neo β − isso é devido a uma reacção nuclear em que um neutrão
decai para um protão e um electrão:
n → p+ + β − (e− )
No caso de declı́neo β + isso é devido a uma reacção nuclear em que um protão
decai para um neutrão e um positrão:
p+ → n + β + (e+ )
Existe um outro tipo de declı́neo designado por captura electrónica que corresponde a uma desexcitação análoga à da emissão β + , mas na qual em vez de
ser emitida uma partı́cula β + para fora do núcleo, este absorve um electrão da
nuvem electrónica do átomo.
2.3
Emissão γ
As partı́culas emitidas neste caso são fotões, partı́culas de luz, ou seja, trata-se
de radiação electromagnética de energia elevada (as energias são da ordem dos
MeV). A identidade quı́mica do elemento é preservada:
A ∗
ZX
→γ +
A
ZX
O asterisco do lado direito da equação indica um estado excitado do elemento
X. Do lado direito, o elemento está no seu estado de energia mı́nima, o estado
fundamental.
2
Um positrão é a antipartı́cula do electrão e tem uma massa igual e uma carga igual em
módulo, mas de sinal contrário à do electrão.
Radiações
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3
4
Lei da Emissão Radioactiva
Consideremos uma certa quantidade de um núcleos radioactivos. Em cada instante alguns destes núcleos vão decair por emissão radioactiva pelo que a quantidade de núcleos radioactivos vai diminuir com o tempo. Seja λ a probabilidade
de decaimento de um núcleo por unidade de tempo. Então, a probabilidade de
um núcleo decair num intervalo de tempo ∆t é λ ∆t. Sendo N o número de nucleos radioactivos num certo instante t, e −∆N a variação do número de núcleos
nesse intervalo tempo, temos:
−∆N = N λ ∆t ⇒
∆N
= − λ ∆t
N
(4)
Considerando um intervalo de tempo infinitesimal fica:
dN
= −λ dt
N
⇒ ln N − ln N0 = − λ (t − t0 )
⇒ N = N0 e− λ(t−t0 )
(5)
(5) mostra que o número de núcleos radioactivos diminui exponencialmente com
o tempo, a uma taxa que depende do valor de λ. λ tem as dimensões de um
inverso de um tempo (ou seja, de uma frequência) e pode também escrever-se
como:
1
λ= .
(6)
τ
τ chama-se a vida média de um núcleo radioactivo e representa o intervalo de
tempo em que a probabilidade de um núcleo decair é igual a 1.
Os tempos de vida de um núcleo radioactivo são também caracterizados por
uma outra grandeza, tempo de semi-desintegração, que é o tempo em que o
número de núcleos radioactivos se reduz a metade. Este tempo, que se relaciona
directamente com τ , constitui um parâmetro experimental de medição mais directa. Por definição de tempo de semi-desintegração ou tempo de semi-vida T1/2
temos:
ln 2
N0
= N0 e− λ T1/2
⇒ T1/2 =
= τ ln 2
(7)
N=
2
λ
Como ln 2 = 0.693 < 1, o tempo de semi-desintegração é sempre inferior à vida
média de um núcleo radioactivo.
Chama-se fonte radioactiva a uma quantidade de matéria que inclui núcleos
radioactivos. Define-se a actividade de uma fonte radioactiva α como o número
de átomos (ou núcleos) que decai por unidade de tempo:
α=−
dN
dt
(8)
Substituindo (5) em (8) obtemos:
α = λ N0 e− λ t = λ N
(9)
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Radiações
5
Sendo α0 = λ N0 a actividade inicial de uma fonte, a sua actividade no instante
t é:
α = α0 e− λ t
(10)
ou seja, a actividade diminui com o tempo à mesma taxa que o número de núcleos
radioactivos.
A unidade que se usa para caracterizar a actividade de uma fonte radioactiva,
no sistema internacional (SI) é o Becquerel (Bq), em honra do fı́sico Francês Henri
Becquerel (1852-1908). 1 Bq é a actividade de uma fonte na qual em cada segundo
decai um núcleo. Outra unidade frequentemente usada para a actividade de uma
fonte é o Curie (Ci), em honra da fı́sica polaca, Marie Curie (1867 - 1934),
que descobriu e isolou o rádio e o polónio e que deu ao fenómeno o nome de
radioactividade. 1 Ci = 3.7 × 1010 Bq, é a radioactividade de um grama de rádio.
Uma fonte clı́nica de 60 Co pode ter uma actividade de vários kCi, enquanto uma
fonte para radioterapia interna tem uma actividade tı́pica de 1 mCi.
4
Datação por
14
C
O carbono 14 decai por emissão beta e é usado para calcular as idades de amostras
de matéria orgânica. Devida à produção contı́nua de 14 C na atmosfera pelos raios
cósmicos, a razão entre o número de átomos de 14 C e de 12 C tem-se mantido
constante ao longo do tempo:
14
C
= 1.3 × 10−12
12 C
(11)
Os organismos vivos efectuam constantes trocas de carbono com o ambiente e
contêm 14 C e 12 C nas mesmas proporções. Quando morrem, estas trocas cessam
e o 14 C decai, pelo que a sua concentração vai diminuindo. Seja N14 o número
de núcleos de 14 C e N12 o número de núcleos de 12 C presentes num organismo
quando este morre. Sabemos que nesse instante q0 = N14 /N12 = 1.3 × 10−12 . Por
outro lado, sabemos que o número de núcleos de 14 C vai diminuir segundo a lei
de emissão radioactiva (5). A razão q entre o número de 14 C e o número de 12 C
vai variar segundo a lei:
q=
N14 (t)
N14 (t = 0) e−λ t
=
= q0 e−λ t
N12
N12
(12)
A partir de tempo de semi-desintegração do 14 C, que é igual a 5730 anos, podese calcular λ e medindo a actividade do 14 C por unidade de massa, é possı́vel
estabelecer a idade de amostras de madeira, carvão, ossos e conchas que viveram
entre 1,000 e 25,000 anos atrás. A idade do homem do gelo, encontrado nos Alpes
Italianos por um turista alemão, foi determinada pela actividade do 14 C e revelou
que o homem de gelo tinha morrido há 5300 anos.
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5
Radiações
6
Efeitos Biológicos das radiações.
Todos nós estamos sujeitos a radiações de vários tipos com as quais coexistimos
sem grandes problemas. Geralmente, quando se fala de “radiation damage” queremos dizer os efeitos de radiação de alta energia, como os raios X dos aparelhos
de televisão ou dos instrumentos médicos, os raios γ ou as partı́culas emitidas
pelos materiais radioactivos. Enquanto os raios ultravioleta é completamente
absorvida pela pele, os raios γ e os raios X, que são mais energéticos, podem penetrar até qualquer ponto do corpo humano. Por isso, enquanto a radiação ultravioleta se limita às áreas da pele que estiverem expostas, os raios X e γ afectam os
orgãos internos e o sistema nervoso. Pessoas que trabalhem com radiações podem
também entrar em contacto com materiais radioactivos que emitem partı́culas α
e β. Os efeitos nefastos destas radiações são devidos ao seu poder ionizante.
Como se trata de partı́culas carregadas, interagem fortemente com os electrões
dos átomos. Isto é particularmente verdade para as partı́culas α, que são mais
lentas, e têm um maior tempo de permanência em cada local. Uma partı́cula α
com uma energia de 5 MeV pode depositar energia a uma taxa de 100 keV/µm.
As partı́culas β, que são muito mais leves, têm velocidades maiores e um tempo
de permanência em cada local que é muito menor. Assim, um electrão com uma
energia de 1 MeV pode depositar energia a uma taxa de 0.25 keV/µm. Por outro
lado, como perde muito menos energia por unidade de comprimento, um electrão
pode penetrar muito mais fundo que uma partı́cula α. Enquanto uma partı́cula
α de 5 MeV vai até uma profundidade de 0.04 mm, um electrão com uma energia
de 1 MeV vai até 4.2 mm de profundidade.
As radiações γ e X produzem estados excitados nos electrões dos átomos.
Estes electrões são expelidos dos átomos e produzem os mesmos efeitos nos tecidos que as partı́culas β. A grande diferença entre as partı́culas β e as radiações γ
e X é que como estas não são carregadas conseguem penetrar muito mais fundo
nos tecidos e produzem ionizações em camadas que as primeiras não conseguem
atingir. Os efeitos mais nefastos de materiais radioactivos ocorrem quando estes
são ou ingeridos ou inalados.
Para medir o efeito de um certo tipo de radiação usa-se a grandeza dose, que
se define como a quantidade de energia absorvida por unidade de massa. No
sistema SI, a unidade é o Gray (Gy):
1 Gy = 1 J/kg
Outra unidade de dose tı́pica é o rad (abreviatura de Radiation Absorbed
Dose) e temos:
1 rad = 10−2 Gy = 0.01 J/kg
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Radiações
7
Uma pessoa que se encontre a 1 m de distância de uma fonte de cobalto de
1 Ci durante uma hora absorve uma dose aproximada de 1.2 rad à superfı́cie do
corpo e uma dose de metade deste valor a 10 cm de profundidade.
Os efeitos biológicos das radiações dependem da energia depositada mas também
do tipo de radiação. Assim as doses biológicas medem-se em rem (Radiation
Equivalent Men):
Dose Biológica (em rem) = Dose (em rad) x RBE
onde RBE significa Relative Biological Effectiveness. A tabela seguinte mostra a
RBE de vários tipos de radiação.
Radiação
X
β
α
n lentos
n rápidos
iões pesados
RBE
1.0
1.0-1.7
10-20
4-5
10
20
Por causa da radioactividade natural, todos nós estamos estamos sujeitos às
radiações sendo a dose tı́pica por pessoa aproximadamente igual a 0.13 rem/ano.
O limite aceitável definido pelas organizações internacionais de saúde é 0.5 rem/ano. No caso de pessoas cuja actividade profissional envolve a exposição a fontes
radioactivas, este limite pode ir até 5 rem/ano mas pressupõe a realização de controlos periódicos. Estas doses são estabelecidas para radiação absorvida a partir
do exterior. Em caso de inalação ou ingestão, estes limites devem ser muito inferiores.
As radiações são também usadas para diagnóstico e para fins terapêuticos.
Os raios X são usados em medicina e odontologia para examinar o estado dos
ossos e dentes. Os radioisótopos, que são absorvidos por forma selectiva por diferentes tecidos, são também usados em medicina. Por exemplo, o iodo 131, que
tem tempo de semi-desintegração de 8.05 dias é absorvido preferencialmente pela
glândula tiróide e é usado para estudar o seu funcionamento. As radiações são
também usadas no tratamento de cancros, para destruir as células malignas. Por
exemplo, o cancro da laringe pode ser tratado de forma cirúrgica, por remoção,
mas esta forma de tratamento implica muitas vezes a perda total ou quase total
da voz. O tratamento por radiação tem a mesma taxa de 80 % de sucesso que
a remoção, e não afecta a capacidade de fala do doente. As radiações podem
também ser usadas para tratar tumores localizados em zonas profundas. A dose
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Radiações
8
tı́pica usada é de 6000 rad, normalmente administrada por um perı́odo de um mês.