REFLEXÕES SOBRE O ENSINO DA GEOMETRIA FRACTAL
POR MEIO DO GEOGEBRA E DE MATERIAIS MANIPULÁVEIS
Karla Aparecida Lovis*
Universidade Estadual de Maringá
[email protected]
Valdeni Soliani Franco**
Universidade Estadual de Maringá
[email protected]
Vanderléa Mendes de Lima***
Universidade Estadual de Maringá
[email protected]
Resumo:
O artigo relata os resultados obtidos em uma pesquisa realizada com 25 (vinte e cinco)
professores de Matemática, participantes de um minicurso que abordou o uso do software
GeoGebra e de materiais manipuláveis no ensino da Geometria Fractal. Durante o curso foram
apresentados e explorados, por meio de atividades com o GeoGebra e Materiais Manipuláveis,
conceitos e resultados da Geometria Fractal, bem como da Geometria Euclidiana Plana. O curso
foi realizado, em uma cidade do noroeste do estado do Paraná, em turnos de 08 horas, em três
dias, perfazendo um total de 24 horas e realizado a cada 15 dias. No decorrer do curso
observou-se que os professores se mostraram interessados em aprender a Geometria Fractal por
meio da utilização do GeoGebra e dos materiais concretos disponibilizados. Quanto às
atividades, os professores as consideraram atrativas e estimulantes, além de propícias para
aplicação em sala de aula, bem como a possibilidade de explorar conceitos de ambas as
Geometrias. Uma reflexão sobre os resultados obtidos leva-nos a concluir que a introdução da
Geometria Fractal na Educação Básica, pode ter um efeito de ampliar as discussões de conceitos
e resultados da própria Geometria Euclidiana, muitas vezes não discutida em sala de aula.
Palavras-chave: Educação Matemática. Fractais. GeoGebra. Materiais Manipuláveis.
Introdução
*
Doutora em Educação Para a Ciência e a Matemática (UEM). Professora do Instituto Federal Catarinense
(IFC-Concórdia). [email protected]
**
Doutor em Matemática (ICMC/USP-São Carlos). Professor Associado da Universidade Estadual de
Maringá (UEM)[email protected]
***
Mestre em Matemática (UEM). Professora Assistente da Universidade Estadual de Maringá
(UEM). [email protected]
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No Paraná, as Diretrizes Curriculares Estaduais de Matemática (PARANÁ,
2008) recomendam a abordagem da Geometria Fractal tanto para o Ensino Fundamental
quanto para o Ensino Médio. Segundo o documento:
[...] na geometria dos fractais, pode-se explorar: o floco de neve e a
curva de Koch, triângulo e tapete de Sierpinski, conduzindo o aluno a
refletir e observar o senso estético presente nessas entidades
geométricas, estendendo para as suas propriedades (PARANÁ, 2008,
p.56).
A Geometria Fractal é um conceito relativamente novo no contexto escolar. Por
meio de buscas nas estruturas curriculares de cursos de formação de professores de
matemática, percebe-se que este conteúdo não está presente nas estruturas curriculares,
principalmente com um enfoque voltado para o seu ensino. Acredita-se que foi com a
inclusão deste conteúdo na Educação Básica, que a maioria dos professores de
Matemática tomou conhecimento da existência dessa Geometria.
Diante desta inclusão, têm-se então algumas indagações: depois de seis anos
como parte dos conteúdos estruturantes de Geometria das DCE, que conhecimentos os
professores possuem sobre o assunto? Eles já estão preparados para trabalhar este tema
em suas aulas? Como os professores se sentem em relação à inserção deste tema na
proposta curricular?
Foram questionamentos como esses que motivaram a preparação e aplicação do
curso: “Trabalhando com Fractais na Educação Básica com diferentes abordagens”. O
curso foi realizado, em uma cidade do noroeste do estado do Paraná, em turnos de 08
horas, divididos em dois períodos de um dia, e trabalhado em três dias, perfazendo
assim, um total de 24 horas, com intervalos de 15 dias entre cada dia de aula.
Participaram da pesquisa 25 professores de matemática. Os resultados foram
coletados por meio de questionários realizados durante o curso, no início e no final,
além de postagens enviadas pelos participantes para os pesquisadores após a aplicação
de algumas atividades em sala de aula.
Para introduzir o assunto foi discutido inicialmente o conjunto de Mandelbrot.
Este conjunto foi construído e estudado na década de 1970, é um dos fractais mais
conhecidos. Ele é definido como o subconjunto do plano complexo de todos os pontos c
para os quais a sequência
z0 = 0
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zn+1 = (zn)2+c,
construída por iteração, é limitada.
Por exemplo, se c = 1, obtém-se a sequência 0, 1, 2, 5, 26, ..., que diverge. Logo,
esta sequência não é limitada e, portanto, o número complexo “1 + 0i” não é um
elemento que pertence ao conjunto de Mandelbrot, e assim o ponto (1,0) no eixo das
abcissas no plano complexo de Argand-Gauss não é assinalado. Ao considerar c = –1,
obtém-se, por iteração, a sequência 0, –1, 0, –1,..., que é limitada. Logo, o número
complexo “–1 + 0i” pertence ao conjunto, e assim o ponto (–1,0) do eixo das abcissas
no plano complexo de Argand-Gauss deve ser assinalado.
Por meio do uso de computador, a construção é realizada utilizando-se todos os
números complexos, obtendo-se a figura seguir.
Figura 1: Conjunto de Mandelbrot
Fonte: Disponível em <http://msdn.microsoft.com/pt-br/library/jj635753%28v=vs.85%29.aspx>
Acesso em: 30 abr. 2014
Se a Figura 1 for ampliada, observa-se a característica que os fractais possuem –
o conjunto constitui uma imagem de si próprio em cada uma de suas partes. Esse fato
pode auxiliar a construir uma definição em uma forma coloquial, que será feita mais
adiante.
Diferentes definições de Fractais surgiram com o aprimoramento da teoria. A
noção inicial foi introduzida por Benoit Mandelbrot por meio do neologismo "Fractal",
que provém do adjetivo latino fractus, que significa irregular ou quebrado.
Uma primeira definição matemática dada pelo próprio Mandelbrot é assim
descrita: “um fractal é, por definição, um conjunto para o qual a dimensão HausdorffBesicovitch excede estritamente a dimensão topológica” (BARBOSA, 2005, p. 18). No
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decorrer dos últimos anos ficou claro que esta maneira de descrever os Fractais era
muito restritiva embora tivesse motivações pertinentes.
Em outra abordagem, ainda em nível complexo para compreensão é a que
considera que “um Fractal é o ponto fixo de um sistema de funções iteradas num espaço
métrico munido de uma métrica de Hausdorff” (ALVES, 2007, p. 7). Segundo Alves:
Os fractais definidos por sistemas de funções iteradas constituem
apenas uma pequena classe dos fractais, mas esta forma de construir
fractais é muito útil para trabalhar o conceito de fractal com os alunos
dos ensinos básico e secundário porque, por um lado é simples de
entender e, por outro, pode interligar muitos conceitos matemáticos
(ALVES, 2007, p. 4).
A Geometria Fractal refere-se ao estudo de formas geométricas chamadas, pelo
seu iniciador Benoit Mandelbrot, de Fractais. Essas formas geométricas possuem as
propriedades de autossimilaridade e complexidade infinita. Essa seria uma maneira
menos formal para explicar o que é um fractal para pessoas que não foram introduzidas
em conceitos mais elaborados da topologia.
A autossimilaridade refere-se a “cópias” aproximadas de si mesmo. O conjunto
total é constituído de pequenas réplicas do mesmo conjunto, ou seja, qualquer que seja a
ampliação considerada obtem-se sucessivas cópias do objeto inicial. Logo, visto em
diferentes escalas a imagem de um fractal parece similar.
A complexidade infinita significa que nunca é possível representar um fractal
por completo, pois a quantidade de detalhes é infinita. Sempre existirão reentrâncias e
saliências cada vez menores.
A Geometria Fractal reflete uma natureza de irregularidades. Essa Geometria
descreve de uma maneira mais real, a Geometria presente na natureza. Para Mandelbrot
(1983), “nuvens não são esferas, montanhas não são cones, continentes não são círculos,
o som do latido não é contínuo e nem o raio viaja em linha reta” (MANDELBROT,
1983, p.1, tradução nossa).
A maior parte dos objetos que encontramos no dia-a-dia não são retas, nem
esferas, nem cones etc. Na natureza, em geral, mares e oceanos separam os continentes
e ilhas, com suas costas, suas montanhas e rios, rochas, plantas e animais, as formas de
seus componentes dominam a irregularidade. Tentar simplificar essas formas
empregando formas da Geometria Euclidiana, como triângulos, círculos, esferas etc.,
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seria inadequado. A importância da Geometria Fractal é que ela pode fornecer
aproximações para essas formas.
Ainda que em algumas formas dominem a irregularidade, é possível encontrar
um padrão de semelhança. Observando, por exemplo, uma folha de algumas árvores e
uma parte desta folha, o que se nota é que esta parte se assemelha a folha toda, e ao
considerar uma parte ainda menor novamente percebe-se que esta também se assemelha
a folha toda. Esta característica esta presente na folha da figura a seguir.
Figura 2: Autosimilaridade em uma folha
Fonte: Disponível em <http://cftc.cii.fc.ul.pt/ICES/manual/2/fractais-geometricos.html>
Acesso: em 30 abr. 2014.
Esta característica da folha pode ser observada também nos galhos de algumas
árvores, em uma couve-flor, no contorno de montanhas, na formação de uma nuvem, na
superfície dos pulmões humanos, em algumas obras de arte, entre muitos outros.
Na figura 3, Escher apresenta uma obra que tem a característica básica dos
Fractais, ou seja, a autossimilaridade e complexidade infinita.
Figura 3: Circle Limit III de Maurits Cornelis Escher
Fonte: Disponível em <http://www.mcescher.com/Gallery/recogn-bmp/LW434.jpg>
Acesso em 30 abr. 2014
O fractal pode ser obtido de um elemento base aplicando certa transformação
por meio de regras que se aplicam infinitamente. Por isso, de acordo com ALMEIDA
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(2006), o desenvolvimento da geometria fractal está intimamente relacionado ao uso do
computador, uma vez que as imagens surgem com procedimentos recursivos, bastante
facilitados pelos recursos computacionais.
A Curva de Koch foi um dos primeiros fractais a serem descritos e que foi
trabalhado no curso. De acordo com BARBOSA (2005), esta curva foi introduzida em
1904 e 1906 pelo matemático polonês Helge Von Koch. Sua construção pode ser feita
considerando um segmento de reta, dividindo-o em três partes iguais e construindo um
triângulo equilátero, em que a parte central desta divisão é um dos seus lados (que
chamaremos base), em seguida retira-se a base. Essa regra aplicada ao segmento
permite a obtenção do elemento base ou modelo gerador da Curva de Koch, que é
formado por quatro segmentos de medida 1/3 da medida do segmento inicial.
Substituindo, agora, cada um dos quatros segmentos pelo modelo gerador reduzido na
razão de 1/3, obtemos o nível 2. Note que fazer esta substituição é o mesmo que aplicar
a cada um dos quatro segmentos a regra.
Figura 4: Nível 1 (modelo gerador) e nível 2 da curva de Koch
Fonte: autores
Aplicando, agora, a regra a cada um dos doze segmentos obtemos o nível 3. E o
processo pode ser repetido infinitamente. Observa-se que da própria construção resulta a
autossimilaridade.
Figura 5: Curva de Koch (nível 5)
Fonte: autores
Fractais na Educação Básica
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Por que aprender a Geometria Fractal para aplicar em sala de aula? Segundo
Barbosa (2005), eis algumas razões:
1- Conexão com várias ciências;
2- Deficiências da Geometria Euclidiana para o estudo de formas da natureza;
3- Difusão e acesso aos computadores;
4- Existência do belo nos fractais e possibilidade do despertar e desenvolver do
senso estético com o estudo e arte aplicada à construção de fractais;
5- Sensação de surpresa diante da ordem na desordem.
Muito se fala das dificuldades no ensino da Matemática, sejam dificuldades
decorrentes da falta de motivação dos alunos ou dificuldades de ordem social, didática
ou metodológica. O ensino tradicional da Matemática contribui para que o aluno veja as
aulas de Matemática como um fardo a ser carregado durante o ano letivo e para que os
índices de aprendizagem desta disciplina sejam muito baixos.
Relacionar a Matemática com objetos e elementos da natureza pode fazer com
que os alunos percebam a importância da Matemática. Ao trazer para a sala de aula
atividades que desenvolvem o raciocínio lógico-matemático e empregam elementos do
mundo concreto, o professor estará buscando um ensino que contempla as expectativas
de um ensino contextualizado e motivador.
Com a Geometria Fractal é possível desenvolver atividades que envolvem o uso
de computadores favorecendo as visualizações, por meio dos recursos digitais, bem
como o uso de materiais manipuláveis, tornando o ensino mais prazeroso com a
realização de atividades diferenciadas, além de poder trabalhar, conjuntamente,
conceitos da Geometria Euclidiana Plana e conceitos como de função, de progressão
geométrica, proporcionalidade, cálculo de áreas e operações numéricas e, também
trabalhar com formas geométricas e manuseio de régua e compasso.
Fractais, GeoGebra e Materiais Manipuláveis
Ao explorar os Fractais no GeoGebra e com materiais manipuláveis, o objetivo
foi introduzir os conceitos fundamentais da Geometria Fractal como a autossimilaridade
e a complexidade infinita, além de destacar aspectos da Geometria Euclidiana e
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verificar a integração da Matemática com a arte devido aos belos visuais que os Fractais
apresentam.
No primeiro dia do curso foram construídos, no Geogebra, os fractais Curva de
Koch, Floco de Neve, Triângulo de Sierpinski e o Fractal Pentagonal de Durer. O
primeiro foi apresentado na Figura 5 e os outros três são apresentados nas figuras a
seguir.
Figura 6: Floco de Neve
(nível 4)
Fonte: autores
Figura 7: Triângulo de
Sierpinski (nível 4)
Fonte: autores
Figura 8: Fractal Pentagonal
de Durer (nível 4)
Fonte: autores
Para todas essas construções foi realizada uma exploração geométrica. Aqui será
destacada a exploração do Floco de Neve. Na tabela abaixo temos a relação de números
de segmentos e do comprimento de cada segmento em cada iteração e também o
perímetro do Floco de Neve. Supomos que iniciamos com um triângulo equilátero onde
cada um de seus lados tem medida igual a c.
Nível
1
2
3
4
...
n
Quadro 1: Exploração do Fractal Floco de Neve
Comprimento de cada
N° de Segmentos
Perímetro
segmento
c = c x (1/3)0
3xc
3
1
3 x 4 = 12
c/3 = c x (1/3)
3 x 4 x c x (1/3)
2
2
3 x 4 = 48
c/9 = c x (1/3)
3 x 42 x c x (1/3)2
3 x 43 = 192
c/27 = c x (1/3)3
3 x 43 x c x (1/3)3
...
...
...
n-1
n-1
3x4
c x (1/3)
3 x c x (4/3)n-1
No segundo dia do curso, foram realizadas atividades com materiais
manipuláveis. Dentre elas, as construções, em papel cartão, dos cartões fractais
Triângulo de Sierpinski e Degraus Centrais, conforme figuras a seguir.
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Figura 9: Cartão Fractal Degraus Centrais
(nível 4)
Fonte: autores
Figura 10: Cartão Fractal Triângulo de
Sierpinski (nível 4)
Fonte: autores
Outra atividade realizada foi a construção de fractais por ampliação, que,
diferentemente daqueles que foram construídos com redução adequada em escala para
passagem de um nível para o nível consecutivo, são construídos por dilatação, pois os
níveis consecutivos são dados por ampliação das escalas. Foram construídos, utilizando
papel cartão e EVA, o Fractal Hexagonal tipo Durer, o Fractal Triminó e o Fractal
Tapete de Sierpinski. A figura abaixo apresenta fotos dos fractais construídos pelos
professores durante o curso.
Figura 11: Fractal Hexagonal tipo
Durer (nível 3)
Fonte: autores
Figura 12:Fractal Triminó
(nível 4)
Fonte: autores
Figura 13:Fractal Tapete
de Sierpinski (nível 2)
Fonte: autores
Para as atividades realizadas no segundo dia do curso, vamos destacar a
exploração do Fractal Hexagonal tipo Durer. Ao realizar esta construção, durante o
curso, a aproveitamos para deduzir a fórmula para o cálculo da área de um hexágono
regular e também para realizar a construção, com régua e compasso, do hexágono que
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serviu como “molde”. Consideramos que estamos trabalhando com um hexágono
regular com medida do lado igual a .
Quadro 2: Exploração do Fractal Hexagonal tipo Durer
Nível
N° de Hexagónos
Perímetro total
Área total
1
1 = 60
6 = 61
2
6 = 66
6(6 )=36 =62
6(
3
36 = 62
6(36 ) = 63
36(
...
...
...
5
6n-1
6n
√
√
)
√
)
....
(
√
)
No terceiro dia de curso, foi realizado as construções, no GeoGebra, dos
Fractais: Árvores Bifurcadas, Árvore Pitagórica, Tetra Círculo e Circuntexto, todos
expostos nas figuras abaixo.
Figura 14: Fractal Tetra Círculo (nível 4)
Fonte: autores
Figura 15: Árvore Pitagórica Fundamental
(nível 3)
Fonte: autores
Figura 16: Fractal Tetra Círculo (nível 3)
Fonte: autores
Figura 17: Fractal Circuntexto (nível 4)
Fonte: autores
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Em grande parte as construções feitas no GeoGebra foi por meio de um modelo
gerador e criado uma ferramenta para obter os níveis seguintes. Após as construções,
todas eram exploradas por meio de conceitos e resultados tanto da Geometria Fractal,
como da Geometria Euclidiana. Vamos destacar uma das explorações do Fractal
Circuntexto e do Fractal Árvore Pitagórica Fundamental.
Nível
Quadro 3: Exploração do Fractal Circuntexto
Número de circunferências novas
Total de circunferências
1
3 = 31
1 + 3 = 30 + 31
2
9 = 32
30 + 31 + 32
3
27 = 33
30 + 31 + 32 + 33
...
N
...
...
3n
Note que, o total de circunferências no nível n é a soma dos n elementos de uma
progressão geométrica com primeiro termo igual a 1 e razão 3.
Na exploração do Fractal “Árvore Pitagórica Fundamental”, discutimos e
resolvemos um exercício da prova de vestibular de 2010 da Universidade Federal de
Goiás.
Figura 18: Questão 12 do Grupo 3 e 4 do 1 o dia da Segunda Fase do Vestibular da UFG, 2010.
Fonte: Disponível em http://www.vestibular.ufg.br/estatisticas/2010-1/2%20etapa/grupo3_1dia.pdf
Acesso em: 30 abr. 2014
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Foi apresentado também aos professores, no último dia de curso, um aplicativo
online disponível no endereço:
http://csdt.rpi.edu/african/African_Fractals/background10.html (Acesso em: 30 abr. 2014),
no qual é possível traçar, com o mouse, o modelo gerador de um fractal, tipo curva de
Koch e o aplicativo fornece os níveis seguintes. A figura à esquerda da figura 18,
mostra um modelo gerador, e a figura à direita o nível 3, feito por meio do aplicativo.
Figura 18: Fractal tipo curva de Koch (nível 3)
Fonte: autores
Também foram realizadas atividades utilizando malhas. Em umas destas
atividades, foi construído os três primeiros níveis de uma curva tipo curva de Koch
utilizando régua. Com esta atividade foi possível trabalhar de forma enfatizada a ideia
de iteração que permeia um fractal, por meio de um nível para obter o nível seguinte.
As outras duas atividades com malhas consistiu em obter fractais, com o
triângulo de Pascal, colorindo os múltiplos de 2 e de 3. A figura a seguir traz imagens
das construções realizadas pelos professores participantes do curso.
Figura 19: Fractal Tipo Curva de
Koch
Fonte: professores do curso
Figura 20: Fractal múltiplos
de 2
Fonte: professores do curso
Figura 21: Fractal múltiplos
de 3
Fonte: professores do curso
Os professores participantes do curso e análise de alguns dados obtidos
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De acordo com o questionário respondido pelos professores participantes do
curso, 07 (sete) concluíram sua graduação em alguma instituição pública e os outros 18
(dezoito) em instituições privadas.
Quanto à disciplina de Geometria cursada na graduação, 22 (vinte e dois)
professores responderam que estudaram e 03 (três) responderam que não. Somente 04
(quatro) tiveram disciplinas específicas de informática. Porém, 22 (vinte e dois)
professores disseram utilizar novas tecnologias em sala de aula e 21 (vinte e um)
fizeram cursos de capacitação para desenvolver atividades de ensino com o computador.
Como acreditávamos a princípio, todos os professores afirmaram que o curso
auxiliou no entendimento do que é fractal, comentando que o curso trouxe várias
informações que eles não tinham, esclareceu conceitos e ajudou compreender melhor a
forma de inserir o conteúdo em sala de aula. Por fim, comentaram que se sentiram
incentivados com as “prazerosas” atividades realizadas.
É importante reforçar que no minicurso foi trabalhado a Geometria Fractal –
conceitos e resultados – com o software GeoGebra e com materiais manipuláveis.
No que se refere ao GeoGebra, alguns professores comentaram que não o
conheciam, outros não o conheciam com a finalidade de construção de fractais. Houve
dificuldade em usar o GeoGebra, em grau maior para aqueles que nunca tinham tido
contato com este software.
Além dessa dificuldade, outras surgiram na construção dos Fractais,
principalmente em “imaginar” o nível seguinte a partir do modelo gerador. Esta
dificuldade pôde ser observada também nas atividades com materiais manipuláveis, mas
que foi sendo superada em construções posteriores. A preocupação na aplicação das
atividades foi de não interferir, em excesso, na percepção das regularidades existentes
nos Fractais e nas explorações feitas pelos professores.
Os professores se mostraram empolgados com a realização das atividades e
motivados com os conceitos e resultados que aprenderam. Ainda que muitos
considerassem um desafio e não por não se sentiram plenamente preparados,
consideraram importante a inclusão da Geometria Fractal na Educação Básica e se
mostraram ansiosos para aplicar as atividades em sala de aula.
No período que ocorreu o curso, houve professores que aplicaram algumas das
atividades desenvolvidas no curso, em suas salas de aula, tais como a construção de
cartões fractais e atividades utilizando o GeoGebra. Os relatos feitos por esses
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professores foram bastante significativos, pois perceberam o aprendizado dos seus
alunos, citando que esses tipos de atividades torna o ensino mais interativo e dinâmico,
além de facilitar a compreensão dos conceitos. Eis um trecho de um desses relatos e
imagens das oficinas realizadas pelos professores: “A aplicação mostrou que é possível
realizar um trabalho diferenciado com os alunos, estes se mostram bastante interessados
e interagem muito mais do que se comparado com uma aula tradicional”.
Figura 22: Oficina realizada em sala de aula
Fonte: autores
Figura 23: Oficina realizada em sala de aula
Fonte: autores
Considerações
A realização deste curso e da pesquisa com os professores justifica-se pela
necessidade e pelo anseio de um ensino que aborde temas mais recentes no campo da
Matemática e por uma prática docente que não seja rotineira, inserindo atividades novas
e diferenciadas. Neste sentido, D’Ambrosio destaca que “hoje é comum nas propostas
para melhoria de eficiência profissional a recomendação de evitar a rotina”
(D’AMBROSIO, 2012, p. 95).
Ainda, em relação à inserção de novas tecnologias em sala de aula, depende da
natureza da prática do professor, e este curso proporcionou experiências com essas
novas tecnologias. Conforme afirma Borba e Penteado (2010),
O professor é desafiado constantemente a rever e ampliar seu
conhecimento. Quanto mais ele se insere no mundo da informática,
mais ele corre o risco de se deparar com uma situação matemática, por
exemplo, que não lhe é familiar (BORBA e PENTEADO, 2010, p.
65).
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Vale ressaltar que a inserção dessas novas tecnologias não depende apenas do
conhecimento do professor sobre elas, mas também dos recursos técnicos, espaço físico
que comporte todos os alunos de uma turma etc.
O estudo dos Fractais permitiu aos professores enxergar uma possibilidade de
exploração de outros conteúdos matemáticos, como operações básicas, conceitos
geométricos, polígonos, progressões geométricas etc. A reflexão sobre esses resultados,
leva-nos a concluir que a introdução dessa geometria na Educação Básica, pode ter um
efeito de ampliar as discussões de conceitos e resultados da própria Geometria
Euclidiana, às vezes não discutida em sala de aula.
Foi possível observar, além disso, o aspecto motivador que as tecnologias
digitais representaram aos professores, tecnologias estas que fazem parte da vida dos
professores fora do ambiente escolar.
Para finalizar, é importante salientar que foi relatado pelos professores, em
relação ao curso, não somente a introdução de novas tecnologias, mas a forma
inovadora de abordar os temas matemáticos.
Referências
ALMEIDA, A. A. O. Os Fractais na formação docente e sua prática na sala de aula.
Dissertação (mestrado profissional em Ensino de Matemática). São Paulo: PUC, 2006.
ALVES, C. M. F. S. J. Fractais: Conceitos básicos, representações gráficas e
aplicações ao ensino não universitário. 2007. 324 p. Dissertação de Mestrado em
Matemática para o Ensino. Universidade de Lisboa, Lisboa.
BARBOSA, R. M. Descobrindo a Geometria Fractal - para a sala de aula –3aedição
- Belo Horizonte: Autêntica, 2005. 144p.
BORBA, M. C.; PENTEADO, M. G. Informática e educação Matemática – 4aedição
– Belo Horizonte: Autêntica, 2010. 104p.
D’AMBROSIO, U. Educação Matemática: Da teoria à prática – 23a edição –
Campinas: Papirus, 2012. 110p.
MANDELBROT, B. B. The Fractal Geometry of Nature. New York: W. H. Freeman
and Company, 1983. 468p.
PARANÁ, Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares de Matemática
para Educação Básica. Curitiba, 2008. Disponível em:
<http://www.educadores.diaadia.pr.gov.br/arquivos/File/diretrizes/dce_mat.pdf>.
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Campo Mourão, 04 a 06 de setembro de 2014
ISSN 2175 - 2044
Acesso em:21 mar. 2014.