Discussão de sistemas: Rouche Capelli
Caio Guimarães
Esse é um tópico antigo que criei ano passado e estou tentando resgatá-lo pro pessoal desse ano. Se
vocês olharem na pagina original (no tópico criado ano passado), participam da discussão 2
candidatos ao vestibular , o Alexandre e o Eurico, que esse ano estão no ITA e IME , respectivamente.
Espero que esse tópico possa ajudar a galera nova.
Eu vou fazer um resumo rápido do que se precisa saber pra aplicar esse teorema.
A demonstração desse teorema não é das mais difíceis, mas acho desnecessária mostrá-la
aqui, até porque é inútil pra aplicação e não é nem um pouco requisito para a compreensão
das aplicações, até dá pra achar ela em vários livros, como o do Iezzi de Matrizes e Determinantes.
Eu vou dar a explicação já com exemplos práticos, até porque ficaria difícil escrever os números
(índices , A11, A12, dos elementos) se fosse pra dar um caso geral. Mas o exemplo pratico dá pra entender
tranqüilamente.
Bom, vamos dizer que nos deparamos com o sistema do tipo:
x + 2y - 3z = 1
2x + y + z = 2
3x - y - z = 3
O primeiro passo é achar a Matriz incompleta. Nada mais é do que pegar o sistema sem os termos
independentes.
Nesse caso:
Mi =
|1 2 -3|
|2 1 1|
|3 -1 -1|
O segundo passo é descobrir o determinante principal. Determinante principal é o maior determinante
possível dentro da Mi (ou seja, primeiro tem q ser um grupo de matriz quadrada) que tenha valor diferente de
0.
Em muitos casos, o maior determinante possível diferente de 0 coincide com a propria matriz incompleta.
Nesse caso que mostramos, o Det (3x3) é o maior possível diferente de 0.
logo dizemos que a característica da matriz é 3, e o delta P (determinante principal) é a própria matriz
incompleta.
Vamos pegar a matriz incompleta de um segundo exemplo :
x + y + 2z = 1
2x+ 8y + 4z = 3
3x + y + 6z = 2
Mi =
|1 1 2|
|2 8 4|
|3 1 6|
Nesse caso o determinante 3x3 dá 0, logo a característica já não pode ser
Temos q procurar um delta p com 2.. pode ser qualquer um q você encontre dentro da matriz.. No caso, eu
escolheria o determinante lá do canto esquerdo:
Principal:
|1 1|
|2 8|
esse determinante da diferente de 0, logo é o maior possível q tem det diferente de 0, logo é o principal e a
característica do sistema é 2.
O terceiro passo é observar se sobraram equações secundárias no sistema. Equações secundárias são
linhas que possam não ter sido levadas em conta na hora do principal.. No primeiro exemplo, não existe
secundarias, já que usamos todas as linhas no det principal. No segundo exemplo sobrou uma linha
secundaria: a linha 3, 1 , 6.
Primeiro se não houver equação secundária, o sistema já é possível. É bom lembrar que as informações do
seu sistema estão contidas no seu sistema principal.. Ele é o coração do sistema, e portanto se o sistema for
indeterminado, tentaremos sempre resolver a indeterminação em função do principal. Veremos isso depois
com mais calma.
Bom, depois que formamos o det principal e procuramos as eqs secundarias, a gente tenta formar o
determinante característico. O determinante característico é pegar o principal, e completar ele com uma
equação secundária e seus respectivos termos independentes.. como assim?? Bom, no primeiro exemplo não
há equações secundarias, logo não há determinante característico. Falaremos desse caso depois. No
segundo exemplo, ha uma equação secundaria, e formando o característico ficaria assim:
Cr =
|1 1 1|
|2 8 3|
|3 1 6|
Note que completamos o característico com uma equação secundaria e a coluna da direita ficou
a coluna dos respectivos termos independentes.
Último passo e resumo: Esse característico agora é (seguindo nossa analogia de coração do sistema) a
forma que o principal
tomou para representar o sistema como um determinante hehe (espero q dê para entender)
Se esse característico der 0, é como se fosse que o sistema realmente é valido. Ou seja os valores inseridos
são representativos do sistema (novamente, apenas uma analogia). Nesse caso o sistema é possível. Se
esse característico der diferente de 0, o sistema é impossível. Se o sistema não tiver característico, o sistema
já é ao mínimo possível.
e se o sistema tiver mais de uma equação secundaria?? Bom, terão vários característicos. No caso você tem
q testar todos. Só será possível se todos derem 0. Se ao menos um for 0, dá sistema impossível (Pra gravar
isso, eu penso assim: é como se fosse algum erro no sistema. É como se alguma equação não estivesse
encaixada no sistema, não deixava ele zerar.... talvez isso ajude a lembrar)
Bom agora, entre os casos em que os sistemas são possíveis, como analisar se ele é determinado, ou
indeterminado.
É simples. Se você tiver a característica (a ordem do principal) menor que o numero de incógnitas o sistema é
indeterminado. Se a característica (ordem do principal) for igual ao numero de incógnitas (como acontece no
caso em que o principal coincide com a matriz incompleta) o sistema é Possível.
Bom essa foi a explicação passo a passo.. vou colocar agora um resumo dos passos, e depois um exemplos.
Acho que com os exemplos ,
poderemos realmente fixar a idéia:
Sistema => Achar Matriz incompleta = > Achar Principal (maior ordem possível diferente de 0)
=> Montar os característicos i) Cr = 0 (todos) Possível ii) Cr diferente de 0 impossível
Se o sistema é possível, é verificar se a característica (p) é menor ou igual ao número de incógnitas (n):
se p<n => indeterminado
se p=n => determinado
Com a pratica você começara entender pq de cada um desses passos. Vamos com os exercícios
Exercícios
Eu vou botar uns 3 exercícios aqui pra fixar a idéia. Logo depois colocarei as soluções, depois deixarei mais
alguns (do IME, do ITA, EN) pra tentarem fazer (desses não colocarei solução).
Discuta os sistemas:
1) 2x + 3y + 2z = 5
x - 2y - z = 3
3x + y + z = 8
2) x + y + 3z = 2
2x + 2y + 6z = 1
x - y + 2z = 1
3) Discuta para os diversos valores de A e B:
2x + 3y + 2z = 5
x - 2y - z = 3
3x + Ay - z = B
Soluções
Alguns podem estar se perguntando. Porque eu preciso aprender a discussão de Rouche Capelli
se Cramer é mais fácil, e mais fácil de compreender.. Bom, o sistema de Cramer possui algumas falhas,
quando se trata de um numero de equações diferente do numero de incógnitas. Confiem em mim, em
questões de discussão de sistema, principalmente quando se pede interpretação ou visão geométrica, a
discussão de Rouche capelli fica muito mais rápida e direta, e com a pratica fica muito mais fácil.
1) Matriz incompleta:
|2 3 2|
|1 -2 -1|
|3 1 1|
A principal não pode ser de ordem 3, já q det3 = detMi= -4 -9 + 2 +12 +2 - 3 = 0
A principal pode ser a matriz do canto esquerdo:
|2 3|
|1 -2| Ordem 2
Há uma equação secundária, logo há 1 característico:
|2 3 5|
|1 -2 3|
|3 1 8|
DetCr = -32 + 27 + 5 +30 - 24 -6 = 0. Logo é possível. Como p<n => Possível Indeterminado
2) Matriz Incompleta:
|1 1 3|
|2 2 6|
|1 -1 2|
Novamente o 3X3 dá 0, entao o principal é de ordem 2 .Vou pegar o determinante
formado pelos cantos da matriz incompleta:
|1 3|
|1 2| que dá diferente de 0
Há eq secundária:
Característico:
|1 3 2|
|1 2 1|
|2 6 1| que dá diferente de 0. Logo o sistema é impossível.
3) Esse é o tipo de questão que pode cair numa prova discursiva do IME. A solução
fica muito mais correta e elegante usando o teorema de Rouche capelli. Vamos a questão:
Matriz Incompleta:
|2 3 2|
|1 -2 -1|
|3 A -1|
Procurando a Principal:
- Se det3x3 der diferente de 0, é a principal, não há característico e como p = n , dá um sistema Possível e
determinado:
ou seja se: 4 -9 + 2A +12 + 2A +3 diferente de 0
4A + 10 diferente 0
A diferente -5/2 => S. Possível Determinado
- Se det3x3 der 0, o principal pode ser o do canto esquerdo
ou seja, se A = -5/2, o principal será:
|2 3|
|1 -2|
e o característico:
|2 3 5|
|1 -2 3|
|3 A B| onde A = -5/2 ja
Cr = 0 => Sistema Possível indeterminado (p<n)
Cr diferente 0 => sistema impossível
detCR= -4B+ 5A + 27 +30 -6A-3B
= -7b - A + 57
= -7B - 5/2 + 57 = -7B +109/2
detCR=0 , ou seja B = 109/14 => Sistema Possivel ind.
detcr diferente de 0 , ou seja B diferente 109/14 => Sist. Impossível
Resumindo:
A diferente de -5/2, para qualquer B => Sist. Possivel Det
A = -5/2, B = 109/14 => Sist. Possivel Ind
A = -5/2, B diferente de 109/14 => Sist. Impossível
Questões de Revisão
(IME 1987)
Determine o valor de a para que o sistema abaixo tenha mais de uma solução e resolva-o, neste caso
x+y-z=1
2x + 3y + az = 3
x + ay + 3z = 2
(IME 1999)
Determine A para que seja impossível o sistema:
x + 2y - 3z = 4
3x - y + 5z = 2
4x + y + (A²-14)z = A + 2
(IME 1998)
Resolva e interprete GEOMETRICAMENTE o sistema matricial abaixo em função de A e B:
x - 2y + 3z = -4
5x - 6y + 7z = -8
6x + 8 y + Az = B