25/06/2015
6a Lista de GAAL-COMPUTAÇÃO, LICENCIATURA
Geometria Analı́tica - Retas
1. Encontre a equação da reta (formas: vetorial, paramétrica, simétrica e reduzida) que passa pelos pontos
A(1, −2, −3) e B(3, 1, −4). (Para cada forma tem-se duas equações diferentes, contudo representam a mesma reta,
uma se a reta passa por A e outra se passa por B.)
2. Obtenha a equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A(1, −2, 4) e tem a direção do vetor ⃗v = (3, 5, 4).
3. Encontre a equação da reta na forma simétrica que passa pelo ponto médio entre A(2, 2, 3) e B(5, −3, 2) e tem
a direção do vetor ⃗v = (1, −5, 4).
4. Determine as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto B(3, 0, −5) e tem a direção do vetor ⃗v =
(2, 2, −1).
5. Obtenha as equações paramétricas da reta r que passa pelo ponto A(3, −1, 2) e é paralela ao vetor ⃗v = (−3, −2, 1).
6. Escreva a equação da reta r, que passa pelo ponto médio M do segmento AB, e que tem vetor diretor
⃗v = (2, −3, 4) em que A(1, 1, 3) e B(3, 1, 0).
y+1
z−2
7. Verifique se os pontos A(5, −5, 6) e B(4, −1, 12) pertencem à reta r : x−3
−1 = 2 = −2 .


 x = 1−t
8. Determine o ponto da reta r :
y = 3 + 2t que tem abscissa 4.


z = 1 − 5t


 x = 1−t
9. Determine m e n para que o ponto P (5, m, n) pertença à reta s :
y = 3 + 2t


z = 1 − 5t
10. O ponto P (2, y, z) pertence à reta determinada por A(3, −1, 4) e B(4, −3, −1). Calcular P .
11. Determine as equações das seguintes retas:
a) reta que passa por A(1, −2, 4) e é paralela ao eixo dos x;
b) reta que passa por B(3, 2, 1) e é perpendicular ao plano xOz;
c) reta que passa por A(2, 3, 4) e é ortogonal ao mesmo tempo aos eixos dos x e dos y;
d) reta que passa pelos pontos M (2, −3, 4) e N (2, −1, 3).
Chama-se ângulo de duas retas r1 e r2 o menor ângulo de um vetor diretor de r1 e de um diretor de r2 . Logo,
sendo θ este ãngulo, tem-se
|v⃗1 · v⃗2 |
π
cosθ =
, com 0 ≤ θ ≤ .
|v⃗1 ||v⃗2 |
2


3+t
 x =
y−3
z
12. Calcular o ângulo entre as retas r1 :
e r2 : x+2
y =
t
−2 = 1 = 1 .


z = −1 − 2t


 x = −2 − 2t
z−1
13. Calcular o ângulo entre as retas r1 :
e r2 : x5 = y+6
y =
3t
1 = −2 .


z = 2 − 4t
{
x = −2 − 2x
14. Calcular o ângulo entre as retas r1 :
e r2 : y2 = z+1
−4 ; x = 2.
y =
x+2
{
y = nx + 5
y+1
x−2
z
o
15. Determine o valor de n para que seja de 30 o ângulo entre as retas r : 4 = −3 = 2 e s :
z = 3x − 2
16. Calcule o valor de m, caso exista, para que as seguintes retas sejam paralelas:

 x = −3t
y−1
r:
y = 3 + 2t e s : x+5
3 = 2m ; z = 6.


z = 4+t
17. Calcule o valor de m, caso exista, para que as seguintes retas sejam paralelas:

 x = 2 − 5t
z−1
r:
y = 3 + 2t e s : x−4
−10 = 5 ; y = 7.


z =
mt
18. Calcule o valor de m, caso exista, para que as seguintes retas sejam coplanares:
{
y = 2x + 3
y
z
e s : x−1
2 = −1 = m
z = 3x − 1
19. {Verifique que as retas são
{ coplanres e concorrentes. Calcule o ponto de interseção das retas.
y = 3x − 1
y = 4x − 2
es:
r:
z = 2x + 1
z =
3x
20. Em que ponto a reta que passa por A(2, 3, 4) e B(1, 0, −2) intercepta o plano xOy?
21. Estabelecer as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A(3, 2, 1) e é simultaneamente ortogonal às
retas {
{
x = 3
y = −2x + 1
r:
es:
z = 1
z = −x − 3
22. Estabelecer as equações
paramétricas da reta que passa pela origem e é simultaneamente ortogonal às retas
{
y
= 3x − 1
y
r : x2 = −1
= z−3
−2 e s :
z = −x + 4
23. Estabelecer as equações
{ paramétricas da reta que passa pelo ponto de interseção das retas
x = 1−y
y+1
z
r : x−2
e é, ao mesmo tempo, ortogonal a r e s.
1 = 2 = 3 e s:
z = 2 + 2y
24. Determinar as equações paramétricas da reta que contém o ponto A(2, 0, −1) e é simultaneamente ortogonal à
z+1
reta r : y−3
2 = −1 ; x = 1 e ao eixo dos y.
y
z
25. A reta r : x−1
a = b = −2 é paralela à reta que passa pelo ponto A(−1, 0, 0) e é simultaneamente orotogonal às
retas 
{

 x = 2 − 5t
y = x
. Calcular a e b.
r:
y = 3 + 2t e s :

z = 2x

z =
mt
r:
2