DIFICULDADES INERENTES À RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS: UM ESTUDO PRELIMINAR
João Vitor Senhorin
[email protected]
Universidade Estadual do Centro-Oeste – UNICENTRO
Josiane Motter
[email protected]
Universidade Estadual do Centro-Oeste – UNICENTRO
Resumo:
A Resolução de Problemas é de fundamental importância para a Educação Matemática. Ela
dá suporte para aplicações matemáticas do cotidiano, motivando os estudantes da
disciplina, visto que adéqua a Matemática a situações reais que ocorrem com os alunos.
Este artigo visa identificar as dificuldades apresentadas pelos alunos ao resolverem
problemas matemáticos. O presente trabalho analisou as diferentes estratégias utilizadas
para a resolução de problemas, por alunos do 3° ano do Ensino Médio, da Rede Pública de
Ensino, por meio de um questionário contendo problemas de sondagem, lógica, estratégia e
análise. O ideal seria que os alunos interpretassem e compreendessem os problemas
propostos conseguindo resolvê-los. Na prática, notou-se que isso não ocorre, pois a falta de
atenção e a dificuldade na interpretação dos problemas são notáveis na maioria dos alunos.
Palavras-chave: Educação Matemática; Resolução de Problemas; Estratégias; Ensino da
Matemática.
INTRODUÇÃO
A resolução de problemas em sala de aula é uma habilidade pela qual o indivíduo
pode desenvolver o processo construtivo de aprender, de converter em ações, conceitos,
proposições e exemplos adquiridos mediante interação com professores, colegas e
materiais auxiliares.
Segundo Krulic, apud Moreira (2006, p. 1), “A resolução de problemas é a
própria razão do ensino de matemática”. Assim sendo, vemos que é de fundamental
importância discutir e abordar novas metodologias para que o ensino da Matemática se
torne cada vez melhor, permitindo que os alunos resolvam problemas, não de forma
mecânica, mas com um raciocínio lógico e coerente, coisa que não vem acontecendo nesta
prática de ensino.
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Partindo da hipótese que os alunos possuem dificuldades na resolução de
problemas, temos por objetivo identificar quais são elas, por meio da aplicação de um
questionário a uma turma do 3° ano do Ensino Médio, na cidade de Guarapuava/PR. Esse
questionário contém quatro problemas elementares, sendo classificados como problemas
de sondagem, lógica, estratégia e análise. Os quais serão explicitados na 3ª seção.
Neste contexto, consideramos pertinente destacar a diferença entre problema e
exercício, sendo o exercício uma atividade que faz uso de habilidades ou conhecimentos
matemáticos, como aplicação de uma fórmula ou caminho conhecido. O exercício envolve
mera aplicação, já o problema necessariamente envolve invenção ou criação significativa.
Segundo Gleiciane de Sousa Alves (2006, p. 23), essa diferenciação entre
exercícios e problemas também é feita por Pozo (1998:16), quando afirma que:
[...] Um problema se diferencia de um exercício na medida em que, neste último
caso, dispomos e utilizamos mecanismos que nos levam, de forma imediata, à
solução. Por isso, é possível que uma mesma situação represente um problema
para uma pessoa enquanto que para outra esse problema não existe, quer porque
ela não se interesse pela situação quer porque possua mecanismos para resolvê-la
com um investimento mínimo de recursos cognitivos e pode reduzi-la a um
simples exercício.
Ainda, segundo Newell & Simon, apud Ramos et al (2002, p. 3), “um problema é
uma situação na qual um indivíduo deseja fazer algo, porém desconhece o caminho das
ações necessárias para concretizar a sua ação” ou segundo Chi e Glaser (1983) “o
problema é uma situação na qual um indivíduo atua com o propósito de alcançar uma meta
utilizando para tal alguma estratégia em particular”.
Portanto, entendemos que existe um problema, quando há um objetivo a ser
alcançado, porém, não sabemos como atingir esse objetivo. Na linguagem matemática, se
existe um problema, então são várias as estratégias de resolução.
Feitas as considerações gerais, explicitamos que, no decorrer desse artigo,
apresentaremos um referencial teórico como base em nossos estudos sobre resolução de
problemas, bem como a pesquisa de campo, os resultados obtidos e as conclusões quanto
ao estudo realizado.
UM POUCO SOBRE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
A resolução de problemas é uma importante contribuição para o processo de
ensino e aprendizagem da Matemática, possibilitando ao aluno a capacidade de
desenvolver o pensamento matemático, sem se restringir a exercícios repetitivos e
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desinteressantes, que valorizam o aprendizado por reprodução ou imitação, ou seja, de
forma mecânica.
A importância da resolução está no fato de:
possibilitar aos alunos mobilizarem conhecimentos e desenvolverem a
capacidade para gerenciar as informações que estão a seu alcance dentro e fora
da sala de aula. Assim, os alunos terão oportunidades de ampliar seus
conhecimentos acerca de conceitos e procedimentos matemáticos, bem como, do
mundo em geral e desenvolver sua autoconfiança” Schoenfeld apud PCN (1998,
p. 25).
Ainda, segundo Dante, apud Souza (2006, p. 3):
é possível por meio da resolução de problemas desenvolve no aluno iniciativa,
espírito explorador, criatividade, independência e a habilidade de elaborar um
raciocínio lógico e fazer uso inteligente e eficaz dos recursos disponíveis, para
que ele possa propor boas soluções às questões que surgem em seu dia-a-dia, na
escola ou fora dela.
Ao resolverem problemas, os alunos podem descobrir novas formas e métodos de
resolverem o mesmo problema, despertando a curiosidade e o interesse pelos
conhecimentos matemáticos e, assim, desenvolverem a capacidade de solucionar as
situações que lhes são propostas.
A definição de Krulik e Rudnik, apud Gil et al (1992, p.10), resume este
consenso: “Um problema é uma situação, quantitativa ou não, que pede uma solução para a
qual os indivíduos implicados não conhecem meios ou caminhos evidentes para obtê-la”.
Esta mesma ideia aparece, indiretamente, quando se fala de resolução de
problemas. Assim, Polya (1980) assinala que resolver um problema consiste em encontrar
um caminho desconhecido, encontrar uma saída para uma situação difícil, para vencer um
obstáculo, para alcançar um objetivo desejado que não pode ser imediatamente alcançado
por meios adequados.
Nos últimos anos, a pesquisa sobre resolução de problemas tem sua base em
teorias de processamento da informação, o que é compreensível, pois destaca a estratégia
utilizada para análise da informação contida no enunciado do problema.
Para organizar o processo de resolução de problemas, o matemático George Polya
dividiu-o em quatro etapas. Porém, é importante ressaltar que Polya nunca pretendeu que
sua divisão correspondesse a uma sequência de etapas e que funcionasse como uma “poção
mágica”.
O primeiro passo é entender o problema, ou seja, extrair os dados, identificar as
condições, se necessário esboçar uma figura, analisar se as condições encontradas
satisfazem o problema. Logo após construir uma estratégia de resolução, isto é,
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encontrar conexões entre os dados e a incógnita. Talvez seja necessário considerar
problemas auxiliares ou particulares, para isso, deve-se elaborar um plano de resolução do
problema. Em seguida, executar a estratégia e verificar se os passos estão corretos.
Contudo, é comum os alunos pularem essa etapa, prematuramente, e acabam não obtendo
êxito, pois não verificam se a solução utilizada é válida. Por fim, revisar a solução obtida,
de modo a verificar o resultado, questionando se a solução pode ser encontrada de outra
maneira.
Feitas as considerações acerca da resolução de problemas, passaremos a descrever
os problemas aplicados.
PROBLEMAS ESCOLHIDOS PARA O QUESTIONÁRIO
Concordamos com Polya (1949, p.15), o qual afirma: “Primeiro, o professor
deveria estabelecer a classe certa de problemas para os seus alunos: não muito difíceis,
nem fáceis demais, naturais e interessantes”.
A partir dessa premissa, buscamos definir os problemas que seriam aplicados,
dentre eles estão: problema de sondagem, lógica, estratégia e análise. Agnelo Pires Ramos
et al (2002, p. 6) definem problema de sondagem como sendo utilizado para a introdução
natural e intuitiva de um novo conceito; e o problema de análise é voltado para a
descoberta de novos resultados derivados de conceitos, já aprendidos, e que são mais fáceis
que os problemas de sondagem.
Por sua vez, Katia S. Smole (2001, p. 113) define problema de lógica como sendo
o que fornece uma proposta de resolução cuja base não é numérica, que exige raciocínio
dedutivo e que propicia uma experiência rica para o desenvolvimento de operações de
pensamento como previsão e checagem, levantamento de hipóteses, busca de suposições,
análise e classificação; e o problema de estratégia é aquele pelo qual o aluno deve elaborar
métodos, encontrar alternativas para solucionar o problema, além de desenvolver o senso
crítico e o raciocínio lógico.
1. Problema de sondagem
Com o auxilio de régua e compasso, construa um triângulo cujos lados meçam
3cm, 4cm e 5cm.
(a) Existe algum triângulo diferente do que você construiu cujos lados também
meçam 3cm, 4cm e 5cm? Por quê?
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(b) Qual a medida do maior ângulo do triângulo que você construiu?
(c) Construindo três quadrados (um sobre cada lado do triângulo que você traçou),
que relação você pode estabelecer entre a área do maior e as áreas dos dois menores?
(d) O menor ângulo do triângulo construído se opõe a qual dos lados (ao maior ou
menor lado do triângulo)? E o maior ângulo?
Inicialmente o aluno precisa saber o que é um triângulo, para assim poder iniciar
a resolução. Se for resolvido o problema, sem o auxílio do professor, o aluno ganha um
acréscimo de conhecimento matemático (por exemplo, propriedades para triângulos
retângulos, como o Teorema de Pitágoras, e propriedades para triângulos quaisquer,
como o fato do menor ângulo se opor ao menor lado e o maior ângulo se opor ao maior
lado).
2. Problema de Lógica
Alice, Bernardo, Cecília, Otávio e Rodrigo são irmãos. Sabemos que:
•
Alice não é a mais velha;
•
Cecília não é a mais nova;
•
Alice é mais velha que Cecília;
•
Bernardo é mais velho que Otávio;
•
Rodrigo é mais velho que Cecília e mais moço que Alice.
Você pode descobrir a ordem em que nasceram esses 5 irmãos?
Algumas estratégias importantes, como o método de tentativa e erro, o uso de
tabelas, diagramas e listas são indispensáveis para a resolução de problemas de lógica.
Além disso, os problemas de lógica estimulam mais a análise dos dados, favorecem a
leitura e interpretação do texto, e, por serem motivadores, atenuam a pressão para obterse a resposta correta imediatamente.
3. Problema de Estratégia
Preencher as quadrículas da figura abaixo, usando os algarismos de 1 a 9, sem
repeti-los, de tal modo que a soma dos números na horizontal, vertical e diagonal do
quadrado seja 15.
•
Esta é a única solução?
•
Como ela foi encontrada?
•
O que ela tem de característica?
A magia dos quadrados mágicos consiste em ter, ao mesmo tempo, uma análise
qualitativa e quantitativa dos algarismos: além de possuírem um valor representativo de
562
quantidade, relacionado diretamente ao número, o quadrado se refere à distribuição dos
números dentro de um espaço, uma ideia organizacional, que, à primeira vista, assemelhase a uma desorganização total, pois a lógica de construção se mantém oculta numa
análise superficial.
4. Problema de análise
Existe um triângulo retângulo cujos lados sejam três números inteiros e
consecutivos? Em caso afirmativo, determine a medida dos lados deste triângulo.
Este é um problema de investigação, que remete o aluno à curiosidade e à
descoberta. Para tal, ele precisa criar uma estratégia utilizando alguns conceitos já
aprendidos e acaba por fixar estes conceitos e aprofundar o seu conhecimento.
O questionário acima foi aplicado a uma turma de dezenove alunos do 3° ano do
Ensino Médio, da Rede Pública, na cidade de Guarapuava/PR, sendo que o professor
regente considerou como uma avaliação do bimestre, justamente para eles estarem
estimulados a resolvê-lo, num período de duas aulas.
Além do questionário, foi entregue uma folha na qual os alunos deveriam escrever
todos os procedimentos utilizados para encontrar a solução.
Em seguida, será feita uma análise e comentários sobre cada problema, bem como
a porcentagem de acertos totais, parciais e de erros cometidos pelos alunos:
ANÁLISE E INTERPRETAÇÃO DOS DADOS
Problema 1
Este problema explora cinco atividades:
Primeiramente, a construção de um triângulo cujos lados deveriam medir 3cm,
4cm e 5cm. Dos dezenove alunos todos tentaram resolver o problema, porém, 18
obtiveram acerto total e 1 acerto parcial. Verificamos que os alunos possuem uma boa
noção de construções geométricas, ou seja, todos conseguiram identificar o que é um
triângulo e construí-lo. Além disso, este aluno que não obteve acerto total, estava com
“preguiça” de utilizar a régua.
O item “a” questionava-os se existe algum triângulo diferente do que haviam
construído, de lados 3cm, 4cm e 5cm, e por quê. Dos dezenove alunos, apenas 14 tentaram
resolver o problema, sendo que destes, 5 obtiveram acerto total, 2 acerto parcial e 7
erraram. Verificamos que a maioria dos alunos não conseguiu analisar que o triângulo em
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questão será sempre o mesmo, porém, em posições diferentes, ou seja, mesmo sabendo o
que é um triângulo, eles não interpretam as propriedades que ele possui.
O item “b” questionava-os sobre qual seria a medida do maior ângulo do triângulo
construído. Dos dezenove alunos, 17 tentaram resolver o problema, sendo que destes, 13
obtiveram acerto total e 4 erraram. Verificamos que a maioria dos alunos conseguiu
identificar que o triângulo construído por eles é retângulo e que, portanto, o maior ângulo é
90°, e os que erraram foi por falta de atenção, interpretação ou por não possuírem uma boa
noção de ângulos, pois, mesmo tendo construído o triângulo corretamente, não
conseguiram visualizar e identificar a resposta correta.
O item “c” questionava-os que ao construírem três quadrados, sendo um sobre
cada lado do triângulo traçado, qual a relação que pode ser estabelecida entre a área do
maior e as áreas dos dois menores. Dos dezenove alunos, apenas 15 tentaram resolver o
problema, sendo que destes, 6 obtiveram acerto total e 9 erraram. Verificamos que, dos 6
que acertaram, apenas 1 aluno conseguiu identificar que se tratava do Teorema de
Pitágoras e o restante apenas encontrou a relação das áreas, ou seja, que a área do maior
quadrado é igual à soma das áreas dos quadrados menores. Quanto aos que erraram, é
visível a grande falta de atenção e a precária interpretação, pois muitos deles sequer
conseguiram visualizar a relação existente entre as áreas dos quadrados, assim, novamente
retomamos a ideia que a maioria dos alunos não sabem ou não conseguem interpretar as
propriedades dos triângulos.
O item “d” questionava-os sobre em qual lado (maior ou menor) o menor e o
maior ângulo do triângulo se opõem. Dos dezenove alunos, apenas 8 tentaram resolver o
problema, sendo que destes, 1 obteve acerto total, 2 acerto parcial e 5 erraram. Verificamos
que menos da metade dos alunos tentaram fazer, pois alegavam ser uma questão difícil.
Dos que tentaram fazer, erraram principalmente por falta de atenção e interpretação, pois
relacionaram o menor ângulo com o maior lado e o maior ângulo com o menor lado, ou
seja, inverteram as informações, mesmo estando com o triângulo construído.
Problema 2
Este problema pedia para descobrir a ordem de nascimento dos cinco irmãos. Dos
dezenove alunos todos tentaram resolver o problema, sendo que destes, 10 obtiveram
acerto total, 6 acerto parcial e 3 erraram. Verificamos que a maioria elaborou uma
estratégia, em forma de esquema, organizando as informações que lhes eram transmitidas,
com essas estratégias, como o método de tentativa e erro, o uso de tabelas, diagramas e
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listas, eles conseguiram resolver o problema de lógica. Os que erraram, foi principalmente
por falta de atenção e por interpretarem os dados equivocadamente, pois podemos citar
exemplos de erros que vários alunos cometeram, principalmente nas informações que
estavam claras, e dizia “Alice não é a mais velha” e “Cecília não é a mais nova”, mas
mesmo assim nos esquemas utilizados por eles colocavam Alice como a mais velha e
Cecília como a mais nova. Provavelmente por lerem rapidamente e sem atenção esqueciam
das palavras “não é a mais velha” e “não é a mais nova” ou, ainda, porque a noção de
ordem não está clara para eles.
Problema 3
Este problema desafiava-os a encontrar uma das soluções do quadrado mágico,
usando os algarismos de 1 a 9, sem repeti-los, encontrando a soma 15 na horizontal,
vertical e diagonal. Dos dezenove alunos, todos tentaram resolver o problema, sendo que
destes, 5 obtiveram acerto total, 6 acerto parcial e 8 erraram. Verificamos que todos
fizeram por tentativas, alguns obtiveram sucesso, outros conseguiram satisfazer apenas
algumas linhas ou colunas, porém, a maioria não conseguiu interpor os algarismos de tal
forma a encontrar soma 15. Muitos deles tentaram poucas vezes e, não encontrando a
solução, logo desistiram e se recusaram a tentar novamente; assim identificamos falta de
persistência diante da dificuldade encontrada na resolução do problema. Vale à pena
ressaltar, que nenhum dos alunos elaborou um plano de resolução, bem como quando
questionados se esta seria a única solução, poucos deles conseguiram visualizar a
existência de outras soluções. Deixamos como sugestão, para os próximos trabalhos desse
mesmo problema, a utilização de quadros auxiliares, para assim ter a possibilidade de
identificar com mais clareza as estratégias utilizadas pelos alunos.
Problema 4
Este problema questionava-os sobre a existência de um triângulo retângulo com
os lados sendo três números inteiros e consecutivos, e indicava que, em caso afirmativo,
determinassem a medida dos lados. Dos dezenove alunos, apenas 5 tentaram resolver o
problema, sendo que destes, 3 obtiveram acerto total e 2 erraram. Verificamos, por meio
desta questão, que os alunos não estavam atentos ou interessados, pois alegavam que era
muito difícil, sendo que bastava observar o problema 1, no qual haviam construído o
triângulo em questão. Mas aqui surge uma dúvida: será que os alunos sabem o que são
números inteiros consecutivos, mesmo estando no 3° ano do Ensino Médio?
565
CONSIDERAÇÕES FINAIS
As considerações feitas ao longo deste trabalho tinham a intenção de identificar as
dificuldades encontradas pelos alunos ao resolverem problemas matemáticos, para assim,
buscar estratégias a fim de desenvolver nos alunos a capacidade de resolver problemas.
Pois a resolução de problemas é o ponto de partida fundamental da atividade matemática,
que é finalidade dos Parâmetros Curriculares Nacionais, os quais visam construir
referências nacionais comuns ao processo educativo para que os alunos possam ter acesso
ao conjunto de conhecimentos necessários ao exercício da cidadania.
Porém, questiona-se como isso pode ser feito, se a maioria dos alunos, alvos da
nossa pesquisa, mostraram grande desinteresse, falta de atenção, “preguiça de pensar” e
uma precária interpretação dos problemas propostos, talvez devido à falta de incentivo à
resolução de problemas nas aulas, problemas estes elementares, e que, levando-se em conta
o nível de aprendizagem dos alunos (3° ano do Ensino Médio), deveriam surtir um efeito
positivo.
Não foi isso que ocorreu, pois mesmo o professor considerando como atividade
avaliativa, a maioria dos alunos não conseguiu desenvolver estratégias para a resolução dos
problemas. Isso pode ser fruto de onze anos de escolaridade, porém, é difícil mudar de
hábitos, não podemos culpar apenas os alunos, mas sim toda a estrutura educacional que
faz com que o aluno se torne somente “receptor de ideias”, deixando de desenvolver sua
autonomia.
Segundo Sónia Palha:
“...a autonomia dos alunos revela-se na forma como estes atuam dentro das
regras que são estabelecidas. O professor determina o que é válido como
matemática, o que conta como uma resposta matemática, o que conta como um
raciocínio matemático, etc. O aluno desenvolve autonomia ao apropriar-se do
significado comunicado pelo professor, dando-lhe ele próprio significado. Para
Gravemeijer (2004) é necessário pois uma aprendizagem da matemática baseada
na experiência do aluno, onde a construção de conceitos matemáticos é feita de
forma que o aluno consiga reconstruir o que aprendeu. Só deste modo é possível
que os alunos se tornem menos dependentes do professor”.
É importante ressaltar que o estudo realizado em campo foi feito apenas com uma
turma, não podendo generalizarem-se os resultados obtidos a todas as turmas e escolas da
rede de ensino. Porém, não podemos ignorar esses resultados, pois eles mostram uma
realidade que esta crescendo cada vez mais, ou seja, a precariedade do ensino e a falta de
interesse dos alunos.
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Aqui encontramos o nosso desafio como professores de Matemática: fazer com
que essa realidade mude, utilizando meios como a Resolução de Problemas, para despertar
o interesse de aprendizagem nos alunos, por meio de estudos e investigações futuras para
um melhor desempenho.
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