CAPÍTULO
Resolução das atividades adicionais
5
b$h
84. a)Área = =
2
4$3
= 6
2
b$h 3$2
b)Área = = = 3
2
2
b$h 5$1 5
c)Área = = =
2
2
2
d)
Sejam a e b os catetos do triângulo retângulo maior e c a altura do triângulo retângulo
em relação à base de medida 13, como mostrado na figura anterior. Aplicando o Teorema
de Pitágoras nos triângulos da esquerda e da direita temos, respectivamente: a2 = c2 + 42
= c2 + 16 e b2 = c2 + 92 = c2 + 81. No triângulo maior, temos a2 + b2 = 132 = 169 e substituindo os valores anteriormente calculados temos a2 + b2 = 169 + c2 + 16 + c2 + 81 = 169
b $ h 13 $ 6
+ 2c2 = 72 + c2 = 36 + c = 6. Logo a área do triângulo é = = 39 .
2
2
7 2
e)Seja h a altura do triângulo, pelo Teorema de Pitágoras temos 72 = h2 + d n
2
+ h2 = 49 −
49 147
7 3
b$h 1 $ $ 7 3
+h=
. Logo a área
é
7
=
=
=
2
2
4
4
2
2
49 3
.
4
f )Seja h a altura do triângulo em relação à base 4, pelo Teorema de Pitágoras temos
52 = h2 + 22 + h2 = 25 − 4 = 21 + h =
b$h
21 . Logo a área é=
2
4 21
= 2 21 .
2
85. alternativa C
Seja b a base e , os dois lados congruentes do triângulo isósceles. Temos que área
b$h
b $ 2 15
=
4 15 + b = 4 dm. Pelo Teorema de Pitágoras, temos
4=
15 +
=
2
2
,2 = (2 15 )2 + 22 = 60 + 4 = 64 + , = 8 dm. Logo o perímetro é 8 + 8 + 4 = 20 dm.
a 2
n
2
b$h 1 $
a2 3a2
a 3
+ h2 = a2 −
+h=
. Assim, a área de um triângulo é
a
=
=
2
2
4
4
2
86. a)Seja h a altura de um dos triângulos, pelo Teorema de Pitágoras temos a2 = h2 + d
2
3
3
a
a
$
.
=
2
4
1.82
ef81.203
Como o quadrilátero tem todos os lados medindo a, ele é um quadrado com área a2.
A área da figura é composta por 1 quadrado e 4 triângulos equiláteros iguais. Logo a
a2 3
= a2 + a2 3 = a2(1 + 3 ) .
4
2
b)Para a = 6, temos 6 (1 + 3 ) = 36 (1 + 3 ) . Logo a área da figura para este caso é
36(1 + 3 ) .
área da figura é 1 ⋅ a2 + 4 ⋅
87. Seja x a hipotenusa do triângulo retângulo de catetos 3 e 4, pelo Teorema de Pitágoras te3$4
mos x2 = 32 + 42 = 25 + x = 5. Então, seu perímetro é 3 + 4 + 5 = 12 e sua área é
= 6.
2
b$h
2$h
Como o triângulo isósceles tem a mesma área, então, área
=
+
6 + h = 6.
6=
=
2
2
Seja , a medida dos lados congruentes, pelo Teorema de Pitágoras temos ,2 = 62 + 12 = 37
+ , = 37 . Assim, seu perímetro é 2 + 37 + 37 = 2 + 2 37 = 2 (1 + 37 ) .
Logo o perímetro do triângulo retângulo é 12 e do triângulo isósceles é 2(1 + 37 ).
88. alternativa B
A afirmação “Todo quadrado é um losango” é verdadeira, pois todos os lados de um quadrado são congruentes e essa é a definição de losango.
A afirmação “Todo quadrado é um retângulo” é verdadeira, pois num quadrado os quatro
ângulos são retos e isso define um retângulo.
A afirmação “Todo retângulo é um paralelogramo” é verdadeira, pois, dado um retângulo
ABCD qualquer, temos que seus ângulos internos são todos retos, o que implica
AB = BC
BC = CD
AB = AD
e, portanto,
AB // CD .
AD // BC
A afirmação “Todo triângulo equilátero é isósceles” é verdadeira, pois, num triângulo
equilátero temos três lados congruentes, portanto, se temos três, então temos dois lados
congruentes e isso define um triângulo isósceles.
89. alternativa C
I. Falso. Um contraexemplo é um trapézio retângulo que não seja um retângulo.
2.83
ef81.203
II. Verdadeiro. Em um paralelogramo, os ângulos opostos são congruentes.
Como a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é sempre 360º, temos da figura
anterior:
2α + 2β = 360 & α + β = 180
Assim, dois ângulos consecutivos são suplementares.
III. Verdadeiro, pois se as diagonais de um quadrilátero se cruzam em seu ponto médio,
então o quadrilátero é um paralelogramo, e como as diagonais são perpendiculares entre
si, então esse paralelogramo é um losango.
90.
Seja ABCD um quadrilátero cujos lados opostos são congruentes, ou seja, tal que AB , CD e
AD , BC .
Trace a diagonal AC . Temos:
AD , BC
AB , CD
t , CAB
t
AB // CD
DCA
LLL
∆ACD
≅
∆CAB
&
&
&
AD // BC
t
t , ACB
CAD
AC é comum
Logo ABCD é um paralelogramo.
91. alternativa D
Temos
x + (x + 2) $
3 = 21 + (2x + 2) $ 3 = 42 + 2x + 2 = 14 + 2x = 12 + x = 6 .
2
Logo, temos AB = 6 + 2 = 8 cm e DC = 6 cm.
92. alternativa C
Seja b a base menor do trapézio. Assim, a base maior mede B = b + 2 e a altura mede
(B + b) h
(b + 2 + b)(b + 4)
h = b + 4, de modo que
= 40 +
= 40 + (b + 1)(b + 4) = 40
2
2
+ b2 + 5b − 36 = 0
b=4
(
b = −9
3.84
ef81.203
Como b tem que ser um valor positivo, então b = 4.
Logo B = b + 2 = 4 + 2 = 6 e h = b + 4 = 4 + 4 = 8 e B + b + h = 6 + 4 + 8 = 18.
93. alternativa A
Pelo Teorema de Pitágoras, temos x =
Logo, a área do trapézio é igual a
52 − (8 − 5) 2 = 4 m.
(8 + 5) $
4 = 26 m2 .
2
94.
(11 + 14) $
h = 50 + h = 4 cm . Portanto, no ∆ABC
2
temos 32 + 42 = x2 + x = 5. Finalmente, o perímetro do trapézio é 11 + 14 + 4 + 5 = 34 cm.
De acordo com o enunciado, temos que
95. Primeiramente, vamos colocar as medidas na escala real: 0,2 ⋅ 200 = 40 km.
Para calcular a área do losango anterior, precisamos calcular o valor de x, pois a área de
um losango é a metade do produto das diagonais.
o
o
o
t = BAD
t = 120 & ADC
t = 120, então BCD
t = 360 − 120 − 120 = 60o .
Sabemos que ABC
2
t = 60. EnComo a figura é um losango, temos que CD = BC e sabemos também que BCD
tão o ∆BCD é equilátero e BC = CD = BD = 40 km. Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos
4.85
ef81.203
BC2 = x2 + 202 + 402 = x2 + 202 + x2 = 1600 − 400 = 1200 + x = 20 3 km.
Assim, uma diagonal mede 40 km e a outra 40 3 km.
40 $ 40 3
= 800 3 km2.
2
96. Como o perímetro do losango é 4 10 mm, seu lado mede , = 10 mm.
Logo a área será
Sendo assim, usando o Teorema de Pitágoras para o triângulo retângulo de catetos
3d
d
e
e hipotenusa
2
2
10 mm, sendo d a diagonal menor do losango, temos que
d2 (3d) 2
= 10 + 10d2 = 40 + d2 = 4 + d = 2 ou d = −2.
+
4
4
Como d > 0, então d = 2 mm. Assim, a diagonal maior mede 6 mm.
2$6
Logo, a área pedida é
= 6 mm2 .
2
97. alternativa C
Como os vértices do retângulo são os pontos médios dos lados do losango, então temos
a figura a seguir.
Logo, a área do retângulo é 5 ⋅ 10 = 50 m.
5.86
ef81.203
98.
Unindo os pontos médios dos lados opostos, obtemos 8 triângulos congruentes. Como
o losango equivale a 4 desses triângulos, concluímos que sua área é a metade da área do
retângulo.
99. alternativa B
Pelo Teorema de Pitágoras, temos ( 5 ) 2 = 22 + h2 + h2 = 1 & h = 1
Logo, a área do trapézio é igual a
(6 + 10) $
1=8
2
100. alternativa B
Precisamos da altura h para poder calcular a área. Pelo Teorema de Pitágoras, podemos
montar duas equações com h e x:
x2 + h2 = 172
(21 − x)2 + h2 = 102
x2 + h2 = 289
+ 2
& 42x = 441 + 289 − 100 + x = 15
x − 42x + 441 + h2 = 100
Substituindo x em qualquer uma das equações, obtemos h = 8. Logo a área do trapézio é
(25 + 4)8
dada por
= 116 .
2
101. alternativa E
t ) = 30.
Como AMBN é losango, então AM = BM = CM = K, o que implica m(CÂM) = m( ACM
t ) = 60, o que implica que ABM e ABN são triângulos
t ) = m(CÂM) + m( ACM
Assim, m( AMB
equiláteros de lado de medida K.
K2 3 K2 3
K2 3
Logo, a área do losango AMBN é igual a
.
+
=
4
4
2
102.
6.87
ef81.203
Seja x o lado do losango. Temos PM // AC e PN // AB , logo
t ) AA
t ) = m (BCA
m (BPM
& ∆PMB ~ ∆CAB, assim:
t ) = m (ABC
t )
m (MBP
PM BM
x
4−x
12
+ =
+ 4x = 24 − 6x + x =
=
6
4
5
AC
AB
Temos também que:
A ABC
AC 2
=
d=
n + APMB
APMB
PM
Sendo
t ) = m (ABC
t )
m (NPC
t ) = m (ACB
t )
m (NCP
10 $ d
12 2
n
5
=
62
8
5
AA ∆ABC ~ ∆CNP
&
A ABC
AC 2
=
d=
n + ACPN
ACPN
PN
10 $ d
12 2
n
5
42
=
18
5
8 18 24
.
−
=
5
5
5
103. A base menor do tronco de pirâmide é um quadrado de lado 2 m e sua área é 2 ⋅ 2 = 4 m2.
A base maior do tronco de pirâmide é um quadrado de lado 3 m e área 3 ⋅ 3 = 9 m2.
(3 + 2) $ 4
A área de uma face lateral é a área do trapézio que é
= 10 m2 . Assim a área
2
total do tronco de pirâmide é a soma das áreas das bases maior e menor mais quatro
Logo AAMPN = 10 −
áreas do trapézio.
Logo a área total é 4 + 9 + 4 ⋅ 10 = 53 m2.
104.
a) A figura representa os dados do enunciado. Logo os outros dois retângulos têm medidas 2 e 7.
b)A área total é dada pela soma das áreas dos dois retângulos de medidas 2 e 5, mais a área
de dois retângulos de medidas 2 e 7 e mais a área de dois paralelogramos de base 7 e
altura 3. Logo a área total do paralelepípedo é:
2(2 ⋅ 5) + 2(2 ⋅ 7) + 2(7 ⋅ 3) = 20 + 28 + 42 = 90
7.88
ef81.203
105.
a)A base menor é um quadrado de lado 8 cm e área 8 ⋅ 8 = 64 cm2. A base maior é
um quadrado de lado 10 cm e área 10 ⋅ 10 = 100 cm2. A face lateral é um trapézio
isósceles de bases 8 cm e 10 cm. Seja h a altura do trapézio, temos h2 = 92 + 12 = 82
(10 + 8) $ 82
+ h = 82 e sua área é
= 9 82 cm 2.
2
Assim a área total de uma caixa é 64 + 100 + 4 ⋅ 9 82 = 164 + 36 82 ≅ 490 cm2. Logo
a área para produzir 50 caixas é 50 ⋅ 490 = 24 500 cm2.
Portanto, é necessário no mínimo 24 500 cm2 de papel para a produção do dia.
b)Sabemos que h = 9 cm, S = 10 ⋅ 10 = 100 cm2 e s = 8 ⋅ 8 = 64 cm2. Substituindo na
9
h
fórmula, temos V = (S + S $ s + s) = (100 + 100 $ 64 + 64) = 3(164 + 6 400 )
3
3
= 3 ⋅ 244 = 732 cm3.
106.
Seja x a distância indicada na figura para que o corte seja feito.
No novo paralelepípedo vemos que a área da face formada pelo paralelogramo não
teve sua área alterada, já que a base continua medindo 10 e a altura, 8. As faces superior
e inferior também não são alteradas, pois a figura continua sendo um retângulo de lados 6 e 10. Já a face lateral continua com um dos lados medindo 6. Porém, seja , o outro
lado, temos ,2 = x2 + 82 + , = x2 + 64 e a área dessa face será 6 ⋅ , = 6 x2 + 64 . Como
8.89
ef81.203
x > 0, x2 + 64 será um número maior que 64, então x2 + 64 será um número maior
que 8 e a área da face lateral aumentará. Logo a área total do novo paralelepípedo não
retângulo aumentou.
9.90
ef81.203