ISBN 978-85-8015-054-4
Cadernos PDE
VOLUME I
Versão Online
2009
O PROFESSOR PDE E OS DESAFIOS
DA ESCOLA PÚBLICA PARANAENSE
1
RESOLUÇÕES DE PROBLEMAS CONTEXTUALIZADOS
SOBRE ÁREAS DE SUPERFÍCIES PLANAS
Autor: Antonio Leodir de Oliveira
1
Orientador: Luiz Roberto Calliari
2
Resumo:
A estratégia de ensino utilizada neste artigo foi a retomada e o aprofundamento do
estudo sobre Áreas de Superfícies Planas envolvendo polígonos convexos, a partir de
Resoluções de Problemas Contextualizados. Foi aplicado em uma turma do 1º ano do
Ensino Médio do Colégio Estadual Presidente Lamenha Lins na cidade de Curitiba – PR.
Primeiro foi aplicada uma avaliação diagnóstica, na qual estavam inseridas as principais
fórmulas de áreas, e a média geral da turma foi de 6,3. Depois os alunos em pequenos
grupos estudaram uma Unidade Didática, material didático produzido pelo professor do
Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE) para revisar e aprofundar o estudo
sobre áreas de superfícies planas, e com o auxílio do professor resolveram as atividades
propostas. E por último foi aplicada outra avaliação com questões semelhantes e algumas
mais complexas e a média geral foi de 9.1, que comprovou que houve uma melhora
significativa no processo ensino e aprendizagem.
Palavras - chave: Resoluções de problemas; áreas de superfícies planas
Abstract:
The teaching strategy used in this paper is to revive and deepen the study on areas of Flat
Surfaces involving convex polygons, from Contextualized Problem Resolution. The study
was conducted with a group of 1st year of high school in State College President Lamenha
Lins in Curitiba - Pr, as follows: was applied a diagnostic evaluation, which was inserted
into the main formulas of areas, and the average general class was 6.3. After the students
into small groups studying a Unit Curriculum, teaching materials produced by the teacher's
1 Professor do Programa do Desenvolvimento Educacional (PDE) do Col. Est. Presidente Lamenha Lins.
2 Professor Mestre do Departamento de Matemática da UTFPR.
2
Educational Development Program (EDP) for review and further study on areas of flat
surfaces, and with the help of the teacher decided the proposed activities. And finally
another evaluation was applied with similar issues and some more complex and the
average was 9.1, which proved that there was a significant improvement in the teaching
and learning.
1 Introdução
“Um dos principais objetivos do ensino de Matemática é fazer o aluno pensar
produtivamente e, para isso, nada melhor que, apresentar-lhe situações - problema que o
envolvam, o desafiem e o motivem a querer resolvê-las” (DANTE, 2007, p.23).
O objetivo principal deste estudo é propor as Resoluções de Problemas
Contextualizados Sobre Áreas de Superfícies Planas, especialmente as que são formadas
por polígonos convexos com mais de quatros lados, como sendo mais uma estratégia de
ensino na disciplina de Matemática. Este estudo faz o caminho inverso, isto é, através de
aplicações concretas, envolvendo situações reais do nosso cotidiano, ensinar conceitos e
desenvolver algoritmos matemáticos.
Primeiramente, a Resolução de Problemas baseia-se na proposição e no
enfrentamento do que chamaremos de situação - problema. Isto é, ampliando o
conceito de problema, devemos considerar que a Resolução de Problemas trata
de situações que não possuem solução evidente e que exigem que o resolvedor
combine seus conhecimentos e decida pela maneira de usá-los em busca da
solução. (SMOLE, 2001, p.89).
As Resoluções de Problemas Contextualizados Sobre Áreas de Superfícies Planas
é uma metodologia comprovada por diversos autores, como sendo uma estratégia
desafiadora, estimulante, e muito eficaz no processo ensino-aprendizagem na disciplina
de Matemática. Sabemos que a Matemática surgiu e desenvolveu como resposta a várias
questões que vieram de povos e culturas diferentes, e dos mais variados contextos,
motivados por problemas vinculados a outras ciências, e muitos de ordem prática
relacionados à própria Matemática. O conteúdo sobre áreas de superfícies planas é
ensinado no ensino fundamental, e quando aparece como aplicação no Ensino Médio,
nas outras disciplinas ou dentro da própria Matemática, é fácil de constatar que muitos
3
alunos apresentam dificuldades no referido assunto. As resoluções de problemas sobre
áreas de superfícies planas são ensinadas como os demais conteúdos, que muitas vezes
estão desvinculados da escola no sentido da construção do conhecimento, aparecendo
na maioria dos casos, apenas como uma atividade de aplicação. No estudo sobre áreas
de superfícies planas, temos no nosso dia a dia uma grande quantidade de bons
exemplos que podem ser utilizados. Este estudo realiza um trabalho voltado à resolução
de problemas do nosso cotidiano, isto é, com significados reais aos alunos que, além de
contribuir na motivação, ajuda a desenvolver o pensamento lógico, estimula e auxilia a
compreensão de conceitos, fórmulas e algoritmos e facilita o processo ensino e
aprendizagem.
2 Desenvolvimento
2.1 Fundamentação teórica
“A Matemática tem sido conceituada como a ciência dos números e das formas,
das relações e das medidas, das inferências, e as suas características apontam para a
precisão, rigor e exatidão” (D'AMBRÓSIO, 2005, p. 74).
Quando se fala do ensino da disciplina de Matemática, são comuns os professores
de quinta a oitava série do ensino fundamental, criticar os de primeira a quarta série, que
os alunos não dominam alguns conteúdos básicos da matéria, e os do ensino médio
acusam os professores de quinta a oitava série, que a grande maioria dos alunos não
domina a matemática básica, e dentre os conteúdos que foram ensinados estão os
conteúdos que envolvem área de superfície plana.
“Resolver problema é da própria natureza humana. Podemos caracterizar o homem
como o animal que resolve problemas” (POLYA, 2006, p. 95).
Um corretor de imóveis e dono de uma imobiliária, sabendo que sou professor de
Matemática, pediu a minha ajuda para encontrar a área de dois terrenos que estão
localizados na cidade de Curitiba. Um deles tem o formato de um trapézio e o outro de um
hexágono irregular convexo. Acontece que esse corretor de imóveis tem formação em
curso superior na área de ciências humanas, então significa que ele frequentou a escola,
e fez o ensino fundamental e médio, e teve no seu currículo a disciplina de Matemática
4
durante onze anos, a sua dúvida é motivo de muitas perguntas e reflexões. Apesar de ter
estudado Matemática durante esses anos é fácil de perceber que ele não conseguiu
aprender o conteúdo sobre área de superfície plana e, se aprendeu, não sabe fazer as
devidas conexões com uma situação prática e de aplicação. Será que a matemática está
servindo para alguma coisa na sua vida?
Muitos professores consideram que é possível trabalhar com situações do
cotidiano ou de outras áreas do currículo somente depois de os conhecimentos
matemáticos envolvidos nessas situações terem sido amplamente estudados
pelos alunos. Como esses conteúdos geralmente são abordados de forma linear e
hierarquizados, apenas em função de sua complexidade, os alunos acabam tendo
poucas oportunidades de explorá-los em contextos mais amplos. Mais ainda, as
situações-problema raramente são colocadas aos alunos numa perspectiva de
meio para a construção de conhecimentos. (BRASIL, 1998, p.137).
É notório que muitos dos nossos alunos não sabem estabelecer a conexão dos
conteúdos estudados na disciplina de Matemática, mas se muitos dos nossos alunos não
conseguem apreender os conteúdos de Matemática, por que será que isso está
acontecendo? As falhas estão nas metodologias de ensino? É evidente que quando
acontece algo de errado, necessitamos de encontrar o culpado. Quem são os culpados ou
responsáveis por esse fracasso? Responder essas perguntas é uma tarefa muito
complexa.
Não é raro tomar-se o fracasso em Matemática como causa da evasão escolar.
Por mais infeliz que tenha sido, porém, a experiência ou o desempenho do sujeito
no aprendizado da Matemática, dificilmente essa acusação, na verdade, procedem
(Muitos alunos da classe média fracassam em Matemática, e nem por isso
abandonam a escola). Na realidade, os que abandonam a escola o fazem por
diversos fatores, de ordem social e econômica principalmente, e que, em geral
extrapolam as paredes da sala de aula e ultrapassam os muros da escola.
(FONSECA, 2005, p. 32).
A Matemática é uma ciência complexa como as demais, tendo as suas
peculiaridades, e que está presente e aplicada na maior parte das tecnologias existentes
no mundo e por uma diversidade de problemas. O grande desafio do professor de
Matemática é escolher ou formular problemas interessantes, que sejam do nosso dia a dia
5
para facilitar a compreensão e o entendimento do aluno, e ainda deve ter em mente que
a matemática é constituída de conceitos, algoritmos e aplicações.
Nunca fui ingênuo apreciador da tecnologia: não a divinizo, de um lado, nem
diabolizo, de outro. Por isso mesmo sempre estive em paz para lidar com ela. Não
tenho dúvida nenhuma do enorme potencial de estímulos e desafios à curiosidade
que a tecnologia põe a serviço das crianças e dos adolescentes das classes
sociais chamadas favorecidas. Não foi por outra razão que, enquanto secretário de
Educação da cidade de São Paulo, fiz chegar à rede das escolas municipais o
computador. Ninguém melhor do que meus netos e minhas netas para me falar de
sua curiosidade instigada pelos computadores com os quais convivem (FREIRE,
1996, p.87).
O ensino da disciplina de Matemática deve ajudar na formação do aluno para
exercer e desempenhar a sua cidadania, isto é, tornar-se um cidadão consciente,
responsável, solidário e ser capaz de combater e denunciar as coisas erradas que estão
acontecendo na nossa sociedade.
Esse deve ser o sonho do ser humano. Lembro o que disseram dois eminentes
matemáticos, Albert Einstein e Bertrand Russell, no Manifesto Pugwash 1955:
“Esqueçam-se de tudo e lembrem-se da humanidade”. Procuro, nas minhas
propostas de Educação Matemática, seguir os ensinamentos desses dois grandes
mestres, dos quais aprendi muito de matemática e, sobretudo de humanidade.
(D'AMBRÓSIO, 2005, p. 84.).
“Um dos desafios do ensino da Matemática é a abordagem de conteúdos para a
resolução de problemas. Trata-se de uma metodologia pela qual, o estudante tem
oportunidade de aplicar conhecimentos matemáticos adquiridos em novas situações, de
modo a resolver a questão proposta” (DANTE, 2003, p.48).
Com certeza o conteúdo sobre área de superfície plana foi ensinado, mas não foi
assimilado, e o resultado é que não houve aprendizado. No primeiro ano do ensino médio
normalmente os conteúdos de matemática básica (conteúdo de matemática do ensino
fundamental) são revisados pelos professores de Matemática, e das disciplinas afins, mas
muitas vezes do mesmo modo que foi ensinado no ensino fundamental, e a consequência
disso é que muitos desses alunos continuam apresentando as mesmas dificuldades, e os
que não conseguem superá-las, normalmente utilizam o argumento que a Matemática não
vai contribuir em nada na sua futura profissão, uma vez que não precisa desta disciplina,
6
e é mais provável que a sua escolha foi uma fuga, ou seja, optou por um determinado
curso que não apresenta a disciplina de matemática no seu currículo.
As práticas pedagógicas tradicionais são prejudiciais à aprendizagem, pois
transmitem aos alunos a falsa impressão de que a matemática consiste em uma
série de receitinhas a serem seguidas. As aulas mais tradicionais não há lugar
para interpretar, para discutir representações alternativas, para explorar
significados. Se o aluno está acertando, pouco importa se ele está entendendo. Se
ele está errando, manda-se que ele pratique mais até acertar (BIGODE, 2000,
p.38).
Sabemos que muitos dos nossos alunos terminam o ensino médio, e não
aprenderam alguns, ou muitos conteúdos da disciplina de Matemática, principalmente
quando precisa aplicar em situações práticas do seu dia a dia, como por exemplo,
administrar o seu orçamento pessoal e familiar, comprar a prazo ou financiar uma compra,
e que às vezes acabam caindo nas armadilhas do sistema financeiro, pagando altas taxas
de juros, e o mesmo acontece quando precisam comprar materiais de construção,
necessitando de pedir a ajuda ao vendedor ou ao pedreiro.
“É fácil constatar que a maioria dos alunos termina o 2º grau sem nunca ter lido um
único texto sobre matemática. De modo geral, o professor usa o livro didático explicando
a teoria na lousa, e os alunos abrem o livro somente para copiar e resolver os exercícios”
(GUELLI, 1997, p.132).
“Hoje, os trabalhadores que não são os intelectuais precisam conhecer um número
cada vez maior de técnicas e ferramentas matemáticas. Não é necessário que produzam
Matemática, mas é fundamental que saibam utilizá-la eficientemente” (MACHADO, 1991,
p.17).
É fácil de perceber que muitos alunos estão desmotivados e falta comprometimento
no processo ensino e aprendizagem, então o grande desafio dos professores e
educadores, é encontrar maneiras que possam contribuir no sentido de motivá-los e
mudar essa realidade. O professor de Matemática deverá sempre que possível
contextualizar o conteúdo de um modo inteligente.
[...] aprender Matemática é mais do que manejar fórmulas, saber fazer contas ou
marcar x nas respostas: é interpretar, criar significados, construir seus próprios
instrumentos para resolver problemas, estar preparado para perceber estes
mesmos problemas, desenvolver o raciocínio lógico, a capacidade de conceber,
projetar e transcender o imediatamente sensível (PARANÁ, 1990, p.66).
7
Os professores de matemática estão inseridos nesse contexto, e para transformar
as utopias em realidade, e diante de tantos desafios, deverão através de uma formação
continuada, estudar e pesquisar mais, e agir no sentido de que haja mudanças profundas
em relação ao ensino para acontecer uma aprendizagem significativa.
2.2 Metodologia
A estratégia de ensino utilizada neste estudo foi a retomada e o aprofundamento do
estudo sobre Áreas de Superfícies Planas envolvendo polígonos convexos, a partir de
Resoluções de Problemas Contextualizados. Foi aplicado em uma turma do 1º ano do
Ensino Médio. No primeiro momento foi aplicada uma avaliação diagnóstica, na qual,
estava inseridas as principais fórmulas de áreas. No segundo momento os alunos em
pequenos grupos estudaram o material didático (Unidade Didática) produzido pelo
professor do Programa de Desenvolvimento Educacional (PDE) para revisar e aprofundar
o estudo sobre áreas de superfícies planas, e com o auxílio do professor resolveram as
atividades propostas.
E por último foi aplicada outra avaliação com questões
semelhantes e algumas mais complexas que comprovou que houve uma melhora
significativa no processo ensino e aprendizagem.
Antes de aplicar a avaliação diagnóstica os alunos foram informados sobre os
objetivos do Projeto. A primeira pergunta feita sobre área de superfície plana foi a
seguinte: Na sua opinião, quantos metros quadrados tem essa sala de aula? Foram
distribuídas as perguntas escritas para cada aluno, que tinha de responder em 30
segundos. As respostas encontradas estão na tabela 1.
Metros quadrados
%
Menor que 10
8
Entre 11 e 20
38
Entre 21 e 30
23
Entre 31 e 40
8
Entre 41 e 50
15
Entre 51 e 60
0
Entre 61 e 70
8
Maior que 71
0
tabela 1
8
Observação: O tamanho da sala de aula é de aproximadamente 64 metros quadrados. De
acordo com as respostas foi comprovado que aproximadamente 60% dos alunos
responderam no intervalo de zero ( 0 ) a trinta ( 30 ) metros quadrados, e que
aproximadamente 8 % acertam o valor estimado.
Num segundo momento foi aplicada uma avaliação diagnóstica com questões
objetivas, e o único comentário feito foi na questão 2.3.7, explicado e escrito no quadro
de giz, que o raio de um círculo é igual à metade do diâmetro.
É importante ressaltar que foram aplicados quatro modelos, a seguir veja um deles.
2.3 Avaliação diagnóstica
Conteúdo sobre área de superfície plana. As principais fórmulas. Quadrado: A = l.l
ou l², sendo l o lado. Retângulo: A = b.h, sendo b = base e h = altura. Paralelogramo: A =
b.h . Triângulo: A=
b.h
D. d
. Losango: A=
, sendo D = diagonal maior e d = diagonal
2
2
menor; Trapézio: A=
A=π . r 2
 B+b. h
, sendo B = base maior e b = base menor. Círculo:
2
(use π = 3,14). Triângulo equilátero: A=
l2.3
sendo l o lado.
4
Em cada questão, há somente uma alternativa correta. Marque com x a alternativa
correta.
2.3.1 A área em cm² de um quadrado de 13 cm de lado é:
a) 100
b) 121
c) 144
d) 169
2.3.2 A área de um terreno de forma quadrada é 64 m² . O seu perímetro em metros é:
a) 32
b) 20
c) 24
d) 28
2.3.3 Um terreno tem a forma de um retângulo de 16 m por 12 m. A área desse terreno
9
em m² é:
a) 240
b) 216
c) 192
d) 180
2.3.4 A área de um triângulo de base igual a 20 m e altura igual a 35 m, em metros
quadrados é:
a) 400
b) 350
c) 300
d) 250
2.3.5 Uma pipa em forma de losango é formada por duas varetas (diagonais) de 50 cm e
30 cm. A área dessa pipa em cm² é:
a) 500
b) 600
c) 700
d) 750
2.3.6 Num trapézio as bases medem 10 cm, 14 cm e a altura 10cm. A área desse trapézio
em cm² é:
a) 72
b) 96
c)120
d) 144
2.3.7 A área em cm² de um círculo de diâmetro igual a 14 cm é:
a) 113,04
b) 153,86
c) 200,96
d) 254,34
2.3.8 O piso de uma sala retangular tem 12 m de comprimento e 6 metros de largura, foi
revestida com cerâmicas quadradas de 25 cm de lado. A quantidade necessária de
cerâmica para fazer o revestimento é:
a) 1728
b) 1536
c) 1344
d) 1152
2.3.9 A área em m² de um triângulo equilátero ( 3 lados iguais) de lado igual a 10 m é.
a) 25  3
b) 16  3
c) 9  3
d) 4  3
Depois de feita a correção da avaliação diagnóstica foi verificado que a média geral
10
da turma por acertos foi de 6,3. A seguir temos a tabela 2, contendo somente o número
de questões em porcentagem dos alunos que acertaram.
Acertos
Alunos (%)
0
3
1
4
2
4
3
7
4
15
5
15
6
11
7
19
8
15
9
7
tabela 2
Também temos a tabela 3, em porcentagem as questões que os alunos acertaram.
Questão
Alunos/acertos (%)
1
77
2
58
3
84
4
73
5
69
6
57
7
38
8
30
9
61
tabela 3
E para facilitar a visualização, os valores em porcentagem da tabela 3, estão a
seguir na frente de cada questão da avaliação diagnóstica.
2.3.1 A área em cm² de um quadrado de 13 cm de lado é:
( 77% ).
2.3.2 A área de um terreno de forma quadrada é 64 m² . O seu perímetro em metros é:
( 58% ).
11
2.3.3 Um terreno tem a forma de um retângulo de 16 m por 12 m. A área desse terreno
em m² é: ( 84% ).
2.3.4 A área de um triângulo de base igual a 20 m e altura igual a 35 m, em metros
quadrados é: ( 73% ).
2.3.5 Uma pipa em forma de losango é formada por duas varetas (diagonais) de 50 cm e
30 cm. A área dessa pipa em cm² é:
( 69% ).
2.3.6 Num trapézio as bases medem 10 cm, 14 cm e a altura 10cm. A área desse trapézio
em cm² é: (57% ).
2.3.7 A área em cm² de um círculo de diâmetro igual a 14 cm é: (38% ).
2.3.8 O piso de uma sala retangular tem 12 m de comprimento e 6 metros de largura, foi
revestida com cerâmicas quadradas de 25 cm de lado. A quantidade necessária de
cerâmica para fazer o revestimento é:( 30% ).
2.3.9 A área em m² de um triângulo equilátero de lado igual a 10 m é:(61% ).
Foi verificado como mostra a tabela 3 que na questão 2.3.8, os alunos obtiveram
o menor índice de acertos, que foi de 30% . Observe que essa questão é de ordem
prática.
Depois de comentado o resultado da avaliação diagnóstica para a turma, os alunos
em pequenos grupos receberam fita métrica e régua para efetuar as medidas, e utilizando
um material manipulável com peças quadradas de lado de 10 cm , 20 cm e 25 cm e dois
círculos de 10 cm e 20 cm de diâmetro, foram feitas as seguintes perguntas: a) Quantas
peças quadradas de 10 cm de lado podemos construir
com um metro quadrado?
b) Quantas peças quadradas de 20 cm de lado podemos construir
com um metro
quadrado?
c) Quantas peças quadradas de 25 cm de lado podemos construir
quadrado?
com um metro
12
d) Quantas peças circulares de 10 cm de diâmetro podemos construir com um metro
quadrado?
e) Quantas peças circulares de 20 cm de diâmetro podemos construir com um metro
quadrado?
No momento de
resolver essas questões, alguns grupos desenharam um
quadrado de um metro de lado no quadro de giz,
outros no piso e foram contando o
número de peças que cabia dentro do quadrado de um metro de lado. Somente um grupo
dividiu um metro por 10 cm, 20 cm e 25 cm e determinando o número de quadrado que
formava cada lado do quadrado de um metro de lado, depois fazia o quadrado desse lado
e encontrando a quantidade de peças que podia ser feitas com um metro quadrado.
Depois em pequenos grupos continuaram estudando o material didático,
denominado de Unidade Didática sobre Áreas de Superfícies Planas. Veja a seguir a
Unidade Didática.
2.4 Unidade Didática
2.4.1 Justificativa
O objetivo principal deste material é revisar e aprofundar o estudo de área de
superfície plana, o qual é ensinado no ensino fundamental, e quando aparece como
aplicação no ensino médio, nas outras disciplinas ou dentro da própria Matemática,
percebe-se que muitos alunos apresentam dificuldades no referido conteúdo.
O historiador Heródoto afirma que a geometria surgiu por uma pressão das
utilidades e necessidades práticas.
“disseram que este rei (Sesostris) tinha repartido todo o Egito entre os egípcios e
que tinha dado a cada um uma porção igual e retangular de terra, com a obrigação
de pagar por ano um certo tributo. Que se a porção de algum fosse diminuída
pelo rio (Nilo), ele fosse procurar o rei e lhe expusesse o que tinha ocorrido à sua
terra. Que ao mesmo tempo, o rei enviava medidores ao local e fazia medir a terra
a fim de saber o quanto ela estava diminuída, e de só fazer pagar o tributo
conforme o que tivesse ficado da terra. Eu creio que foi daí que nasceu a
Geometria e que depois passou aos gregos”.(MACHADO, 1980, p.115).
13
A palavra Geometria é de origem grega formada por Geo que significa terra e
metria medida. Há 5 000 anos era a ciência de medir terrenos, perímetros e áreas, mas
com o decorrer do tempo, passou a ser considerada a parte da Matemática que estuda as
formas.
Percebe-se que depois de muitos séculos do seu surgimento, quando aparece um
problema prático envolvendo a geometria, principalmente sobre área e perímetro, é muito
comum encontrarmos dificuldades em resolvê-los. Mas por que será que isso está
acontecendo? Uma das respostas é que a Resolução de Problemas sobre áreas de
superfícies planas é ensinada como os demais conteúdos, que muitas vezes estão
desvinculados da escola no sentido da construção do conhecimento, aparecendo na
maioria dos casos, apenas como uma atividade de aplicação. No estudo sobre áreas de
superfícies planas, temos no nosso dia a dia uma grande quantidade de situação
problema de ordem prática que poderão ser utilizados.
Neste material, a proposta é realizar um trabalho voltado à resolução de problemas
do nosso cotidiano, envolvendo superfícies planas de polígonos convexos irregulares.
Quando precisamos encontrar a área de uma superfície plana qualquer,
normalmente surgem as seguintes perguntas, mas o que é área? É a medida de uma
superfície plana. Outra pergunta: o que é medir? Medir nada mais é do que fazer uma
comparação, ou seja, só podemos medir alguma coisa fazendo uma comparação com
outra coisa de mesma natureza. Primeiro precisamos ter uma unidade de medida, então
medimos o comprimento com outro comprimento, uma área com outra área, um volume
com outro volume, um ângulo com outro ângulo. Sabe-se que medir é um ato complexo,
que exige prática e desenvoltura na execução da medição, como também conhecer muito
bem os instrumentos de medidas que serão utilizados. Acreditamos que é importante os
alunos terem muitas oportunidades de entrar em contato com diferentes situações de
medição no meio que estão inseridos.
2.4.2 Encaminhamentos metodológicos e recursos didáticos
Em relação ao conceito de área é muito importante que o aluno perceba que o
processo de medição é o mesmo utilizado para comprimentos, devemos escolher uma
unidade de área, comparar esta unidade com o objeto a ser medido e expressar a medida
14
através de um número. Nos exemplos foram utilizados como unidades de medidas, o
metro quadrado e o centímetro quadrado (submúltiplo do metro).
O que é um metro quadrado? É um quadrado com um metro de lado, e sua
superfície é uma unidade de área conhecida como um metro quadrado.( m2 ).
Exemplos:
2.4.2.1 A sala de um apartamento é quadrada. Se a medida de um dos lados é 3 metros.
Calcule: a) O perímetro; b) A área.
Observe o desenho da sala.
= Unidade de área
a) Perímetro: 3 + 3 + 3 + 3 = 4.3 = 12 metros.
b) Área: lado x lado = 3.3 = 9 metros quadrados. (
S=l.l
⇒
S=l
2
).
2.4.2.2 O banheiro de um escritório tem a forma retangular. O comprimento (base) mede 4
metros e a largura (altura no desenho) mede 3 metros.
Calcule: a) O perímetro; b) A área. Observe o desenho do banheiro.
= Unidade de área
a) Perímetro: 3 + 4 + 3 + 4 = 14 metros
b) Área: base x altura = 4.3 = 12 metros quadrados. ( S=b.h ).
Se traçarmos uma diagonal no retângulo acima, vamos obter dois triângulos,
conforme mostra o desenho.
= Unidade de área
Se a área do retângulo é 12 metros quadrados, logo a área de cada triângulo é 6 metros
quadrados, ou seja, é a metade da área do retângulo.
15
S=
Então a fórmula para achar a área do triângulo é
b.h
.
2
2.4.2.3 Um terreno tem a forma de um triângulo retângulo, conforme mostra a figura
abaixo. Calcule: a) O perímetro; b) A área.
Observe o desenho do terreno.
50 m
30 m
40 m
a) Perímetro: 30 + 40 + 50 = 120 metros.
b) A fórmula para encontrar a área do triângulo é S=
S=
b.h
2
⇒
S=
30.40
2
⇒
S=
1200
2
b.h
.
2
S=600 m2 .
⇒
(A área do triângulo retângulo é igual, a metade do produto dos catetos).
2.4.2.4 Olhando de frente, as duas partes do telhado de uma casinha de boneca tem a
forma de um triângulo equilátero. Se o lado mede 2 metros, qual é a área formada pelo
triângulo?
2m
h
2m
2m
h
2m
1m
Para encontrar a medida da altura h, temos que aplicar o Teorema de Pitágoras.
O Enunciado do teorema: o quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados dos
catetos. No triângulo retângulo a letra h e o número um são os catetos e o número dois a
hipotenusa.
h 2=3 =>
Aplicando o teorema temos:
h=± 3 .
h 212=22 => h 21=4 => h 2=4−1 =>
Mas como é medida não faz sentido o valor negativo, então
simplesmente usamos h= 3 cm . Agora vamos aplicar na fórmula para achar a área do
16
triângulo.
S=
b.h
2
S=
⇒
2.  3
2
⇒
h= 3 m .
Há uma fórmula para achar a área do triângulo equilátero. Acompanhe a sua dedução.
l
l
h
l
h
l/2
l
l 2
h 2  =l 2
2
h=±
⇒
S=
b.h
2

l 2
h 2=l 2− 
2
⇒
3 2
l
4
⇒
l. l
⇒
S=
⇒
3 .
h=l 
2
3
2
2
h 2=l 2−
l2
4
h 2=4
l2 l2
−
4 4
⇒
3
h 2= l 2
4
Aplicando a fórmula para achar a área do triângulo:
3 1
S=l. l  .
2 2
⇒
⇒
3
S=l 2 .  , que é a fórmula para
4
⇒
determinar a área de um triângulo equilátero. Aplicando esta fórmula, isto é, substituindo
o valor da medida do lado por 2, vamos encontrar a sua área.
3
S=l 2 . 
4
3
S=22 . 
4
⇒
3
S=4 . 
4
⇒
S= 3 m² .
⇒
Se o aluno tivesse conhecimento do Teorema de Heron, também não precisava ter
encontrado o valor da altura. É importante destacar que Heron foi um geômetra grego que
nasceu em Alexandria no Egito e viveu de 10 a 70 da nossa era.
Teorema ou fórmula de Heron. Dado um triângulo T de lados a, b e c, sua área ou
superfície (S) é dada pela fórmula
S=  p  p−a  p−b p−c  , sendo
p=abc /2 o
semiperímetro, isto é, a metade do perímetro. Essa fórmula é muito útil nos casos em
que não sabemos a altura de um triângulo qualquer, mas temos a medida de todos os
lados.
Agora vamos resolver o exemplo anterior aplicando essa fórmula.
Veja a
resolução a seguir.
p=
 abc
2
⇒
p=
S= 3 3−23−23−2
 222
2
⇒
⇒
p=
6
2
S=  3 111
⇒
⇒
p=3
S= 3 m²
. Logo, a área é de S= 3 m² . O que era de se esperar, foi encontrado o mesmo valor.
17
2.4.2.4 A Planta Baixa de uma calçada tem a forma de um trapézio com as seguintes
medidas: A base maior mede 6 centímetros, base menor 4 centímetros e a altura 3
centímetros. Calcule a área da calçada conforme a escada utilizada. E = 1 : 200.
Se uma figura é ampliação ou redução de outra, dizemos que as duas figuras são
semelhantes. A ampliação de uma foto é uma figura semelhante à foto original.
Dois polígonos são semelhantes quando satisfazem, simultaneamente, duas
condições:
I - as medidas dos lados que se correspondem são proporcionais;
II - as medidas dos ângulos que se correspondem são iguais.
Então podemos dizer que escala é a proporção em que uma figura é ampliada ou
reduzida.
No desenho, os ângulos são representados em verdadeira grandeza e as distâncias são
reduzidas segundo uma razão constante, denominada de Escala (E). A escala de uma
planta ou desenho é definida pela seguinte relação: E=
d
R
ou
E=d : R onde d
representa um comprimento linear gráfico, medido sobre o papel, e que corresponde ao
comprimento medido sobre o terreno, e R representa qualquer comprimento linear real,
medido sobre o terreno. A escala pode ser representada sob a forma de fração ou
proporção. Observe o desenho.
b
h
B
S=
A fórmula para encontrar a área de um trapézio é
 Bb . h
. Sendo B a base maior,
2
b a base menor e h a altura. Substituindo o dados do problema nessa fórmula temos:
S=
64.3
2
⇒
S=
10.3
2
⇒
S=
30
2
⇒
S=15cm
2
A Planta Baixa é onde se especifica quase todo tipo de informação possível do
projeto, informações estas de construção, como locação da obra dentro do terreno, e todo
tipo de cota possível que mostre distâncias de largura e comprimento do ambiente.
18
A escala 1:200, significa que cada 1 centímetro no desenho corresponde a 200
centímetros que é igual a 2 metros no real. Se cada 1 centímetro é igual a 2 metros, logo
um quadrado de lado igual a 1 centímetro, a sua área é igual a
1 x 1 = 1 centímetro
quadrado, mas se 1 centímetro no desenho é igual a 2 metros no real , logo a sua área é
igual a 4 metros quadrados, isto é, 2 x 2 . Então para encontrar a resposta devemos
multiplicar o resultado por 4, isto é, 15 multiplicado por 4 é igual a 60, ou seja, a área é
igual a 60 metros quadrados.
Poderia também substituir cada 1 centímetro por 2 metros. Então a base maior é
de 6 centímetros no desenho é igual a 12 metros no real, a base menor é de 4
centímetros no desenho é igual a 8 metros no real, e a altura de 3 centímetros no
desenho é igual a 6 metros no real. Substituindo esses valores na fórmula temos:
S=
 Bb . h
2
⇒
S=
128.6
2
⇒
S=
20.6
2
⇒
S=
120
2
⇒
S=60m
2
.
2.4.2.5 A figura abaixo representa uma Praça . Quantos metros quadrados tem essa
Praça? Sabendo que a escala utilizada para fazer o desenho foi de 1 : 800.
(E = 1: 800). Utilize uma régua para encontrar as medidas dos lados no desenho.
B
C
A
E
D
Acompanhe o que foi feito. Cada vértice está representado por uma letra maiúscula
do nosso alfabeto. Como não tem uma fórmula para achar a área deste polígono, isto é,
de um pentágono convexo irregular, então dividimos em três triângulos: ABC; ACD e
ADE. Utilizando uma régua encontramos todas as medidas. AB = 7 cm; BC = 7 cm; CD =
4 cm; DE = 8 cm; AE = 4 cm; AC = 13 cm e AD = 11 cm. Agora basta aplicar a fórmula de
Heron para achar as três áreas, e depois é só fazer a soma que encontramos a área
desta Praça. No triângulo ABC , temos: AB = 7 cm (a), BC = 7 cm (b) e AC = 13 cm (c).
Calculando o semiperímetro temos:
19
p=
 abc
2
p=
⇒
S=  285,18
⇒
⇒
p=
27
2
⇒
p=13,5 e substituindo
S=  13,5. 13,5−7.13,5 – 7 .13,5 – 13
fórmula de área temos:
⇒
7713
2
S=16,88 cm
2
⇒
na
S=  13,5.6 ,5.0 ,5
.
No triângulo ACD, temos: AC = 13 cm (a) , CD = 4 cm (b) e AD = 11 cm (c).
Calculando o semiperímetro temos:
p=
 abc
2
fórmula
S=  420
de
⇒
área
⇒
p=
13411
2
⇒
p=
28
2
⇒
p=14 e
temos: S=  14. 14−13.14 – 4. 14 – 11
S=20,49 cm
2
⇒
substituindo
S=  14.10.3
na
⇒
.
No triângulo ADE, temos:
AD = 11 cm (a) , DE = 8 cm (b) e AE = 4 cm (c).
Calculando o semiperímetro temos:
p=
 abc
2
⇒
p=
1184
2
⇒
p=
23
2
⇒
p=11,5 e
substituindo
na
fórmula de área temos: S=  11,5. 11,5−11.11,5 – 8.11,5 – 4
⇒
S=  11,5.0 ,5.3 ,5.7,5
⇒
S= 150,93
⇒
S=12,28 cm
2
.
Efetuando as somas das áreas dos triângulos: ABC, ACD e ADE , isto é,
16,8820,4912,28=49,65 cm2 .
Agora precisamos utilizar a escala dada. E = 1: 800, isto é, cada 1 centímetro no
desenho corresponde 800 centímetros no real, que é igual a 8 metros. Então 1 centímetro
quadrado no desenho corresponde 8 metros ao quadrado no real, que é igual a 64 metros
quadrados. Multiplicando o valor encontrado por 64 teremos a área da Praça ou seja,
64 .49 ,65=3177,6 m2 . Logo a sua área é de
3177,6 m2 .
2.4.2.6 Um artesão fabrica casa em miniatura para vender aos domingos na feira do
Largo da Ordem. A seguir está a peça na qual é feita a casa. Pergunta -se:
20
Real
Desenho
6 cm
2 cm
3 cm
9 cm
a) Qual é a razão de semelhança entre o diâmetro do desenho e o diâmetro do desenho
que representa o real?
b) Qual é a escala utilizada?
c)Qual é o perímetro do desenho?
d) Qual é o perímetro do desenho que representa o real?
e) Qual é a razão dos dois perímetros?
f) Qual é a área do desenho?
g) Qual é a área do desenho que representa o real?
h) Qual é a razão das duas áreas?
A razão entre o comprimento (C) da circunferência e o diâmetro (D) é igual uma
constante conhecida pelo número pi (  ). O diâmetro é igual a duas vezes o
comprimento do raio (r), isto é,
C = D.
⇒
D=2.r . Matematicamente, temos; C : D = 
⇒
C=2.r.  que é a fórmula para achar o comprimento da circunferência,
e para encontrar a área do círculo será aplicada a fórmula
. r
2
.
É fácil de perceber que nos dois desenhos (desenho e o desenho que representa o real)
são formados por um retângulo e pela metade de dois círculos, que é o mesmo que um
círculo, sendo o raio do desenho igual a 1 cm e o raio do desenho que representa o real
igual a 3 cm.
a) A razão de semelhança entre o diâmetro do desenho e o diâmetro do desenho que
representa o real é de 2 cm : 6 cm que é igual a 1/3.
21
b) O desenho mede 2 cm e o desenho que representa o real 6 cm, fazendo 2 cm : 6 cm,
que é igual a 1/3.
c) O perímetro do desenho é o comprimento do círculo mais duas vezes a base do
retângulo.
C=2.r. 
C=2.1.
⇒
C=2.
⇒
cm.
A soma das bases do
retângulo no desenho é de 6 cm. Logo o perímetro do desenho é de ( 2.  + 6 ) cm, que
é igual a 2.(  + 3 ) cm.
d) O perímetro do desenho que representa o real é o comprimento do círculo mais duas
vezes a base do retângulo. C=2.r. 
⇒
C=2.3.
⇒
C=6. 
cm. A soma das
bases do retângulo que representada o real é de 18 cm. Logo o perímetro do desenho
que representa o real é de ( 6.  + 18 ) cm, que é igual a 6.(  + 3 ) cm.
e) A razão entre os dois perímetros é [ 2.(  + 3 ) cm.] : [ 6.(  + 3 ) cm ], que é igual
a 1/3.
f) A área do retângulo no desenho é igual a 3 cm vezes 2 cm , que igual a 6 cm².
A área do círculo no desenho é igual a
.1
2
, que é igual a cm² . Somando as duas
áreas temos, ( 6 +  ) cm².
g) A área do retângulo do desenho que representa o real é igual a 6 cm vezes 9 cm, que
é igual a 54 cm². A área do círculo do desenho que representa o real é igual a
que é igual a
.3
2
,
9. cm² . Somando as duas áreas temos ( 54 + 9.  ) cm², que é igual
a 9.( 6 +  ) cm²,
h) A razão entre as duas áreas é igual a [ 1.( 6 +  ) cm² ] : [ 9.( 6 +  ) cm² ], que é
igual a 1/9. É fácil de perceber que 1/9 é igual a 1/3 ao quadrado.
Em se tratando de um triângulo qualquer, quando conhecemos dois ângulos e um
lado, podemos encontrar o outro lado através da lei dos senos, ou quando conhecemos
dois lados e um ângulo, podemos encontrar o outro lado através da lei dos cossenos.
Acompanhe as deduções das duas leis.
A
b
c
B
h
x
a-x
P
C
22
Dado o triângulo ABC. Seja h = AP, a altura baixada sobre o lado BC (o lado a é igual ao
segmento BC).
O seno (sen) de um ângulo é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa.
senB=
h
c
h=c.senB e
⇒
senC =
h
b
h por c.senB
c
b
=
, e se considerar a altura baixada
senC senB
c.senB=b.senC que é igual a,
temos:
h=b.senC substituindo
⇒
do vértice B sobre o lado AC (o lado b, é igual ao segmento AC), vamos obter
a
c
=
comparando as duas igualdades podemos concluir que em qualquer
senA senC
triângulo temos a relação
a
b
c
=
=
conhecida como lei dos senos.
senA senB senC
O cosseno (cos) de um ângulo é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa,
x
c
no mesmo triângulo ABC, temos
cosB=
Pitágoras
temos: c 2=h2 x 2 e
no
triângulo
b 2=h 2a−x 2
2
h x
2
por
⇒
c
2
ABP
b 2=h 2a 2 −2.a.xx 2
temos b 2=a 2c 2−2.a.x e
x=c.cosB . Aplicando o Teorema de
⇒
no
triângulo
ACP
substituindo
b 2=h 2a 2 x 2−2.a.x
⇒
x
temos:
por c.cosB temos
a
fórmula:
2
2
2
b =a c −2.a.c.cosB . Fazendo de maneira análoga para os outros ângulos temos:
2
2
2
2
2
2
a =b c −2.b.c.cosA ; b =a c −2.a.c.cosB
e c 2=a 2b 2−2.a.b.cosC
conhecida como lei dos cossenos. Veja uma aplicação no exemplo seguinte.
2.4.2.7 Um terreno tem a forma de um triângulo conforme mostra o desenho. Determine:
a) o perímetro; b) a área.
A
x
20 m
120º
B
a) b 2=a 2c 2−2.a.c.cosB
⇒
2
C
30 m
2
2
x =a c −2.a.c.cosB
⇒
2
x =900400−1200. −0,5
23
⇒
2
x =1300600
2
⇒
x=± 1900 , por ser medida não usamos o
⇒
x =1900
valor negativo, então temos: x=  1900 , isto é,
43,58 metros. O perímetro é de 93,58 metros.
x=43,58 . Logo a medida b é igual a
203043,58=93,58 m.
b) Outro modo de encontrar a área é utilizar uma fórmula da trigonometria que é:
1
S= . b.c.sen , ou seja, a área é a metade do produto dos dois lados que formam o
2
ângulo. Os lados são 20 e 30 metros, e o ângulo formado pelos lados é de 120º.
Substituindo
1
3
S= .20.30. 
2
2
na
⇒
1
1
: S= .b.c.sen temos: S= .20.30. sen120º
2
2
fórmula
3
S=600 
4
⇒
S=150  3
S=150.1,73
⇒
S=259,5 m
⇒
2
.
Logo a área é de 259,5 m2 .
2.4.2.8 Determine a área de um jardim conforme mostra a figura a seguir.
A
10 m
B
a
b
c
=
=
senA senB senC
⇒
x
60º
60º
y
b
c
=
senB senC
⇒
C
x
10
=
sen60º sen60º
⇒
x=10 .
Não precisava ter usado a lei dos senos, bastava ter lembrado que a soma dos ângulos
internos de um triângulo é igual a 180º.
Então:  Â60º60º =180º
⇒
=180º .
Â120º=180º
⇒
Â=180º−120º
⇒
Â=60º .
Se os três ângulos são iguais, temos um triângulo equilátero. Logo y mede 10 metros
24
2 3
também. Aplicando a fórmula: S=l .
. Se o lado mede 10 metros, basta substituir o
4
2 3
lado 10 que encontraremos a área. S=10 .
4
Vamos resolver
agora aplicando a uma
⇒
3
S=100. 
4
⇒
S=25.  3 cm².
fórmula da trigonometria que é igual a
1
1
S= .b.c.sen .Substituindo esses valores na fórmula temos: S= .10.10. sen60º
2
2
1
3
S= .100. 
2
2
⇒
3
S=100 
4
⇒
⇒
S=25.  3 cm², que é o mesmo valor encontrado.
Se o triângulo for eqüilátero, a altura pode ser encontrada através do seno. Veja o
cálculo da altura do exemplo anterior.
sen60º =
h
10
⇒
3 = h
2
10
⇒
2. h=10  3
⇒
h=
10 3
2
⇒
h=5  3 cm.
2.4.3 Atividades propostas
2.4.3.1 Um terreno plano tem a forma de um triângulo retângulo. Um dos catetos mede 20
metros e a hipotenusa mede 25 metros. Qual é a área desse terreno?
2.4.3.2 Um terreno quadrado de 1024 m 2 está representado num desenho de 64
Qual é a escala utilizada no desenho?
2.4.3.3 O quadrado é um polígono regular. Sendo dado o valor do lado do quadrado.
a) Complete a tabela a seguir.
2
cm .
25
Lado
Perímetro
Área
x
2x
3x
4x
5x
6x
7x
8x
9x
10x
b) Há uma fórmula para determinar o perímetro do quadrado? Em caso afirmativo, qual é
a fórmula?
2.4.3.4 Um construtor pretende revestir uma sala retangular que tem 7 metros de
comprimentos por 6 de largura, utilizando cerâmicas quadradas de 25 centímetros de
lado. Quantas cerâmicas serão necessárias para revestir essa sala?
2.4.3.5 Represente sua sala de aula através de um desenho e calcule a área.
2.4.3.6 Um corretor de imóveis, e dono de uma imobiliária pediu a minha ajuda para
encontrar a área de dois terrenos que estão localizados na cidade de Curitiba.
a) Especificação do primeiro terreno: é plano e tem quatro lados, sendo os lados laterais
paralelos (formato de um trapézio convexo), com as respectivas medidas: 40 metros e 54
metros, e os demais, 15 metros e 13 metros.
b) Especificação do segundo terreno: é plano e tem seis lados (formato de um hexágono
irregular convexo) com as respectivas medidas: 85 metros, 110 metros, 90 metros, 65
metros, 50 metros e 125 metros.
2.4.3.7 A porta de uma igreja é formada por um quadrado de lado igual a 2 metros e um
semicírculo de diâmetro igual a 2 metros. Qual é a área da porta?
26
2.4.3.8 Um hexágono regular inscrito numa circunferência com diâmetro de 12
centímetros é o desenho da cabeça de um parafuso. Determine a área deste desenho.
2.4.3.9 No pátio do nosso colégio, próximo da quadra esportiva, estão marcados seis
pontos, os quais formam um hexágono convexo e irregular. Determine:
a) O seu perímetro.
b) A sua área.
c) Represente através de um desenho e escreva a escala utilizada.
Alguns comentários sobre a atividade proposta 2.4.3.6.b, é um problema que não
tem uma única solução, pois não foram dadas as medidas dos ângulos, mas mesmo
assim, isso passou despercebido em todos os grupos, pois não houve nenhum
comentário sobre a situação problema e foram encontrados valores diferentes.
Na atividade proposta 2.4.3.9, foi a mais interessante e ao mesmo tempo a mais
difícil de ser resolvida. Os pontos já estavam demarcados e a grande dificuldade
encontrada foi como transferir as medidas reais para o papel. Os alunos para medir os
lados do hexágono utilizaram trena e fita métrica, e perceberam que para desenhar o
hexágono real no papel precisavam de reduzir as medidas, isto é, transformar metro em
centímetro, e para saber isso, tinha que utilizar uma escala de 1:100, e transportar os
ângulos internos de cada vértice real para o papel, uma vez que os ângulos permaneciam
com as mesmas medidas. No momento de fazer as medidas dos ângulos houve alguns
grupos que utilizaram o transferidor; outro, o compasso e houve um grupo que cortou
papel com o tamanho do ângulo e utilizou para desenhar a superfície plana delimitada
pelo polígono. Depois de feito o desenho, transformou o hexágono em triângulos, mediu
os lados de todos os triângulos, utilizando a régua, um grupo utilizou a lei dos cossenos e
para achar as áreas dos triângulos aplicou o Teorema de Heron, e houve um grupo que
1
utilizou a fórmula da trigonometria. S= . b.c.sen .
2
27
2.4.4 Avaliação final
Conteúdo: área de superfície plana. As principais fórmulas. Quadrado: A = l.l ou l², sendo
l o lado. Retângulo: A = b.h, sendo b = base e h = altura. Paralelogramo: A = b.h .
Triângulo: A=
b.h
D. d
. Losango: A=
, sendo D = diagonal maior e d = diagonal menor;
2
2
Trapézio: A=
 B+b. h
, sendo B = base maior e b = base menor. Círculo: A=π . r 2
2
(use π = 3,14). Triângulo equilátero: A=
l2.3
sendo l o lado.
4
Em cada questão, há somente uma alternativa correta. Marque com x a alternativa
correta.
2.4.4.1 A área de uma sala quadrada de 9 metros de lado é:
a) 81
b) 121
c) 144
d) 169
2.4.4.2 A área de um terreno de forma quadrada é 400 m² . O seu perímetro em metros é:
a) 32
b) 20
c) 24
d) 80
2.4.4.3 Uma quadra esportiva tem a forma de um retângulo de 20 metros por 30 metros.
A área dessa quadra em m² é:
a) 240
b) 360
c) 420
d) 580
2.4.4.4 A área de um triângulo de base igual a 20 metros e altura igual a 35 metros, em
metros quadrados é:
a) 400
b) 350
c) 300
d) 250
2.4.4.5 Uma praça tem a forma de um losango, as suas diagonais são 50 metros e 30
metros. A área dessa praça em m² é:
28
a) 500
b) 600
c) 700
d) 750
2.4.4.6 O piso de um barracão tem o formato de um trapézio, as bases medem 10 metros,
14 metros e a altura 10 metros. A área desse trapézio em m² é:
a) 72
b) 96
c)120
d) 144
2.4.4.7 O círculo central de um campo de futebol tem diâmetro de 5 metros. A área em m²
do círculo central é de:
a) 13,04
b) 15,86
c) 19,62
d) 25,34
2.4.4.8 O piso dessa sala de aula é retangular, e tem 9 m de comprimento e 8 metros de
largura, foi revestida com cerâmicas quadradas de 20 cm de lado. A quantidade
necessária de cerâmica para fazer o revestimento é:
a) 1800
b) 1700
c) 1600
d) 1500
2.4.4.9 O perímetro de um triângulo equilátero é de 18 metros. A sua área em m² é:
a) 25  3
b) 36  3
2.4.4.10 O número de
c) 42  3
peças quadradas
d) 64  3
de 20 centímetros de lado que podemos
confeccionar com 1 metro quadrado é de:
a) 18
b) 16
c) 20
d) 25
Feita a correção dessa avaliação foi verificado que a média geral da turma por
acertos subiu de 6,3 para 9,1. A seguir temos a tabela 4, contendo somente o número de
questões em porcentagem que os alunos que acertaram.
29
Acertos
Alunos (%)
1
0
2
0
3
0
4
0
5
0
6
4
7
4
8
8
9
46
10
38
tabela 4
E a seguir temos a tabela 5, o número de questões que os alunos acertaram em
porcentagem.
Questão
Alunos/acertos (%)
1
100
2
93
3
100
4
90
5
92
6
81
7
74
8
85
9
96
10
96
Tabela 5
3 Conclusão
Foram utilizadas dez aulas no total para a realização e aplicação desse estudo,
incluindo as duas avaliações, e ficou constatado que o assunto sobre área de superfície
plana deve ser retomado no primeiro ano do ensino médio na disciplina de Matemática, e
30
de preferência utilizando um material didático específico e uma metodologia diferenciada
com material manipulável, como também utilizando régua, fita métrica, trena, compasso,
transferidor para realizar as devidas medidas e construir o desenho de pelo menos uma
superfície plana concreta, e determinar a sua área, oportunizando ao educando perceber
a importância de saber manipular e utilizar corretamente esses instrumentos.
A grande maioria dos alunos concluíram que para aplicar os conhecimentos
matemáticos em uma situação problema do nosso dia a dia precisam conhecer vários
conceitos, fórmulas e algoritmos, e estabelecer essas conexões é uma tarefa bastante
complexa, mas motivadora e desafiadora, e que foi muito gratificante. Infelizmente houve
aproximadamente 4% dos alunos que não estavam comprometimento no processo ensino
aprendizagem, ficaram alheios a tudo e participaram muito pouco.
Foi verificado que houve uma melhora significativa na aprendizagem da disciplina
de Matemática após a realização deste estudo, e que deve ser seguido e aperfeiçoado
nas próximas aplicações, e se for feito isso no ensino fundamental vai favorecer, e muito,
o trabalho do professor que atua no ensino médio.
Sabemos que ensinar a resolver problemas é uma tarefa muito mais difícil e
complexa do que ensinar conceitos, algoritmos e equações. Quando o professor está
ensinando conceitos, algoritmos e equações tem a postura de um instrutor, explica
passo a passo, de como fazer. Mas isso não ocorre na resolução de problemas, o
professor deve funcionar como incentivador e moderador das ideias geradas pelos
próprios alunos. Nesse caso, os alunos participam ativamente das aulas na disciplina de
Matemática, e não ficam passivamente observando o professor explicar o conteúdo. No
método tradicional, o professor mostra e resolve equações, algoritmos e problemas com
base na expressão é assim que se faz. No chamado método heurístico, o professor
encoraja o aluno a pensar por si mesmo, a levantar suas próprias hipóteses e a testá-las,
a discutir com seus colegas como e por que aquela maneira de fazer funciona.
O estudo sobre áreas de superfícies planas, o professor não pode perder a grande
oportunidade de fazer aplicações práticas do nosso cotidiano, mostrando aos seus alunos
para que serve o ensino da disciplina de Matemática.
Enfim, o professor de Matemática tem um papel muito importante que é de manter
os alunos motivados, auxiliando no momento que vão surgindo suas dúvidas, para que
percebam a importância de estudar essa disciplina.
31
4 Referências
BIGODE, Antonio J. Lopes. Matemática hoje é feita assim. São Paulo: FTD, 2000.
BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais:
2.Matemática: Ensino de quinta a oitava séries. Brasília: MEC/SEF, 1998.
D' AMBROSIO, Ubiratan. Etnomatemática. Belo Horizonte: Autêntica, 2005.
DANTE, L.R. Didática da Resolução de Problemas de Matemática. São Paulo: Ática,
2007.
FONSECA, Maria da Conceição F. R. Educação Matemática de Jovens e Adultos. Belo
Horizonte: Autêntica, 2005.
FREIRE, P. Pedagogia da Autonomia: saberes necessários à prática educativa. 38ª ed.
São Paulo: Paz e Terra, 1996.
GUELLI, Oscar. A invenção dos números. São Paulo: Ática, 1997.
MACHADO, N.J. Matemática e Realidade. São Paulo: Cortez, 1991.
PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Educação
Básica. Curitiba, 2008.
POLYA, G. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: Interciência, 2006.
SMOLE, K. S. Ler, escrever e resolver problemas: habilidades básicas para aprender
matemática. Porto Alegre: Artmed, 2001.
SECRETARIA DE ESTADO DA EDUCAÇÃO – SEED
SUPERINTENDENCIA DA EDUCAÇÃO – SUED
DIRETORIA DE POLÍTICAS E PROGRAMAS EDUCACIONAIS - DPPE
PROGRAMA DE DESENVOLVIMENTO EDUCACIONAL – PDE
Av. Água Verde, 2140 – CEP 80240-900 – Curitiba – Paraná
PARECER DO TRABALHO FINAL PDE
PROFESSORES PDE
1. IDENTIFICAÇÃO
INSTITUIÇÃO DE ENSINO SUPERIOR : UTFPR
PROFESSOR ORIENTADOR IES: LUIZ ROBERTO CALLIARI
PROFESSOR PDE: ANONIO LEODIR DE OLIVEIRA
NRE : CURITIBA
ÁREA/DISCIPLINA : MATEMÁTICA
TÍTULO DO ARTIGO : RESOLUÇÕES DE PROBLEMAS CONTEXTUALIZADOS SOBRE ÁREAS
DE SUPERFÍCIE PLANAS.
2. CRITÉRIOS DE ANÁLISE
O professor orientador deverá emitir parecer com base nos seguintes critérios:
* Relação do artigo com os desafios da Educação Básica na atualidade.
* Relação do artigo com área/disciplina de atuação do Professor PDE.
* Fundamentação teórica consistente.
* Existência de articulação entre a fundamentação teórica e o objeto de estudo.
* Contribuição do trabalho para a Educação Pública Paranaense.
* Adequação do texto à forma de artigo científico
* Adequação do texto à norma culta da Língua Portuguesa.
3. PARECER CONCLUSIVO
( X ) Sou de parecer favorável quanto ao conteúdo, forma e adequação do texto à norma
culta da Língua Portuguesa para fins de publicação.
(
) Sou de parecer desfavorável*
Curitiba, 13/ 06 / 2011
Local, data
( Assinado )
Assinatura do Professor Orientador
*Preenchimento obrigatório da justificativa - item 4.
4. JUSTIFICATIVA
Atualmente a corrente pedagógica mais aceita entre os educadores é a de que deve-se
contextualizar os conteúdos das disciplinas, para que o aluno tenha mais interesse pelos
mesmos, facilitando assim o aprendizado. E na Matemática esta interação entre ela e o
cotidiano das pessoas tem demostrado mais eficácia no aprendizado, pois o aluno sabendo
onde pode aplicar o que está estudando, se interessa mais pela disciplina. Portanto este
trabalho sobre o estudo de áreas de polígonos tem grande aplicação na vida prática, pois
ensina a calcular área de figura plana. Isto faz com que este trabalho satisfaça os objetivos
propostos pelo PDE, que é a melhoria do ensino – aprendizagem. Por isso somos de parecer
favorável, que o artigo apresentado pelo Professor Antonio Leodir de Oliveira sobre
Resoluções de Problemas Contextualizados Sobre Áreas de Superfícies Planas, muito
contribuirá para o ensino da Matemática nas Escolas Públicas do Paraná.
Curitiba, 13 / 06 / 2011
Local, data
( Assinado )
Assinatura do Professor Orientador