INFINITO
Infinito em Matemática e
Física – Aspectos
Conceituais e Históricos
Ronaldo Thibes
Princípio de Contagem
Enumerabilidade
Conceito de Infinitésimo
“Espaço Físico” - Finito ou Infinito?
DEBI / UESB
Itapetinga, março de 2013
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Princípio de Contagem
Princípio de Contagem
Contar, um conjunto finito” de objetos, é
estabelecer uma bijeção com um subconjunto
finito de lN.
Giuseppe Peano (27 August 1858 – 20 April 1932)
Dizemos que um conjunto de objetos é finito
quando existe uma bijeção do mesmo com um
subconjunto finito dos naturais.
Se existir uma aplicação injetiva de lN sobre
um conjunto C, o mesmo é dito infinito.
Ou ainda, um conjunto é infinito se existir uma
bijeção entre o mesmo e um subconjunto
próprio.
Axiomas de Peano
Versão de Hofstadter (1979):
- Jeannie é um gênio.
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Princípio de Contagem
Princípio de Contagem
Axiomas de Peano
Axiomas de Peano
Giuseppe Peano (27 August 1858 – 20 April 1932)
Arithmetices Principia: Nova Methodo Exposita (1889)
Versão de Hofstadter (1979):
1 é um número.
- Jeannie é um gênio.
Se n é um número, o sucessor de n é um número.
- Todo gênio tem um meta (que também é um gênio).
1 não é sucessor de nenhum número.
- Jeannie não é meta de nenhum gênio.
Dois números com iguais sucessores são iguais entre si.
(A função sucessor é injetiva.)
Se um conjunto S de números contém 1 e também o
sucessor de todo número em S, então todo número está
em S.
- Gênios diferentes possuem diferentes metas.
- Se Jeannie tem X, e cada gênio repassa X para seu
meta, então todos os gênios recebem X.
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Enumerabilidade
Os racionais são enumeráveis?
Georg Ludwig Cantor (1845 – 1918)
1/1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 …
Um conjunto é dito enumerável, quando pode
ser colocado em bijeção com um subconjunto
dos naturais lN.
2/1 2/2 2/3 2/4 2/5 2/6 ...
3/1 3/2 3/3 3/4 3/5 3/6 …
Exemplos:
4/1 4/2 4/3 4/4 4/5 4/6 ...
naturais, inteiros enumeráveis
reais, complexos não-enumeráveis
E os reais?
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Conceito de Infinitésimo
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Zenão de Elea (490 BC – 430 BC)
Arquimedes de Siracusa (287 BC – 212 BC)
Sir Isaac Newton (1643 – 1727)
Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646 – 1716)
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Conceito de Infinitésimo
Conceito de Infinitésimo
Zenão de Elea (490 BC – 430 BC)
O Problema do Contínuo
Qual reta possui a maior quantidade de pontos?
1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + … = ?
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Conceito de Infinitésimo
Espaço Físico – Finito ou Infinito?
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O que é espaço físico” ?
Uma esfera de raio r, é finita ou infinita?
Quantas ”dimensões tem o universo”?
Será que ”vivemos no lR³ ” ?
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Referências
Gödel, Escher, Bach an Eternal Golden Braid
Douglas R. Hofstadter
Cálculo 1 – L. P. M. Maia
A Mathematician's Apology, G. H. Hardy
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