Conserv. Momentum Angular
Conservação da Quantidade
de Movimento Angular
(ou Momentum Angular)
Nota
Alguns slides, figuras e exercícios pertencem às seguintes referências:
 HALLIDAY, D., RESNICK, R., WALKER, J. Fundamentos da Física. V 1. 4a.Edição. Ed. Livro Técnico Científico S.A. 2002;
 TIPLER, P. A.; MOSCA, G. Física. Volume 1, 5a Ed, Rio de Janeiro: LTC - Livros Técnicos e Científicos, 2006;
 da Silva, E. Z, et al., “Curso de Física Geral F-128”;
1
Conserv. Momentum Angular
Momentum angular
Considere uma partícula de massa m,
movendo-se com momentum linear p,
conforme figura ao lado. Se a sua posição em
relação à origem for r, então a quantidade de
movimento angular, ou momentum angular
L, será
L  r  p  rpsen nˆ  rmvsen nˆ
onde  é o ângulo entre r e p, e n é o vetor unitário com a orientação de L.
Como o torque, o momentum angular também é definido em
relação a um ponto do espaço.
Se r e p estiverem sobre o plano xy, então L será paralelo ao eixo z. Assim,
L  rmvsen kˆ
2
Conserv. Momentum Angular
Momentum angular



L

r
O
Considere uma partícula, de massa m,
girando no plano xy, em torno do
centro, que está na origem do sistema
de coordenadas.
   

L  r  p  r  mv  rmvsen900 kˆ
ẑ
ŷ

p
x̂
Fazendo v = rω, teremos


2
2 
ˆ
L  r mk  mr   I


L  I
onde I = mr2 é o momento de inércia da partícula, em relação à
origem O.
3
Momentum angular
Conserv. Momentum Angular
ẑ

Considere agora que o movimento seja
analisado em relação a uma outra origem sobre
o eixo z.
O momentum angular L’ não será paralelo ao
vetor velocidade angular ω.
ẑ
1


L2

L

L1

L'
O’

p

r
ŷ
x̂
Porém, se somarmos o momentum angular de duas ou
2
mais partículas de mesma massa, que estejam sobre o
mesmo eixo girante, dispostas simetricamente, veremos
que esta soma volta a ser paralela à velocidade angular
e será dada por


 O’   ŷ
L  L1  L2
x̂
Lsis  I sis
Este resultado é válido para qualquer sistema de
partículas ou corpo que gire em relação a um eixo
de simetria.
4
Conserv. Momentum Angular
Momentum angular
Considere que um disco esteja girando
em torno de um eixo paralelo a seu eixo
de simetria a uma distância h deste
eixo. O momentum angular dL da iésima partícula em relação ao ponto O’
será dado por
   

o ˆ
2
dL  r 'dp  r 'dmv  r ' vdmsen 90 k  r ' dmkˆ
v = r’ω
Somando para todas as partículas do disco, teremos

L   r '2 dmkˆ 



ˆ
 r ' dm k  I '
2
onde I’ é o momento de inércia do disco em torno do eixo O’.
5
Conserv. Momentum Angular
Momentum angular
Do teorema dos eixos paralelos, sabemos que
I '  I cm  Mh
2
Assim,


2 
2 ˆ
ˆ
L  I '   ( I cm  Mh )  I cmk  Mh k
 
L  Lcm  Mvcm hkˆ
onde vcm = hω é a velocidade do CM; Lcm é o momentum angular em torno do
CM; e Mvcmhk é o momentum angular relativo a O’ para uma partícula de
massa M movendo-se com a velocidade vcm.
Lcm também é conhecido como momentum angular rotacional, Lrot, e Mvcmhk
é conhecido como momentum angular orbital, Lorb, e pode ser escrito da
forma Lorb = rcm x Mvcm, onde rcm é a posição do CM em relação a O’. Ou seja,
 




L  Lrot  Lorb  Lrot  rcm  Mvcm
6
Conserv. Momentum Angular
Considere o movimento da Terra em torno do Sol.
Podemos decompor o momentum angular total da
Terra em relação ao Sol, em suas componentes
orbital e de rotação, ou seja



LTerra  Lorb  Lrot

 
Lorb  rcm  pcm
Sol

rcm

Lrot

Lrot

pcm
Terra
Nota: Lrot sofre um movimento de precessão devido à ação do torque gravitacional
da Lua sobre a Terra. O período de precessão da Terra é de aprox. 26.000 anos.
7
Conserv. Momentum Angular
2ª Lei de Newton para Movimentos Angulares
Para uma partícula:
  

 
L  r  p e  res  r  Fres



dL d  
dr   dp
 (r  p) 
 pr
dt dt
dt
dt



dL    dp  dp
v pr
r
dt
dt
dt
zero!

Fres


dL
 res 
dt
8
Conserv. Momentum Angular
2ª Lei de Newton para Movimentos Angulares
Para um sistema de partículas, o torque resultante será a soma
dos torque individuais, ou seja



res,i
i
 dLsis
dL i d

  Li 
dt
dt i
dt
i
Como a soma dos torques internos é nula, teremos


dLsis
 res,ext 
dt
Esta equação é o análogo rotacional da equação
Fres,ext = dp/dt do movimento linear
Integrando, em ambos os lados, a relação acima, teremos
t2

Lsis    res,extdt
t1
Relação Impulso - Momentum Angular
9
Conserv. Momentum Angular
Exemplo
Exercício 52 – Cap. 10, Tipler, 5ª Ed.
Sugestão: Considere a força F feita por cada jato
como sendo
 dm 
F 
 v
 dt ej
onde (dm/ dt)ej é a massa de gás por unidade de
tempo ejetada de cada jato.
10
Exemplo
Conserv. Momentum Angular

 res

  const.

L
dL res

 res 
dt
t
t 
L
 res

I
 res
Obs: não é necessário manter a notação vetorial, uma vez que os vetores envolvidos
estão todos sobre o mesmo eixo, o que torna este problema unidimensional.
A soma dos torques devido à força F dos dois jatos será
 res  2(rFt )  2 RF
Da sugestão,
Teremos
Torque contrário ao movimento
de rotação - negativo.
 dm 
F 
 v
 dt ej
t 
I
 res
I  i 


 2 RF
Ii
 52,4s
 dm 
2 R
 v
 dt ej
onde todas as grandezas devem ter suas unidades em SI.
11
Cálculo do torque em relação a um
eixo específico ẑ
 
 z  F Fz
Considere a situação proposta na figura ao
rrad 
lado. A força F produz um toque τ em relação
Fxy

à origem O. O torque relativo ao eixo z τz será
rz


r
 
 z  rrad  Fxy
ẑ
Conserv. Momentum Angular

Lz 

p
rrad

rz

pz

p xy
ŷ
x̂
Da mesma forma, o momentum angular em
relação ao eixo z, será

r
O
O
 

Lz  rrad  pxy
ŷ
x̂
12
Cálculo do torque em relação a um
eixo específico
 


 
Lz  rrad  pxy
 z  rrad  Fxy
Conserv. Momentum Angular

 res ext, z 

dLsis , z
dt


Para um corpo rígido, girando em torno do eixo z, teremos Lsis , z  I z
onde Iz é o momento de inércia relativo ao eixo z. Assim,


dLsis , z d


d
 res ext, z 
 ( I z )  I z
dt
dt
dt


 res ext, z  I z
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Conserv. Momentum Angular
Conservação do Momentum Angular


dLsis
 res ext 
dt
Se τres,ext for nulo, então

dLsis
0
dt

Lsis  constante
Ou seja, o momentum angular total de um sistema deve
se conservar se o torque externo resultante for nulo.
Esta é uma lei fundamental da natureza e é válida mesmo em situações
onde a mecânica newtoniana não seja válida.
14
Conserv. Momentum Angular
Conservação do Momentum Angular
No sistema homem - halteres só há forças internas e, portanto,
L  I  const.
i
Ii

I ii  I f  f
If
f
15
Conserv. Momentum Angular
Exemplo
Calcule a velocidade angular final do homem (+ banco) após ele
inverter o eixo de rotação da roda de bicicleta (ver figura).
Considere Ibic = 1,2 Kg.m2, Ih = 6,8 kg.m2 e ωi = 3,9 rot/s.
Momento angular inicial do sistema
roda de bicicleta + homem (+ banco)
Li  Lbic  I bici
Após inversão do eixo de rotação da
roda de bicicleta
Lbic   Li
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Conserv. Momentum Angular
Exemplo
Momento angular final do sistema
L f  Lbic  Lh  Lh  Li
Conservação do momento angular
pois só há forças internas no sistema
L f  Li  Lh  Li  Li
 Lh  2 Li
I homem  2Ii
2 Ii

1,4 rot / s
Ih
17
Conserv. Momentum Angular
Exemplo
Analise o movimento da mergulhadora, com relação à conservação
do momento angular.
Como a força gravitacional possui uma componente
tangencial ao movimento da mergulahdora, o
momento angular total não se conserva, ou seja,


dL 
 ext   gravit  0
dt
Mas, em relação ao referencial do CM, teremos
dL
 
 
  ri   Fi   mi ri   g  0

dt
i
i



dL
 0  L  const .
 Mr 'cm  0 
dt
Ou seja, o movimento da mergulhadora é tal que conserve o
momento angular em relação ao CM e, como já foi visto, o CM segue
o movimento parabólico sob a ação da gravidade.
18
Conserv. Momentum Angular
Exemplo
Exercício 66 – Cap. 10, Tipler, 5ª Ed.
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Conserv. Momentum Angular
Sistema: bola+Terra
Fres,ext  0
Conservação energia mecânica:
onde Ki e Ui são as energias cinética e potencial do sistema bola-Terra
quando a bola está a uma altura h, e Kf e Uf são as energias
imediatamente antes da colisão. Fazendo Ki = Uf = 0, teremos
Sistema: barra+bola
 res,ext  0
Conservação momentum angular:
onde Li é o momentum angular imediatamente antes da colisão e Lf,
imediatamente após a colisão.
20
Conserv. Momentum Angular
Pião
Movimento precessional uniforme
O pião gira em torno de um eixo de
simetria com momento angular Ls.
PRECESSÃO: movimento do eixo de
simetria em torno da direção vertical, no
mesmo sentido que a rotação, descrevendo
um cone cujo vértice está na ponta estreita
do pião, que repousa na origem das
coordenadas.
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Conserv. Momentum Angular
Pião
Movimento precessional uniforme
O movimento de precessão faz com que o
centro de massa do pião gire em torno do
eixo
vertical,
criando
um
momento
angular Lp.



Ltotal  Lem relação ao CM  Ldo CM
Ou seja,

 
Ltotal  Ls  Lp
22
Pião
Conserv. Momentum Angular
Movimento precessional uniforme
Quando o pião inicia seu movimento,
temos apenas seu movimento em torno do
eixo de simetria com momento angular Ls.
A única força que atua sobre o pião é a
força gravitacional que produz um torque
dado por



  r  Mg
Pela regra da mão direita, vemos que o
torque
será
aplicado
na
direção
perpendicular ao momento angular Ls.
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Pião
Conserv. Momentum Angular
Movimento precessional uniforme
Tanto o torque quanto o momento angular,
são calculados em relação a uma mesma
origem, que é fixa num sistema de
coordenadas inercial. Assim, a forma
rotacional da lei de Newton se aplica, ou
seja

 dL
 
dt
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Conserv. Momentum Angular
Pião
Movimento precessional uniforme

 dL
 
dt
Como o torque é perpendicular ao momento angular
Ls, então a variação do momento angular dL também
será.
Assim, como no caso da força centrípeta, neste caso, o
torque possui a função de variar a direção do momento
angular, mantendo seu módulo constante: pião entra
em precessão!
25