Universidade Federal do Oeste da Bahia
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Sugestões de Problemas: Unidade X – Rolamento e Momento Angular
IAD221 – Fı́sica Geral e Experimental I - A - Turma: T01
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1. Um automóvel a 80,0 km/h tem penus de 75,0 cm de diâmetro.
(a) Qual a velocidade angular dos penus em torno dos eixos das rodas?
(b) Se o carro for levado ao repouso uniformemente em 30,0 voltas completas dos pneus
(sem derrapar), qual a intensidade da aceleração angular das rodas?
(c) Que distância o carro ainda percorre durante a frenagem?
2. Um aro de 140 kg rola em um piso horizontal de tal forma que o seu centro de massa possui
uma velocidade de 0,150 m/s. Qual o trabalho que deve ser realizado sobre o aro para
pará-lo?
3. Um carro de 1000 kg possui quatro rodas de 10 kg. Quando o carro está se movendo, que
parcela da energia cinética total do carro se deve à rotação das rodas em torno dos seus
eixos? Suponha que as rodas tenham a mesma inércia à rotação que discos uniformes de
mesma massa e mesmo tamanho. Por que não é necessário o raio das rodas?
4. Uma esfera sólida uniforme rola para baixo de um plano inclinado.
(a) Qual deve ser o ângulo de inclinação paa que a aceleração linear do centro da esfera
tenha uma intensidade de 0,10 g?
(b) Se um bloco sem atrito tivesse que deslizar para baixo do plano inclinado nesse ângulo,
a intensidade da sua acelração seria maior, menor ou igual a 0,10 g? Por quê?
5. Uma bola sólida parte do repouso na extremidade superior da pista mostrada na Figura 1 e
Figura 1: Problema 5
1
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rola sem deslizamento até rolar para fora da extremidade direita. Se H = 6, 0 m e h = 2, 0 m
e a pista for horizontal na extremidade direita, a que distância horizontal do ponto A a bola
aterrissa sobre o piso?
6. Uma pequena bola de gude sólida de massa m e raio r rolará sem deslizar ao longo da pista
com um loop no fim, mostrada na Figura 2, se ela for solta do repouso em algum ponto sobre
a seção reta da pista.
Figura 2: Problema 6
(a) De que altura h acima do ponto mais baixo da pista deve ser solta a bola de gude para
que ela esteja na iminência de se separar da pista no ponto mais alto do loop? (O raio
do loop é R; suponha que R r.)
(b) Se a bola de gude for solta da altura 6R acima do ponto mais baixo da pista, qual será
a componente horizontal da força que age sobre ela no ponto Q?
7. Um ioiô tem uma inércia à rotação de 950 g· cm2 e uma massa de 120 g. O raio do seu eixo é
igual a 3,2 mm, e seu cordão possui 120 cm de comprimento. O ioiô rola a partir do repouso
para baixo até o fim do cordão.
(a) Qual a intensidade da sua aceleração linear?
(b) Quanto tempo leva para atingir o fim do cordão?
(c) Ao atingir o fim do cordão, qual a sua velocidade linear, energia cinética de translação,
energia cinética de rotação e velocidade angular?
8. Mostre que, se ~r e F~ pertencem a um dado plano, o torque ~τ = ~r × F~ não possui nenhum
componente nesse plano.
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9. Qual a intensidade, a direção e o sentido do torque em torno da origem sobre uma ameixa
localizada nas coordenadas (-2,0 m, 0, 4,0 m) devido à força F~ cuja única componente é
(a) Fx = 6, 0 N
(b) Fx = −6, 0 N
(c) Fz = 6, 0 N
(d) Fz = −6, 0 N
10. A força F~ = (2, 0 N)ı̂ − (3, 0 N)k̂ atua sobre um seixo com vetor posição ~r = (0, 5 m)̂ −
(2, 0 m)k̂, em relação à origem. Qual o torque resultante que age sobre o seixo em torno
(a) da origem, e
(b) de um ponto com coordenadas (2, 0 m, 0, −3, 0 m)?
11. Dois objetos estão se movendo como mostrado na Figura 3. Qual o momento angular total
dos dois objetos em torno do ponto O?
Figura 3: Problema 11
12. Na Figura 4, uma partı́cula P com massa igual a 2,0 kg possui um vetor posição ~r de módulo
Figura 4: Problema 12
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igual a 3,0 m e uma velocidade ~v de intensidade 4,0 m/s. Uma força F~ de intensidade igual
a 2,0 N atua sobre a partı́cula. Todos os três vetores pertencem ao plano xy, conforme
mostrado na figura. Determine
(a) a quantidade de movimento angular da partı́cula em torno da origem.
(b) o torque atuando sobre a partı́cula em torno da origem.
13. Um objeto de 2,0 kg, que pode ser tratado como uma partı́cula, desloca-se em um plano com
componentes de velocidade vx = 30 m/s e vy = 60 m/s ao passar pelo ponto com coordenadas
(x, y) de (3,0;-4,0) m. Exatamente neste instante, qual o seu momento angular em relação
(a) à origem,
(b) ao ponto (−2, 0; 2,0) m?
14. Uma partı́cula de 3,0 kg com velocidade ~v = (5, 0 m/s)ı̂ − (6, 0 m/s)̂ está em x = 3, 0 m,
y = 8, 0 m. Ela é puxada por uma força de 7,0 N no sentido negativo do eixo x.
(a) Qual o momento angular da partı́cula em torno da origem?
(b) Qual o torque em torno da origem que age sobre a partı́cula?
(c) Qual a taxa com que o momento angular da partı́cula está variando com o tempo?
15. No tempo t = 0, uma partı́cula de 2,0 kg tem o vetor posição ~r = (4, 0 mı̂ − (2, 0 m)̂ em
relação à origem. A sua velocidade neste mesmo instante é dada por ~v = (−6, 0t2 m/s)ı̂.
Qual
(a) o momento angular da partı́cula e
(b) o torque que atua sobre a partı́cula, ambos em torno da origem e para t > 0?
(c) Repita os itens (a) e (b) em torno de um ponto com coordenadas (−2, 0 m, −3, 0 m, 0)
em vez da origem.
16. Três partı́culas, cada uma de massa m, estão presas umas às outras e a um eixo de rotação
O por três cordas de massa desprezı́vel, cada uma com comprimento d como mostrado na
Figura 5. O conjunto gira ao redor do eixo de rotação com velocidade angular ω de tal forma
que as partı́culas permanecem em uma linha reta. Qual
(a) a inércia à rotação do conjunto,
(b) o momento angular da partı́cula intermediária e
(c) o momento angular total das três partı́culas?
Expresse a resposta dos itens (a), (b) e (c) em termos de m, d e ω e em relação ao ponto O.
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Figura 5: Problema 16
17. Um homem está em pé sobre uma plataforma que gira (sem atrito) com uma velocidade
angular de 1,2 voltas/s; seus braços estão abertos e ele segura um tijolo em cada mão. A
inércia à rotação do sistema formado pelo homem, tijolos e a plataforma em torno do eixo
central é igual a 6,0 kg·m2 . Se ao mover os tijolos o homem reduz a inércia à rotação do
sistema para 2,0 kg·m2 ,
(a) qual a intensidade da velocidade angular resultante da plataforma e
(b) qual a razão entre a nova energia cinética do sistema e a energia cinética original?
(c) O que forneceu a energia cinética adicional?
18. Dois discos são montados sobre rolamentos de baixo atrito em cima do mesmo eixo mecânico
e podem ser aproxiamdos a fim de serem acoplados e girarem como uma unidade. O primeiro
disco, com inercia à rrotação de 3,3 kg·m2 em torno do seu eixo central, é posto para girar a
450 rpm. O segundo disco, com inércia à rotação de 6,6 kg·m2 em torno do seu eixo central,
é posto para girar a 900 rpm no memso sentido que o primeiro. Eles são então acoplados.
(a) Qual a velocidade angular dos discos após o acoplamento?
(b) Se, em vez disso, o segundo disco é posto para girar a 900 rpm no sentido contrário à
rotação do primeiro disco, qual o módulo da velocidade angular dos discos e o sentido
de rotação após o acoplamento?
19. Uma pista de trenzinhos é montada em cima de uma roda grande que pode girar livremente
com atrito desprezı́vel em torno de um eixo vertical (Figura 6). Um trem de brinquedo de
Figura 6: Problema 19
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massa m é colocado na pista e, com o sistema inicialmente em repouso, liga-se a corrente
elétrica. O trem alcança uma velocidade constante v em relação à pista. Qual a intensidade
da velocidade angular da roda se a sua massa for M e o seu raio for R? (Trate a roda como
um aro, e despreze a massa dos raios e do cubo da roda.)
20. Uma menina de massa M está em pé na beirada de um carrossel sem atrito de raio R e
inércia à rotação I que não está se movendo. Ela joga uma pedra de massa m na horizontal
em uma direção que é tangente à borda externa do carrossel. A velocidade da pedra, em
relação ao chão, é v. Posteriormente, qual
(a) o módulo da velocidade angular do carrossel, e
(b) o módulo da velocidade linear da menina?
21. Uma bala de 1,0 g é disparada para dentro de um bloco de 0,50 kg que está preso na
extremidade de uma haste não-uniforme com 0,60 m de comprimento e 0,50 kg de massa. O
sistema bloco-haste-bala gira então em torno de um eixo fixo no ponto A. A inércia à rotação
da haste sozinha em torno de A é igual a 0,060 kg·m2 . Suponha que o bloco seja pequeno o
bastante para ser tratado como partı́cula na extremidade da haste.
(a) Qual a inércia à rotação do sistema bloco-haste-bala em torno do ponto A?
(b) Se a velocidade angular do sistema em torno de A imediatamente após o impacto da bala
for igual a 4,5 rad/s, qual será a velocidade da bala imediatamente antes do impacto?
22. A partı́cula de massa m da Figura 7 desce uma altura h deslizando pela superfı́cie lisa e colide
Figura 7: Problema 22
com a haste vertical uniforme (de massa M e comprimento d), ficando grudada nela. A haste
gira em torno do ponto O de um ângulo θ antes de parar momentaneamente. Encontre θ.
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23. Um cilindro uniforme maciço tem massa m e R como mostra a Figura 8. O cilindro é
acelerado por uma força T~ que é aplicada por uma corda enrolada a um tambor leve de raio
r ligado ao cilindro. O coeficiente de atrito estático é suficiente para o cilindro rolar sem
deslizar.
Figura 8: Problema 23
(a) Determine a força de atrito em termos de m e/ou g e/ou r e/ou R e/ou T .
(b) Determine a aceleração do centro do cilindro em termos de m e/ou g e/ou r e/ou R
e/ou T .
Dado: o momento de inércia do cilindro é igual a 21 mR2
24. A Figura 9 mostra uma barra uniforme de comprimento d e massa M rotulada em sua
Figura 9: Problema 24
extremidade superior.
A barra, que está inicialmente em repouso, é atingida por uma
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partı́cula de massa m no ponto x = 0, 8d abaixo da rótula. Admita que a partı́cula fique
agregada à barra. Mostre que a velocidade v da partı́cula de modo que o ângulo máximo
entre a barra e a direção vertical seja θ é
s
v=
8
5M
+
6m
5
5M
+ 1 (1 − cos θ) gd
8m
Dados:
• o momento de inércia de uma barra fina, de massa M e comprimento L, em torno de
uma linha perpendicular que passa pela sua extremidade é
I=
1
M L2
3
• o momento de inércia de uma barra fina, de massa M e comprimento L, em torno de
uma linha perpendicular que passa pelo centro é
I=
1
M L2
12
25. A Figura 10 mostra um cilindro uniforme de massa m1 e raio R é pivotado em um eixo sem
atrito. Uma corda de massa desprezı́vel, enrolada em torno do cilindro, está conectada a um
bloco de massa m2 que está sobre um plano inclinado de um ângulo θ isento de atrito, como
mostrado na figura abaixo. O sistema é abandonado do repouso com m2 posicionado a uma
altura h acima da base do plano inclinado. Em termos das variáveis do enunciado:
Figura 10: Problema 25
(a) determine a aceleração do bloco e a tração da corda.
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(b) determine a energia total do sistema cilindro-bloco-Terra quando o bloco está na altura
h e a energia total do sistema quando o bloco está na base do plano inclinado.
(c) resolva o item (a) para os casos extremos de θ = 0◦ , θ = 90◦ e m1 = 0.
26. Uma barra uniforme de comprimento L e massa M = 3m é apoiada por um mancal em uma
de suas extremidades e está livre para girar no plano vertical conforme mostra a Figura 11.
A barra é solta a partir do repouso na posição mostrada. Uma partı́cula de massa m é
suportada por um fio fino de massa desprezı́vel também de comprimento L que é preso ao
mancal. Com o contato, a partı́cula fica agregada à barra, e após a colisão a barra continua
girar até um ângulo máximo θ.
Figura 11: Problema 26
(a) Mostre que o ângulo máximo atingido pelo sistema é
θ = arccos
7
10
≈ 45, 57◦
(b) Mostre que a energia dissipada durante a colisão é
|∆E| =
3
mgL
4
Dado: O momento de inércia de uma barra fina em torno de uma linha perpendicular que
1
passa pelo seu centro é I =
M L2 , e o momento de inércia de uma barra fina em torno de
12
1
uma linha perpendicular que passa pela sua extremidade é I = M L2 .
3
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27. Uma bola é presa a uma extremidade de um pedaço de fio inextensı́vel. Você segura a outra
extremidade do fio e gira a bola descrevendo um cı́rculo em torno da sua mão.
(a) Se a bola move-se a uma velocidade escalar constante, o seu momento linear p~ é constante?
(b) Nas condições do item anterior, o seu momento angular ~` é constante?
(c) Ainda nas mesmas condições, o que você pode afirmar do torque?
28. Se as calotas polares derretessem por completo devido ao aquecimento global, o gelo derretido
se redistribuiria pela superfı́cie terrestre. Essa variação faria com que a duração do dia (o
tempo necessário para que a Terra girar uma vez sobre seu eixo):
(i) aumentasse;
(ii) diminuı́sse;
(iii) permanecesse inalterada.
Considere a Terra um sistema isolado.
29. A Figura 12 mostra dois discos de massas idênticas, porém de raios distintos (r e 2r) estão
Figura 12: Problema 29
girando sobre mancais sem atrito com a mesma velocidade angular ω0 , porém em sentidos
opostos. Os dois discos são aproximados lentamente. A força de atrito resultante entre as
superfı́cies faz com que eles passem a girar com a mesma velocidade angular ω. Determine o
módulo dessa velocidade angular final em função de ω0 .
30. Uma partı́cula movendo-se com velocidade constante tem um momento angular nulo em
relação a um determinado ponto. O que se pode dizer sobre sobre o movimento da partı́cula
em relação ao ponto?
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RESPOSTAS
14. (a) −1, 7 × 102 kgm2 /s
1. (a) 59,3 rad/s
(b) 9,31 rad/s2
(b) 56k̂ N·m
(c) 70,7 m
(c) 56k̂ kgm2 /s2
15. (a) −24t2 k̂
2. −3, 15 J
3.
1
. Explique!
50
(b) 12tı̂
(c) 12t2 k̂ e 24tk̂
4. (a) 8, 0◦
16. (a) 14md2
(b) Maior. Explique!
(b) 4md2 ω
5. 4,8 m
(c) 14md2 ω
6. (a) 2, 7R − 0, 7r ≈ 2, 7R
50
50mgR
≈
mg
(b)
7(R − r)
7
17. (a) 3,6 rev/s
(b) 3,0
7. (a) 12,5 cm/s2
(c) O homem realizou trabalho ao diminuir a inércia de rotação pelo fecha-
(b) 4,38 s
mento dos braços.
(c) −54, 8 cm/s, 1, 8 × 10−2 J, 1,4 J e
27 rev/s
18. (a) 750 rev/min
(b) −450 rev/min
8. Mostre!
19.
9. (a) 24̂ N· m
mv
(M + m)R)
mvR
I + M R2
mvR2
(b)
I + M R2
(b) −24̂ N· m
20. (a)
(c) 12̂ N· m
(d) −12̂ N· m
21. (a) 0,24 kgm2
10. (a) (−1, 5ı̂ − 4̂ − k̂) N· m
(b) 1, 8 × 103 m/s
(b) (−1, 5ı̂ − 4̂ − k̂) N· m
22.
11. 9,8 kgm2 /s para fora da página




m2 h

arccos 
1
−


1
1
m+ M
m+ M d
2
3
12. (a) 12 kgm2 /s para fora da página
(b) 3,0 N· m para fora da página
13. (a) 600k̂ kgm2 /s
23. (a)
2
(b) 720k̂ kgm /s
11
T
3
2r
−1
R
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(b)
r
2T 1+
3m
R
27. (a) Não. Explique!
24. Mostre!
(b) Sim. Explique!
1
m1 gsen θ
gsen θ
2
25. (a)
e
m1
m1
1+
1+
2m2
2m2
(b) m2 gh
(c) É nulo. Explique!
28. Aumenta. Explique!
(c) θ = 0◦ : a = 0 e T = 0, θ = 90◦ : a =
1
m1 g
g
2
m1 e T =
m1 , m1 = 0:
1+
1+
2m2
2m2
a = gsen θ e T = 0
29.
3
ω0
5
30. Para θ = 0 temos que a partı́cula está
afastando-se do ponto e para θ = π a
partı́cula está em direção ao ponto. Ex-
26. (a) Mostre!
plique!
(b) Mostre!
12