Lista 4 - Simetrias, Momento Angular e Átomo de hidrogênio - NH 2805
Professor: Maurı́cio Richartz
Obs: exercı́cios marcados com ∗ devem ser entregues na data marcada!
Leitura recomendada: Shankar (capı́tulos 11, 12 e 13), Griffiths [seções 4.1, 4.2, 4.3].
Problema 1 - Enuncie e demonstre o teorema de Ehrenfest [dica: pesquise em algum livro de
MQ].
Problema 2 a) Considere um operador T () que representa uma transformação unitária infinitesimal. Seja G o
gerador dessa transformação, i.e.
T () = I − i G.
~
Use a unitariedade de T para provar que G é hermitiano.
b) Se T representa translações infinitesimais, provamos em sala que G = P , onde P é o operador
momento usual. Use esse resultado para calcular o operador T (a) que representa uma translação
finita por uma distância a. [Dica: você precisa dividir a distância a em intervalos infinitesimais
- veja, por exemplo, o livro do Shankar - cap. 11 - Translações finitas.]
*Problema 3 (Griffiths 4.19)
a) Sabendo que Lz = XPy −Y Px calcule, a partir das relações de comutação canônicas para posição
e momento, os seguintes comutadores: [Lz , X], [Lz , Y ], [Lz , Z], [Lz , Px ], [Lz , Py ], [Lz , Pz ].
b) Utilize as definições de Lx e Ly , juntamente com os resultados do item anterior, para demonstrar
que [Lz , Lx ] = i~Ly .
c) Calcule os comutadores [Lz , R2 ] e [Lz , P 2 ], onde R2 = X 2 + Y 2 + Z 2 e P 2 = Px2 + Py2 + Pz2 .
d) Demonstre que o Hamiltoniano H =
P2
2m
+ V (R) comuta com Lx , Ly e Lz .
Problema 4 (Griffiths 4.18) Os operadores de levantamento e abaixamento mudam os valores
de m em uma unidade:
L± |n, `, mi = Am
` |n, `, m ± 1i,
onde Am
` é uma constante que depende apenas de ` e m. Exigindo que os estados do tipo |n, `, mi
sejam normalizados, determine o valor da constante Am
` .
Problema 5 (Griffiths 4.22)
a) Qual é o valor de L+ Y`` ? (Nenhum cálculo é permitido!)
b) Utilizando o resultado acima, juntamente com o fato de que Lz Y`` = ~`Y`` e com o fato de que
L+ no espaço de posição é dado por
∂
∂
iφ
L+ = ~e
+ i cot θ
,
∂θ
∂φ
determine a função Y`` (θ, φ) a menos de uma constante de normalização.
c) Por integração direta, determine a constante de integração do item anterior.
*Problema 6 (Griffiths 4.13)
a) Calcule hRi e hR2 i para um elétron no estado fundamental do hidrogênio, onde R é o operador
associado à coordenada radial r. Expresse sua resposta em termos do raio de Bohr.
b) Calcule hXi e hX 2 i para um elétron no estado fundamental do hidrogênio. [Dica: você não
precisa fazer uma nova integração. Observe que R2 = X 2 + Y 2 + Z 2 e utilize a simetria do
problema.]
c) Calcule hX 2 i para um elétron no estado n = 2, ` = 1, m = 1. Atenção: esse estado não é
simétrico em x, y e z. Use x = rsenθ cos φ.
Problema 7 (Griffiths 4.14) Qual é o valor mais provável para a posição r do elétron no estado
fundamental do átomo de hidrogênio? Dica: primeiro você deve descobrir qual a probabilidade de
encontrar o elétron entre r e r + dr.
Problema 8 (Griffiths 4.15) Um átomo de hidrogênio se inicia na seguinte combinação linear
de estados estacionários: n = 2, ` = 1, m = 1 e n = 2, ` = 1, m = −1:
1
1
|ψ(t = 0)i = √ (|2, 1, 1i + |2, 1, −1i) ⇒ ψ(r, θ, φ, t = 0) = hr, θ, φ|ψ(t = 0)i = √ (ψ211 + ψ21−1 )
2
2
a) Determine ψ(r, θ, φ, t) para um instante t qualquer. Simplifique o máximo possı́vel.
b) Calcule o valor esperado da energia potencial hV i para esse estado. O resultado depende de t?
Problema 9 (Griffiths 4.46 adaptado)
a) Mostre que, quando ` = n − 1, a função de onda radial
r
Rn,n−1 (r) = Nn rn−1 e− na
é solução da parte radial da equação de Schrodinger para o átomo de hidrogênio. Determine a
constante de normalização Nn por integração direta.
b) Calcule hRi e hR2 i para estados do tipo |n, `, mi com ` = n − 1.
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