Lista de exercícios 4
Pré-Cálculo
Prof. Elton Carvalho — ECT — UFRN
Entrega: Terça-feira 24/03
1. A taxa com que uma bateria se carrega é menor à medida que a bateria se aproxima da
sua carga máxima C 0 . O tempo (em horas) necessário para carregar completamente uma
bateria para uma carga C é dado por
!
C
t = −k ln 1 −
,
C0
Onde k é uma constante positiva que depende da bateria. Para uma certa bateria, k = 0,25.
Se ela for totalmente descarregada, quanto tempo levará para que ela seja carregada até
90 % da carga máxima?
2. Uma curva de aprendizado é o gráfico de uma função P(t) que mede o desempenho de
alguém aprendendo uma habilidade em função do tempo de treinamento t. Inicialmente,
a taxa de aprendizado é rápida. Então, à medida que o desempenho se aproxima de um
valor máximo M, a taxa de aprendizado diminui. Sabe-se que a função
P(t) = M − Ce −kt ,
com k e C constantes positivas e C < M, é um modelo adequado para o aprendizado.
(a) Expresse o tempo de aprendizado t como função do nível de desempenho P.
(b) Para um atleta de salto com vara, a curva de aprendizado é dada por
P(t) = 6 − 4e −0,024t ,
onde P(t) é a altura que ele é capaz de saltar após t meses de treinamento. Depois de
quantos meses de treinamento ele é capaz de saltar 4 m?
3. Obtenha o comprimento de um arco circular que subtende um ângulo de 2 rad em um
círculo de raio 2 km.
4. Para medir a altura da cobertura de nuvens sobre um aeroporto, um funcionário aponta
um holofote a 75◦ com a horizontal. Um observador a 600 m de distância mede o ângulo
de observação do ponto iluminado como 45◦ . Obtenha a altura h da cobertura de nuvens.
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5. Obtenha, sem o uso de calculadoras, o valor exato das seguintes funções trigonométricas
e justifique a resposta.
(a) sen 150◦
(c) tan (−60◦ )
(e) cos 5π6
(b) cos 210◦
(d) sen 2π3
(f) sec 17π
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6. Um piloto sobrevoa um trecho retilíneo de uma estrada e mede o ângulo de visada de dois
marcadores de quilometragem, distantes 5 km entre si, e obtém 32◦ e 48◦ , como na figura
abaixo.
(a) Obtenha a distância do avião ao ponto A.
(b) Obtenha a altitude do avião.
7. Obtenha a amplitude e o período das funções abaixo e esboce seu gráfico:
(a) y = cos 2x
(c) y = 5 cos 14 x
(e) y = −2 sen 2πx
(b) y = −2 sen 2x
(d) y = 3 sen πx
(f) y = 1 + 12 cos πx
8. Escreva as expresões abaixo em termos de seno e cosseno e simplifique.
(a) cos t tan t
(b) sen θ sec θ
(c)
cot θ
csc θ − sen θ
9. Prove as identidades
(a) cos(−x) − sen(−x) = cos x + sen x
(c) sen2 α + cos2 α + tan2 α = sec2 α
(b) sen4 θ − cos4 θ = sen2 θ − cos2 θ
(d) tan2 u − sen2 = tan2 u sen2 u
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10. Efetue as substituições trigonométricas abaixo, considerando 0 ≤ θ ≤ π2 :
x
(a) √
, x = sen θ
1 − x2
√
(b) 1 + x 2 , x = tan θ
√
x 2 − 25
(c)
, x = 5 sec θ
x
11. Há bastante tempo se observa que a luz refrata ou “se curva” quando
passa de um meio para outro (do ar para a água, por exemplo). Se
v 1 é a velocidade da luz em um meio e v 2 é a velocidade da luz em
outro meio, então, de acordo com a Lei de Snell,
sen θ 1 v 1
= ,
sen θ 2 v 2
onde θ 1 é o ângulo de incidência e θ 2 é o ângulo de refração, conforme
a figura. O número vv12 é conhecido como índice de refração. Se a luz
incide sobre a superfície de um lago ( vv12 = 1,33) formando um ângulo
de incidência de 70◦ , qual o ângulo de refração?
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