Unidade 8 - Trigonometria no
Triângulo Retângulo
Trigonometria – História
Triângulo retângulo
Teorema de Pitágoras
Teorema de Tales
História
O significado etimológico da palavra trigonometria
vem do grego e resulta em três palavras:
Tri → três
Gonos → ângulo
Metrein → medir
Sugere então que a palavra Trigonometria significa
medida dos ângulos do triângulo.
Leitura do texto de introdução
História
História
Triângulo Retângulo
Conceito – Triângulo retângulo
é todo triângulo que apresenta
um ângulo reto, ou seja, um
ângulo de 90º.
Na figura abaixo, podemos
observar um triângulo retângulo
em Â:
O lado BC, oposto ao
ângulo reto Â, é chamado
de hipotenusa e os lados AB
e AC são chamados de
catetos do triângulo
retângulo.
Uma relação matemática
importante afirma que, em
qualquer triângulo, a soma
dos ângulos internos é
sempre igual a 180º.
Triângulo Retângulo
Como num triângulo
retângulo um dos ângulos é
reto, a soma dos outros dois
ângulos agudos B e C é
sempre 90º:
B + C = 90º
Quando a soma de dois
ângulos é igual a 90º,
dizemos que esses ângulos
são complementares.
Teorema de Pitágoras
O Teorema de Pitágoras é um dos mais importantes
resultados da Matemática, apresentando diversas
aplicações na Geometria e na Física.
Enunciado na Grécia Antiga, sua descoberta foi,
historicamente, atribuída ao extraordinário geômetra
grego Pitágoras de Samos (571-497aC).
Conceito – Em todo triângulo retângulo, o quadrado
da medida da hipotenusa é igual à soma dos
quadrados das medidas dos catetos.
Teorema de Pitágoras
a =b +c
2
a → hipotenusa
b → cateto
c → cateto
2
2
Teorema de Pitágoras - aplicações
Sendo l a medida de qualquer lado, aplicando
o Teorema de Pitágoras no triângulo HBC, temos :
2
l2
4l 2 − l 2
l
2
2
2
2
2
l = h +  → h = l − → h =
4
4
2
3l 2
3l 2
l 3
2
→h =
→ h =
→h=
4
4
2
2
Portanto, para calcular altura do triângulo isósceles, basta utilizar a equação
l 3
h=
2
Teorema de Pitágoras - aplicações
Sendo l a medida de qualquer lado, aplicando
o Teorema de Pitágoras no triângulo ABC, temos :
d 2 = l 2 + l 2 → d 2 = 2l 2 → d 2 = 2d 2 → d = l 2
Portanto, para calcular diagonal do quadrado, basta utilizar a equação
d =l 2
Teorema de Tales
O geômetra grego Tales de
Mileto deixou importantes
contribuições para
Geometria Plana.
Vamos revisar um dos seus
mais conhecidos teoremas.
Consideremos um feixe de
retas paralelas, r, s e t,
cortadas por duas
transversais, u e v,
aleatoriamente traçadas:
Teorema de Tales
Vamos traçar pelos pontos A e B as retas v1 e v2,
paralelas à reta v, destacando os pontos E’, F’ e F”:
v
u
B
b
C
A
a
Portanto
r
D
a’
E a’’
E’
b’
s
b’’
F
F’’ F’
v2
v1
t
≈
≈
a b a+b
= =
a' b' a'+b'
Teorema de Tales - aplicação
Essa parte do mapa da cidade pode ser
Representada da seguinte maneira:
Utilizando o Teorema de Tales, podemos escrever :
120 x 108 z 80
=
=
=
=
90 87
y
75 w
Teorema de Tales - aplicação
Utilizando o Teorema de Tales, podemos escrever :
120
x 108
z 80
=
=
=
=
90 87
y
75 w
Então, particular izando as proporções , temos :
120
x
4
x
=
→ =
→ 3 x = 348 → x = 116 m
90
87
3 87
120 108
4 108
=
→ =
→ 4 y = 324 → y = 81 m
90
y
3
y
120
z
4
z
=
→ =
→ 3 z = 300 → z = 100 m
90
75
3 75
120 80
4 80
=
→ =
→ 4 w = 240 → w = 60m
90
w
3 w
Resolução de atividades
Página 5 e 6
Unidade 8 - Trigonometria no
Triângulo Retângulo
Relações Trigonométricas
Cálculo de Seno, Cosseno e
Tangente de ângulos notáveis
Construção da tabela trigonométrica
Relações entre seno, cosseno e
tangente
Sen a = cateto oposto
hipotenusa
Cos a = cateto adjacente
hipotenusa
Cateto oposto
1. Razões trigonométricas
hi
po
te
nu
sa
a
tan a = cateto oposto
cateto adjacente
Cateto adjacente
Determinação de distâncias
inacessíveis
A Descolagem do Avião
Resolução:
Determinar a distância (d) percorrida
na horizontal, e a altura (a) atingida
pelo avião 5 segundos após a
descolagem.
Analisando o esquema acima (triângulo retângulo) indica:
O que queres saber:
O que é dado:
ângulo = 20o
1. A distancia percorrida na
horizontal (d)
hipotenusa= 400 m
2. A altura atingida (a)
1. A distancia percorrida da horizontal (d)
Cálculo do cateto adjacente (d)
Co-seno
o
comprimento
do
cateto
adjacente
ao
ângulo
20
cos 20o =
comprimento da hipotenusa
d
0,94 =
⇔
400
⇔ d = 0,94 × 400 ⇔
⇔ d = 376m
2. A altura atingida (a)
Cálculo do cateto oposto (a)
Qual a razão trigonométrica que relaciona o
cateto oposto com a hipotenusa?
seno
o
comprimento
do
cateto
oposto
ao
ângulo
20
sen20o =
comprimento da hipotenusa
a
0,34 =
⇔
400
⇔ a = 0,34 × 400 ⇔
⇔ a = 136m
3. Resolução de problemas usando a
trigonometria
O que é dado:
Cateto oposto =80 cm
x
10º
seno
80 cm
ângulo = 10º
O que queres saber:
hipotenusa
Qual a razão trigonométrica que relaciona o cateto oposto com a
hipotenusa?
comprimento do cateto oposto ao ângulo 10º
sen10º =
comprimento da hipotenusa
X = 4,6 m
80
80
80
sen10º =
⇔ 0,174 =
⇔x=
⇔ x = 459,77cm
x
x
0,174
Resolve o seguinte triângulo retângulo
A
4 cm
B
7 cm
x
AB = 4cm
Determinar os ângulos desconhecidos:
ˆ = 90º
ABC
4
senx = ⇔ senx = 0,571
7
ˆ =180º -35º -90º = 55º
CAB
X = 35º
Determinar o lado desconhecido:
C
AC = 7cm
BC
cos 35º =
⇔ BC = cos 35º.7 ⇔ BC = 0,819.7 ⇔ BC = 5,733cm
7
Para você fazer p. 7
co
coluna
c
=
⇒ sen50º =
h estrutura
8
c
⇒ 0,77 = ⇒ c = 0,77.8 ⇒ c = 6,26m
8
senθ =
Para você fazer p. 8
ca afastamento
2:2
cosθ =
=
⇒ cosθ = :2
h
escada
4
1
⇒ cosθ = ⇒ cosθ = 0,5 ∴θ = 60º
2
Para você fazer p. 9
co
altura
a
⇒ tg 45º =
⇒1=
⇒
ca
distância
30
⇒ a = 30.1 ⇒ a = 30m
tgθ =
altura do prédio = 30m + 2m (pessoa) = 32m
Cálculo de seno, cosseno e tangente
de ângulos agudos notáveis
Atualmente, a maioria das calculadoras dispõe de
funções para cálculo de valores de seno, cosseno e
tangente para ângulos entre 0º e 360º.
Entretanto, nas relações geométricas, os ângulos
30º, 45º e 60º se destacam em relação aos demais,
pois são muito utilizados.
Por essa razão, são denominados de ângulos
notáveis.
Seno, cosseno e tangente de 30º
Utilizando um triângulo equilátero, temos:
l 3
h=
2
l
1
sen 30º = 2 =
l 2
l 3
h
cos 30º = = 2 = 3
l
l
2
2
l
l
l 2
1
3
3
tg 30º = 2 = 2 = .
=
.
=
h l 3 2 l 3
3
3 3
2
Seno, cosseno e tangente de 60º
Aplicando os conceitos estudados no triângulo ABC, temos :
l 3
h=
2
l 3
h
l 3 1
3
sen 60º = = 2 =
. =
l
l
2 l
2
l
l 1 1
cos 60º = 2 = . =
l 2 l 2
l 3
h
l 3 2
tg 60º = = 2 =
. = 3
l
l
2 l
2
2
Seno, cosseno e tangente de 60º
Essas razões podem ser obtidas utilizandose um quadrado
Aplicando os conceitos estudados no triângulo ABC, temos :
d =l 2
sen 45º =
l
l
1
2
2
=
=
=
.
d l 2
2
2 2
cos 45º =
l
l
1
2
2
=
=
=
.
d l 2
2
2 2
l
tg 45º = = 1
l
Construção da Tabela Trigonométrica
30º
45º
60º
sen
1
2
2
2
3
2
cos
3
2
2
2
1
2
tg
3
3
1
3
Relação entre as razões
trigonométricas do mesmo ângulo
C
c
b
B
Dado o triângulo [ABC], sabemos por definição
que:
b cos α = a tgα = b
senα =
a
c
c
α
a
A
Vamos calcular o seguinte quociente:
senα
=
cos α
b c b
= × = =
c a
a
Conclusão:
senα
= tgα
cos α
Relação entre o seno e o co-seno do
mesmo ângulo
Considerando novamente o triângulo retângulo anterior, vamos
utilizar o Teorema de Pitágoras para obter outra relação
importante:
c2 = a 2 + b2
C
dividindo c 2 = a 2 + b 2 por c 2 com c ≠ 0, temos :
2
c
b
α
B
a
A
sen α + cos α = 1
2
2
Fórmula fundamental da
trigonometria
2
c2 a2 b2
a b
=
+
→
1
=
  +  .
2
2
2
c
c
c
c c
b
a
Mas, considerando que sen α = e cosα = ,
c
c
então a igualdade anterior corresponde a :
1 = (cosα ) + (sen α ) ⇒ sen 2α + cos 2 α = 1
2
Exercício
Seja sen α = 0,6 e α um ângulo agudo, determina tg α.
Resolução:
Determinação do co-seno
sen α + cos α = 1
2
2
0,6 2 + cos 2 α = 1
cos 2 α = 1 − 0,6 2
cos 2 α = 0,64
cos α = ± 0,64
cos α = ±0,8
Como cos α é positivo, vem
cos α = 0,8
Determinação da tangente
Sabemos que:
senα = 0,6
cos α = 0,8
Então:
senα 0,6
=
= 0,75
tgα =
cos α 0,8
Resposta: tg α =0,75
Relação entre o seno e o co-seno do
mesmo ângulo
b
a
No triângulo, o cateto b é
Por isso, sen α = cos β = e sen β = cos α =
c
c
oposto em relação a α e
Isso ocorre sempre que os ângulos α e β são
adjacente a β.
Da mesma forma, o cateto a complanares, ou seja, α + β = 90º.
é oposto em relação ao β e De forma geral, como α e β são ângulos
adjacente em relação α
complementares e β = 90º - α , temos :
C
sen α = cos β → sen α = cos(90º - α )
β
c
b
B
α
a
A
sen α = cos β → sen α = cos(90º - α )
sen β = cos α → cosα = sen (90º - α )
Resolução de atividades
Página 12
Nota livre – vestibulares p. 13