Matemática 2
Pedro Paulo
GEOMETRIA PLAN A XVI
1.3 – Fórmula trigonométrica
1 – ÁREA DO TRIÂNGULO
Neste capítulo, estamos encerrando o nosso
estudo de Geometria Plana que, como o nome diz, é
sobre figuras planas. E uma grandeza muito
importante relacionada a uma figura plana é o seguinte
problema: como calcular a sua área?
Basicamente, existem dois tipos de figuras
planas: polígonos e não-polígonos. Primeiro, vamos
ver como calcular as áreas dos polígonos. E como
sempre fazemos em Geometria Plana, vamos começar
pelos triângulos, pois eles são os polígonos mais
simples, e sempre é possível dividir um polígono em
triângulos.
Usando a formula clássica e um pouco de
trigonometria, também podemos calcular a área de um
triângulo a partir de dois de seus lados e do ângulo
entre eles. Veja a figura abaixo:
1.1 – Fórmula clássica
Figura 3 – fórmula trigonométrica da área do triângulo
A maneira mais famosa de calcular a área de
um triângulo envolve a sua base e a sua altura, como
está ilustrado na figura abaixo:
No triângulo retângulo
, temos que:
Além disso, da fórmula clássica, temos que:
lados
Vale ressaltar: o ângulo
e !
é o ângulo entre os
Figura 1 – fórmula clássica da área do triângulo
1.4 – Triângulo equilátero
Nesse caso, a área
do triângulo é:
A partir da fórmula trigonométrica, podemos
deduzir a fórmula da área de um triângulo equilátero,
que está ilustrado na figura abaixo:
Essa fórmula pode ser bastante simples, mas a
partir dela podemos deduzir outras fórmulas para os
triângulos. Veja os casos a seguir:
1.2 – Triângulo retângulo
Nesse caso, podemos escolher um cateto
como base, e o outro será a altura, como está ilustrado
na figura abaixo:
Figura 4 – fórmula da área do triângulo equilátero
Na figura, o ângulo entre dois lados iguais a
sempre é
. Então, tem-se:
√
Figura 2 –base e altura em um triângulo retângulo
CASD Vestibulares
Geometria
√
1
1.5 – Fórmula em função dos lados e do raio
da circunferência circunscrita
A partir da fórmula trigonométrica e da Lei dos
senos, é possível calcular a área de um triângulo em
função dos seus lados ,
e
e do raio
da
circunferência circunscrita, como está ilustrado na
figura abaixo.
Figura 6 – fórmula da área do triângulo em função dos lados
e do raio da circunferência inscrita
Da fórmula clássica da área, tem-se:
Em um triângulo, dizemos que o seu perímetro
é a soma dos seus lados e o seu semiperímetro é
a metade da soma dos lados. Então, tem-se:
Figura 5 – fórmula da área do triângulo em função dos lados
e do raio da circunferência circunscrita
Da fórmula trigonométrica da área, tem-se:
̂
Logo, pode-se escrever a área em função do
semiperímetro e do raio da circunferência inscrita :
Da lei dos senos, tem-se que:
̂
Substituindo
̂ em
̂
, tem-se:
1.7 – Fórmula de Heron
1.6 – Fórmula em função dos lados e do raio
da circunferência inscrita
Uma característica bem interesseante da
fórmula de Heron é que ela permite calcular a área de
um triângulo sabendo apenas os seus lados , e
(não é necessário conhecer nenhum raio)
A partir da fórmula clássica e da idéia de
incentro, é possível calcular a área de um triângulo em
função dos seus lados ,
e
e do raio
da
circunferência inscrita. Lembre-se que a circunferência
inscrita é tangente aos lados ,
e
do triângulo,
portanto o raio é perpendicular a cada um desses
lados. Se é o incentro, o triângulo
pode ser
dividido nos triângulos
,
e
, como está
ilustrado na figura a seguir.
Figura 7 – fórmula clássica de Heron
Lembrando que
é o semiperímetro do triângulo, a
fórmula de Heron afirma que:
√
2
Geometria
CASD Vestibulares
2 – ÁREA DO QUADRILÁTERO
Continuando a sequência de áreas de
polígonos, vale a pena recordar as áreas dos
quadriláteros notáveis (trapézio, paralelogramo,
losango, retângulo, quadrado)
2.1 – Área do trapézio
Se um trapézio possui base maior , base
menor
e altura , como está ilustrado na figura
abaixo, a sua área será:
Figura 10 – área do losango
2.4 – Área do retângulo
Se um retângulo possui base
e altura ,
como está ilustrado na figura abaixo, a sua área será:
Figura 8 – área do trapézio
2.2 – Área do paralelogramo
Sejam e os lados de um paralelogramo, a
sua altura e
um dos seus ângulos, como está
ilustrado na figura abaixo. Notando que o
paralelogramo pode ser dividido em dois triângulos
congruentes, tem-se:
Figura 11 – área do retângulo
2.5 – Área do quadrado
Se um quadrado possui lado , como está
ilustrado na figura abaixo, a sua área será:
Figura 9 – área do paralelogramo
ou
ou
2.3 – Área do losango
Sejam
a diagonal maior e
a diagonal
menor de um losango, como está ilustrado na figura
abaixo. Notando que o losango pode ser dividido em
dois triângulos congruentes de base
e altura
,
tem-se:
CASD Vestibulares
Geometria
Figura 12 – área do quadrado
3
3 – ÁREA DO HEXÁGONO REGULAR
b)
Para encerrar a sequência de áreas dos
polígonos mais comuns, deve-se recordar a fórmula da
área do hexágono regular de lado . Notando que o
hexágono pode ser dividido em seis triângulos
equláteros de lado , conforme está ilustrado na figura
abaixo, tem-se:
No triângulo retângulo
, tem-se:
√
̂
Aplicando a lei dos cossenos no triângulo
√
√
:
√
√
√
Resposta: O valor de
√
é
c) A altura relativa ao lado
Prolongando o lado
, tem-se:
deve passar por
.
Figura 13 – área do hexágono regular
√
Exercício Resolvido 1:
Figura 15: figura 14 com o lado
No triângulo
da figura, a mediana
,
relativa ao lado
, é perpendicular ao lado
.
Sabe-se também que
e
. Se
é a
medida do ângulo ̂ , determine:
prolongado
No triângulo retângulo maior, tem-se:
d)
O ângulo
̂
̂
̂ é externo ao triângulo
̂
:
̂
̂
Usando a fórmula trigonométrica da área:
Figura 14: figura do exercício resolvido 1
a)
.
̂
b) o comprimento
.
√
c) a altura do triângulo
d) a área do triângulo
√
relativa ao lado
.
Resposta: A área do triângulo
é
√
Resolução:
a)
é mediana
No triângulo retângulo
, tem-se:
̂
Resposta: O valor de
4
é
Geometria
CASD Vestibulares
4. (UFMG - 10) Nesta figura plana, há um triângulo
equilátero,
, cujo lado mede , e um quadrado,
, cujo lado também mede :
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Nível I
1. (UFMG - 13) Um quadrado tem área igual à área
de quadrados de área unitária de
, mais a área
de um quadrado .
Considerando essas informações, responda às
questões abaixo em seus contextos.
a) Suponha que
e que a área do quadrado é
de
. CALCULE a medida do lado do
quadrado .
b) Suponha que o lado do quadrado
mede
e
que
. CALCULE a medida do lado do
quadrado .
2. (ENEM - 11) Em uma certa cidade, os moradores
de um bairro carente de espaços de lazer reinvidicam à
prefeitura municipal a construção de uma praça. A
prefeitura concorda com a solicitação e afirma que irá
construí-la em formato retangular devido às
características técnicas do terreno. Restrições de
natureza orçamentária impõem que sejam gastos, no
máximo,
de tela para cercar a praça. A
prefeitura apresenta aos moradores desse bairro as
medidas dos terrenos disponíveis para a construção da
praça:
Terreno 01:
Terreno 02:
Terreno 03:
Terreno 04:
Terreno 05:
por
por
por
por
por
Com base nessas informações, é CORRETO afirmar
que a área do triângulo
é
a)
b)
c)
√
d)
√
5. (FUVEST - 10) Na figura, os pontos , ,
pertencem à circunferência de centro
e
. A
reta ⃡ é perpendicular ao segmento ̅̅̅̅ e o ângulo
mede
radianos. Então, a área do triângulo
vale:
Para optar pelo terreno de maior área, que atenda às
restrições impostas pela prefeitura, os moradores
deverão escolher o terreno
a)
b)
c)
d)
e)
3. (ENEM - 13) Uma fábrica de fórmicas produz placas
quadradas de lados de medida igual a centímetros.
Essas placas são vendidas em caixas com unidades
e, na caixa, é especificada a área máxima que pode
ser coberta pelas placas.
Devido a uma demanda do mercado por placas
maiores, a fábrica triplicou a medida dos lados de suas
placas e conseguiu reuni-las em uma nova caixa, de tal
forma que a área coberta não fosse alterada.
a)
b)
c)
d)
e)
6. (ENEM - 12) Um forro retangular de tecido traz em
sua etiqueta a informação de que encolherá após a
primeira lavagem, mantendo, entretanto, seu formato.
A figura a seguir mostra as medidas originais do forro e
o tamanho do encolhimento
no comprimento e
na largura. A expressão algébrica que representa a
área do forro após ser lavado é
.
A quantidade , de placas do novo modelo, em cada
nova caixa será igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
Nessas condições, a área perdida do forro, após a
primeira lavagem, será expressa por:
a)
d)
CASD Vestibulares
Geometria
b)
e)
c)
5
7. (UFRGS - 13) Na figura abaixo, os triângulos
retângulos são congruentes e possuem catetos com
medidas e
10. (FUVEST - 07) Na figura a seguir, os segmentos
̅̅̅̅ e ̅̅̅̅ são paralelos, o ângulo
mede
,
e
. Sabendo ainda que a área do
triângulo
vale
√ .
a) calcule a área do triângulo
b) determine
e
.
A área da região sombreada é
a)
d)
b)
e)
.
11. (UNESP - 07) A figura representa um triângulo
retângulo de vértices ,
e , onde o segmento de
reta
é paralelo ao lado
do triângulo.
c)
8. (UFRGS - 13) Dois círculos tangentes e de mesmo
raio têm seus respectivos centros em vértices opostos
de um quadrado, como mostra a figura abaixo.
Se
trapézio
a)
Se a medida do lado do quadrado é , então a área do
triângulo
mede
a)
d) (
√
√ )
b)
e) (
√
c)
√
√ )
9. (UNIFESP - 08) Na figura, os triângulos
e
são isósceles. O triângulo
é retângulo, com o
ângulo reto, e , , estão alinhados.
,
, em
b)
e
, a área do
,é
c)
d)
e)
12. (ENEM - 09) O governo cedeu terrenos para que
famílias construíssem suas residências com a
condição de que no mínimo
da área do terreno
fosse mantida como área de preservação ambiental.
Ao receber o terreno retangular
, com
, Antônio demarcou uma área quadrada no
vértice , para a construção de sua residência, de
acordo com o desenho, no qual
é lado do
quadrado.
Nesse caso, a área definida por Antônio atingiria
exatamente o limite determinado pela condição se ele
a) Dê a medida do ângulo
em graus.
a) duplicasse a medida do lado do quadrado.
b) triplicasse a medida do lado do quadrado.
c) triplicasse a área do quadrado.
d) ampliasse a medida do lado do quadrado em 4%.
e) ampliasse a área do quadrado em 4%.
b) Se
, obtenha a área do triângulo
função de .
em
6
Geometria
CASD Vestibulares
13. (FUVEST - 13) O mapa de uma região utiliza a
escala de
A porção desse mapa, contendo
uma Área de Preservação Permanente (APP), está
representada na figura, na qual ̅̅̅̅ e ̅̅̅̅ são
segmentos de reta, o ponto está no segmento ̅̅̅̅ o
ponto está no segmento ̅̅̅̅ ,
é um retângulo e
é um trapézio. Se
,
,
,
e
√ indicam valores em centímetros no
mapa real, então a área da APP é
15. (ENEM - 10) A loja Telas & Molduras cobra
reais por metro quadrado de tela,
reais por metro
linear de moldura, mais uma taxa fixa de entrega de
reais.
Uma artista plástica precisa encomendar telas e
molduras a essa loja, suficientes para
quadros
retangulares (
). Em seguida, fez uma
segunda encomenda, mas agora para
quadros
retangulares (
).
O valor da segunda encomenda será
a)
d)
b)
e)
a) o dobro do valor da primeira encomenda, porque a
altura e a largura dos quadros dobraram.
b) maior do que o valor da primeira encomenda, mas
não o dobro.
c) a metade do valor da primeira encomenda, porque a
altura e a largura dos quadros dobraram.
d) menor do que o valor da primeira encomenda, mas
não a metade.
e) igual ao valor da primeira encomenda, porque o
custo de entrega será o mesmo.
c)
14. (ENEM - 12) Jorge quer instalar aquecedores no
seu salão de beleza para melhorar o conforto dos seus
clientes no inverno. Ele estuda a compra de unidades
de dois tipos de aquecedores: modelo A, que consome
(gramas por hora) de gás propano e cobre
de área, ou modelo B, que consome
de
gás propano e cobre
de área. O fabricante indica
que o aquecedor deve ser instalado em um ambiente
com área menor do que a da sua cobertura. Jorge vai
instalar uma unidade por ambiente e quer gastar o
mínimo possível com gás. A área do salão que deve
ser climatizada encontra-se na planta seguinte
(ambientes representados por três retângulos é um
trapézio).
16. (ENEM - 09) A vazão do rio Tietê, em São Paulo,
constitui preocupação constante nos períodos
chuvosos. Em alguns trechos, são construídas
canaletas para controlar o fluxo de água. Uma dessas
canaletas, cujo corte vertical determina a forma de um
trapézio isósceles, tem as medidas especificadas na
figura . Neste caso, a vazão da água é de
.
O cálculo da vazão em
, envolve o produto da
área do setor transversal (por onde passa a água),
em
, pela velocidade da água no local, , em
,
ou seja,
.
Planeja-se uma reforma na canaleta, com as
dimensões especificadas na figura , para evitar a
ocorrência de enchentes.
Na suposição de que a velocidade da água não se
alterará, qual a vazão esperada para depois da
reforma na canaleta?
Avaliando-se todas as informações, serão necessários
a)
d)
b)
e)
c)
a) quatro unidades do tipo A e nenhuma unidade do
tipo B.
b) três unidades do tipo A e uma unidade do tipo B.
c) duas unidades do tipo A e duas unidades do tipo B.
d) uma unidade do tipo A e três unidades do tipo B.
e) nenhuma unidade do tipo A e quatro unidades do
tipo B.
CASD Vestibulares
Geometria
7
Nível II
17. (UERJ - 14) Considere uma placa retangular
de acrílico, cuja diagonal
mede
. Um
estudante, para construir um par de esquadros, fez
dois cortes retos nessa placa nas direções
e
, de
modo que
e
conforme ilustrado
a seguir:
Após isso, o estudante descartou a parte triangular
restando os dois esquadros.
Admitindo que a espessura do acrílico seja desprezível
e que √
a área, em
do triângulo
equivale a:
a)
b)
c)
d)
18. (ENEM - 08) O tangram é um jogo oriental antigo,
uma espécie de quebra-cabeça, constituído de sete
peças: 5 triângulos retângulos e isósceles, 1
paralelogramo e 1 quadrado. Essas peças são obtidas
recortando-se um quadrado de acordo com o esquema
da figura 1. Utilizando-se todas as sete peças, é
possível representar uma grande diversidade de
formas, como as exemplificadas nas figuras 2 e 3.
19. (UNIFESP - 09) O hexágono cujo interior aparece
destacado em cinza na figura é regular e origina-se da
sobreposição de dois triângulos equiláteros.
Se é a área do hexágono, a soma das áreas desses
dois triângulos é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
20. (FUVEST - 14) Uma das piscinas do Centro de
Práticas Esportivas da USP tem o formato de três
hexágonos regulares congruentes, justapostos, de
modo que cada par de hexágonos tem um lado em
comum, conforme representado na figura abaixo. A
distância entre lados paralelos de cada hexágono é de
metros.
Assinale a alternativa que mais se aproxima da área da
piscina.
Se o lado
do hexágono mostrado na figura 2 mede
então a área da figura 3, que representa uma
"casinha", é igual a
a)
d)
8
b)
e)
a)
d)
b)
e)
c)
c)
Geometria
CASD Vestibulares
21. (UNESP - 10) A figura representa uma chapa de
alumínio de formato triangular de massa
gramas.
Deseja-se cortá-la por uma reta paralela ao lado ̅̅̅̅
e, que intercepta o lado ̅̅̅̅ em e o lado ̅̅̅̅ em , de
modo que o trapézio
tenha
gramas de
massa. A espessura e a densidade do material da
chapa são uniformes. Determine o valor percentual da
razão de ̅̅̅̅ por ̅̅̅̅. Dado: √
a)
b)
c)
d)
24. (FUVEST - 13)
Percorre-se o paralelogramo
em sentido antihorário. A partir de cada vértice atingido ao longo do
percurso, prolonga-se o lado recém-percorrido,
construindo-se um segmento de mesmo comprimento
que esse lado. As extremidades dos prolongamentos
são denotadas por , ,
e , de modo que os
novos segmentos sejam, então, ̅̅̅̅̅, ̅̅̅̅̅, ̅̅̅̅̅ e ̅̅̅̅̅.
Dado que
e que a distância de
à reta
determinada por e é , calcule a área do
e)
22. (UFMG - 11) Considere esta figura:
a) paralelogramo
b) triângulo
’;
c) quadrilátero
Nessa figura,
• o triângulo
• o triângulo
• os pontos ,
• o segmento
é equilátero, de lado ;
é equilátero, de lado ;
e estão alinhados; e
intersecta o segmento
.
25. (FUVEST - 12) O segmento ̅̅̅̅ é lado de um
hexágono regular de área √ . O ponto
pertence à
mediatriz de ̅̅̅̅ de tal modo que a área do triângulo
vale √ . Então, a distância de ao segmento ̅̅̅̅
é igual a
a) √
no ponto ;
Com base nessas informações,
a) determine o comprimento do segmento
;
b) determine o comprimento do segmento
;
c) determine a área do triângulo sombreado
23. (UNICAMP - 13) Os lados do triângulo
figura abaixo têm as seguintes medidas:
̅̅̅̅
, ̅̅̅̅
e ̅̅̅̅
.
b) Calcule o valor explícito da altura do triângulo
em relação ao lado
.
b) √
c) √
d) √
e) √
26. (ENEM - 12) Para decorar a fachada de um
edifício, um arquiteto projetou a colocação de vitrais
compostos de quadrados de lado medindo
,
conforme a figura a seguir.
da
a) Sobre o lado
marca-se um ponto tal que
̅̅̅̅
e traça-se o segmento
paralelo ao lado
.
Ache a razão entre a altura do triângulo
relativa
ao lado
e a altura do triângulo
relativa ao
lado
, sem explicitar os valores de e .
CASD Vestibulares
;
Nesta figura, os pontos , , e são pontos médios
dos lados do quadrado e os segmentos
e
medem
da medida do lado do quadrado. Para
confeccionar um vitral, são usados dois tipos de
materiais: um para a parte sombreada da figura, que
custa
o
, e outro para a parte mais clara
(regiões
e
), que custa
o
.
De acordo com esses dados, qual é o custo dos
materiais usados na fabricação de um vitral?
a)
d)
Geometria
b)
e)
c)
9
27. (ENEM CANCELADO - 09) Uma fotografia tirada
em uma câmera digital é formada por um grande
número
de
pontos,
denominados
pixels.
Comercialmente, a resolução de uma câmera digital é
especificada indicando os milhões de pixels, ou seja,
os megapixels de que são constituídas as suas fotos.
Ao se imprimir uma foto digital em papel fotográfico,
esses pontos devem ser pequenos para que não sejam
distinguíveis a olho nu. A resolução de uma impressora
é indicada pelo termo
(dot per inch), que é a
quantidade de pontos que serão impressos em uma
linha com uma polegada de comprimento. Uma foto
impressa com
, que corresponde a cerca de
pontos por centímetro, terá boa qualidade visual, já
que os pontos serão tão pequenos, que o olho não
será capaz de vê-los separados e passará a ver um
padrão contínuo.
29. (ENEM CANCELADO - 09) Um fazendeiro doa,
como incentivo, uma área retangular de sua fazenda
para seu filho, que está indicada na figura como
cultivada. De acordo com as leis, deve-se ter uma
reserva legal de
de sua área total. Assim, o pai
resolve doar mais uma parte para compor a reserva
para o filho, conforme a figura.
Para se imprimir uma foto retangular de
por
, com resolução de pelo menos
, qual é o
valor aproximado de megapixels que a foto terá?
De acordo com a figura anterior, o novo terreno do filho
cumpre a lei, após acrescentar uma faixa de largura
metros contornando o terreno cultivado, que se
destinará à reserva legal (filho). O dobro da largura
da faixa é
a)
c)
e)
megapixel.
megapixels.
megapixels.
b)
d)
megapixels.
megapixels.
a)
28. (UNICAMP – 07 ADAPTADA) Analisamos, nesta
questão, a colheita de uma plantação de cana-deaçúcar, cujo formato é fornecido na figura a seguir.
Para colher a cana, pode-se recorrer a trabalhadores
especializados ou a máquinas. Cada trabalhador é
capaz de colher
por dia, enquanto uma
colhedeira mecânica colhe, por dia, uma área
correspondente a
.
b)
c) √
d) √
e) √
30. (UNIFESP - 07) Dois triângulos congruentes
e
, de ângulos
,
e
, estão colocados como
mostra a figura, com as hipotenusas
coincidentes.
a) Se a cana precisa ser colhida em
dias, quantos
trabalhadores são necessários para a colheita,
supondo que não haja máquinas?
Se
, a área comum aos dois triângulos, em
centímetros quadrados, é igual a
a)
b) √
c) √
d)
e)
√
b) Suponha, agora, que a colheita da parte mais clara
do desenho só possa ser feita manualmente, e que
o resto da cana seja colhido por quatro colhedeiras
mecânicas. Neste caso, quantos trabalhadores são
necessários para que a colheita das duas partes
tenha a mesma duração? Em seus cálculos,
desconsidere os trabalhadores que operam as
máquinas.
10
Geometria
CASD Vestibulares
31. (FUVEST - 09)
34. (FUVEST - 07) A figura representa um retângulo
, com
e
. O ponto
está no
segmento
de maneira que
, e é o ponto de
interseção da diagonal
com o segmento
.
O triangulo
da figura ao lado é equilátero de lado
. Os pontos , e pertencem, respectivamente, aos
lados
,
e
do triângulo. Além disso, os ângulos
̂ e ̂ são retos e a medida do segmento
é .
Então a área do triângulo
Assim, determine:
a) A área do triangulo
b) O valor de
reto.
em função de .
para o qual o angulo
a)
√
√
b) ℓ
√
√
c) ℓ
c)
d)
d) ℓ
33. (UNIFESP - 08) Na figura, o ângulo
ponto médio de
,
é perpendicular a
e
.
35. (UNICAMP – 09 - Adaptada) A figura mostra um
sapo de origami, a arte japonesa das dobraduras de
papel. A figura à direita mostra o diagrama usado para
a confecção do sapo, na qual se utiliza um retângulo
de papel com arestas iguais a
e
. As linhas
representam as dobras que devem ser feitas. As partes
destacadas correspondem à parte superior e à pata
direita do sapo, e são objeto das perguntas a seguir.
e) ℓ√
é reto,
,
é
Quais devem ser as dimensões, em centímetros, do
retângulo de papel usado para confeccionar um sapo
cuja parte superior tem área igual a
?
36. (FUVEST - 08) No triângulo
, tem-se que
̂
,
e
. Sabendo-se que o
ponto pertence ao segmento ̅̅̅̅ e é tal que
e
, calcule
relativa ao lado ̅̅̅̅ .
a) a altura do triângulo
b) a área do triângulo
A área do
quadrados, é
a)
b)
CASD Vestibulares
quadrilátero
,
e)
também é
32. (FUVEST - 08) No retângulo
da figura temse
ℓe
ℓ. Além disso, o ponto pertence à
diagonal
, o ponto
pertence ao lado
e
é
perpendicular a
. Sabendo que a área do retângulo
é cinco vezes a área do triângulo
, então
mede
a) ℓ
b)
vale
em
.
centímetros
.
c)
d)
e)
Geometria
11
DICAS E FATOS QUE AJUDAM
1. Se
é o lado do quadrado
quadrado , note que
e
é o lado do
2. Se as dimensões do retângulo são e , a sua área
é
e o seu perímetro é
. Então:
3. Inicialmente, a área de cada placa é . Assim, a
área máxima que pode ser coberta pelas placas é
. Após triplicar as medidas dos lados, a nova
área de cada placa é
. A área coberta
pelas novas placas é
. Como a área coberta
pelas novas placas continua sendo , tem-se:
̂
̂
4. Note que
e que
, logo
̂
̂
̂
. Use a fórmula
trigonométrica para calcular a área do triângulo
5. Como a reta ⃡ é perpendicular ao segmento ̅̅̅̅, o
triângulo
é isósceles, logo
. E como o
ângulo
é um ângulo central, o arco ̂
̂ é um ângulo
também vale
. Assim, como
̂
̂
inscrito,
. Use a fórmula
trigonométrica para calcular a área do triângulo
6. A área original do forro é
e a área final do
forro é
. Logo a área perdida do forro é
7. Note que a figura sombreada é um quadrado com
lado
8. Seja
o raio dos círculos. Note que a distância
entre os centros dos círculos é
, e também é a
diagonal do quadrado. Aplicando Pitágoras, se o lado
do quadrado é , a diagonal do quadrado é √ . Logo,
como
, a diagonal é √ . Logo:
√
√
√
A área do triângulo
é:
(
√ )(
√ )
√
9. No item a), como o triângulo
é retângulo
isósceles, tem-se que ̂
, logo tem-se que
̂
. E como o triângulo
é
̂
̂ . Além disso,
isósceles, tem-se que
̂
̂
̂
. Então, tem-se:
̂
̂
̂
. No item b),
note que
(pois o triângulo
é
isósceles) e o ângulo ̂ vale
Use a fórmula
trigonométrica para calcular a área do triângulo
12
10. No item a), use a fórmula trigonométrica para
calcular a área do triângulo
. No item b), note que
os triângulos
e
são semelhantes e lembre-se
que a razão entre as áreas dos triângulos
e
é
o quadrado da razão de semelhança.
11. Note que
disso, os triângulos
. Além
são semelhantes, logo
e
Use a fórmula de trapézio para calcular a área
12. Seja
. Então
área do terreno é
é , o que representa
residência é
e
, logo a
e a área do quadrado
do terreno. A área limite da
13. Note que
. Use
Pitágoras no triângulo
e veja que
.
√
Portanto,
. Por
√
√
√
, trace uma perpendicular ao segmento
, que corta
em . Note que
é a altura do trapézio. Além
disso, como os triângulos
e
são
semelhantes, tem-se:
√
√
Note que
,
e
que
, logo a área
total é
,
equivale a
. Como a escala é
, logo
equivale a
.
14. Note que a área da região é
,
área da região
é
,
área da região
é
e
área da região
é
. Logo
modelo A deve ser instalado nas regiões
e
e
modelo B deve ser instalado nas regiões e
a
a
a
o
o
15. A primeira encomenda corresponde a
de tela e
de moldura, logo o valor dela é
reais. A segunda encomenda
corresponde a
de tela e
de moldura, logo o valor dela é
reais.
16. A área inicial é
e a área
final é
. A vazão inicial é
e a vazão inicial é
. Como a
velocidade da água não se altera tem-se que
Geometria
CASD Vestibulares
17. Usando trigonometria no triângulo retângulo
:
21. Note que a massa do triângulo
.
Além
disso, como a espessura e a densidade do material da
chapa são uniformes, a massa de uma região é
diretamente proporcional à sua área. Logo:
̂
√
̂
√
(
̂
tem-se:
é
, logo o triângulo
O triângulo
tem base
é isósceles. Assim,
e altura
. Logo:
18. Na figura 2, note que o lado do quadrado menor é
. Na figura 1, note que o lado do
quadrado menor é um quarto da diagonal do quadrado
maior. Logo essa diagonal vale
. E se é o
lado do quadrado maior, tem-se que essa diagonal é
. Assim, a área total da figura 1 é
√ , logo
√
( √ )
. Note que a área da “casinha” na
figura 3 é a mesma área do quadrado maior na figura
1, pois são usadas as mesmas peças.
19. Note que o hexágono regular destacado em cinza
pode ser dividido em triângulos equiláteros menores.
Além disso, note que cada triângulo equilátero maior
pode ser dividido em triângulos equiláteros menores..
Assim, a soma das áreas desses dois triângulos é a
área de
triângulos equiláteros menores, o que
equivale ao triplo da área do hexágono.
20. Seja
um desses hexágonos, e seja
o
seu lado. Note que a distância entre os lados paralelos
e
é a medida da diagonal
. Como o hexágono
é regular, o seu ângulo interno vale
, logo
̂
. Note que
. Então, usando a
lei dos cossenos no triângulo
, tem-se que
, tem-se:
√ . Como
√
)
(
√
)
22. No item a), note que ̂ é ângulo externo ao
̂
triângulo
, logo
. Além
disso,
e
. Use a lei dos cossenos no
triângulo
para calcular
. No item b), note que
é paralelo a
, logo os triângulos
e
são
semelhantes. E como
:
̂
̂
e que
. Use a fórmula
trigonométrica para calcular a área do triângulo
No item c), note que
̂
23. No item a), como
é paralelo a
, logo os
triângulos
e
são semelhantes, logo:
No item b), trace por
uma perpendicular a
que
⃡
corta a reta
em . Logo
. Seja
.
Então
. Aplicando Pitágoras no
triângulo retângulo
:
Aplicando Pitágoras no triângulo retângulo
Igualando
em
e em
:
, tem-se:
√
√
√
A área de cada hexágono é:
√
√
(
√
√
)
(
Assim, a área da piscina é
é aproximadamente
CASD Vestibulares
√
√
)
, o que
Geometria
13
24. No item a), note que o paralelogramo
tem
base
e altura . No item b), note que o triângulo
tem base
e altura igual ao dobro da
altura do paralelogramo. No item c), note que os
triângulos
,
e
possuem base igual a um
dos lados do paralelogramo e altura igual ao dobro da
altura correspondente do paralelogramo. Assim, a área
de cada um dos triângulos
,
e
é igual à
area do paralelogramo
. Finalmente, note que o
quadrilátero
pode
ser
dividido
no
paralelogramo
e nos quatro triângulos.
29. A área do filho é
e a área total é
.
Como a área da reserva é
da área total, a área do
filho é
da área total. Então:
√
25. Como a área do hexágono é
, tem-se que
√
a medida do segmento ̅̅̅̅ é
. Seja
a
√
distância de ao segmento ̅̅̅̅. Então, se a base do
triângulo
é ̅̅̅̅, a sua altura é . Logo, tem-se:
√
√
26. Note que cada um dos triângulos claros
e
possui base igual a
igual a
, assim a área clara é
,
,
e altura
√
30. Seja o ponto em que
e
se cortam. Então
̂
̂
, logo o triângulo
é isósceles e
. Seja
. Além disso, note que
̂
̂
̂
. Usando a lei dos
cossenos no triângulo
:
(
e a área sombreada é
)
A área comum aos dois triângulos é a área do triângulo
, que é
27. Como a resolução é de
, há
pontos por
centímetro. Como as dimensões da foto são
por
, a foto possui
pontos em uma
dimensão e
pontos na outra dimensão,
o que resulta em um total de
pixels.
28. No item a), note que a plantação de cana pode ser
dividida em um trapézio de área
,
um retângulo de área
e um trapézio de
área
. Logo a área total da
plantação é
. Para olher a cana em
dias, a área colhida em um dia deve ser
No item b), note que a área que será ocupada pelos
trabalhadores é
, logo a área
que será ocupada pelas colhedeiras mecânicas é
. Em um dia, cada colhedeira colhe
, logo as
máquinas colhem
.
Assim, elas levam
dias para fazer a
colheita. Em um dia, um trabalhador colhe
,
logo ele levaria
dias para colher a sua área.
Assim, para fazer a colheita da área hachurada em
dias, são necessários
trabalhadores.
√
̂
31. No item a), note que
√
√
Note que a área do triângulo
No item b), note que
̂
̂
̂
disso, note que
e o triângulo
̂
̂
̂
Se
é
̂
̂
. Além
, assim tem-se que ̂
é equilátero. Além disso,
.
também é reto, o triângulo
√
No triângulo retângulo
O triângulo
Geometria
√
. Logo:
é retângulo:
√
, tem-se:
√
14
√
é equilátero, logo
√
:
CASD Vestibulares
32. No triângulo
, sejam
triângulo
, note que ̂
. Então os triângulos
e
Semelhança entre os triângulos
: é oposto aos lados
);
̂
̂ . No
e
̂
são semelhantes.
e
:
(no
ℓ
) e
: é oposto aos lados
(no
(no
). Então, tem-se:
34. Trace por uma vertical que corta
em
̂
̂
̂
em
. Note que
e que
(alternos internos), logo os triângulos
e
semelhantes. Então, tem-se:
̂
são
(no
ℓ
) e
Trace por
A área do retângulo
e
uma horizontal que corta
é paralelo a
, logo os triângulos
semelhantes. Então, tem-se:
é
em
e
são
Como a área do retângulo
é cinco vezes a área
do triângulo
, a área do triângulo
é
No entanto, a área do triângulo
é
Note que a área do triângulo
é
√
√
Aplicando Pitágoras no triângulo retângulo
:
35. Note que a parte superior do sapo é formada por
um retângulo de dimensões
e
(cuja área é
e um triângulo de base
e altura
(cuja área é
, logo a área da
parte superior do sapo é :
33. Aplicando Pitágoras no triângulo retângulo
:
Além disso, como a área da parte superior do sapo é
, tem-se:
é ponto médio de
, logo
No triângulo
, sejam
̂
triângulo
, note que
. Logo os triângulos
semelhantes.
Semelhança entre os triângulos
: é oposto aos lados
(no
);
: é oposto aos lados
). Então, tem-se:
̂
e
̂
e
e
(no
(no
̂ . No
36. A figura do problema é a seguinte:
são
:
) e
) e
(no
A área do triângulo
é
e a área do triângulo
é
. Logo, a área do quadrilátero
é:
CASD Vestibulares
No item a), trace uma perpendicular a
por
que
corta
em . Então a altura relativa a
é
.
Usando a relação fundamental da trigonometria, note
̂ √
que
. Além disso, no triângulo retângulo
, note que
√
√
̂
No item b), use a lei dos cossenos no triângulo
e
calcule
. Como
,
. Calcule
a partir de
e
a partir de
. Note que o
triângulo
possui base
e altura
: use a
fórmula clássica
Geometria
15
GABARITO
1. a) o lado é
31.
b) o lado é
√
b) O valor de
é
32. E
2. C
33. C
3. A
34. B
4. B
35. As dimensões são
5. B
36. a) A altura é √
e
b)
√
6. E
7. D
8. A
9. a) O ângulo
é
√
10. a)
√
b)
b)
e
11. B
12. C
13. E
14. C
15. B
16. D
17. C
18. B
19. C
20. A
21. D
22. a)
23. a)
24. a)
√
b)
√
c)
√
b)
b)
c)
25. E
26. B
27. E
28. a)
trabalhadores
b)
trabalhadores
29. D
30. E
16
Geometria
CASD Vestibulares