INVESTIGAÇÕES MATEMÁTICAS NA GEOMETRIA:
ESTUDO DE ÁREAS DE FIGURAS PLANAS
Joana Tomio
UFPR – Licenciatura em Matemática
[email protected]
Anderson Roges Teixeira Góes
UFPR – Departamento de Expressão Gráfica; e
Secretaria de Educação do Município de Araucária/Pr
[email protected]
Resumo
Metodologias preocupadas em manter o aluno como um sujeito ativo na
construção de seu conhecimento são cada vez mais pesquisadas, diversos
trabalhos consultados mostram que este é um fator facilitador na
aprendizagem. Aspectos importantes da investigação matemática são
observados, como o fato do aluno aprender e entender efetivamente o
conteúdo e não apenas se limitar em memorizar, além do aluno poder
realizar uma conexão entre conteúdos estudados anteriormente. Com o
conhecimento já adquirido a respeito da área do quadrado e do retângulo
pretende-se fazer com que o aluno relacione estes conhecimentos para
calcular áreas de outras figuras planas, como por exemplo, do triângulo e
do losango, e a partir daí que ele deduza a fórmula da área destas figuras,
utilizando o software para comparar as figuras, observar as propriedades
que se mantém com a alteração da medida de lados e ou de ângulos.
Palavras-chave: Investigação matemática, estudo de áreas, geometria
dinâmica.
Resumen
Metodologías preocupada por mantener el estudiante como sujeto activo
en la construcción de conocimiento son cada vez más investigadas, varios
estudiosmuestran que este es un factor facilitador en el aprendizaje. Los
aspectos importantes de la investigación matemática son vistos como el
hecho que los estudiantes realmente aprenda y comprenda el contenido y
no sólo limitarse a memorizar, además que los estudiantes hagan una
conexión entre los contenidos estudiados previamente. Con los
conocimientos ya adquiridos sobre el área del cuadrado y el rectángulo se
destina a hacer que los estudiantes se relacionan estos conocimientos
para calcular el área de figuras planas, tales como el triángulo y el rombo,
y de allí deducir el fórmula para el área de estas figuras, utilizando el
software para comparar las cifras, buscando en las propiedades que tiene
con el cambio de medida y los lados o ángulos.
Palabras clave: Investigación en matemáticas,
geometria dinámica.
estudio de áreas,
1 Introdução
Com a vivência em sala de aula os professores podem perceber que grande parte das
dificuldades dos alunos se dá pela falta de vinculo de alguns conteúdos com o
cotidiano. Estes não fazem sentido, pois, aos alunos, são passadas ideias prontas,
fórmulas e equações, de que muitas vezes eles não sabem o significado. Visando
facilitar o ensino é que são transmitidas as fórmulas para que aprendam a aplicar, mas
isso gera uma errada visão no aluno, pois este vê a matemática como “decoreba” de
fórmulas e resolução de exercícios, sendo que na verdade existe um pensar
matemático a ser desenvolvido. Segundo D'Ambrosio (1989) os alunos acreditam que
aprender matemática se dá a partir de um acúmulo de fórmulas e algoritmos, e que
matemática é um corpo de conceitos que não se questiona e que nem mesmo nos
preocupamos em compreender.
Tentando reverter à situação que cito acima, pretendo desenvolver no presente
trabalho atividades de investigação matemática que explorem o raciocínio do aluno na
construção do conceito matemático, estudando com conhecimentos adquiridos
anteriormente. Além de o aluno realizar uma conexão entre conteúdos, ele entende o
conceito, pois seu pensamento e intuição foram utilizados para a construção do
mesmo, assim não precisa decorar, pois sabe deduzir o resultado.
Assim, como forma de ilustração das possibilidades de trabalhos que podem ser
desenvolvidos, utilizando Atividades Investigativas são apresentadas no Trabalho de
Conclusão de Curso em Licenciatura em Matemática, atividade onde o aluno pode
calcular áreas de outras figuras a partir das áreas do quadrado e retângulo por meio
de software de Geometria Dinâmica.
2 Atividade de Investigação
A investigação matemática se relaciona com a resolução de problemas, pois o aluno
não possui a solução imediata da questão, a diferença se dá ao fato da investigação
ser um problema aberto, o objetivo não é explicito ao aluno. Este tipo de atividade é
previsto nas Diretrizes Curriculares da Educação Básica do Paraná (2008) nos
Encaminhamentos Metodológicos, afirmando que o aluno é chamado a agir como um
matemático, porque propõe questões e formula conjecturas.
Diversos autores da área de Educação Matemática destacam a importância da
investigação na aula, com o objetivo de desenvolver no aluno um “pensar
matemático”. O professor deve escolher uma situação de partida e cabe ao aluno
definir os objetivos, de acordo com a situação, tentando resolver pelo seu próprio
caminho. O papel do professor continua sendo o de fornecer informações sobre
conceitos, procedimentos e notações, mas pode fazer isso à medida que vai
ensinando os alunos a “fazer matemática”. (Ponte et al, 1999).
Silva (2010) descreve quatro momentos que envolvem uma atividade investigativa:
exploração e formulação de questões, conjecturas, teses e reformulação, justificação e
avaliação. Na exploração e formulação de questões, o aluno reconhece uma situação
problemática, explora a situação problemática e formula questões. Nas conjecturas,
ele organiza os dados, formula conjecturas1 e realiza afirmações sobre elas. Nos
testes e reformulação, o estudante realiza testes e refina uma conjectura. Por último,
na justificativa e avaliação, ele justifica a conjectura e avalia o raciocínio ou resultado
do raciocínio.
Na investigação o objetivo não é necessariamente o resultado final, mas o
caminho percorrido até ele, e a aprendizagem não resulta simplesmente da atividade,
mas sim da reflexão sobre a atividade. Fonseca, Brunheira e Ponte (1999) também
citam a importância da preparação do professor para esse tipo de atividade, ele não
pode dar ao aluno nem informações a mais e nem a menos. As ideias que surgem em
uma aula de investigação podem ultrapassar o planejado pelo professor, sendo assim,
o professor precisa refletir sobre cada aula e estar aberto a novas questões colocadas
pelos alunos.
Alguns pesquisadores da Educação Matemática relatam, no resultado de seus
trabalhos, a postura do aluno frente a atividades de investigação. Segundo esses
autores é necessário introduzir a investigação para criar no aluno a cultura deste tipo
de aula, os resultados melhoram progressivamente, de acordo com que os alunos
passam a entender a proposta dessa atividade.
3 A Geometria Dinâmica como ferramenta na investigação
A atividade que será apresentada neste trabalho foi elaborada utilizando como
ferramenta, o Geogebra, um software gratuito de geometria dinâmica que possibilita a
criação de gráficos, e também, o desenho de pontos, segmentos, retas, polígonos e a
alteração dinâmica deles. Ele possibilita a representação algébrica e geométrica dos
objetos. A utilização deste software trás agilidade ao processo de aprendizagem e
1
Presumir, supor, julgar, imaginar, pressentir, prognosticar.
permite que o aluno visualize objetos que não conseguimos desenhar com eficiência,
podendo também observar suas propriedades a partir da movimentação das
construções.
Através do software Geogebra, Silva e Penteado (2009), afirmam que a geometria
dinâmica permite que os estudantes façam conjecturas sobre conteúdos estudados,
sendo que a principal característica deste software é a possibilidade de movimentar os
objetos. Movimentando o estudante pode observar regularidades ou comportamentos
interessantes, visualiza o lugar geométrico de pontos que satisfazem certa
propriedade. Outra vantagem do software é a agilidade na investigação.
Segundo Góes et al. (2008) a interação entre o aluno e o computador pode ser
mais efetiva sendo mediada pelo docente. Assim, ao fazer uso da informática, criamse ambientes de aprendizagem onde o aluno interage com uma variedade de
situações para interpretá-las, escolhendo a melhor alternativa de resolução.
Nesse aspecto, é fundamental que o professor conheça as técnicas de informática
para a realização das atividades e como esse processo pode contribuir para a
aprendizagem do aluno.
Ao fazer isso, “o professor deve indagar se o uso do computador está ou não
contribuindo” (VALENTE, 1999, p.25), ou seja, esse processo de ensino-aprendizagem
deve ser constantemente avaliado, pois ao perceber que com determinado
encaminhamento não está atingindo os objetivos desejados, o professor precisa
redirecioná-lo.
O software servirá de ferramenta no estudo das áreas do triângulo e do losango. O
primeiro contato que o aluno tem com o conceito de área é no 6º ano do Ensino
Fundamental, a princípio ele aprende a utilizar as unidades de medida de comprimento
e de área. Como verificado em alguns livros (Imenes e Lellis, 1997; Barroso, 2007)
voltados para o 6º ano do Ensino Fundamental este conteúdo é motivado
determinando a quantidade de tinta necessária para pintar uma parede ou a
quantidade de lajota necessária para revestir a parede. Para determinar uma área o
aluno conta quantos quadrados de 1 m por 1 m cabem na parede. A partir daí ele
aprende a calcular a área do retângulo e do quadrado.
Com o conhecimento prévio da área do quadrado e do retângulo é aplicada a
atividade com o Geogebra. O programa é simples, portanto não será necessário muito
tempo para o aluno aprender a utilizá-lo.
A primeira atividade será com o intuito de “descobrir” como calcular a área do
triângulo.
No software Geogebra o aluno deve escolher a opção “Polígono Regular”,
selecionada esta opção ele irá criar dois pontos quaisquer, em seguida aparecerá uma
tela onde ele vai indicar a quantidade de vértices do polígono. Ele deve indicar 4, pois
queremos a construção de um quadrado. Depois de criar um quadrado o aluno deve
traçar sua diagonal, selecionando a opção “Segmento definido por dois pontos” e
clicando em dois pontos do quadrado, de modo a formar uma das diagonais.
Com a diagonal traçada, o aluno pode observar que o quadrado está dividido em
dois triângulos iguais.
Para que facilite a visualização das propriedades das figuras deve-se selecionar a
opção “Polígono” e clicar nos pontos que são vértices de um dos triângulos. Então se
deve clicar na figura com o botão direito do mouse, e em propriedades ativar a opção
que exibe o nome e o valor de cada objeto, no caso dos polígonos o valor que aparece
é a área.
Figura 1: Dois triângulos iguais, internos a um quadrado.
Fonte: a autora
O aluno pode preencher uma tabela, a cada movimentação dos vértices, fazer
uma anotação para perceber o que acontece.
Tabela 1: Relação entre as áreas do quadrado e do triângulo

a (lado)
Área do Quadrado
Área do triângulo
3,72
13,84
6,92
4,66
21,72
10,86
7,14
51,01
25,5
Qual é a relação entre a área do quadrado e a área do triângulo?

Se você tiver apenas a área do quadrado e quiser a área do triângulo o que você
deve fazer?
A tabela deve conter quantas anotações forem necessárias até que o aluno
perceba que a área de um é o dobro da outra. Daí, na segunda questão ele deve
responder que precisa dividir a área do quadrado por dois para obter a área do
triângulo. Percebendo isso, pode responder o seguinte:

Tente generalizar a conta que você fez, ao invés de colocar o valor da área do
quadrado, coloque a fórmula.
A questão acima pretende o seguinte:
Por exemplo, se o software indicar que a área do quadrado é 50. O aluno
descobriu que divide por dois para encontrar a área do triângulo, ele faz o seguinte:
Para generalizar, colocando a fórmula da área do quadrado ao invés do valor:
 Mas e se tivéssemos um retângulo, traçada a sua diagonal, também se formariam
dois triângulos iguais, de acordo com o que você fez acima e sabendo a área do
retângulo, como seria calculada a área do triângulo?
Aqui o aluno deve substituir a área do quadrado pela área do retângulo:
Agora o professor pode generalizar mais ainda discutindo com os alunos que a
fórmula é a mesma para qualquer tipo de triângulo. Pois triângulos com a mesma base
e a mesma altura possuem a mesma área. Para que o aluno perceba esta propriedade
uma nova construção no Geogebra pode ser trabalhada:
Selecionada a opção “Segmento com Comprimento Fixo”, na janela que abrirá
escolhe um comprimento para o segmento, por exemplo, escolhemos 5 cm. Em
seguida, seleciona a opção “Reta Paralela”, clica no segmento e em um ponto
qualquer.
Adicione um ponto qualquer sobre a reta paralela, e em “Polígono” crie um
triângulo com vértice no ponto sobre a reta paralela e com o segmento como base.
Faça uma perpendicular ao segmento em um de seus vértices, crie um novo segmento
nesta reta que marque a distância entre a reta paralela e o segmento que é base do
triângulo, para ficar determinada a altura do triângulo. O aluno deve movimentar o
vértice na reta (ponto D) paralela e observar que a área na se altera.
Figura 2: Triângulo retângulo com base AB=5cm e altura=2,6cm
Fonte: a autora
Figura 3: Triângulo acutângulo com base AB=5cm e altura=2,6cm
Fonte: a autora
Figura 4: Triângulo obtusângulo com base AB=5cm e altura=2,6cm
Fonte: a autora
A segunda atividade tem como objetivo a dedução da área do losango. Um
losango é um polígono que possui os quatro lados iguais, logo suas diagonais se
interceptam perpendicularmente. Um losango será um quadrado quando possuir todos
os ângulos de mesma medida.
Para fazer a construção do losango no Geogebra, deve-se selecionar a opção
“Reta definida por dois pontos” e criar dois pontos quaisquer. Em seguida seleciona a
opção “Reta perpendicular” realizar um click na reta e em um ponto.
Selecionando a opção “Círculo definido pelo centro e um de seus pontos”, e um
click no ponto comum entre as duas retas e em um ponto qualquer na reta
perpendicular, depois marca o outro ponto de intersecção entre o circulo e a reta
perpendicular (Figura 6).
Novamente selecionada a opção “Círculo definido pelo centro e um de seus
pontos” clica no centro do outro circulo e em um ponto qualquer na reta criada
inicialmente, depois marca o outro ponto de intersecção entre esta reta e o último
círculo construído.
Figura 5: Dois círculos concêntricos e retas perpendiculares
Fonte: a autora
Seleciona a opção “Polígono” e clica nos pontos de interseção entre as retas e as
circunferências (Figura 6), em seguida pode-se selecionar a opção “Exibir/Esconder
Objetos” e clicar em todos os objetos que não fazem parte do polígono, para “limpar” a
tela (Figura 7).
Figura 6: Losango
Fonte: a autora
Figura 7: Losango
Fonte: a autora
Selecionando a opção “Segmento definido por dois pontos”, construa as diagonais
do losango, depois clique com o botão direito do mouse e selecione “Propriedades” e
“Exibir rótulo” para mostrar a área do losango, as medidas das suas diagonais e o
nome dos seus vértices.
Figura 8: Área do losango e comprimento das diagonais
Fonte: a autora
Agora o aluno deve movimentar os vértices livres do losango para observar o que
ocorre com a área quando alteradas as medidas das diagonais.
Para auxiliá-lo o professor pode fazer as seguintes indagações:

Movimente o vértice D, uma das diagonais se altera e a área também, qual é a
relação entre a medida da área e a medida da diagonal

Agora movimente o vértice G, qual é a relação entre a medida da área e da
diagonal

.
.
O losango é formado por quais figuras já conhecidas?
O aluno vai perceber que quando aumenta qualquer uma das diagonais a área
também aumenta e perceberá que o losango é formado por dois triângulos iguais. Os
triângulos que podem trazer mais facilmente a área do losango são: HDG e HEG. Se o
aluno visualizar estes dois triângulos ele pode calcular a área de um deles e multiplicar
por dois para obter a área do losango, já que estes dois triângulos são iguais.
Para calcular a área de um dos triângulos:
Na figura o triângulo HDG, por exemplo, tem base
e altura
, daí:
Como são dois triângulos (HDG e HEG) são iguais:
Daí:
Como é uma atividade de investigação é o aluno quem deve traçar o seu caminho
para chegar onde precisa, o professor deve apenas auxiliar, direcionar em alguns
momentos, e estar aberto a novas ideias dos alunos, devido a esta característica da
atividade podem aparecer outros caminhos que o aluno pode traçar para chegar na
área do losango. Um deles é perceber que o losango é formado por quatro triângulos
iguais, desta forma ele também consegue deduzir a área desejada, pois os quatro
triângulos terão a seguinte área:
Como são quatro triângulos:
4 Conclusão
Com a geometria dinâmica como ferramenta na atividade investigativa tem-se como
vantagem a agilidade que ela proporciona e a facilidade. Sem ela, só seria possível
testar hipóteses fazendo vários desenhos para verificar regularidades, o que levaria
muito tempo, e poderia ainda haver erros de aproximação que, em alguns casos,
comprometeriam a conclusão do trabalho.
Trazendo para sala de aula a geometria em uma perspectiva investigativa, podese atingir o aluno de maneira mais eficaz, pois além de fazê-lo participar da aula e
construir seu conhecimento, ainda traz uma mudança na rotina escolar do mesmo, e
pode ser uma motivação para se empenhar no estudo.
Mesmo não obtendo dos alunos o resultado esperado, o professor deve insistir em
realizar este tipo de atividade, pois o aluno vai se acostumando e conhecendo seu
papel de investigador.
Referências
BARROSO, Juliane Matsubara. Projeto Araribá: Matemática 6. São Paulo: Moderna,
2007.
D' AMBROSIO, Beatriz S. Como ensinar Matemática hoje? Temas e Debates.
SBEM. Ano II. N2. Brasília. P. 15-19. 1989.
FONSECA, Helena; BRUNHEIRA, Lina; PONTE, João Pedro. As atividades de
investigação, o professor e a aula de Matemática. Lisboa: APM, 1999.
GÓES, Anderson Roges Teixeira; COLAÇO, Heliza; TELLES, Luciane Souza de
Jesusl LAGO, Rosilene Caetano. A Tecnologia Educacional e a Formação de
Professores: Oficina de Geometria Dinâmica. In: Encontro Nacional de Informática
e Educação. Cascavel/Pr, 2009.
IMENES, Luiz Márcio; LELLIS, Marcelo. Matemática 5. São Paulo: Scipione, 1997.
PARANÁ. Secretaria de Estado da Educação. Diretrizes Curriculares da Educação
Básica. Departamento de Educação Básica, 2008.
PONTE, João Pedro; FERREIRA, Catarina; VARANDAS, José Manuel; BRUNHEIRA,
Lina; OLIVEIRA, Hélia. A relação professor-aluno na realização de investigações
matemáticas. Projeto Matemática para todos: Investigações em sala de aula, Centro
de Investigação em Educação da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa,
1999.
ROCHA, Alexandre; PONTE, João Pedro. Aprender matemática investigando. In:
Zetetiké, Unicamp, v. 14, n. 26, jul./dez. 2006.
SILVA, Guilherme Henrique Gomes; PENTEADO, Miriam Godoy. O trabalho com
geometria dinâmica em uma perspectiva investigativa. I Simpósio Nacional de
Ensino de Ciência e Tecnologia, 2009.
SILVA, Magali Vieira; A Expressão Gráfica no Ensino: A Geometria Dinâmica no
Ensino e aprendizado da classificação de Polígonos. Curitiba: UFPR, 2010.
Monografia (Especialista em Expressão Gráfica) – Departamento de Expressão
Gráfica, Universidade Federal do Paraná, Curitiba, 2010.
VALENTE, José Armando. O uso inteligente do computador na educação. Pátio,
ano 1, n.1, p. 19-21, Porto Alegre, mai./jun., 1999.