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UMA (RE)VISÃO DO TEOREMA DE PITÁGORAS E SEU ENSINO 1
Hugo de Oliveira Motta Serrano , Eugenia Brunilda Opazo Uribe Universidade Federal de Mato Grosso do Sul – Campus de Três Lagoas. E‐mail: [email protected]. 1Bolsista do Grupo PET Conexões de Saberes – Matemática/CPTL/UFMS RESUMO O presente trabalho é resultado de um estudo feito sobre o Teorema de Pitágoras e seu ensino, que foi escolhido devido a ser considerado por muitos matemáticos como um dos mais belos e importantes teoremas da Matemática de todos os tempos. A partir da leitura dos Parâmetros Curriculares Nacionais para Matemática, são feitas algumas reflexões sobre a necessidade de utilizar demonstrações no ensino de geometria e no caso particular do ensino deste teorema, ainda no Ensino Fundamental. Em seguida são abordados alguns aspectos históricos, para depois enunciar o teorema e desenvolver duas demonstrações: a demonstração clássica e a demonstração por semelhança, bem como a demonstração da recíproca do teorema. Buscando uma aplicação do cotidiano, é apresentada uma discussão, que utiliza o Teorema de Pitágoras para ajudar a escolher um aparelho de TV de tela larga. Palavras‐chave: Ensino de Matemática, Geometria, Ensino de Geometria, Teorema de Pitágoras INTRODUÇÃO E OBJETIVO O Teorema de Pitágoras talvez seja um dos mais conhecidos e importantes teoremas da Matemática, com inúmeras aplicações na resolução de problemas tanto teóricos quanto práticos, muitos deles presentes em nosso cotidiano. Os Parâmetros Curriculares Nacionais para quinta a oitava séries do Ensino Fundamental (BRASIL, 1998, p.126), destacam para a área de Matemática que, “as atividades de Geometria são muito propícias para que o professor construa junto com seus alunos um caminho que a partir de experiências concretas leve‐os a compreender a importância e a necessidade da prova para legitimar as hipóteses levantadas”. Porém, alertam sobre o cuidado necessário ao trabalhar o Teorema de Pitágoras no sentido de evitar desvios ao interpretar “construções” e “visualizações geométricas” como demonstrações do mesmo, Tome‐se o caso do Teorema de Pitágoras para esclarecer um dos desvios freqüentes quando se tenta articular esses domínios. O professor propõe ao aluno, por exemplo, um quebra‐cabeças constituído por peças planas que devem compor, por justaposição, de duas maneiras diferentes, um modelo material de um quadrado. Utilizando o princípio aditivo relativo ao conceito de área de figuras planas, observa‐se que a 2  b 2  c 2 . Diz‐se, então, que o Teorema de Pitágoras foi “provado”. Apesar da força de convencimento para os alunos que possam ter esses experimentos com material concreto Colloquium Exactarum, vol. 4, n. Especial, jul-dez, 2012
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ou com a medição de um desenho, eles não se constituem provas matemáticas (Brasil, 1998). Pietropaolo (2005), discute a potencialidade da prova no âmbito dos currículos de Matemática do Ensino Básico e afirma que existe uma retomada das demonstrações nos currículos prescritos de alguns países e que isto decorreu do reconhecimento de que a prova “sendo um aspecto fundamental da atividade matemática, deveria estar presente também na formação dos alunos, principalmente em função de suas potencialidades para desenvolver o raciocínio dedutivo”. Mas, pesquisas mostram que muitos professores trabalham apenas com a apresentação de fórmulas e exercícios de fixação (Bressiani, 2011). Considerando a demonstração um aspecto fundamental na formação dos alunos, desenvolvemos um estudo sobre o Teorema de Pitágoras, abordando conteúdos teóricos para o desenvolvimento de diferentes demonstrações e aplicações do mesmo. O presente trabalho tem por objetivo apresentar o Teorema de Pitágoras com destaque para a sua demonstração e uma aplicação do cotidiano, utilizando conceitos adequados para serem desenvolvidas no Ensino Básico. METODOLOGIA O trabalho foi desenvolvido em etapas, incluindo pesquisa bibliográfica sobre a abordagem histórica do tema, enunciado do teorema e sua recíproca, demonstrações e aplicações. Foram realizados seminários de discussão e construção de materiais concretos para visualização e manipulação. Ao longo do trabalho foram estudadas diversas demonstrações do Teorema de Pitágoras, desenvolvendo também algumas aplicações interessantes. O presente trabalho foi delimitado a apresentação de duas demonstrações, a demonstração clássica e aquela baseada em semelhança, bem como uma aplicação do cotidiano. RESULTADOS Um Pouco de História Pitágoras nasceu na ilha de Samos provavelmente em 570a.C., cerca de 50 anos depois do nascimento de Tales de Mileto. Transferiu‐se para Crotona, na costa sudeste da atual Itália, onde fundou a escola Pitagórica dedicada ao estudo da Matemática e da Filosofia. Lima (2006), afirma que “Pitágoras é uma figura obscura na historia da matemática e, para dificultar ainda mais as coisas, a sua escola, além de secreta, era comunitária, ou seja, todo conhecimento e todas as Colloquium Exactarum, vol. 4, n. Especial, jul-dez, 2012
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descobertas eram comuns, pertenciam a todos. Assim, não sabemos sequer se foi o próprio Pitágoras que descobriu o teorema que leva seu nome, pois era comum naquela época dar todo crédito da descoberta ao mestre”. Existem provas concretas de que os babilônios conheciam o Teorema de Pitágoras, vários tabletes de barro datados do período 1800 a 1600 a.C. foram encontrados, decifrados e até hoje se encontram em diversos museus. O Teorema de Pitágoras já era conhecido na china cerca de 600 anos antes de Pitágoras; o livro Zhoubi Suanjing, do terceiro século a.C., apresenta um problema denominado “Gou Gu”, o equivalente chinês do Teorema de Pitágoras. (Lima, 2006), (Boyer, 1991). O Enunciado do Teorema de Pitágoras Em qualquer triângulo retângulo, a área do quadrado cujo lado é a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados que tem como lados cada um dos catetos. Se a é a medida da hipotenusa e se b e c são as medidas dos catetos, o enunciado do Teorema de Pitágoras equivale afirmar que a 2  b 2  c 2 . A Demonstração Clássica Dado um triângulo retângulo de hipotenusa a e catetos b , e c , consideraremos o quadrado cujo lado é b  c , de acordo com a figura (1). Figura 1 Suponhamos que os ângulos do triangulo de hipótese sejam α e β; pela congruência de triângulos, temos que nos quatro triângulos os ângulos agudos medem α e β. Como     90  , Colloquium Exactarum, vol. 4, n. Especial, jul-dez, 2012
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cada ângulo interno do quadrilátero de lado a é reto. A área do quadrado maior é dada por (b  c)  (b  c)  (b  c) 2 , enquanto a área do quadrado de lado menor é dada por a  a  a 2 e a área do triangulo será (b  c) / 2 , mas podemos notar que a área do quadrado menor é igual a área do quadrado maior subtraída da soma dos triângulos retângulos. Considerando que temos quatro triângulos semelhantes, teremos, Área do quadrado menor = Área do quadrado maior ‐ Área dos triângulos a 2  (b  c) 2  4(b  c) / 2 ou a 2  b 2  2bc  c 2  2bc , obtendo finalmente, a 2  b 2  c 2 , como queríamos demonstrar. A Demonstração por Semelhança Seja ABC um triangulo retângulo em A. Traçando o segmento AH perpendicular á hipotenusa, podemos verificar que os triângulos AHB e AHC são semelhantes ao triângulo ABC. Figura 2 Como o ABC ~ AHC , temos que Colloquium Exactarum, vol. 4, n. Especial, jul-dez, 2012
a b
 e assim, b 2  an . b n
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De maneira análoga, como ABC ~ HAB , temos que 68
a c
 , donde c 2  am . Assim, c m
somando as duas relações membro a membro encontramos, b 2  c 2  an  am  a(n  m) como m  n  a , obtemos finalmente, b 2  c 2  a 2 , como queríamos demonstrar. Recíproca do Teorema de Pitágoras Se a, b, c , são números reais positivos com a 2  b 2  c 2 , será que o triângulo de lados a, b, c é retângulo? A resposta é sim. Para demonstrarmos, consideraremos o triangulo ABC , com AB  c, BC  a e CA  b. 1° Caso: Considerando A  90  e supondo que b  c, o ponto D, projeção de C sobre AB, cai no interior do lado AB. Sejam AD  y e CD  h . Figura 3 Como o ADC é retângulo temos b 2  y 2  h 2 e como o BDC também é retângulo temos, a 2  (c  y ) 2  h 2 , Colloquium Exactarum, vol. 4, n. Especial, jul-dez, 2012
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o que mostra que a 2  c 2  2cy  y 2  h 2 ou a 2  c 2  2cy  y 2  b 2  y 2 , resultando que a 2  c 2  b 2  2cy e, portanto, a 2  b 2  c 2 , o que contradiz a condição inicial. 2° Caso: Considerando agora A  90  , o ponto D cai fora do lado AB. Figura 4 Como o ADC é retângulo, temos b 2  h 2  y 2 e como BDC também é retângulo temos, a 2  h 2  (c  y ) 2 e a partir desta igualdade, obtemos a 2  b 2  c 2  2cy , o que mostra que a 2  b 2  c 2 , novamente contradizendo a condição inicial. Portanto, num triangulo ABC de lados a, b, c , a condição a 2  b 2  c 2 implica necessariamente que o triângulo é retângulo. Uma Aplicação do Cotidiano Colloquium Exactarum, vol. 4, n. Especial, jul-dez, 2012
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Teodoro (2009) apresenta um problema do cotidiano, como aplicação do Teorema de Pitágoras, relacionado à escolha de uma TV de tela larga. Ele afirma que “Quando se põe lado a lado uma velha TV de tubo de 29 polegadas e uma moderna wide screen, de tela larga, com 32 polegadas, fica‐se com a impressão de que a imagem desta última é menor” e afirma ainda que “Em comparação com o modelo de tubo, a altura dessa TV de tela larga – e, portanto, sua percepção da área da tela – será mesmo menor, não importa o que diga o fabricante”. O número de polegadas de uma TV indica a medida da linha diagonal que cruza a tela. Assim, embora os aparelhos de TV de tubo e tela larga tenham diagonais equivalentes eles seguem diferentes proporções entre largura e altura. Os fabricantes fornecem a proporção entre 4
16
as medidas de largura e da altura das telas: para as telas de tubo e para as telas largas. 3
9
Indicando por a e b as medidas da largura e altura para os aparelhos de TV de tubo, e de x e y para os aparelhos de TV de tela larga, temos a
4
16
b e x 
y . 3
9
Denotando por dT a medida da diagonal e por AT a área do aparelho de TV de tubo, temos do Teorema de Pitágoras que, 2
25 2
9 2
4 
dT d T2  a 2  b 2   b   b 2 
b ou b 2 
25
9
3 
e assim, a área para este caso será AT  ab 
4 2 12 2
b  d T . 3
25
Agora, denotando por dL a medida da diagonal e por AL a área do aparelho de TV de tela larga, temos do Teorema de Pitágoras que, 2
337 2
81 2
 16 
dL d  x  y   y  y2 
y ou y 2 
81
337
9 
2
L
2
2
e assim, a área para este caso será AL  xy 
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16 2 144 2
y 
d L . 9
337
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Para que as áreas sejam iguais, devemos ter AL  AT , o que acarreta que d L  1,06d T . Assim, para termos uma tela larga que tenha área equivalente à TV de tubo de 29 polegadas, por exemplo, basta calcular 1,06  29  30,74 . Arredondando os valores obtemos que a TV de tela larga correspondente seria no caso de 32 polegadas. DISCUSSÃO Ao desenvolver as duas demonstrações apresentadas, bem como a recíproca do Teorema, são utilizados apenas conceitos básicos de Geometria que fazem parte dos conteúdos de Matemática do Ensino Fundamental, permitindo assim que este trabalho possa ser desenvolvido durante as aulas regulares de Matemática. A escolha de uma aplicação do cotidiano, busca contribuir no processo de motivação dos alunos. CONCLUSÃO O trabalho foi desenvolvido com a idéia de explorar os conteúdos relacionados com o Teorema de Pitágoras, um tema que deve fazer parte da formação inicial dos professores de Matemática, já que ele é utilizado na resolução de diversos problemas de Matemática, tanto do Ensino Fundamental como do Ensino Médio. Neste trabalho foram apresentadas duas demonstrações do Teorema, bem como da recíproca e uma aplicação do cotidiano. Acreditamos que a forma em que as demonstrações são desenvolvidas, permite o seu estudo ainda no Ensino Básico, acompanhado de materiais concretos que permitam sua visualização. O trabalho terá continuidade estudando a generalização do Teorema e sua versão para o espaço. REFERÊNCIAS BOYER, C.B. História da Matemática. 2ª. Ed. Tradução Elza F. Gomide. São Paulo: Edgard Blücher, 1991. Brasil. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática. 5ª. a 8ª. séries. Brasília : MEC/SEF, 1998. Disponível em <http://portal.mec.gov.br/seb/arquivos/pdf/matematica.pdf> Consultado em: 07/09/2012. BRESSIANI, L. Teorema de Pitágoras: Abordagem em Mídias Digitais. 2011. 58f. Monografia (Especialização em Matemática, Mídias Digitais e Didática). Departamento de Matemática Pura e Aplicada, Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre. Colloquium Exactarum, vol. 4, n. Especial, jul-dez, 2012
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Disponível em: <http://www.lume.ufrgs.br/bitstream/handle/10183/31564/000783229.pdf?sequence=1>. Consultado em: 07/07/2012. LIMA, E.L. et al. Temas e Problemas Elementares. 12 ed. Rio de Janeiro: SBM, 2006. PIETROPAOLO, R. C. (Re)significar a Demonstração nos Currículos da Educação Básica e da Formação de Professores de Matemática. 2005. 249f. Tese (Doutorado em Educação Matemática). Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo. Disponível em: <http://www.pucsp.br/pos/edmat/do/tese/ruy_pietropaolo.pdf>. Consultado em: 07/09/2012. TEODORO, D. SANTOS, R.N. Como Escolher a TV de Tela Larga – Uma aplicação do Teorema de Pitágoras. Revista do Professor de Matemática No. 70. p. 10 – 12. 2009. Colloquium Exactarum, vol. 4, n. Especial, jul-dez, 2012