Capítulo 10
Representação gráfica dos dados
10.1
Escalas
10.1.1
Escala linear
10.1.1.1
Propriedades da escala linear
Numa escala linear todas as divisões são iguais. Dito de outra forma, quando se representa uma
progressão aritmética todos os valores consecutivos estão igualmente distanciados.
10.1.1.2
Construção de uma escala linear
Se pretendemos representar valores experimentais de uma grandeza x numa escala linear devemos fazer
“economia de espaço”. Interessa-nos que o valor mais baixo xM in de x apareça na região inícial da escala
e o valor mais elevado xM ax de x apareça na região final da escala. Caso contrário, a representação
dos valores pode ser tal que fiquem todos os pontos tão próximos que não é possível distingui-los ou
tão afastados uns dos outros que alguns pontos fiquem fora da escala disponível.
O problema resume-se então a representar N valores experimentais dispondo de uma escala de M
divisões iguais. Define-se como factor de escala de x o número de divisões que serão utilizadas por
unidade da variável x.
Em particular se se pretende que o aproveitamento de espaço seja total, ou seja que o menor valor
de x fique exactamente no início da escala e o maior valor de x fique exactamente no fim da escala, o
factor de escala será:
Ex =
M
xM ax
xM in
(10.1)
Neste caso, a divisão dx onde deverá ser representado cada valor de x será dada por:
dx = Ex (x
xM in )
(10.2)
Se se quiser dar uma margem para evitar que existam pontos nos limites da escala então o factor
de escala deverá ser modificado para:
Ex =
Mu
xM ax xM in
(10.3)
em que Mu é o número de divisões úteis (realmente utilizadas; Mu < M ).
Neste caso mais geral o valor, x será representado na divisão dx tal que:
dx = dxM in + Ex (x
xM in )
(10.4)
em que dxM in é a divisão onde será representado o menor valor xM in de x.
A distância 4d entre quaisquer dois pontos na escala linear representantes dos valores experimentias
x1 e x2 será dada por:
4d = d2
d1 = Ex (x2
63
x1 ) = Ex · 4x
(10.5)
10.1. ESCALAS
CAPÍTULO 10. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS DADOS
Vejamos um exemplo. Num ecrã de computador com 600 divisões verticais (pixels) pretende-se
representar o movimento de um objecto em queda livre desde uma altura de 5 m até atingir o solo.
A altura do objecto será então representada pela variável x que toma valores desde xM ax = 5 m até
xM in = 0 m.
Das 600 divisões disponíveis vamos assumir uma margem de 100 divisões (50 abaixo e 50 acima).
Isto significa que o número de divisões úteis será de Mu = 500 divisões. O factor de escala será então:
Ex =
500 div
= 100 div m
5m 0m
1
Sabendo então que os valores de x podem ser dados pela expressão:
5t2 m
x= 5
então a divisão onde será representado o valor x no instante t será:
dx = 50 div + 100 div m
1
⇥
5
5t2 m
⇤
Assumindo que não existem fracções do pixel dx deverá ser arredondado à unidade.
Vejamos o que acontece quando representamos barras de erro numa escala linear. Suponhamos que
temos dois valores experimentais x1 e x2 dados por:
⇢
x1 = (x1 ± 4x1 ) ux
x2 = (x2 ± 4x2 ) ux
Ao representá-los numa escala linear, as barras de erro terão um comprimento dado por:
⇢
4dBE1 = Ex (x1 + 4x1 x1 + 4x1 ) = Ex (24x1 )
4dBE2 = Ex (x2 + 4x2 x2 + 4x2 ) = Ex (24x2 )
Se os erros absolutos são iguais:
(10.6)
4x1 = 4x2
então as barras de erro têm igual comprimento:
4dBE1 = 4dBE2
Provou-se que numa escala linear dois valores com igual erro absoluto terão barras de erro iguais.
10.1.2
Escala logarítmica
10.1.2.1
Propriedades da escala logarítmica
A função de uma escala logarítmica é representar o logaritmo de um número, ou seja evitar ter que
utilizar uma calculadora para avaliá-lo.
Ao contrário da escala linear, numa escala logarítmica as divisões não são sempre iguais. Elas são
decrescentes.
Uma observação inicial da escala permite-nos constatar que há um padrão de divisões decrescentes
que se repete (ver pontos assinalados por setas na figura 10.1). Cada um destes padrões representa
uma ordem de grandeza. A distância entre dois destes pontos consecutivos chama-se uma década.
No exemplo da figura 10.1, a escala logarítmica apresentada tem 4 décadas.
101
102
103
104
105
Figura 10.1: Décadas da escala logarítmica
A propriedade das potências de 10 consecutivas estarem igualmente distanciadas na escala logarítmica não é exclusiva ao factor 10. Na realidade é válida para qualquer factor multiplicativo. Qualquer
64
CAPÍTULO 10. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS DADOS
10.1. ESCALAS
progressão geométrica apresenta-se igualmente espaçada numa escala logarítmica. Por exemplo: numa
escala logarítmica a distância de 1 ao 2 é igual à distância do 2 ao 4, igual à distância do 7 ao 14 e
igual à distância do 30 ao 60 (ver a figura 10.2).
100
101
102
9x101
8x101
7x101
6x101
4x101
5x101
3x101
2x101
1.4x101
9x100
8x100
7x100
6x100
5x100
4x100
3x100
2x100
Figura 10.2: Progressões de factor constante numa escala logarítmica
Quais são os limites dos valores representáveis numa escala logarítmica? Comecemos pelo valor
mínimo. O valor 10 1 (= 0.1) está perto de zero, mas 10 2 (= 0.01) está mais perto, 10 3 (= 0.001)
está ainda mais perto. Por mais negativo que seja o valor do expoente, o valor da potência será
sempre maior que zero. Só quando o expoente tender para 1 é que a potência de 10 tenderá para
0 (log 0 = 1). Em resumo, o zero (e os valores negativos) não têm representação numa escala
logarítmica.
Quanto ao valor máximo representável numa escala logarítmica podemos dizer que não existe.
Suponhamos que pretendemos representar alguns eventos principais da evolução humana numa
escala de tempo desde o aparecimento da primeira célula eucariótica até ao ano 2000 de acordo com a
tabela 10.1.
#
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Evento
Células eucarióticas
Animais
Vertebrados
Mamíferos
Primatas
Hominídeos
Australopithecus
Homo
Homo sapiens
Homo sapiens sapiens
Final do sec. XX
Tempo desde a actualidade (a)
2.1 ⇥ 109
5.9 ⇥ 108
5.1 ⇥ 108
2.2 ⇥ 108
7.5 ⇥ 107
2.8 ⇥ 107
5.8 ⇥ 106
2.5 ⇥ 106
5.0 ⇥ 105
2.0 ⇥ 105
1.3 ⇥ 101
Tabela 10.1: Marcos históricos da evolução humana numa escala linear
Numa escala linear estes marcos históricos teriam a seguinte disposição:
65
4
3
2
1
Figura 10.3: Disposição dos Marcos históricos da tabela 10.1 numa escala linear
A amplitude dos dados é de 8 ordens de grandeza. É tão extensa que os tempos menores (índices
7 a 11) ficam praticamente todos sobrepostos na mesma posição e não são visíveis.
Se representarmos os mesmos valores numa escala logarítmica obtemos a seguinte disposição:
65
10.1. ESCALAS
101
CAPÍTULO 10. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS DADOS
102
103
104
105
11
106
10
107
9
8
7
108
6
5
109
4
32
1010
1
Figura 10.4: Disposição dos Marcos históricos da tabela 10.1 numa escala logarítmica
Nesta escala os tempos menores são visíveis ainda que o seu valor numérico seja desprezável face
ao todo.
e por isso permite representar valores espalhados ao longo de até 5 ordens de grandeza (de 101 até
5
10 ). Esta é uma das razões porque uma escala logarítmica pode ser útil: ela consegue abarcar dados
separados por muitas ordens de grandeza.
Alguns exemplos:
Quantas décadas são necessárias para representar dados que vão desde 0.002 até 7000? Temos que
procurar a potência de 10 que está imediatamente abaixo de 0.02 10 2 = 0.01 e a potência de 10 que
está imediatamente acima de 7000 104 = 10000 . O número de décadas necessário para representar
estes dados será então 6:
0.02
10-2
7000
10-1
100
101
102
103
104
Figura 10.5: Número de décadas necessário para representar dados que vão desde 0.002 até 7000
6x101
4x101
1.2x101
101
7x101
5x101
12
8x101
11
9x100
7x100
5x100
3x100
8 1012
8x100
6x100
4x100
2x100
100
6
3x101
4
2x101
2
9x101
Consideremos a seguinte progressão aritmética de diferença 2: 2, 4, 6, 8, 10 e 12. Representemos
esta progressão numa escala logarítmica:
102
Figura 10.6: Exemplo de representação de dados numa escala logarítmica e erro comum
O menor número (2) está entre 100 e 101 logo a potência de 10 inferior mais próxima é 100 . O
maior número (12) está entre 101 e 102 logo a potência de 10 superior mais próxima é 102 . Sendo
assim, necessitamos de 2 décadas para representar a totalidade dos dados.
Os primeiros 5 dados têm representação imediata na escala porque esta tem as divisões correspondentes: 2 = 2 ⇥ 100 ; 4 = 4 ⇥ 100 ; 6 = 6 ⇥ 100 ; 8 = 8 ⇥ 100 ; 10 = 101 .
No entanto a transição para a década seguinte pode trazer por vezes enganos na marcação dos
valores quando ainda não entrámos na lógica da escala logarítmica. Um engano comum é identificar as
duas divisões seguintes ao 10 como sendo 11 e 12. Este engano resulta de ainda estarmos a pensar de
forma linear. Na realidade, uma vez atingida a potência 101 , já estamos na ordem de grandeza seguinte
e o próximo valor será 2 ⇥ 101 (não 11) seguido de3 ⇥ 101 (não 12). A figura 10.6 apresenta a azul os
primeiros 5 valores, a cinzento onde é que deve ser representado o valor 12 e a vermelho as posições
erradamente atribuidas aos valores 11 e 12 numa escala logarítmica.
10.1.2.2
Construção de uma escala logarítmica
Uma escala logarítmica pode ser construída a partir de dois parâmetros:
66
CAPÍTULO 10. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA DOS DADOS
10.2. LINEARIZAÇÃO
1. O comprimento de uma década dDEC (por exemplo em cm).
2. O valor inicial x0 da variável x (por exemplo a potência inteira de 10 imediatamente abaixo do
menor valor de x que se pretende representar.
Uma vez estabelecidos os parâmetros, a distância do início da escala até qualquer ponto de valor x é
dada por:
✓ ◆
x
d = dDEC · log
(10.7)
x0
Isso implica que a distância entre dois pontos quaisquer da escala logarítmica que representam os
valores x1 e x2 é:
✓ ◆
x2
d = d2 d1 = dDEC log
(10.8)
x1
Esta equação mostra o que já havia sido observado: d será constante sempre que xx21 seja constante.
Vejamos o que acontece quando representamos barras de erro numa escala logarítmica. Suponhamos
que temos dois valores experimentais x1 e x2 dados por:
⇢
x1 = (x1 ± 4x1 ) ux
x2 = (x2 ± 4x2 ) ux
Ao representá-los numa escala logarítmica, as barras de erro terão um comprimento dado por:
8
⇣
⌘
< 4dBE1 = dDEC log x1 +4x1
⇣ x1 4x1 ⌘
: 4dBE2 = dDEC log x2 +4x2
x2 4x2
À partida, os erros 4x1 e 4x2 serão arbitrários, logo as barras de erro terão comprimentos independentes.
Vejamos o que acontece se:
4x1
4x2
=
=k
(10.9)
x1
x2
Ou seja, se os erros relativos de ambos os valores experimentais coincidirem (e forem iguais a uma
constante k).
Se nos concentrarmos nos argumentos dos logaritmos:
x1 + 4x1
x1 + kx1
1+k
x2 + kx2
x2 + 4x2
=
=
=
=
x1 4x1
x1 kx1
1 k
x2 kx2
x2 4x2
então as barras de erro têm igual comprimento:
(10.10)
4dBE1 = 4dBE2
Provou-se que quando os erros relativos de dois valores experimentais são iguais então as barras de
erro têm igual comprimento.
10.2
Linearização
10.2.1
Linearização gráfica
10.2.1.1
Papel semilog
10.2.1.2
Papel loglog
10.2.2
Linearização numérica
10.2.2.1
Relação exponencial
y = c 1 e c2 x
(10.11)
ln y = ln (c1 ) + c2 x
(10.12)
67