PESQUISA
Problema rotodinâmico de autovalor (parte 2):
sistema giroscópico amortecido
Victor Prodonoff *e Adhemar Castilho**
Resumo
Apresenta-se um novo método para o desacoplamento das equações de movimento de um sistema
rotodinâmico amortecido. São utilizadas as matrizes de massa, rigidez, amortecimento e giroscópica,
no seu estado original de espaço padrão (n x n), não sendo necessária a duplicação das matrizes
para o espaço estado (2n x 2n). São usados no desacoplamento os autovetores complexos conjugados e biortogonais da matriz soma das matrizes giroscópica e de amortecimento. As matrizes de
massa e rigidez são simétricas e as matrizes giroscópica e de amortecimento são não simétricas.
Palavras-chave
Autovalor, autovetor, efeito giroscópico, amortecimento modal, desacoplamento, sistemas amortecidos, sistemas giroscópicos amortecidos.
Introdução
Em artigo anterior[1] dos autores, foi mostrado que as matrizes modais, [U] da matriz giroscópica G e [V] de sua transposta GT= -G, formam
um conjunto biortogonal [V]T [U] = [I] que, usadas
em conjunto, desacoplam um sistema não amortecido com equações giroscópicas. Neste artigo
nos propomos a mostrar que os autovetores
biortogonais [U] e [V] da matriz modal da soma
de [C] + [G] = [D], sendo [C] a matriz de amortecimento, desacoplam as equações do sistema
giroscópico amortecido. A proposta é válida
quando as matrizes de massa M e de rigidez K
são simétricas, como no caso largamente empregado dos elementos finitos.
Nos casos em que o amortecimento é relativamente baixo, como em mancais de rolamento, a solução do problema de autovalor pode ser
simplificada, com a ajuda do conceito de amortecimento proporcional.[3] Nesses casos a matriz
de amortecimento C é substituída por uma combinação linear entre M e K, fornecendo a equação matricial
..
.
.
[M]{q}+([αM+βK]) {q} + Ω[G] {q} + [K]{q} = {Q(t)}
(1)
*
**
4
Ph. D., Cefet/RJ – Centro Federal de Educação Tecnológica do Rio de Janeiro.
D.Sc., Petróleo Brasileiro SA, Petrobras.
2o QUADRIMESTRE DE 2008
sendo q = vetor de deslocamento, Q = vetor de
forças, α e β são escalares convenientemente
escolhidos de modo a satisfazer o amortecimento em freqüências previamente escolhidas.[3] O
mesmo método usado no artigo anterior[1] pode
ser aqui usado, isto é, utilizam-se as matrizes
biortogonais de G para desacoplar o sistema.
No caso geral de amortecimento em mancais
de deslizamento, ou amortecimento localizado,
não podemos mais considerar a matriz C como
simétrica, e, assim, o método indicado acima
não produzirá o desacoplamento desejado das
equações.
Desacoplamento das Equações de Movimento
– Sistema Giroscópico Amortecido
Como a matriz [D] não é simétrica, considere
o sistema adjunto formado pela matriz transposta
de [D].
[M]{&q&} + [D]T {q& } + [K ] {q} = {0} ,
(4)
A solução harmônica {q} = {v}.e.i.ω.t, sendo
{v} o vetor de deslocamentos modais de [D]T,
para a freqüência ω, fornece
− ω2 [M] {v} + iω.[D] {v} + [K ]{v} = {0}
.
T
(5)
Considerando duas soluções distintas: i, j
sendo i ≠ j, as equações (3) e (5) fornecem:
− ωi .[M].{u i } + i.ωi .[D].{u i } + [K ].{ui } = {0}
2
{ }
{ }
(6a)
{ }
− ω j [M] v j + iω j .[D] v j + [K ] v j = {0}
2
a) Diagonalização das matrizes do sistema
Nesta seção prova-se que os autovetores
adjuntos da matriz [D] = [C] + [G] desacoplam
as equações de um sistema rotodinâmico amortecido. As matrizes modais adjuntas [U] de [D],
e [V] de [D]T, além de diagonalizarem [D], também diagonalizam M e K.
A prova dessa propriedade é feita para um
modelo de n graus de liberdade, usando-se apenas matrizes (n x n), não sendo necessário converter o sistema para o espaço estado (2n x 2n).
Considere o sistema dinâmico representado pela
seguinte equação homogênea:
[M]{&q&} + ([C + G]) {q& } + [K ] {q} = {0} ,
[D] = [C + G]
(2)
A solução harmônica {q} = {u}.e.i.ω.t , sendo
{u} o vetor de deslocamentos modais de [D],
para a freqüência ω, quando substituída em (2),
fornece o sistema algébrico abaixo:
– ω2[M]. {u} + iω.[D]{u} + [K]{u} = {0}
(3)
T
(6b)
Pré-multiplicando (6a) por {vj}T e (6b) por
{ui}T, obtém-se:
2
{ }T [M]. {ui }+ iωi.{v j }T [D]{ui } + {v j }T [K]{ui } = 0
− ωi v j
(7a)
{ }
{ }
{ }
− ω j {ui } [M] v j + iω j .{ui } [D] v j + {ui } [K] v j = 0
(7b)
2
T
.
T
T
T
Cada parcela das equações (7a) e (7b) são
termos escalares, portanto iguais a seu transposto. Assim sendo, transpondo a equação (7b) e
dela subtraindo (7a), encontramos a relação:
(ω
i
2
2
){ } [M] {u }− i(ω − ω ){. v } [D]{u }+ 0 = 0
− ωj v j
T
.
T
i
i
j
j
i
(8)
uma vez que [M] = [M] e [K ] = [K ] ,
T
T
{ } { }T [M].T {ui } ;
e considerando que {ui }T [M]. v j = v j
{ui }T [K ]. {v j } = {v j }T [K ]. {ui } . Como {vj} e {uj} são
T
autovetores adjuntos de [D], portanto
{vj}T[D]{uj} = 0,
2o QUADRIMESTRE DE 2008
(9)
5
[V]T [M]. [U]{&η&}+ [V]T [D][U]{η&} + [V]T [K][U]{η} = [V]T {Q}
logo:
{v j }T [M]{ui } = 0
(15)
(10)
sendo:
Retornando à equação (7a) mostrada anteriormente, vemos que para todos os casos nos
quais i ≠ j, {vj}T[M]{ui} = 0 e {vj}T[D]{ui} = 0 serão
nulos, bem como
{v j }T [K ]{ui } = 0
[V ]T [D]. [U] = [λ]
[V ]T [M]. [U] = []I
(11)
Mostramos que os autovetores {ui} da matriz [D] e os autovetores {vj} de [D]T desacoplam
as equações do sistema giroscópico amortecido.
Dessa forma fica provado que os autovetores
adjuntos {u} de [D] e {v} de [D] T, além de
diagonalizarem D, também diagonalizam M e K
e desacoplam as equações de movimento.
b) Equações modais
[V]T [K][U] = [k]
Matriz com autovalores de [D]
(16a)
Matriz de massa normalizada
(16b)
Matriz de rigidez diagonalizada
(16c)
Substituindo os valores acima na equação,
teremos:
[]I {η&&} + [λ]{η& } + [k]{η} = [V]T {Q}
(17)
Este sistema é formado de equações desacopladas do tipo
&& i + λ i η& i + κ i ηi = fi ;
η
Partindo da equação matricial
[M]{&q&} + [D]{q& } + [K ] {q} = {Q}
fi = {v}i {Q} ⇒ i = 1,2,3...,n
T
(12)
onde [M] = [M]T, [K] = [K]T, [D] = [C + G]
e [D] ≠ [D] T e fazendo a transformação linear
q = [U]{η}
(14)
Pré-multiplicando (14) por [V]T, onde [V] é
a matriz dos autovetores de [D]T, obtém-se o
sistema desacoplado mostrado a seguir
6
2o QUADRIMESTRE DE 2008
Dessa forma fica alcançado o objetivo de
desacoplar as equações simultâneas de movimento. Isto é conseguido em virtude de os autovetores adjuntos de [D] são os mesmos de M, D
e K, conforme demonstrado em (1).
(13)
sendo [U] a matriz dos autovetores de [D] e {η}
o vetor de variáveis modais, obtém-se o sistema
alternativo
[M]. [U]{η&&} + [D][U]{η& } + [K][U]{η} = {Q}
(17a)
Exemplo literal
A investigação da solução de um problema
giroscópico amortecido, em sua forma padrão,
será feita por intermédio da observação no plano
XY, do movimento de uma massa m com reação
elástica k e submetida a um amortecimento
viscoso c, que incorporem as propriedades
giroscópicas e de amortecimento ao modelo físico mostrado a seguir, de forma independente.
a) Autovalores e autovetores da matriz giroscópica
amortecida D
Considere o problema de autovalor da
matriz [D]:
⎛⎡ c
u} = {0} ⇒ ⎜⎜⎢2 m Ω
[[D] −λ[]I ] {{u}
⎝⎣
⎡ c−λ
⇒ ⎢2 mΩ−0
⎣
−2 m Ω⎤ ⎡1 0⎤⎞ ⎧u1⎫ ⎧0⎫
⎥−λ..⎢ ⎥⎟ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬
0 ⎦ ⎣0 1⎦⎟⎠ ⎩u2⎭= ⎩0⎭ ⇒
−2 mΩ −0⎤⎧u1⎫ ⎧0⎫
⎥.⎨ ⎬=⎨ ⎬
0−λ ⎦⎩u2⎭ ⎩0⎭
(23)
Figura 1 – Exercício giroscópico amortecido.
que fornece
As matrizes representativas desse sistema são:[4]
.
.
−2 m Ω⎤ ⎧x&⎫ ⎡K− mΩ2
⎡m 0⎤ ⎧&x&⎫ ⎡ c
0 ⎤⎧x⎫ ⎧0⎫
⎥⎨ ⎬ = ⎨ ⎬
⎢
⎥ ⎨&&⎬+ ⎢
⎥ ⎨&⎬+ ⎢
0 ⎦ ⎩y⎭ ⎣⎢ 0
K−mΩ2⎦⎥⎩y⎭ ⎩0⎭
⎣0 m⎦ ⎩y⎭ ⎣2 m Ω
⎡ c − λ − 2mΩ⎤
⎥=0
−λ ⎦
⎣
Det. ⎢2mΩ
(24)
A equação característica
⇒ λ2 − cλ + 4m 2 Ω 2 = 0 tem as raízes
(18)
(25)
2
λ .1,2 =
⎧ u1 ⎫
⎧x ⎫
Trocando ⎨ ⎬ por {q} = ⎨u ⎬
y
⎩ 2⎭
⎩ ⎭
(19)
C CRIT. = 4mΩ ;
.
⎡c 0 ⎤
T
e sendo [C ] = ⎢
⎥ = [C ] ;
⎣0 0 ⎦
[G] = ⎡⎢
0
⎣2mΩ
&&
u
⎩u2⎭
u&
⎩u2⎭
(20)
− 2mΩ ⎤
⎥
0 ⎦
u
⎩u2⎭ ⎩0⎭
ξ = ξ rr =
&} + [K].{q} = {0}
⇒ [M].{&q&} + [D].{q
⎣2m Ω
Ω
ωrr
(27)
2
c
2 2 ⎛c⎞
λ.2 = − iq , onde q= 4.m .Ω −⎜ ⎟ ,
2
⎝2⎠
c
c
=
4Mrr ωrr C CRIT ⇒ fator de amortecimento modal
(29)
(21)
A matriz giroscópica amortecida
c
c
λ.1 = +iq;
2
rr =
(26)
(28)
[M].⎧⎨&&1⎫⎬ + [D].⎧⎨&1⎫⎬ + [K].⎧⎨ 1⎫⎬ = ⎧⎨0⎫⎬ ⇒
[D] = [C] + [G] = ⎡⎢
c
⎛c⎞
± ⎜ ⎟ − 4.m2. Ω2
2
⎝2⎠
.
− 2m Ω ⎤
T
⎥ ≠ [D ] (22)
0 ⎦
é não simétrica, e, por causa disto, um novo método de desacoplamento é apresentado.
Portanto os autovalores de D são complexos conjugados. Expandindo (23), obtemos um
sistema homogêneo de equações algébricas nas
incógnitas dos autovetores u1 e u 2
⎧(c − λ).u1 − 2m Ω u2 = 0
⎨
⎩ 2 m Ω. u1 − λ u 2= 0
(30a,b)
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Substituindo inicialmente o autovalor
c
λ.1 = +iq em (30a) e arbitrando u 2 =1 encontra2
Equação característica ⇒ λ2 − cλ + 4m 2 Ω 2 = 0 ,
a mesma da matriz D.
c
c
Substituindo λ1 = + iq e λ 2 = − iq em
2
2
mos o autovetor:
2mΩq ⎫
⎧ m.c.Ω
+ i.
⎪
⎪ ⎧a + ib⎫
2
2
2
2
c
c
⎨
⎬= ⎨
+
+
q
q
⎬
{u}1 = ⎪ 2
2
⎪ ⎩ 1 ⎭
1
⎩
⎭
( )
( )
(34a) e arbitrando v 2 =1 nos dois casos, encontramos os autovetores {v}1 e {v}2
(31)
2 mΩ q ⎫
⎧ − m .c. Ω
− i.
⎪ 2
⎪ ⎧− a − ib⎫
2
c + q2
c + q2 ⎬ ⎨
⎨
⎬
=
2
1=⎪ 2
⎪ ⎩
1 ⎭
1
⎩
⎭
Substituindo igualmente o autovalor
c
λ.2 = −iq em (30a) e arbitrando u 2 =1, encontra2
( )
( )
(32)
Podemos mostrar que esses autovetores
[u}1 e {u}2 não são ortogonais:
m.c.Ω
( 2)
(33)
A não ortogonalidade dos autovetores da
matriz D é plenamente esperada, na medida em
que essa matriz é não simétrica.
É importante destacar que a operação
[U]T [D][U] não diagonaliza a matriz D.
b) Determinação dos autovetores adjuntos de D
⎡ c −λ
⎣
2 m Ω⎤
⎥ =0 ⇒
−λ ⎦
8
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2
+q
2
2mΩq
( 2)
c
2
+q
2
=
=
⎡
[U] = ⎢ξ + i
⎣⎢
⎡
⎣⎢
(34a,b)
(36)
m.c.Ω
4m Ω
2
2
2m.Ωq
4m 2 Ω 2
=
c
C CRIT.
(37)
=ξ
= 1− ξ2
(38)
(39)
A substituição de (38) e (39) em (31), (32),
(35) e (36) fornece a forma admensional das
matrizes dos autovetores [U] e [V].
1− ξ2 ξ − i 1− ξ2 ⎤
⎥;
1
1
⎦⎥
[V ] = ⎢− ξ − i
⎧(c − λ).v1 + 2 m Ω v2 = 0
⇒ ⎨ 2 m Ω.v + λ.v = 0
1
2
⎩
( )
(35)
Da mesma forma que no caso anterior, {v}1 e
{v}2 são complexos conjugados e não são ortogonais entre si. Mas vamos mostrar que existe a
biortogonalidade, ou seja, [v]T[U] é uma matriz
diagonal. Usaremos, a partir desse ponto, quantidades admensionais, como abaixo.
c
Det. [D]T = Det. ⎢− 2m Ω
( )
{v}
C CRIT. = 4mΩ ; Assim sendo
[U] = ⎡⎢a + ib a − ib⎤⎥ ⇒ [U ]T [U ] =
1 ⎦
⎣ 1
⎡(a2 − b2 + 1) + 2ia.b
⎤
a2 + b2 + 1
⎥
= ⎢
2
2
2
2
a + b +1
(a − b + 1) − 2ia.b⎦⎥
⎣⎢
( )
2mΩ q ⎫
⎧ − m .c. Ω
+ i.
⎪ ⎧− a + ib⎫
⎪
2
2
2
c
c
⎨
+
q
+ q2 ⎬ = ⎨
⎬
2
2=⎪ 2
⎪ ⎩
1 ⎭
1
⎭
⎩
mos o autovetor:
2 mΩ q ⎫
⎧ m.c.Ω
⎪ 2 2 −i. 2 2 ⎪ ⎧a − ib⎫
{u}2 = ⎨⎪ c2 +q c2 +q ⎬⎪ = ⎨ 1 ⎬
⎭
⎩
1
⎩
⎭
( )
{v}
1− ξ2
1
− ξ + i 1− ξ2 ⎤
⎥
1
⎦⎥
(40)
Podemos então verificar a biortogonalidade
existente entre [U] e [V].
[V]T[U] = [U]T[V] = 2⎢(1−ξ )−iξ 1− ξ
⎡
2
⎢⎣
2
0
⎤
0
2⎥
1− ξ + iξ 1− ξ ⎥
⎦
(40a)
( )
2
onde [U] é a matriz dos autovetores de [D] e {η}
o vetor de coordenadas modais, obtemos:
[M]. [U]{&η&} + [D][U]{η& } + [K][U]{η} = {0}
(42)
c) Desacoplamento das equações diferenciais
Pré-multiplicando por [V]T
Voltando à equação (21), fazendo a transfor& } e { &q&} = [ U]{ &η&}
mação linear {q} = [ U]{ η}, {q& } = [ U]{ η
[V]T [M]. [U]{&η&} + [V]T [D][U]{η& } + [V]T [K][U]{η} = {0}
(41)
(43)
Calculando cada um dos produtos das matrizes M, D e K, teremos:
⎡− ξ −i 1− ξ2 1⎤ ⎡m 0⎤ ⎡
ξ + i 1− ξ2 ξ −i 1− ξ2 ⎤
⎥ ⇒
[V ] [M][U] = ⎢⎢− ξ + i 1− ξ2 1⎥⎥ ⎢⎣0 m⎥⎦.⎢⎢ 1
⎥⎦
1
⎣
⎣
⎦
T
( )
⎤
⎡⎡
2
2⎤
0
⎥
⎢.⎢⎣1− ξ − iξ 1− ξ ⎥⎦
2m .⎢
⎥
⇒ [V ]T [M][U] =
⎢
0
.⎡1− ξ2 + iξ 1− ξ2 ⎤⎥
⎢⎣
⎥⎦⎦
⎣
( )
(44)
Procedendo de forma semelhante
⎡− ξ − i 1− ξ2 1⎤ ⎡ c
− 2 m Ω⎤ ⎡ξ + i 1− ξ2 ξ − i 1− ξ2 ⎤
⎥ ⇒
[V ] [D][U] = ⎢⎢− ξ + i 1− ξ2 1⎥⎥.⎢⎣2 m Ω 0 ⎥⎦.⎢⎢ 1
⎥⎦
1
⎣
⎣
⎦
T
( )
⎡⎡⎛
2⎞ ⎡
2
2 ⎤⎤
⎢.⎢⎜⎝2ξ Ω +2 i Ω 1−ξ ⎟⎠.⎢⎣.1− ξ −iξ 1−ξ ⎥⎦⎥
⎣
⎦
2 m.⎢
D U =
⎢
0
⎢⎣
⇒ [V ]T [
][ ]
⎤
⎥
⎥
⎡
⎤
.⎢⎛⎜2 ξ Ω−2 iΩ 1−ξ2 ⎞⎟.⎡.1−ξ2 +iξ 1−ξ2 ⎤⎥⎥ (45)
⎥⎦⎦⎥⎦
⎠ ⎢⎣
⎣⎝
0
( )
Da mesma forma
⎡− ξ −i 1− ξ2 1⎤ ⎡k −m Ω2
0 ⎤ ⎡ξ + i 1− ξ2 ξ −i 1− ξ2 ⎤
⎢
⎥.⎢
⎥ ⇒
[V ] [K ][U] = ⎢− ξ +i 1− ξ2 1⎥ ⎣⎢ 0 k −m Ω2⎥⎦⎥.⎢⎢ 1
⎥⎦
1
⎣
⎣
⎦
T
(
)(
)
⎡ .2
⎤
.2 ⎡
2
2⎤
0
⎢ ω. − Ω .⎢⎣. 1− ξ − iξ 1− ξ ⎥⎦
⎥
2 m.. ⎢
⎥
⇒ [V ]T [K ][U] =
.2
.2 ⎡
2
2⎤
⎢
ω. − Ω . . 1− ξ + iξ 1− ξ ⎥
0
⎢
⎥
⎣
⎦⎦
⎣
(
)(
)
.2
onde foi usado a freqüência ω = k m .
(46)
(47)
2o QUADRIMESTRE DE 2008
9
A substituição de (44), (45) e (46) na equação (43) fornece duas equações independentes
em η1 e η 2 . As expressões 1 − ξ 2 ± iξ 1 − ξ 2
são nulas somente quando ξ = 1 ou seja
c = C CRIT , no caso de amortecimento crítico.
Como estamos estudando o caso em que
c < C CRIT , podemos dividir as equações de η1 e
η 2 pela expressão entre colchetes, resultando
finalmente as equações
(
(
)
)
&& 1 + 2Ω⎛⎜ ξ + i 1 − ξ 2 ⎞⎟.η& 1 + ω 2 − Ω 2 .η = 0
η
1
⎠
⎝
(48a)
(
)
radicandos das raízes (50) e (52). Isto em nada
diminuirá a generalidade da solução, uma vez que
numericamente as raízes podem ser calculadas
exatamente. Considerando-se ξ << .1, ou seja, um
pequeno amortecimento, esta simplificação faz
com que
2
⎛ξΩ ± iΩ 1− ξ2 ⎞ − (ω2 − Ω2 ) = ±iω
⎜
⎟
⎝
⎠
(53)
As raízes ficarão com a forma mostrada abaixo:
r1 = −ξΩ + i(−Ω 1− ξ2 + ω)
precessão retrógrada
(54)
&& 2 + 2Ω⎛⎜ ξ − i 1 − ξ 2 ⎞⎟.η& 2 + ω 2 − Ω 2 .η = 0
η
2
⎠
⎝
(48b)
r2 = −ξΩ − i(Ω 1 − ξ + ω) precessão síncrona
(55)
d) Solução das equações diferenciais
s1 = −ξΩ − i(−Ω 1− ξ2 + ω) precessão retrógrada
A solução da equação homogênea é do tipo
&&1 = r 2 e .rt .
(49)
η1 = e .rt ; η& 1 = re.rt ; η
Substituindo esses valores na equação
(48a), teremos as raízes
s 2 = −ξΩ + i(Ω 1 − ξ + ω) precessão síncrona
2
(56)
⎛
r.1,2 = −⎛⎜ξΩ + iΩ 1− ξ2 ⎞⎟ ± ⎜
⎝
⎠ ⎜
⎝
2
⎞
⎛ξΩ + iΩ 1− ξ2 ⎞ − (ω2 − Ω2) ⎟
⎜
⎟
⎟
⎝
⎠
⎠
2
(57)
Com as raízes acima, as variáveis modais
assumem a forma
η1 = C1e .r.1t + C2e .2 ⇒ C1e−ξ.Ω . t.ei.(−Ωc +ω)t + C2e−ξ.Ω.t .e−i.(Ωc + ω)t
.r t
(58)
(50)
.s.2t
A solução da equação homogênea (48b) é
&& 2 = s 2 e .st
do tipo η2 = e.st ; η& 2 = se s.t ; η
(51)
Substituindo esses valores, teremos as duas
outras raízes
⎛
s.1,2 = −⎛⎜ξΩ − iΩ 1− ξ2 ⎞⎟ ± ⎜
⎝
⎠ ⎜
⎝
2
⎞
⎛ξΩ − iΩ 1− ξ2 ⎞ − (ω2 − Ω2) ⎟
⎜
⎟
⎟
⎝
⎠
⎠
(52)
Para que possamos continuar com uma solução analítica e ter um melhor sentimento físico
do resultado, vamos fazer uma simplificação nos
10
2o QUADRIMESTRE DE 2008
η2 = D1e.s.1t +D2e
⇒D1e−ξ.Ω.t .e−i.(−Ωc + ω)t +D2e−ξ.Ω . t.ei.(Ωc +ω)t
(59)
onde, Ω c = Ω 1 − ξ 2
(60)
Voltando ao vetor original q = [U]η, equação (41), e substituindo q da equação (19), U da
equação (40):
x ⎫ ⎧⎪⎛⎜ ξ + i 1 − ξ 2
⎬ = ⎨⎝
⎩y ⎭ ⎩⎪
{q} = ⎧⎨
⎞η + ⎛ ξ − i 1 − ξ 2
⎟ 1 ⎜
⎠
⎝
η1 + η 2
⎞η ⎫⎪
⎟ 2
⎠ ⎬
⎪⎭
(61)
A solução final nas variáveis x c ( t ) e y c ( t ) apresenta movimentos harmônicos com freqüências de
precessão síncrona e retrógrada.
x c ( t ) = e −ξ.Ω.t .
[E1 cos (Ω c + ω ).t + F1 sen (Ω c + ω ).t + G1 cos (− Ω c + ω ).t +
(
)
H1 sen (− Ω c + ω ).t
]
(62)
]
(63)
y c ( t ) = e −ξ.Ω.t . [E 2 cos (Ω c + ω ).t + F2 sen Ω c + ω .t + G 2 cos (− Ω c + ω ).t + H2 sen (− Ω c + ω ).t
As expressões ξ ± i 1 − ξ 2 , por serem
constantes, foram incorporadas às constantes de
integração. Existem apenas quatro constantes
indeterminadas de integração, uma vez que elas
relacionam-se entre si na forma abaixo:
E1 = ξ.E 2 − 1 − ξ 2 F2
(64)
F1 = ξ.F2 + 1 − ξ 2 E 2
(65)
G1 = ξ.G 2 + 1 − ξ 2 H 2
(66)
H1 = ξ.H2 − 1 − ξ 2 G 2
(67)
As equações (62) e (63) mostram que o
movimento nas direções x e y são vibrações
harmônicas amortecidas; o fator e −ξ.Ω.t fará com
que as amplitudes de vibração decresçam
exponencialmente com o tempo. As freqüências
naturais são alteradas em relação ao movimento
não amortecido. Essa freqüência é reduzida no
caso da precessão síncrona e aumentada no
caso da precessão retrógrada.
O objetivo principal desse exemplo literal foi
mostrar o desacoplamento das equações nas variáveis modais conforme equações (48). Nesse
caso particular, não há a possibilidade delas ficarem acopladas pelas matrizes de massa ou rigidez, duas a duas, uma vez que os autovalores da
matriz D não serem complexos conjugados puros,
ou seja: ω j = −a + ib , ω j+1 = −a − ib , para j ímpar
e, portanto, ω j + ω j+1 = −2a ≠ 0 .
Mesmo no casos em que não há amortecimento, os pares de equações modais, correspondentes aos autovalores conjugados puros
ωi,i+1 = ±i.ω, são desacoplados também, quando
as matrizes de massa e rigidez possuem
submatrizes diagonais (2 x 2), ao longo das
três diagonais centrais, como na discretização
em Elementos Finitos, pois m i,i = m i+1,i+1 e
mi,i+1 = m i+1,i = 0, onde i = 1,3,5..., o mesmo
acontecendo para a matriz de rigidez. Veja detalhes em [1] e [2].
Conclusões
Um novo método está sendo proposto para
desacoplamento de um sistema simultâneo de
equações diferenciais de movimento rotodinâmico
amortecido.
O desacoplamento é realizado no espaço
padrão, com matrizes (n x n) somente, evitando,
dessa maneira, o grande esforço computacional
para o cálculo dos autovalores quando o sistema
é transformado para o espaço estado (2n x 2n).
São utilizadas as matrizes de massa M e de
rigidez K, ambas simétricas, e a matriz giroscópica amortecida D não simétrica, sendo esta última a soma da matriz de amortecimento C e da
matriz giroscópica G. Devido ao fato da matriz D
não ser simétrica, é necessária a solução de dois
problemas conjugados, o primeiro envolvendo M,
D, K e o segundo, a matriz transposta de D, ou
seja, M, DT, K.
A existência de dois problemas conjugados
não apresenta esforço computacional adicional,
uma vez que os autovalores dos dois sistemas
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11
são os mesmos. Os autovalores da matriz isolada D são diferentes dos autovalores fornecidos
pelo sistema, porém seus autovetores são os
mesmos. O desacoplamento das equações diferenciais é obtido da seguinte forma:
a) Diagonaliza-se a matriz D através dos
autovetores de D e de sua transposta DT,
que formam um sistema biortogonal;
b) Sendo esses autovetores os mesmos do
sistema D, M e K, como conseqüência,
eles também diagonalizam as matrizes M
e K. Dessa forma são obtidas as n equações diferenciais independentes nas variáveis modais.
Um exemplo em forma literal mostra todas
as fases do desacoplamento, dando ainda as
soluções nas variáveis originais, onde se pode
perceber a possibilidade das duas precessões, a
síncrona e a retrógrada.
Referências
[1] CASTILHO, A., PRODONOFF, V., LOPES, T. A. P. Problema Rotodinâmico de Autovalor (Par te 1): Sistema Giroscópico Não Amor tecido.
[2] CASTILHO, A., 2007, “Uma Visão Global da Rotodinâmica de Turbomáquinas: Ênfase no Método de Elementos Finitos e na Propriedade dos
Autovetores Giroscópicos de Desacoplaram as Equações de Movimento”, Tese de D. Sc., Programa de Engenharia Oceânica, COPPE/UFRJ,
Rio de Janeiro, RJ, Brasil.
[3] ZEPK A, S., 1981, Resposta Dinâmica de Torres Estaiadas, Tese de Mestrado, Programa de Engenharia Mecânica, Instituto Mili tar de
Engenharia, Rio de Janeiro, RJ, Brasil.
[4] MEIROVITCH, L.,2000, Principles in Techinique of Vibrations, Prentice-Hall International (UK) Limited, London.
[5] MEIROVITCH, L., A Modal Analisys for the Response of Linear Gyroscopic Systems, Journal of Applied Machanics, vol 42, n 2, 1975, pp 446-450.
[6] ZHENG, Z., REN, G.,WILLIAMS, F. W., The Eigenvalue Problem for Damped Gyroscopic Systems, Int. J. Mech. Sci., vol 39, n 6, 1997, pp 741-750.
[7] SAWICKI, J. T., GENTA, G., Modal Uncoupling of Damped Gyroscopic Systems, Journal of Sound and Vibration vol 244, n 3, 2001, pp 431-451.
Lista de símbolos
C, [C]
Matriz de amor tecimento
q
Vetor de coordenadas generalizadas
G, [G]
Matriz giroscópica
Q(t)
Vetor força ex terna
[G]
Matriz giroscópica transposta
t
Tempo
gi, j
Coeficiente da matriz giroscópica
U, u
Autovetor de [D]
ci, j
Coeficiente da matriz de amor tecimento
V, v
Autovetor de [D]T
D, [D]
Soma das matrizes giroscópica e de amor tecimento
XYZ
Referencial Inercial, Fixo ou Global
di, j
Soma de ci, j + g i, j
xyz
Referencial Móvel solidário à roda
[I]
Matriz uUnitária
η
Vetor de coordenadas modais
i ; j = √-1
Unidade no campo complexo
ξ
Razão de amor tecimento
K, [K]
Matriz de rigidez
ωi
Freqüência Natural
ki, j
Coeficiente da matriz de rigidez
[λ]
M, [M]
Matriz de Massa
λi =- ωi
mi, j
Coeficiente da matriz de massa
Ω
T
12
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Matriz de Autovalores
2
Autovalor
Freqüência de Rotação da roda