CAPÍTULO 3 - LIMITE E CONTINUIDADE
3.1- Noção Intuitiva
A idéia de limite é fácil de ser captada intuitivamente. Por exemplo, imagine uma placa metálica quadrada que se
expande uniformemente porque está sendo aquecida. Se x é o comprimento do lado, a área da placa é dada por
A = x 2 . Evidentemente, quanto mais x se avizinha de 3, a área A tende a 9 . Expressamos isto dizendo que quando
x se aproxima de 3, x 2 se aproxima de 9 como um limite. Simbolicamente escrevemos:
lim x 2 = 9
x →3
onde a notação "x→3" indica x tende a 3 e "lim" significa o limite de.
Generalizando, se f é uma função e a é um número, entende-se a notação
lim f (x ) = L
x →a
como " o limite de f(x) quando x tende a a é L", isto é, f(x) se aproxima do número L quando x tende a a.
x2 − 4
, Df = { x ∈ R / x ≠ 2 }.
x−2
x 2 − 4 ( x − 2 )( x + 2 )
Se x ≠ 2 → f ( x ) =
=
= x+2
x−2
(x−2)
Exemplo 1: Seja f ( x ) =
∴ Se x ≠ 2 → f ( x ) = x + 2
x
f(x)
1
3
1,5
3,5
1,9
3,9
1,99 3,99
x
3
2,5
2,1
2,01
4
f(x)
5
4,5
4,1
4,01
(
2
)
Note que para todo x ∈ V (2, δ)→ f(x) ∈ V (4, ε) podemos dizer que o limite de f(x) quando x tende para 2 é
x2 − 4
=4
x→2 x − 2
De modo geral se y = f (x) definida em um domínio D do qual a é ponto de acumulação.
igual a 4 e podemos escrever: lim
L+ε
L-ε
a -δ a
a +δ
lim f ( x ) = L
x→a
Na determinação do limite de f(x), quando x tende para a, não interessa como f está definido em a ( nem mesmo se f está
realmente definido). A única coisa que interessa é como f está definido para valores de x na vizinhança de a. De fato
podemos distinguir três casos possíveis como segue:
Suponha que lim f ( x ) = L . Então exatamente um dos três casos é válido:
x→a
Caso 1- f está definido em a e f(a)=L.
Caso 2- f não está definido em a.
Caso 3- f está definido em a e f(a)≠a
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36
3.2- Definição Formal de Limite
Sendo f (x) definida em um domínio D do qual a é ponto de acumulação dizemos que f (x) tem limite L quando
x tende para a, e se indica por:
lim f ( x ) = L se e somente se para todo ε > 0, ∃ δ > 0 / |f (x) – L| < ε sempre que 0 < |x – a| < δ
x →a
A função f é definida em um intervalo aberto qualquer que contenha a, excluindo o valor de a
Exemplos:
Usando a definição de limite, mostre que:
1) lim ( 5 x + 4 ) = 9
x →1
( 5x + 4 ) − 9 < ε
5x − 5 < ε
5.( x − 1 ) < ε
5 .( x − 1 ) < ε
5. x − 1 < ε
ε
5
x −1 < δ
x −1 <
ε
5
δ =
2)
lim ( 3 x + 1 ) = −5
x → −2
3 x + 1 − ( −5 ) < ε
3x + 1 + 5 < ε
3.( x + 2 ) < ε
3 .( x + 2 ) < ε
ε
3
x − ( −2 ) < δ
x+2 <
x+2 <δ
ε
3
⇒ Se f (x) = x → y = x (Função Identidade)
lim x = a P1
δ =
x →a
| x-a | < ε → | x-a | < δ
ε=δ
⇒ Se f (x) = k → y = k
lim k = k P2
x →a
3.2.1- Propriedades dos Limites de Funções
Até agora, temos estimado os limites das funções por intuição, com auxílio do gráfico da função, com o uso de
álgebra elementar, ou pelo uso direto da definição de limites em termos de ε e δ. Na prática, entretanto, os limites são
usualmente achados pelo uso de certas propriedades, que vamos estabelecer agora:
Propriedades Básicas de Limites
Suponha que lim f ( x ) = L e lim g ( x ) = M e k é uma constante
x→a
1)
x→a
lim x = a
x →a
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lim k = k
2)
x →a
lim [ f ( x ) ± g( x )] = lim f ( x ) ± lim g( x ) = L ± M
3)
x→a
x →a
x →a
lim f ( x ).g( x ) = lim f ( x ). lim g ( x ) = L.M
4)
x →a
x →a
x →a
lim c. f ( x ) = c. lim f ( x ) onde c é uma constante qualquer
5)
x→a
lim
6)
x →a
x→a
lim f ( x )
f ( x ) x →a
L
=
=
g ( x ) lim g( x ) M
 lim g ( x ) ≠ 0 


 x →a

x→a
n
lim [ f ( x )]n =  lim f ( x ) = Ln (n é um inteiro positivo qualquer)
 x →a

x →a
7)
lim n f ( x ) = n lim f ( x ) = n L se L>0 e n é um inteiro positivo, ou se L<=0 e n é um inteiro positivo ímpar
8)
x→a
x→a
lim g ( x )
x→a
lim ( f ( x )) g ( x ) =  lim f ( x )
 x →a

x →a
9)
= LM
10) lim log b f ( x ) = log b  lim f ( x ) = log b L
 x →a

x →a
11) lim sen( f ( x )) = sen  lim f ( x ) = sen L
 x →a

x →a
12) lim | f ( x ) |=| lim f ( x ) |=| L |
x→a
x→a
13) Se h é uma função tal que h(x)=f(x) é válido para todos os valores de x pertencent6es a algum intervalo ao
redor de a, excluindo o valore de x=a, então
lim h( x ) = lim f ( x ) = L
x→a
x→a
Observação: Demonstração das propriedades em sala de aula.
Exercícios:
1)
x 2 + 2x
5x − 1
lim
x →2
lim x 2 + 2x
lim x 2 + 2x
x →2
=
lim 5x − 1
x →2
x →2
lim 5x − lim 1
x →2
x →2
lim x 2 + lim 2 x
=
x →2
x →2
5 lim x − 1
x →2
=
2 2 + 2.2
4+4
8
=
=
5.2 − 1
10 − 1
9
2) Seja lim f (x ) = 4 e lim g (x ) = 3 , ache cada limite
x →2
a- lim [ f ( x ) + g ( x )]
x →2
x→2
b- lim [ f ( x ) − g ( x )]
x→2
c- lim
f ( x ).g ( x )
x→ 2
3) Avalie cada limite e indique quais das propriedades de 1 a 13
a- lim 5 − 3 x − x 2
[
x → −1
]
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x2 + x + 1
b- lim
x 2 + 2x
x →2
c- lim
t →1 / 2
d-
t2 +1
1 + 2t + 8
4 x 2 − 25
x →5 / 2 2 x − 5
lim
e- lim
(1 x ) − 1
x →1
1− x
3.3- Limites Laterais
Limite à direita:
a
c
Seja f uma função definida em um intervalo (a, c)
e L um número real, a
(
) < ε sempre que 0 < x – a < δ
afirmação lim+ f ( x ) = L , significa que para todo ε > 0, ∃ δ > 0 / |f (x) – L|
x →a
→ a<x<a+δ→
a
(
a+δ
)
Limite à esquerda:
Seja f uma função definida no intervalo (c, a) e L um número real, a afirmação lim− f ( x ) = L , significa que
x →a
para todo ε > 0, ∃ δ > 0 / |f (x) – L| < ε sempre que -δ < x – a < 0 → a-δ < x < a
a-δ
(
a
)
3.3.1- Teorema
O limite lim f ( x ) existe e é igual a L se e somente se ambos os limites laterais lim+ f ( x ) e lim− f ( x )
x →a
x→ a
x→a
existem e tem o mesmo valor comum L.
lim f ( x ) = L ⇔ lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = L
x →a
x →a
x →a
Exemplos:
1)
2)
2 x − 1 se x ≥ 1
f (x ) =  2
x
se x < 1
 lim+ f ( x ) = (2.1 − 1) = 1
x →1
lim f ( x ) = ? → 
→ são iguais ∴ lim f ( x ) = 1
2
x →1
x →1
 lim− f ( x ) = (1) = 1
x →1
3x + 1 se x > 2
f (x) = 
− 2x + 4 se x ≤ 2
 lim+ f ( x ) = 7
x → 2
lim f ( x ) = ? → 
→ são diferentes ∴ lim f ( x ) = não existe
x →2
x →2
f (x) = 0
xlim
−
→2
Exercícios:
1- Nos problemas de a até c trace o gráfico das funções dadas, ache os limites laterais das funções dadas quando x
tende para a pela direita e pela esquerda e determine o limite da função quando x tende para a ( se o limite existe)
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5 + x se x ≤ 3
;a = 3
9 − x se x > 3
a) f ( x ) = 
2 − x se x > 1
;a = 1
2
 x se x ≤ 1
b) f ( x ) = 
c) S ( x ) = 5 + | 6 x − 3 |, a =
1
2
2- Explique porque freqüentemente achamos lim f ( x ) apenas pelo cálculo do valor de f no ponto a. Dê um exemplo
x→ a
para mostrar que lim f ( x ) = f ( a ) pode não ocorrer
x→a
3.4- Continuidade das Funções
Mencionamos anteriormente que quando o lim f (x ) = f (a ) , a função f é contínua em a. De agora em diante
x→a
consideraremos isto uma definição oficial.
Definição 1: Dizemos que a função f é contínua em um número a se e somente se as seguintes condições forem válidas.
Condições:
∃ f (a)
∃ lim f ( x )
x→ a
f ( a ) = lim f ( x )
x→ a
y
y
x
a
a
x
∃ f (a )
y
y
c
b = f (a)
a
x
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a
x
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∃ f (a ) OK!
∃ f (a ) OK!
lim f ( x ) OK!
 lim+ f ( x ) = b
 x →a
lim f ( x ) = ∃ → 
∴≠
x →a
f (x) = c
xlim
−
→a
x →a
f (a ) ≠ lim f ( x )
x →a
Exercícios:
3 − x 2
1) Verificar se f ( x ) = 
1 + x 2
i) f (1) = 2 OK!
ii) lim f ( x ) = ?
se x ≤ 1
se x > 1
é contínua para x = 1 :
x →1
 lim+ f ( x ) = 3 − 1 = 2
x →1

f (x) = 1 + 1 = 2
xlim
→1−
São iguais ∴ lim f ( x ) = 2 OK!
x →1
iii) f (1) = lim f ( x ) OK!
x→1
Resposta: É contínua
2) Verificar se f ( x ) = x 2 − 3 é contínua para x = 0 :
f ( 0 ) = −3 OK !
lim f ( x ) = −3 OK!
x →0
f ( 0 ) ≠ lim f ( x )
x→0
Resposta: Como as condições 1 e 3 da definição 1 foram satisfeitas, concluímos que f é contínua em 0
 2x 2 + 3x + 1
se x ≠ 1

3) Verifique se a função f definida por f ( x ) = 
é contínua para o número -1
x+1
3 se x = −1

Observações Importantes: Se os dois limites laterais lim− f (x ) e lim+ f (x ) existem e têm o mesmo valor, é claro que
x →a
x →a
lim f (x ) existe e que todos os três limites têm o mesmo valor. Se lim f (x ) existe, os dois limites laterais lim− f (x ) e
x→a
x →a
x→a
lim+ f (x ) existem e todos os três limites são iguais. Consequentemente, se os dois limites lim− f (x ) e lim+ f (x )
x →a
existem, mas têm valores diferentes, então lim f (x ) não pode existir.
x →a
x →a
x→a
Exercícios
1- Em cada exemplo, (a) trace o gráfico da função, (b) ache os limites laterais da função quando x → a
−
e quando
+
x → a , (c) determine o limite da função quando x→a (se ele existe) e (d) diga se a função é contínua no valor a
2 x + 1 se x < 3
1- f (x ) = 
;a = 3
10 − x se x ≥ 3
| x − 2 | se x ≠ 2
2- f (x ) = 
;a = 2
 1 se x = 2
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3 − x 2 se x ≤ 1
3- f (x ) = 
;a = 1
1 + x 2 se x > 1
3.4.1- Propriedades das Funções Contínuas
Suponha que f e g sejam duas funções contínuas no número a. Então tanto f(a) como g(a) são definidas, e
consequentemente (f+g)(a)=f(a)+g(a) é definida.
1- Se f e g são contínuas em a, então f+g, f-g e f.g também o são.
2- Se f e g são contínuas em a e g(a)≠0, então f/g é contínua em a.
3- Se g é contínua em a e f é contínua em g(a), então f ° g é contínua em a.
4- Uma função polinomial é contínua em todos os números.
5- Uma função racional é contínua em todo número no qual está definida.
Exercícios
1- Use as propriedades básicas de função contínua para determinar em quais números as funções dadas são contínuas.
Trace o gráfico das funções.
1- f (x ) = x + | x |
2- f (x ) =| x 2 |
3- f (x ) =
2
x −1
3.4.2- Continuidade em um intervalo
Dizer que uma função f é contínua em um intervalo aberto I significa, por definição, que f é contínua em todos
os números no intervalo I. Por exemplo, a função f (x ) = 9 − x 2 é contínua no intervalo aberto (-3,3)
Da mesma forma, dizer que uma função f é contínua em um intervalo fechado [a,b] significa, por definição que f é
contínua no intervalo aberto (a,b) e que satisfaz as seguintes condições de continuidade nos pontos finais a e b:
lim f (x ) = f (a ) e lim− f (x ) = f (b )
x→a +
x →b
Por exemplo, a função f (x ) = 9 − x 2 é contínua no intervalo fechado [-3,3]
3.5- Limite de Função Composta
Sejam f e g duas funções tais que Imf C Dg. Nosso objetivo é estudar o limite
lim g ( f (x ))
Supondo que lim f (x ) = a é razoável esperar que
x→ p
x→ p
lim g (u ) = lim g (u ) sendo u=f(x)
x→ p
u →a
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Os casos que interessarão ao curso são aqueles em que g ou é contínua em a ou não está definida em a. O quadro que
apresentamos a seguir mostra como iremos trabalhar com o limite de função composta no cálculo de limites.
lim F (x ) = ?
x→ p
Suponhamos que existam funções g(u) e u=f(x), onde g ou é contínua em a ou não está definida em a, tais que
F(x)=g(u) onde u=f(x), x ∈ Df, lim f (x ) = a (u→a para x→p) e que lim g (u ) exista. Então
x→ p
u→ a
lim F (x ) = lim g (u )
x→ p
u →a
Exercícios
1- Calcule os limites
x2 − 1
x −1
a) lim
x →1
(3 − x )
b) lim
3 4
− 16
x −1
3
x →1
c) lim
3
x + 2 −1
x+1
3
3x + 5 − 2
x → −1
d) lim
x2 − 1
x → −1
2) Seja f definida em R. Suponha que lim
x →0
f (3 x )
x→0
x
f x2
b) lim
x→0
x
f (x )
= 1 . Calcule
x
a) lim
( )
c) lim
x →1
(
)
f x2 − 1
x −1
3) Seja f definida em R e seja p um real dado. Suponha que lim
x→ p
a) lim
f ( p + h) − f ( p)
h
b) lim
f ( p + 3h ) − f ( p )
h
c) lim
f ( p − h) − f ( p )
h
h→0
h→0
h→0
f (x ) − f ( p )
= L calcule
x− p
3.6- Limite das Funções Algébricas Racionais Inteiras (Polinomiais)
F ( x ) = a0 .x n + a1 .x n −1 + ... + a n
lim F ( x ) = F ( a )
x→a
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3.7- Limite das Funções Racionais Fracionárias
Q( x )
F( x ) =
g( x )
Q( x ) = a0 .x n + a1 .x n−1 + ... + a n
g( x ) = b0 .x m + b1 .x m−1 + ... + bm
lim
x →a
Q( x ) Q( a )
=
g( x ) g( a )
∗ Se Q( a ) = 0 e g( a ) ≠ 0
0
=0
nº
∗ Se Q( a ) ≠ 0 e g( a ) = 0
nº
0
(
)
a
a função não está definida para x = a
+ ∞
nº 
= − ∞
0 
não existe
nº
→ Calcule :
0
Q( x )

= ±∞
 xlim
+
a
→
g( x )
Q( x )

→ são iguais ∴ lim
= ±∞

x →a g ( x )
 lim Q( x ) = ±∞
 x →a − g( x )

 xlim
 →a +

 lim
 x →a −
Q( x )
= ±∞
g( x )
Q( x )
→ são diferentes ∴ lim
= não existe
x→a g( x )
Q( x )
= m∞
g( x )
Exercícios:
5x + 2
7
7
1) lim 2
=
=−
x →1 4 x − 9
−5
5
2)
3)
4)
x2 − 4
0
=
=0
x →2 5 x + 2
12
lim
lim
x →2
lim
5x
10
=
=?
x−2 0
5x
10

= + = +∞
 xlim
+
→2 x − 2
0
→ ≠ ∴ não existe

5
x
10
 lim
=
= −∞
 x →2 − x − 2 0 −
5x
x→2 (
x −2)
2
=
10
=?
0
5x
10

= + = +∞
 xlim
2
+
0
5x
 →2 ( x − 2 )
→ = ∴ lim
= +∞

x→2 ( x − 2 ) 2
5x
10
 lim
=
=
+∞
 x →2 − ( x − 2 ) 2 0 +
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∗Se Q( x ) = g( x ) = 0
lim
x →a
Q( x ) 0
∞
= → indeterminação = , etc.
g( x ) 0
∞
Exercícios:
x2 − 4 0
=
1) lim
x →2 x − 2
0
( x − 2 )( x + 2 )
lim
x→2
(x−2)
= lim x + 2
x →2
= 2+2
=4
2)
lim
x →2
( x2 − 4 )
2
( x − 3x + 2 )
=
0
0
( x − 2 )( x + 2 )
( x − 2 )( x − 1 )
(x+2)
= lim
x →2 ( x − 1 )
(2+2)
=
( 2 −1)
=4
lim
x→2
3)
lim
z → −2
z 4 + 3z 3 − 4 z
z 2 + 4z + 4
=
(z+2)
(z-1)
0
0
-2
1
1
1
1
z2
(z + 2) 2 .(z − 1).z
z → −2
(z + 2) 2
= (−2 − 1).(−2)
=6
lim
4)
3
0
1
-2
2
0
+ 2z = 0
z = 0 → z

z = −2 → (z + 2)
-4
0
0
t3 +1 0
=
x → −1 t + 1
0
lim
(t+1)
1
1
0
0
1
-1
1
( t + 1 ) . ( t2 - t + 1 )
1
0
0
( t + 1)( t 2 − t + 1)
x → −1
( t + 1)
lim
= ((−1) 2 − (−1) + 1)
=3
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3.8- Limite das Funções Irracionais
x+2 − 2 0
lim
=
x →0
x
0
(
)(
(
x+2 − 2
⋅
x
lim
=
x+2 +
x
x+2 + 2
)
=
1
x+2 + 2
1
x+2 + 2
x →0
=
)= x+2−2 =
2 ) x.( x + 2 + 2 ) x.(
x+2 + 2
1
1
=
2+ 2
2 2
⋅
2
2
2
4
Outra maneira:
Substituição de Variável
lim
x →0
x+2 − 2 0
=
x
0
x + 2 = t 2

2
x = t − 2

 x → 0 ∴ t → 2
lim
t− 2
t→ 2
t2 − 2
t− 2
= lim
t→ 2
= lim
1
t→ 2
=
(t + 2 )(t − 2 )
t+ 2
1
2+ 2
=
2
4
3.9- Limites Envolvendo Infinito
Definições:
1) Dizemos que um elemento c é finito quando c ∈ R e dizemos que c é infinito quando c é um dos símbolos
+∞ ou -∞.
Obs.: quando valer a frase do limite para b finito ou infinito, diremos que existe o limite e indicaremos por
c
∃ lim f ( x ) = 
. Em caso contrário diremos que não existe o limite e escreveremos
x →b
+ ∞
 lim f ( x )
 x→b +
∃ lim f ( x ) = 
x →b
f(x)
 xlim
→b −
≠.
2) Seja f definida em um intervalo (c, +∞). A afirmação lim f ( x ) = L , significa que a todo ε > 0
x →∞
corresponde um número positivo N, tal que | f (x) – L | < ε ∀ x > N.
3) Seja f definida em uma vizinhança perfurada de a, a afirmação f (x) se torna infinita quando x tende para a
que se escreve: lim f ( x ) = ∞ , significa que para todo número positivo N, corresponde um δ > 0 / f (x) >
x →a
N sempre que 0 < | x – a | < δ.
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46
y
(a-δ)
a
(a+δ)
x
3.10- Limite das Funções Algébricas Racionais Inteiras (Polinomiais)




lim  a 0 x n + a 1 x n −1 + ... + a n 
23
x → ∞ 1


 grau mais alto
+ ∞

lim a 0 x n = ou
x →∞
− ∞

Exercícios
1) lim 5 x 3 + 4 x 2 − 2 x − 1
x →−∞
(
)
lim 5 x 3 = −∞
x → −∞
2)
(
lim 5 x 2 + 3 x − 2
x → −∞
)
lim 5 x 2 = +∞
x → −∞
3.11- Limite das Funções Racionais Fracionárias
a .x n + a1 .x n −1 + ... + a n
lim 0 m
x →∞ b .x + b .x m −1 + ... + b
0
1
m
lim
x →∞
a0 .x n
b0 .x m
Se :
∗ n > m ⇒ +∞ou − ∞
∗n<m⇒0
a
∗n=m⇒ 0
b0
Exemplos:
5x 3 + 4x − 2
1) lim
x → −∞ 2 x 2 + 6 x − 1
lim
5x 3
x → −∞
2)
lim
x →∞
2x 2
= −∞
2x 2 + 3x − 4
x 3 + 5x + 2
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47
lim
2x 2
x →∞
3)
lim
x → −∞
lim
x → −∞
x
=
3
2
=0
∞
6 x 5 + 2x 3 − 4
4x 5 + 4x 4 + 2x 3 − x − 4
6 x5
4x
5
=
3
2
Indeterminações:
+ ∞ − (+ ∞ ), − ∞ − (− ∞ ), 0.∞ ,
∞ 0 ∞ 0 0
, ,1 ,0 ,∞
∞ 0
3.12- Seqüência e Limite de Seqüência
Uma seqüência ou sucessão de números reais é uma função n a a n , a valores reais, cujo domínio é um
subconjunto de N. As seqüências que vão interessar ao curso são aquelas cujo domínio contém um subconjunto do tipo
{n ∈ N / n ≥ q} onde q é um natural fixo; só consideraremos tais seqüências.
Exemplos:
1- Seja a seqüência de termo geral a n = 2 . Temos
n
a0 = 2 0 , a1 = 2 1 , a 2 = 2 2 ,K
2- Seja a seqüência de termo geral s n = 1 + 2 + 3 + K + n temos
s1 = 1, s 2 = 1 + 2 , s 3 = 1 + 2 + 3 etc.
Sejam m ≤ n dois naturais. O símbolo
n
∑ ak
k =m
leia: somatório de a k , para k variando de m até n e é usado para indicar a soma dos termos a m , a m +1 , a m + 2 ,K a n
Definição: Consideremos uma seqüência de termo geral a n e seja a um número real.
Definimos
(i) lim a n = a Para todo ε > 0 , existe um natural n0 tal que n > n0 ⇒ a − ε < a n < a + ε
n → +∞
(ii) lim a n = +∞ Para todo ε > 0 , existe um natural n0 tal que n > n0 ⇒ a n > ε
n→ +∞
(iii) lim a n = −∞ Para todo ε > 0 , existe um natural n0 tal que n > n0 ⇒ a n < −ε
n→ +∞
Se lim a n = a , diremos que a seqüência de termo geral a n converge para a ou, simplesmente, que a n converge para
n → +∞
a e escrevemos a n → a . Se lim a n = +∞ , diremos que a n para +∞ e escrevemos a n → +∞ . Observamos que as
n → +∞
definições dadas aqui são exatamente as mesmas que demos quando tratamos com limite de uma função f(x), para
x → +∞ ; deste modo, tudo aquilo que dissemos sobre os limites da forma lim f (x ) aplica-se aqui.
n→ +∞
Exercícios
1- Calcule os limites
2n + 3
a- lim
n→ +∞ n + 1
2n + 1
b- lim n
n→ +∞ 3 + 2
n
1
 
∑
n→ +∞
k =0  2 
k
c- lim
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2- Supondo que 0<b<1, calcule lim b n
n→ +∞
3- Suponha a>1. Mostre que lim a n = +∞
n→ +∞
n
4- Considere a seqüência de termo geral s n = ∑ t k , t≠0 e t≠1. Verifique que s n =
k =0
1 − t n +1
1−t
3.13- Limite das Funções Transcendentais
Exemplos:
1) lim ln( x 2 + 4 ) − ln( 2 x − 1 ) = ∞ − ∞ → indeterminação
x →∞
(
)
 x2 + 4 

lim  ln

x → ∞
 2x − 1 
x2 + 4
x →∞ 2 x − 1
x2
= ln lim
x →∞ 2 x
=∞
= ln lim
2)
sen x 0
= → indeterminação
x →0
x
0
sen x
= 1 → lim . notável
lim
x →0 x
sen x
(
f (x) =
=
x
0
lim
)
3.14- Limites Notáveis
sen u
= 1 (1o Limite Fundamental)
1) lim
u →0 u
Demonstração:
sen t
lim
t →0 t
sen t
f (t ) =
t
 π
t ∈ 0 , 
 2
1
P
-1
T
A
O
M
t
2
sen t
sen t
S ∆OQQ´ =
S ∆OQP =
2. cos t
2
1 sen t t sen t
∗
> >
x( 2 )
2 cos t 2
2
sen t
> t > sen t
÷ (sen t )
cos t
1
t
>
>1
( inverte − se e troca − se os sinais )
cos t sen t
sen t
> cos t
1>
t
S OQP =
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49
∗ lim
t →0
sen t
t
sen t
> lim cos t
t →0
t
sen t
>1
1 > lim
t →0 t
sen t
lim
=1
t →0 t
Exemplo:
5. sen 5 x
1) lim
x→0
5x
sen 5x
= 5. lim
x → 0 5x
14243
lim 1 > lim
t →0
t →0
=1
= 5.1 = 5
2)
lim ( 1 + u )
u →0
1
u
=e
(2o Limite Fundamental)
Exemplos:
1)
2)
3)
lim ( 1 + x )
1
x
x →0
=e
lim ( 1 + tan x )
1
tan x
x →0
lim ( 1 + x ) 2
x →0
=e
x
1 

=  lim (1 + x ) x 
 x →0

2
= e2
k
lim (1 + x ) x = e x
x →0
1
4)
5)
x
1
lim (1 + x ) 2 = e 2
x →0
1
x →0
x
2x = y ⇒ x → 0 ⇒ y → 0
y
x=
2
lim (1 + 2 x )
2
= lim (1 + y ) y = e 2
y →0
1
lim (1 + kx ) x = e k
x →0
3)
tan u
=1
u →0 u
sen u 1
lim
⋅ =
u →0 cos u u
sen u
1
lim
⋅ lim
=1
u →0 u
cos
u
123 u →0 1
23
lim
=1
=1
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u
4)
 1
lim 1 +  = e
u →∞
u
1
* Substituir: = y ⇒ u → ∞ ⇒ y → 0
u
1
lim (1 + y ) y = e k
x →0
Exemplos:
 1
lim 1 + 
u → ∞
u
ku
= ek
u
 k
lim 1 +  = e k
u →∞
u
 1
lim 1 + 
x → ∞
x
5x
= e5
x
 3
lim 1 +  = e 3
x → ∞
x
 3
lim 1 + 
x → ∞
x
5)
5x
= e15
lim =
u →0
a u −1
= ln a
u
* Substituir: a u − 1 = y ∴ a u = y + 1
u→0⇒ y→0
u = log a (y + 1)
log a (1 + y) 

y
=  lim

y →0 log a (1 + y)
y
0
→
y


* lim
−1


1
=  lim ⋅ log a (1 + y)
y
0
→
y



1


= log a lim (1 + y) y 
y →0
14243 

=e


1
1
1
=
=
=
1
log a e log e e
log e a log e a
1

=  lim log a (1 + y) y 
 y →0



−1
−1
= [log a e]−1
= log e a
= ln a
6)
e u −1
=1
u →0
u
7)
log(1 + u )
= log a e
u →0
u
lim
lim
1
* lim log a (1 + u ) u = log a lim (1 + u )
u →0
8)
u →0
1
= log a e
u
ln (1 + u )
=1
u →0
u
lim
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Limites Notáveis
sen u
=1
1) lim
u →0 u
2)
3)
lim (1 + u )
1
=e
u
u →0
lim
u →0
tan u
=1
u
u
4)
 1
lim 1 +  = e
u →∞
u
5)
lim =
6)
7)
8)
u →0
a u −1
= ln a
u
e u −1
=1
u →0
u
log(1 + u )
lim
= log a e
u →0
u
ln (1 + u )
lim
=1
u →0
u
lim
3.15- Assíntotas Horizontais e Verticais
Assíntotas são retas que tangenciam o gráfico de uma função, no infinito, e normalmente são paralelas aos
eixos x e y. Estes próprios eixos podem ser assíntotas.
Assíntota Vertical
Dizemos que a reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico de f se for verificada uma das seguintes
condições:
1) lim+ f ( x ) = +∞
x →a
y
2) lim+ f ( x ) = −∞
x →a
Assíntota
3) lim− f ( x ) = +∞
Vertical
x →a
4)
lim f ( x ) = −∞
x →a −
x
a
y = f (x)
x = a (A.V.)
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Assíntota Horizontal
Dizemos que a reta y = b é uma assíntota horizontal do gráfico de f se uma das condições abaixo for
verificada:
1) lim f ( x ) = b
x →∞
y
2) lim f ( x ) = b
x → −∞
Assíntota
b Horizontal
y = f (x)
Df = {x ∈ R / x ≠ 0}
lim+ f ( x ) = +∞
x
-∞
x →a
lim f ( x ) = −∞
x →a −
x = a (A.V.)
lim f ( x ) = b
x → −∞
y = b (A.H.)
lim f ( x ) = b
x → +∞
y = c (A.H.)
Assíntotas verticais envolvem limites infinitos, enquanto que assíntotas horizontais envolvem limites no infinito
Exercícios
1) Determinar as assíntotas e fazer um gráfico de f ( x ) =
Df = {x ∈ R / x ≠ 2}
1
.
x−2
y
Assíntota
Vertical
Assíntota
Horizontal
x
-1/2
2
Para x=0 → y = -1/2
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1
1
= − = −∞
x→2 x − 2
0
1
1
= + = +∞
lim+
x→2 x − 2
0
x = 2 → A.V.
1
=0
lim
x → +∞ x − 2
1
=0
lim
x → −∞ x − 2
y = 0 → A.H.
lim−
53
2) f ( x ) =
4x
x−2
4x
≥0
x−2
Df = {x ∈ R / x ≤ 0 ou x > 2
Df = {x ∈ R /
Para x = 0 → y = 0
y
y=
2
2
x
lim
x →2+
4x
x−2
4x
=
x−2
4x
=
x−2
y = 2 → A.H.
lim
x → −∞
lim
x → +∞
3) Dada a função f(x) =
4) Seja y = f(x) =
lim
4x
=
x−2
lim
4x
= 4=2
x−2
x →2+
x → −∞
8
0+
= +∞
4x
=2
x−2
2x − 6
, achar as assíntotas.
x −5
4
. Achar as assíntotas.
2x − 3
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