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FACULDADES INTEGRADAS DE ITARARÉ – FAFIT
BIANCA MARIA DA SILVA SOUZA
A IMPORTÂNCIA DA MANIPULAÇÃO DE SÓLIDOS NO PROCESSO ENSINOAPRENDIZAGEM DA GEOMETRIA
ITARARÉ
2011
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BIANCA MARIA DA SILVA SOUZA
A IMPORTÂNCIA DA MANIPULAÇÃO DE SÓLIDOS NO PROCESSO ENSINOAPRENDIZAGEM DA GEOMETRIA
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado
como requisito final para obtenção do grau de
Licenciatura em Matemática das Faculdades
Integradas de Itararé – FAFIT.
Prof. Orientador: Paulo Henrique C. A. da
Cruz.
ITARARÉ
2011
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FOLHA DE APROVAÇÃO
BIANCA MARIA DA SILVA SOUZA
A IMPORTÂNCIA DA MANIPULAÇÃO DE SÓLIDOS NO PROCESSO ENSINOAPRENDIZAGEM DA GEOMETRIA
Trabalho de Conclusão de Curso apresentado
como requisito final para obtenção do grau de
Licenciatura em Matemática das Faculdades
Integradas de Itararé – FAFIT, pela seguinte
banca examinadora:
BANCA EXAMINADORA
_____________________________________
Prof. Paulo Henrique C. A. da Cruz
orientador
_____________________________________
Prof. Anderson Antonio de Araujo
____________________________________
Prof. Cristina M. Weiss
Itararé, 21 de maio de 2011
4
Dedico este trabalho primeiramente a Deus, pois é Ele que nos dá força e sabedoria
para enfrentarmos os obstáculos e desafios da vida.
Ao meu esposo e à minha filha, pelo amor, carinho, incentivo e principalmente
paciência nos momentos mais difíceis.
Aos meus pais, que me incentivaram e acreditaram nos meus ideais e aos meus
amigos que de certa forma me ajudaram nessa jornada.
5
AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus pela força que tem me dado nesses últimos anos e pela
direção correta que tomei e por dar-me a oportunidade de conhecer tantas pessoas
boas que tem cruzado o meu caminho.
Agradeço a Ele todas as vitórias e conquistas alcançadas durante toda a
minha vida.
Agradeço aos meus pais, João e Lúcia pela força e incentivo e especialmente
ao meu esposo Esequiel e minha filha Isabelle, pelo apoio e pela compreensão
estando sempre ao meu lado, entendendo-me nos momentos de ausência, dandome apoio e carinho.
Ao meu professor e orientador Paulo Henrique C. A. da Cruz, pelas valiosas
contribuições, indicações e sugestões na elaboração desse trabalho.
Aos colegas e professores do curso, por tudo o que com eles aprendi e por
partilharem a construção do meu estudo. Em especial, aos amigos Elison e Sérgio:
valeram os momentos de conversas, discussões e distrações.
A todos, muito obrigada.
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“Melhor que o estudo do espaço, a Geometria
é a investigação do „espaço intelectual‟, já
que, embora comece com a visão, ela
caminha em direção ao pensamento, indo do
que pode ser percebido para o que pode ser
concebido”.
Wheeler
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RESUMO
A manipulação dos sólidos geométricos no ensino da Geometria é um aspecto
primordial para a construção dos conhecimentos dos alunos, necessitando de uma
maior reflexão em torno desse assunto. Dessa forma, este estudo procura
compreender a Geometria em seu contexto histórico-social, abordando esse ramo
da matemática como de essencial importância para o entendimento do aluno com
relação ao espaço e medidas. Nesse sentido, a ênfase dada é sobre a importância
da fundamentação teórica nas séries iniciais do Ensino Fundamental para o melhor
desempenho do aluno no Ensino Médio. Assim sendo, aborda a didática geométrica
como algo relevante no ensino da Geometria, priorizando o lúdico como um aliado
nesse processo. Analisa a importância da manipulação dos sólidos geométricos na
construção de conhecimentos de Geometria, percebendo a relevância de atividades
práticas no ensino da mesma, bem como promovendo um estudo e apresentando
propostas de ensino voltadas ao ensino-aprendizagem da Geometria. O estudo
parte de uma revisão bibliográfica, embasando-se em diferentes autores como
Baldissera, Boyer, Pavanello, dentre outros, favorecendo a análise e reflexão em
torno do assunto abordado.
PALAVRAS-CHAVE: Geometria. Manipulação. Sólidos Geométricos. Lúdico.
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SUMÁRIO
1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................... 09
2 O PENSAR GEOMETRIA NO CONTEXTO HISTÓRICO SOCIAL ....................... 11
2.1 ESPAÇO E MEDIDAS NA CONCEPÇÃO INFANTIL .......................................... 13
2.2 DIDÁTICA GEOMÉTRICA................................................................................... 16
3 O CONTEÚDO DA GEOMETRIA NO ENSINO FUNDAMENTAL ......................... 22
3.1 A IMPORTÂNCIA DA FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA PARA O ENSINO MÉDIO
.................................................................................................................................. 23
3.2 SISTEMATIZAÇÃO DA GEOMETRIA NO ENSINO FUNDAMENTAL ................ 24
3.3 GEOMETRIA LÚDICA E AS SÉRIES INICIAIS ................................................... 25
4 A PRÁTICA DO ENSINO DE GEOMETRIA NA ESCOLA PÚBLICA ................... 28
4.1 HABILIDADES E COMPETÊNCIAS DA PROPOSTA CURRICULAR DO
ESTADO DE SÃO PAULO ........................................................................................ 31
4.2 PROPOSTA DE PROCEDIMENTOS DE AVALIAÇÃO ....................................... 33
5 UMA PROPOSTA DE ENSINO DE GEOMETRIA ................................................. 35
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS ................................................................................... 38
REFERÊNCIAS ......................................................................................................... 39
ANEXOS ................................................................................................................... 42
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1 INTRODUÇÃO
O presente estudo tem como tema central a importância da manipulação dos
sólidos no processo ensino-aprendizagem da Geometria, analisando a relevância e
aplicação de atividades práticas com sólidos geométricos.
O ensino-aprendizagem da matemática é algo que precisa de uma atenção
especial dos educadores da área, visto que são muitos os alunos que apresentam
dificuldades, principalmente quando se adentram aos conteúdos de Geometria, que
são conteúdos que necessitam de um trabalho voltado mais para a prática para ser
bem compreendido.
Nesse sentido, o presente estudo procura enfatizar a importância e aplicação
de atividades práticas envolvendo a manipulação dos sólidos geométricos, a fim de
despertar nos alunos maior interesse pelos conteúdos, bem como oportunizar aos
mesmos avançar em sua aprendizagem.
Dessa forma, se justifica no sentido de fazer um levantamento das principais
técnicas e métodos, delineando caminhos que possam ser percorridos tanto pelos
alunos como pelos educadores.
Sob uma perspectiva de compreender o problema que muitos educadores
encontram no ensino da Geometria, este estudo visa responder a seguinte questão:
Como aplicar os conteúdos de Geometria em sala de aula, partindo de uma
abordagem prática?
Partindo dessa perspectiva, o presente estudo tem como objetivo primordial
realizar um estudo voltado ao ensino e aprendizagem da Geometria, enfatizando a
importância de se aliar teoria à prática nesse processo. Sendo que apresenta como
principais objetivos: apresentar aspetos históricos relacionados à Geometria;
compreender como ocorre o ensino da Geometria tanto nas séries iniciais do Ensino
Fundamental como no Ensino Médio; analisar a importância da manipulação dos
sólidos geométricos na construção de conhecimentos; perceber a relevância de
atividades práticas, estudar e apresentar propostas de ensino.
Em especial, no segundo capítulo deste trabalho será apresentado o conceito
de Geometria no histórico-social, analisando o espaço e medidas na concepção
infantil e abordará a didática geométrica, considerando a relevância da teoria aliada
à prática.
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No terceiro capítulo tratará dos conteúdos e a sistematização da geometria no
Ensino Fundamental dando ênfase a fundamentação teóricas para o Ensino Médio e
abordará o trabalho da geometria de forma lúdica desenvolvendo sua prática com a
manipulação dos sólidos geométricos no processo ensino-aprendizagem.
O quarto capítulo fará uma análise de como é o ensino da Geometria nas
Escolas Públicas através da Proposta Curricular do Estado de São Paulo e abordará
o seu sistema de avaliação.
No quinto capítulo será apresentado uma proposta de ensino da Geometria
relevando a importância do trabalho do educador com o lúdico e com a manipulação
de sólidos, para que as aulas de geometria se torne mais interessante e se tenha o
resultado esperado.
Quanto à metodologia utilizada o presente estudo partiu da análise e reflexão
de diferentes fontes como livros, revistas, artigos ou mesmo textos informativos,
analisar diferentes abordagens de diferentes autores sobre o presente tema em
questão.
Nessa perspectiva, esta pesquisa busca por meio de dados bibliográficos
enfatizar o ensino e a aprendizagem da Geometria através da manipulação dos
sólidos, priorizando que as técnicas e métodos utilizados pelo educador muito
influenciam no processo ensino-aprendizagem dos alunos, tornando-o satisfatório ou
não.
Considerar essas técnicas e métodos é de fundamental importância, visto que
é um ramo da matemática que necessita ser trabalhado de forma concreta para
garantir a aprendizagem dos alunos.
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2 O PENSAR GEOMETRIA NO CONTEXTO HISTÓRICO SOCIAL
O ensino e aprendizagem da Geometria é algo que necessita de cuidados
especiais, visto que as dificuldades dos alunos são muitas, e que muitas vezes estão
ligadas às estratégias didáticas que o educador trata em sala de aula, que em
muitos casos parte de embasamentos teóricos, sem realizar a devida prática para
que os conteúdos geométricos sejam de fato compreendidos pelos alunos.
Nessa linha de entendimento, é notório enfatizar o conceito de Geometria,
bem como os aspectos históricos a ela ligados, a fim de melhor compreender as
influências que a mesma sofre e como deve ser abordada para garantir um ensinoaprendizagem de qualidade.
Conforme Schuler (2009, NÃO PAGINADO) a Geometria é:
O ramo da matemática que se propõe a estudar as figuras existentes
na natureza através das propriedades de seus elementos definindo,
caracterizando e padronizando suas formas e dimensões, facilitando
assim seu próprio desenvolvimento e o de outras áreas do
conhecimento científico e tecnológico.
A este propósito, a Geometria é um ramo da matemática que facilita a
compreensão do aluno do meio ao qual se encontra inserido, analisando as
propriedades e elementos desse meio, bem como favorecendo a compreensão do
aluno no que se refere a outras áreas de conhecimento.
Além disso, esse ramo da matemática, para ser bem compreendido, necessita
que o educador inicie primeiro com os aspectos históricos a ela ligados, ou seja, de
como a Geometria surgiu e evoluiu ao longo dos tempos, quais suas utilidades e
como pode ser utilizada na prática.
A origem da Geometria (do grego medir a terra) está ligada a
algumas práticas do cotidiano relacionadas ao plantio, construções e
movimento dos astros, sendo usada para cálculo de áreas,
superfícies e volumes. Seu estudo iniciou-se na antiguidade, nas
civilizações egípcia e babilônica por volta do século XX a.C. (BRAZ,
2009, p. 09).
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Cumpre assinalar que sua origem se encontra vinculada às questões
bastantes práticas, em que os egípcios e babilônios se utilizavam da mesma para
calcular áreas, superfícies e volumes, partindo de uma lógica.
No que diz respeito à História da Geometria, Boyer (1996) compreende que
os primeiros indícios apareceram quando Heródoto dizia que a origem da mesma
estava na necessidade prática da elaboração de novas medidas de terra, bem como
quando Aristóteles afirmava que sua origem estava no lazer sacerdotal e ritual,
sendo que ambos não eram audaciosos o suficiente para sugerir que a Geometria já
iniciava suas atividades antes mesmo dos povos egípcios.
Segundo o mesmo autor, a Geometria desenvolveu-se inicialmente nos povos
egípcios, quando aconteciam as cheias do Rio Nilo, que resultavam no
cancelamento das divisas entre as glebas, sendo que os métodos dessa geometria
prática apesar de não terem grande precisão matemática, cumpriam sua tarefa.
A Geometria para Heródoto (século V, a.C.) teve sua origem na agrimensura
ou medição de terrenos, em que as terras eram repartidas de forma igual. Isso para
até mesmo facilitar no momento de cobranças de impostos. Considera-se ainda que
as civilizações antigas possuíssem muitos conhecimentos referentes à Geometria,
isso desde a Babilônia até a China, passando até mesmo pelas civilizações Hindus
(BOYER, 1996).
A partir daí percebe-se que a origem da Geometria se encontra ligada a
algumas práticas do próprio cotidiano, como o plantio, as construções e até mesmo
o movimento dos astros, sendo utilizada para calcular áreas, superfícies e volumes
(BRAZ, 2009).
Logo, Euclides de Alexandria (325-285 a. C.), assim como Platão,
desenvolveram uma concepção dando ênfase às demonstrações bastante rigorosas
e dedutivas, deixando de lado as verificações meramente experimentais, publicando
o tratado Elementos, por volta de 300 a.C., o qual foi publicado em treze volumes,
sendo que a Geometria Euclidiana foi assim denominada com o intuito de
homenagear a Euclides (BOYER, 1996).
Nas obras de Euclides, ele toma como base os precedentes gregos
Pitagóricos, Eudóxio e Taeteto, organizando suas teorias em matérias sistemáticas,
partindo de princípios e definições. Com isso foi inaugurado o método axiomático, o
qual perdurou durante mais de vinte séculos, contribuindo de forma marcante na
matemática, bem como a outros campos do saber (BOYER, 1996).
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É importante ressaltar que esse conhecimento da história da Geometria ao
longo da história é um fator imprescindível no ensino e aprendizagem desse ramo de
conhecimento, já que por meio desses conhecimentos históricos os alunos são
levados a refletirem sobre os usos práticos da mesma.
Segundo Baldissera (2007, p. 04-05):
A Geometria é o ramo da matemática que estuda as formas, planas
e espaciais, com as suas propriedades. A Geometria permite-nos o
uso dos conceitos elementares para construir outros objetos mais
complexos como: pontos especiais, retas especiais, planos dos mais
variados tipos, ângulos, médias, centros de gravidade de objetos.
Nessa perspectiva de estudo, a Geometria enquanto ramo da matemática,
para ser bem ensinada, necessita da utilização de uma série de técnicas e
metodologias que não consistem apenas na teoria, mas também em atividades
práticas, onde os alunos possam perceber a utilidade da mesma na sua vida
cotidiana.
2.1 ESPAÇO E MEDIDAS NA CONCEPÇÃO INFANTIL
De acordo com Pavanello (2001) o ensino e aprendizagem da Geometria ao
longo dos tempos passaram por inúmeras mudanças e transformações, sendo que
muitos fatos históricos demonstram sua utilidade desde os tempos antigos até os
tempos atuais, o que remete a ideia da importância de uma maior compreensão
sobre este tema.
Assim como a matemática surgiu para suprir algumas necessidades básicas,
como a necessidade econômica de se contabilizar diversos tipos de objetos, a
Geometria surgiu como uma forma de contribuição à vida humana, visto que surgiu
inicialmente com o intuito de medir terras, melhorando o sistema de arrecadação de
impostos, sendo que foram os egípcios que iniciaram o desenvolvimento da mesma
como uma disciplina (BOYER, 1996).
A partir daí a história da matemática nas instituições escolares muito poderia
auxiliar os educadores e alunos para que o processo ensino-aprendizagem
acontecesse de forma satisfatória, pois para sua real compreensão nos dias atuais é
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preciso sua compreensão ao longo dos tempos, enriquecendo a prática educativa
(PAVANELLO, 1993).
Contudo, a autora relata que infelizmente isso não ocorre, pois o ensino da
Geometria no Brasil não tem sido tratado como deveria, retratando um gradual
abandono, o que tem preocupado os educadores da disciplina de matemática, pois
esse ramo deveria ser trabalhado de forma mais coerente.
Ao analisar a teoria de Piaget (1986), sobre como se processa o
desenvolvimento cognitivo da criança, essa questão ganha ainda mais ênfase, visto
que o autor acredita que as crianças aprendem melhor partindo de situações
concretas, o que precisa ser mediado pelo educador, aliando teoria à prática, o que
inicia com o ensino de espaço e medidas.
Cabe ao educador a elaboração de atividades diferenciadas onde as crianças
sejam levadas a manipular os sólidos, de forma concreta e contextualizada,
percebendo sua presença e utilidade em sua vida cotidiana, já que Piaget acredita
que o conhecimento é resultado das relações estabelecidas entre o sujeito e o meio,
o que é facilitado por meio da incidência de instrumentos concretos.
A este respeito, Vygotsky (1987) destaca que o desenvolvimento cognitivo da
criança ocorre por meio da interação social, por meio de objetos fornecidos pela
cultura, ou seja, para ele a dimensão intelectual aparece em segundo plano.
Segundo o mesmo autor, a elaboração de conceitos ocorre por meio dos
diferentes tipos de organização lógica dos objetos, o que é valorizado por meio de
abstrações, análises e generalizações, que ocorrem nos mais diversos momentos de
seu desenvolvimento intelectual. Dessa forma, valorizar a dimensão histórico-cultural
no ensino da Geometria é muito importante para o aprendizado do aluno.
Ao ensinar conceitos ligados à Geometria, como espaço e medidas, é preciso
que o educador tenha em mente que no processo de resolução de problemas
geométricos não consiste apenas em conhecer aspectos ligados à álgebra,
aritmética e a diversidade de fórmulas encontradas em livros, mas é algo muito mais
abrangente, em que são levadas em conta noções espaciais as quais permitem uma
maior interpretação das imagens que são trabalhadas em sala de aula. Assim,
evidencia-se a importância do trabalho com espaço e medidas na educação infantil,
o que influenciará para a aprendizagem de conceitos mais abrangentes nas demais
séries.
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O trabalho com conceitos de Geometria deve ser iniciado a partir de
atividades contextualizadas, e não meramente mecânica, com a dedução de
fórmulas e resolução de exercícios que muitas vezes se encontram dissociada da
realidade do aluno.
A este respeito, Pavanello (2001, p. 183) ressalta que o educador ao ensinar
Geometria, não se preocupa “[...] em trabalhar as relações existentes entre as
figuras, fato este que não auxilia o aluno a progredir para um nível superior de
compreensão de conceitos”.
O que faz entender que as dificuldades dos alunos advêm da forma como seu
ensino é conduzido, com a utilização de técnicas e métodos tradicionais e
mecânicos.
Na verdade isso acontece devido ao fato de os educadores considerarem que
a aprendizagem de conceitos matemáticos são objetos prontos, ou seja, que não
precisam ser construídos pelos alunos. O que não é verdade, pois na aprendizagem
de conceitos matemáticos, como qualquer outro conceito que a criança for aprender,
deve partir de vivências, da superação de dificuldades, bem como suas soluções, o
que provoca profundas mudanças de concepção dos alunos, auxiliando seu ensinoaprendizagem (VERGNAUD, 1990).
No ensino de conceitos que fazem parte da Geometria, isso é imprescindível,
pois por meio de vivências e experiências concretas a criança terá mais
oportunidade de aprender os conteúdos, participando e atuando de forma
significativa em sala de aula, bem como no ambiente em que se encontra inserido.
O aluno precisa perceber que o mundo é repleto de formas a sua volta, o que
cabe ao educador desenvolver essa percepção no aluno, conectando a Geometria
com outras áreas de conhecimento, o que torna a prática pedagógica mais eficaz e
de qualidade, propiciando o aluno a desenvolver uma visão mais ampla do mundo
que o cerca, o que remete a ideia do resgate do abstrato ao concreto
(BALDISSERA, 2007).
A manipulação de sólidos geométricos na educação infantil é o ponto de
partida para o ensino da Geometria, se constituindo como uma alternativa utilizada
pelo educador com o intuito de ensinar diferentes conceitos desse ramo de
conhecimento, visto que parte de vivências e experiências contextualizadas e
significativas para o aluno.
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2.2 DIDÁTICA GEOMÉTRICA
No ensino e aprendizagem da Geometria é fato primordial considerar a
relevância da teoria aliada à prática. Isso para garantir um ensino contextualizado e
de qualidade, que pode ser realizado através da manipulação dos sólidos, sendo
que para que isso seja concretizado é necessário levar em consideração a didática
geométrica, isto é, a forma como o educador ensina os conteúdos geométricos.
Considerando o fato de que o educador ao passar os conteúdos geométricos
para os alunos, muitas vezes esses conteúdos não fazem sentido algum para eles,
pois a Geometria que é ensinada sempre parte da Geometria Plana, apresentada
aos alunos como figuras achatadas, as quais se encontram desenhadas nos livros
didáticos, o que indica que é dada pouca ênfase à tridimensionalidade, ou seja, não
ocorre visualização dos objetos sólidos no espaço, a representação das suas formas
e principalmente não se estabelece relações com os objetos e realidade.
Complementando esta idéia o ensino partindo da manipulação dos sólidos, a
fim de tornar a aprendizagem do aluno mais contextualizada, é algo que cabe ao
educador entender a importância da teoria aliada à prática para dar a real
significação dos conteúdos trabalhados com os alunos.
Isso pode ser realizado por meio do lúdico, a partir de atividades em que os
alunos compreendam de forma concreta os conteúdos que lhe são apresentados.
Nas séries iniciais o professor poderá trabalhar primeiramente com as formas mais
usadas e conhecidas pelos alunos, como por exemplo, o cubo mágico (Figura 01) e
o dado, para lembrar o cubo, ou conforme se observa na Figura 02 cones de lã,
chapéu de aniversário e casquinha de sorvete, para lembrar o cone, latas de
embalagem ou presente e extintor de incêndio para lembrar o cilindro, caixas de
sapato e de fósforo, para lembrar o paralelepípedo, a bola de futebol para lembrar a
esfera, entre diversos outros objetos.
Com a visualização destes objetos fica mais fácil de demonstrar aos alunos o
que é aresta, vértice e face; quais objetos possuem corpos redondos e quais não; os
que rolam e os que não rolam, etc., e fazendo a planificação de alguns objetos
poderá demonstrar a composição e decomposição de figuras espaciais em planas.
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FIGURA 01: Cubo Mágico.
FONTE: Blog Vivendo Matemática, 2010.
FIGURA 02: Sólidos Geométricos.
FONTE: site Escola Kids, 2011.
No ensino sobre as figuras planas o professor poderá utilizar a malha
quadriculada (Figura 03) e o geoplano de madeira (Figura 04), onde os alunos
poderão construir diversas figuras utilizando linha ou elástico. Também com este
mesmo material os alunos poderão associar perímetro e área das figuras planas.
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FIGURA 03: Malha Quadriculada.
FONTE: Blog Conversando com a matemática, 2010.
FIGURA 04: Geoplano.
FONTE: Portal do professor, 2010.
Com estas atividades diferenciadas e através da manipulação e visualização
dos objetos, a geometria poderá ser ensinada de maneira prazerosa, mesmo
enfrentando algumas frustrações nesse processo. O educador enquanto mediador
do conhecimento do aluno precisa desvincular o aprendizado da matemática de uma
prática exaustiva tradicional, propondo novas formas de aprender, se apropriando de
novas estratégias de ensino, bem como utilizando recursos que tornem o
aprendizado do aluno um intercâmbio de relações criativas.
Assim sendo, ao utilizar jogos (Figura 05) e brincadeiras lúdicas no ensino de
Geometria, o educador estará favorecendo tanto o desenvolvimento intelectual do
aluno, como também a sua interação, o que faz com que seu aprendizado seja ainda
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mais eficaz, já que passa a ver a matemática com um novo olhar, adquirindo um
maior prazer pela presente disciplina.
FIGURA 05: Dominó das Formas.
FONTE: Site emule, 2009.
Outra atividade que desperta grande interesse pelos alunos por ser um
desafio, é o tangram (Figura 06), sendo um jogo chinês milenar, constituído por sete
peças, conhecido como “as sete peças da sabedoria”. O tangram é um “quebracabeça”, podendo formar mais de 1.700 figuras como objetos, números, animais,
pessoas (Figura 07), formas geométricas sem sobrepô-las, desenvolvendo a
criatividade e raciocínio-lógico, fundamentais para o estudo da matemática.
FIGURA 06: Tangram
FONTE: Site Ensinar EVT, 2007
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FIGURA 07: Figuras com tangram.
FONTE: www.sempretops.com.br, 2009.
Baldissera (2007) salienta a importância da Geometria na vida cotidiana do
aluno quando relata que futuramente os conteúdos geométricos serão utilizados
pelos alunos em seu trabalho, o que remete a ideia da relevância do conhecimento e
da construção desses conhecimentos pelos alunos em sua formação. Contudo, esse
conhecimento precisa partir de atividades práticas e lúdicas, orientando os alunos
como utilizá-los em sua vida, o que deve ser realizado por meio da manipulação dos
sólidos geométricos.
O autor acredita que os educadores necessitam ter uma boa formação para
desenvolver uma prática pedagógica de qualidade, aprendendo que a partir da
manipulação dos sólidos geométricos é possível ensinar os conteúdos de Geometria
de forma significativa e contextualizada, o que implica o comprometimento do
educador com esta questão, que precisa desde cedo realizar essas intervenções.
Na Educação Infantil como supra mencionado, os alunos já iniciam os
conhecimentos com relação aos conceitos geométricos, através da manipulação e
classificação de objetos e brinquedos, com a utilização do lúdico, de forma divertida
e prazerosa, o que não deveria mudar nas séries subsequentes, visto que o
educador pode trabalhar a Geometria utilizando a manipulação dos sólidos
geométricos.
Contudo, nas séries subsequentes, muitas vezes não é dada a devida
importância, sendo que muitas vezes os conteúdos de Geometria são os últimos
conteúdos a serem trabalhados no currículo, sendo abordado no final do ano letivo.
Isso se deve ao fato do próprio despreparo dos educadores, como destaca
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Pavanello (1993) quando relata que a Geometria geralmente é pouco trabalhada na
escola por esse motivo, ou seja, geralmente os educadores valorizam mais certos
conteúdos, deixando os conteúdos geométricos de lado.
Outro aspecto importante para o ensino e aprendizagem da Geometria é
conectar seu ensino a outras áreas de conhecimento, trabalhando a diversidade.
Isso está expresso nas Diretrizes Curriculares de Matemática para a Educação
Básica quando expressa que “[...] o conjunto de competências e habilidades que o
trabalho de matemática deve auxiliar a desenvolver pode ser descrito tendo em vista
este relacionamento com as demais áreas do saber [...]” (BRASIL, 1998, p. 254).
Contudo, não basta apenas a simples observação das diferentes formas
presentes no mundo para propiciar a construção de conceitos geométricos pelos
alunos, mas também partindo de outros meios que favoreçam nessa construção,
pois a geometria está presente na natureza, no artesanato, nas pinturas, na física,
na química, na história, entre outras áreas, sendo de extrema importância sua
interação com as demais disciplinas.
Fica, evidente, que a prática da Geometria apesar de ser por muito tempo
considerado um “tabu” em sala de aula, deve promover a conexão com outras áreas
de conhecimento, auxiliando e qualificando o aprendizado do aluno, bem como
capacitando o mesmo para desenvolver uma visão mais ampla e íntegra do mundo
que o cerca, sendo que isso pode ser concretizado por meio do resgate da
matemática abstrata, para a concreta, isto é, aliando teoria à prática.
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3 O CONTEÚDO DA GEOMETRIA NO ENSINO FUNDAMENTAL
No estudo da Geometria, os alunos demonstram muitas dificuldades em
entender os conceitos e aplicações que envolvem os conteúdos estudados. Isso
tanto no Ensino Fundamental, como também no Ensino Médio, o que remete ao fato
de que desde as séries iniciais é preciso que o educador trabalhe por meio da
manipulação de sólidos concretos, a fim de desenvolver um trabalho voltado tanto
ao abstrato como ao concreto, tornando a aprendizagem dos alunos mais
satisfatória.
Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais, os PCNs, os conteúdos que
devem ser trabalhados no Ensino Fundamental podem ser divididos em quatro
blocos, os quais são demonstrados pelo quadro a seguir:
Blocos de
conteúdos
Descrição
Conhecimentos dos números naturais e números racionais (com
representações fracionárias e decimais) como instrumentos eficazes para
resolver determinados problemas e como objetos de estudo, considerando-se
Números e suas propriedades, relações e o modo como se configuram historicamente. O
Operações trabalho com as operações deve valorizar a compreensão dos diferentes
significados de cada uma delas, as relações existentes entre elas e o estudo
reflexivo do cálculo, contemplando os tipos: exato e aproximado, mental e
escrito.
Os conceitos geométricos desenvolvem um tipo especial de pensamento que
permite ao aluno compreender, descrever e representar, de forma organizada,
Espaço e
o mundo em que vive. O trabalho com noções geométricas volta-se para a
Forma
observação, percepção de semelhanças e diferenças e identificação de
regularidades, envolvendo a exploração dos objetos do mundo físico, de
obras de arte, pinturas, desenhos, esculturas e artesanato.
Este bloco caracteriza-se por sua relevância social, com evidente caráter
Grandezas e prático e utilitário. As atividades em que as noções de grandezas e medidas
Medidas
são exploradas proporcionam melhor compreensão de conceitos relativos ao
espaço e às formas e dos significados dos números e das operações, e
incluem a ideia de proporcionalidade e escala.
Integram este bloco noções de estatística, de probabilidade e de
combinatória. Não se pretende o desenvolvimento de um trabalho baseado na
definição de termos ou de fórmulas envolvendo tais assuntos. Em estatística
Tratamento incluem-se os procedimentos para coletar, organizar, comunicar e interpretar
da
dados, utilizando tabelas, gráficos e representações. No campo da
Informação combinatória, inclui-se, especialmente, o princípio multiplicativo da contagem.
Os estudos de probabilidade se destinam à compreensão de que grande parte
dos acontecimentos do cotidiano é de natureza aleatória e é possível
identificar prováveis resultados desses acontecimentos. As noções intuitivas
de acaso e incerteza podem ser exploradas por meio de experimentos e
observação de eventos.
FONTE: Brasil, 1998, p. 38-39.
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Embora no ensino fundamental, os conteúdos trabalhados em Geometria
comecem
apenas
com
os
conceitos
básicos,
estes
precisam
ser
bem
compreendidos, para que no futuro os alunos não apresentem dificuldades na
compreensão de conceitos mais complexos nesse ramo de conhecimento
(BALDISSERA, 2007).
Nesse sentido, é preciso compreender que o conteúdo da Geometria no
Ensino Fundamental se encontra vinculado aos conteúdos na educação infantil, bem
como servem de suporte também para os conteúdos que serão trabalhados no
Ensino Médio.
3.1 A IMPORTÂNCIA DA FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA PARA O ENSINO MÉDIO
No Ensino Médio os alunos darão continuidade aos conceitos de Geometria,
contudo de forma mais complexa, o que envolve por parte destes desenvolver uma
maior motivação e interesse por esse ramo de conhecimento, o que remete a ideia
de que cabe ao educador levar até os alunos a fundamentação teórica necessária
para que os mesmos compreendam tais conteúdos.
Logo, o educador deve estar ciente de sua importância nesse sentido,
selecionando estratégias que viabilizem o aprendizado do aluno, bem como esteja
atento às possibilidades de mudança das mesmas, fazendo com que o aluno
entenda a importância desses conteúdos para sua vida.
Segundo Pavanello (1989), ao analisar a história da educação matemática no
Brasil ao longo dos tempos, é possível perceber que a preocupação voltada ao
ensino da Geometria não é algo novo, visto que sempre apresentou deficiências no
que se refere aos conhecimentos dos educadores em geral, que muitas vezes não
são preparados de forma coerente para levar esses conhecimentos até os alunos,
bem como não lhe são disponibilizados os materiais didáticos necessários para a
garantia de uma prática pedagógica de qualidade.
Conforme o mesmo autor, pouco é dado ênfase à fundamentação teórica do
educador, que precisa compreender que o trabalho com a Geometria necessita partir
de um enfoque experimental, ou seja, partir da compreensão primeiramente do
espaço tridimensional que o aluno vive.
24
3.2 SISTEMATIZAÇÃO DA GEOMETRIA NO ENSINO FUNDAMENTAL
Na educação infantil como já mencionado na presente pesquisa, se iniciam os
conhecimentos geométricos, a partir da compreensão do aluno quanto ao espaço e
as formas, sendo que isso é sistematizado de forma mais abrangente no Ensino
Fundamental, o que subsidiará a compreensão de conteúdos mais complexos de
Geometria no Ensino Médio.
A sistematização da Geometria no ensino fundamental de certa forma implica
a forma como o educador interpreta o currículo, ou seja, como ele segue aquilo que
lhe é indicado, o que também envolve certas decisões e negociações. Saviani (1996,
p. 1-2) relata isso quando diz que “a elaboração e implementação do currículo
resultam de processos conflituosos, com decisões necessariamente negociadas”.
Isso faz entender que a questão do conflito surge com essas diferentes
interpretações, isto é, ora o educador pode desenvolver uma prática educativa,
como ora negativa, facilitando ou dificultando o aprendizado do aluno, o que vai
depender da forma como promove a sistematização dos conteúdos geométricos.
Levando-se em conta essas considerações, Saviani (1996) entende que
existe certa distância entre o currículo oficial e o real, o que vai comprometer o
aprendizado do aluno, visto que não são utilizados técnicas e métodos que
conduzam a esse aprendizado de forma coerente e significativa (SAVIANI, 1996).
Na concepção de Pavanello (1989, p. 182) isso ocorre por que:
A prioridade, ainda recentemente da álgebra, tanto na pesquisa
como no ensino da matemática, acabou por desenvolver somente um
tipo de pensamento. É necessário, portanto, estabelecer o equilíbrio,
retomando-se o ensino da Geometria.
Nessa trajetória, o que se propõe é que os conteúdos geométricos sejam
analisados com mais cautela, passando a serem considerados importantes como
qualquer outro conteúdo matemático, deixando de ser realizado apenas como um
ramo „chato‟ de ser ensinado e aprendido, privilegiando a participação dos alunos,
bem como considerando a construção de seus conhecimentos geométricos como
uma forma de aprendizagem.
25
Neste ponto, é preciso considerar que existem diferenças entre as formas de
seleção e sequenciação dos conteúdos em Geometria, visto que existe uma
discrepância entre o que está expresso nos documentos oficiais e o que o educador
de fato compreende como significativo e importante para ensinar aos alunos.
Nessa linha de raciocínio, Sacristan (1988, p. 123) compreende que a
construção do currículo ocorre “num cruzamento de influências e campos de
atividades diferenciadas e interrelacionadas”, o que ocorre geralmente porque o
educador não participa da elaboração desse currículo, que chega até ele de forma
pronta e acabada, para que o mesmo o execute, o que resulta nesse
distanciamento, não lhe dando condições de conhecer de fato sua fundamentação,
bem como refletir sobre a mesma, o que de forma direta ou indireta dificulta o
ensino-aprendizagem da Geometria.
Considera-se, portanto, o papel do educador como imprescindível nesse
processo, buscando pensar e repensar sua prática, buscando maiores condições e
possibilidades de desenvolver a sua prática, analisando cada situação concreta
como parte de um processo, capaz de contribuir e favorecer no ensino da
Geometria.
3.3 GEOMETRIA LÚDICA E AS SÉRIES INICIAIS
Nas séries iniciais do Ensino Fundamental é importante que o educador
trabalhe com a geometria de forma lúdica, desenvolvendo sua prática com a
manipulação dos sólidos geométricos no processo ensino-aprendizagem, partindo
de situações contextualizadas,
O educador precisa sempre lembrar que as primeiras noções de Geometria
se encontram vinculadas à forma, dimensão e direção, tendo como prioridade
propiciar o entendimento do sentido de localização, o reconhecimento de figuras, a
representação espacial, o estabelecimento de propriedades, o que deve ser
desenvolvido pelo educador de forma estruturada (BALDISSERA, 2007).
Logo, o educador deve partir de situações lúdicas e concretas, visto que são
essas noções que servirão de base para os conteúdos de Geometria nas demais
26
séries, levando-os a uma maior compreensão dos novos conteúdos que serão
trabalhados ao longo do processo ensino-aprendizagem.
É nessa perspectiva que o lúdico é considerado como ponto primordial nesse
processo, visto que auxilia o aluno no decorrer de sua construção dos conteúdos
geométricos, já que é estimulado a desenvolver diferentes habilidades tornando a
aprendizagem mais significativa e prazerosa.
Nessa linha de entendimento, Oliveira (2010, p. 02-03) compreende que:
Portanto, reflete-se na reconstrução da práxis educativa, na
necessidade do professor de buscar alternativas de intervenção para
fazer do ato de aprender momentos que, mediados pelo concreto
duma atividade lúdica, possibilitem o desenvolvimento do raciocínio
lógico com habilidade abstrata que favoreça a construção do
entendimento de conceitos geométricos no processo ensinoaprendizagem.
Trata-se de que o lúdico influencia a construção dos conteúdos geométricos,
já que por meio da manipulação dos sólidos, de forma contextualizada, o aluno é
levado a perceber as formas e propriedades dos objetos, o que leva ao
desenvolvimento de seu raciocínio lógico. É importante, pois, considerar que essa
manipulação deve ser mediada pelo educador, que deve fazer as intervenções
quando necessário, favorecendo ainda mais a construção dos conhecimentos dos
alunos.
Nessa linha de entendimento, vale enfatizar que a forma como o educador
ensina, bem como realiza as suas intervenções é o que possibilita o bom
desempenho do aluno, o que leva a entender que o fazer pedagógico deve ser visto
como um processo em constante construção.
Logo, citar as inteligências múltiplas propostas por Gardner (1995) se faz
necessário, já que o mesmo “afirmou também que todos os indivíduos possuem em
variados graus, pelo menos nove áreas de intelecto funcionando relativamente
independentes” (OLIVEIRA, 2010, p. 04).
Dentre essas nove inteligências citadas por Gardner, existe a lógicomatemática, que consiste na habilidade de pensar e calcular, o que deve ser levado
em consideração no ensino de conceitos geométricos, visto que ao estimular certa
habilidade no aluno, o educador propicia o desenvolvimento de outras habilidades
também importantes no processo ensino-aprendizagem dos alunos.
27
Segundo Gardner (2005 apud OLIVEIRA, 2010, p. 04):
Os indivíduos apresentam, naturalmente, habilidades em
determinadas atividades, sem treinamento prévio. Na ausência de
determinada habilidade, o indivíduo pode ser treinado e desenvolver
uma aptidão que não lhe é natural. Como por exemplo, quando
ocorrem acidentes no caso de surdez, cegueira, em que o indivíduo
desenvolve partes dos sentidos de maneira mais aguçada.
Nesse sentido, levar em consideração as inteligências múltiplas é de
fundamental importância no ensino da matemática, visto que estimular apenas uma
habilidade no aluno acaba atrapalhando o seu bom desenvolvimento e aprendizado,
ou seja, é preciso que as diferentes habilidades sejam trabalhadas, pois
consequentemente, uma acaba influenciando a outra.
É nesse sentido, que se destaca a importância da manipulação dos sólidos,
bem como da utilização do lúdico nesse processo, visto que por meio do brincar o
aluno acaba construindo as noções matemáticas, o que influencia em seu
aprendizado.
28
4 A PRÁTICA DO ENSINO DE GEOMETRIA NA ESCOLA PÚBLICA
A prática do ensino de Geometria na escola pública precisa ser bem
entendida,
visto
que
os
conceitos
matemáticos,
os
quais
favorecem
o
desenvolvimento do raciocínio do aluno, necessitam ser bem organizados e
orientados, devendo partir de uma proposta de otimização para que seu ensino
aconteça de forma satisfatória, já que na maioria das vezes é um ramo da
matemática esquecido e trabalhado somente no final do ano letivo, não sendo
ensinado enquanto conteúdo importante para o desenvolvimento do indivíduo.
Contudo, para a realização de uma prática do ensino de Geometria coerente
é preciso levar em consideração a realidade do aluno, como expressa Pavanello
(1989, p. 83):
Deve-se analisar o desenvolvimento do ensino de matemática e, em
especial, o da Geometria, tendo como pano de fundo as
transformações que se operam na sociedade, na ciência e na
educação destes dois últimos séculos.
Deste modo, o aluno para aprender Geometria precisa compreender
previamente à importância e a utilidade da mesma para a sua vida cotidiana, o que
implica levar até esse aluno conhecimentos referentes às próprias mudanças e
transformações que ocorreram na sociedade ao longo dos tempos que de certa
forma mostra as utilidades desse ramo da matemática.
Nesse sentido, vale considerar as ideias de Rosa (2009), a qual realizou uma
pesquisa de campo a fim de detectar como a Geometria vem sendo trabalhada em
escolas do Ensino Fundamental e Médio, problematizando a importância das figuras
geométricas no ensino da mesma.
Para Rosa (2009, p. 36) “por meio da pesquisa de campo, o conhecimento
construído com o sujeito pesquisado tornou-se valioso”, o que leva a entender que
por meio da coleta e análise de dados foi possível perceber a importância da
manipulação dos sólidos no processo ensino-aprendizagem da Geometria.
Essa proposta visa o ensino da matemática de forma mais prazerosa,
desvinculando a aprendizagem de uma prática pedagógica exaustiva e sem valor
para o aluno, ou seja, tornando o ensino-aprendizagem mais atrativo e interessante,
29
em que os educadores passem a se apropriar de novas técnicas e métodos de
trabalho, motivando os alunos, bem como tornando sua aprendizagem mais
significativa (OLIVEIRA, 2010).
Com essas considerações, bem como as relacionando com as ideias de
Pavanello (2001) quando relata que o professor muitas vezes não se preocupa em
trabalhar as relações existentes entre as figuras, o que de certa forma prejudica que
o aluno avance na compreensão dos conceitos estudados, nota-se que o ensino de
Geometria na escola pública precisa sofrer mudanças, desenvolvendo uma prática
que favoreça de fato a compreensão dos conceitos trabalhados, garantindo aos
alunos a utilização desses conceitos em sua vida cotidiana.
Rosa (2009) acredita que a utilização de uma diversidade de métodos pelo
educador no ensino de conceitos geométricos favorece a compreensão de conceitos
geométricos pelos alunos.
Essas considerações propiciam a ideia de que o trabalho a partir da
manipulação de sólidos tem sido valorizado nas escolas, deixando assim a
Geometria de ter um caráter tradicional, passando a se considerar a construção dos
conhecimentos dos alunos.
Os alunos precisam compreender que o mundo é repleto de formas por todos
os lados. Baldissera (2007, p. 06) exemplifica citando “um vidro de perfume, em uma
embalagem de presente, nas construções, nos apelos visuais de propaganda, nos
logotipos, nas telas de computador”.
As pessoas vivem cercadas de formas, e os alunos precisam aprender a
observá-las, percebendo semelhanças e diferenças entre as mesmas, bem como
construindo os conceitos geométricos.
Para Rosa (2009) muitos educadores atribuem ao aluno a falta de interesse
pela Geometria, outros atribuem à falta de tempo, devido a sua própria jornada de
trabalho. Porém, é necessário que esses educadores desenvolvam uma maior
percepção das dificuldades encontradas no ensino desse ramo de conhecimento,
pois muitas vezes isso ocorre pelo fato dessa disciplina ser ensinada de forma
mecânica e descontextualizada.
A autora ainda reforça que:
30
Pode-se constatar que o ensino de matemática, no sistema
educativo, é aquele em que os estudantes mais questionam e acham
difícil, pois os conhecimentos matemáticos, são desenvolvidos como
processo repetitivo e mecânico através de inúmeros exercícios,
tendo muitos alunos frequentando as aulas e a matemática não
tendo nenhum significado (ROSA, 2009, p. 41).
Isso leva a entender que as principais dificuldades enfrentadas pelos
educadores no ensino de Geometria são como ensinar os alunos de forma
contextualizada, levando-os ao entendimento de como utilizar os conceitos
geométricos em sua vida cotidiana, visto que os próprios alunos demonstram
desinteresse pela matéria.
Dessa forma, Oliveira (2010, p. 03) dá ênfase à importância do educador
nesse processo quando afirma que:
Acredita-se que a busca de uma nova prática de ensinar dependerá
do conhecimento que o educador adquirir. E para que a mudança
ocorra o perfil de professor tem que ser construído, pois sem a busca
pelo conhecimento não acontecerá mudança. E nessa prática a
pesquisa científica do próprio ato de aprender é fundamental.
Essa não é uma tarefa fácil, mas possível, o que implica a vontade e o
interesse do educador de inovar sua prática, buscando novas alternativas de ensino,
que possibilitem amenizar as dificuldades dos alunos no aprendizado de conceitos
geométricos.
A utilização de técnicas e métodos eficazes no ensino dos conceitos
geométricos pode facilitar o entendimento do aluno, auxiliando até mesmo no
trabalho do educador. O emprego de técnicas inovadoras muitas vezes não ocorre,
podendo dificultar ou não o desempenho do aluno, pois o sucesso escolar do aluno
depende não apenas do educador, mas também do aluno, que precisa desenvolver
o interesse pelas aulas.
A partir disso se percebe que apesar das dificuldades encontradas pelos
educadores em ensinar a Geometria de forma prática, com a utilização de métodos
inovadores, os alunos têm conseguido bons resultados, os quais são percebidos por
meio do interesse e das avaliações de desempenho dos mesmos.
Conforme Oliveira (2010) é muito importante que o educador utilize técnicas e
métodos lúdicos no ensino da Geometria, pois é brincando que o ser humano se
torna apto em uma ordem social, fazendo parte da cultura e da educação. Por meio
31
do lúdico, o aprendizado acontece de forma espontânea, dentro do contexto de vida
do aluno, das coisas que lhe são importantes e naturais de se fazer.
Para a construção do conhecimento geométrico, o aluno precisa mais do que
conhecer formas, ele precisa aprender a dominar uma imensa teia de conceitos, as
quais exercem influência sobre seu desenvolvimento (BALDISSERA, 2007).
Com isso, é notório ainda ressaltar a importância do papel do educador nesse
processo, que funciona como o de mediador do ensino-aprendizagem. A este
respeito Rosa (2009) assevera que para que o educador cumpra seu papel de
mediador na aquisição do conhecimento de Geometria, o mesmo precisa
desenvolver uma maior reflexão sobre sua prática educativa em sala de aula,
pesquisando e se atualizando constantemente, a fim de conduzir os alunos na busca
pelo prazer de aprender.
Desse modo, priorizar a importância da manipulação dos sólidos no processo
ensino-aprendizagem da Geometria é primordial, visto que essa forma de ensinar é
baseada em um método de ensino que considera o lúdico como um aliado no
aprendizado do aluno, deixando de lado técnicas e métodos tradicionais, que de
nada favorecem na construção do aprendizado do aluno.
4.1 HABILIDADES E COMPETÊNCIAS DA PROPOSTA CURRICULAR DO
ESTADO DE SÃO PAULO
Para o ensino de Geometria na escola pública, a Secretaria de Educação do
Estado de São Paulo realizou um projeto propondo um currículo para o Ensino
Fundamental II e Médio, com o intuito de apoiar o trabalho realizado nas escolas
públicas estaduais, contribuindo para a melhoria da qualidade do aprendizado dos
alunos.
Com isso, a ênfase dada ao currículo parte das vivências e experiências
práticas dos alunos, a partir dos conhecimentos matemáticos já acumulados,
buscando contextualizar os conteúdos curriculares, a fim de promover um maior
entendimento dos alunos.
32
Nessa linha de raciocínio, a Proposta Curricular do Estado de São Paulo traz
a pauta:
As interações entre os responsáveis pela aprendizagem dos alunos
têm caráter de ações formadoras, mesmo que os envolvidos não se
dêem conta disso. Neste sentido, cabe lembrar a responsabilidade
da equipe gestora como formadora de professores e a
responsabilidade dos docentes, entre si e com o grupo gestor, na
problematização e na significação dos conhecimentos sobre sua
prática (SÃO PAULO, 2008, p. 12).
Com isso, a presente proposta compreende que para que o aluno de fato
aprenda é necessário o esforço não somente do mesmo, mas também do docente e
do gestor, que precisam agir em conjunto na busca do seu sucesso escolar, visto
que quando existe a coletividade a tendência para o alcance dos objetivos é sempre
maior.
Nesse sentido, a elaboração e execução de um bom currículo fundamentamse tanto no que permeia o aprendizado do aluno, quanto no que favorece o
desenvolvimento de habilidades e competências importantes para a sua vida,
levando-o a ver o mundo de forma mais crítica, exercendo uma maior autonomia
para atuar nesse mundo, enfrentando os problemas e agindo de forma mais
coerente (SÃO PAULO, 2008).
A Proposta Curricular do Estado de São Paulo, sobre o currículo, ainda
expressa que:
Um currículo que promove competências tem o compromisso de
articular às disciplinas e as atividades escolares com aquilo que se
espera que os alunos aprendam ao longo dos anos. Logo, a atuação
do professor, os conteúdos, as metodologias disciplinares e a
aprendizagem requerida dos alunos são aspectos indissociáveis:
compõem um sistema ou rede cujas partes têm características e
funções específicas que se complementam para formar um todo,
sempre maior do que elas (SÃO PAULO, 2008, p. 13).
Logo, compreende-se que pensar no currículo é um aspecto primordial para o
sucesso escolar do aluno, bem como para a qualidade do ensino prestado, visto que
esse currículo irá nortear a prática pedagógica do professor em sala de aula,
preparando os alunos não apenas para conhecerem os conteúdos, mas
33
principalmente levá-los a compreensão da importância desses conteúdos para a sua
vida, para que os mesmos possam utilizá-los de forma autônoma e responsável.
No que se refere ao ensino da Geometria isso deve ser uma realidade,
estando o professor ciente de que esse ramo da matemática necessita estar
articulado com as habilidades e competências dos alunos, sendo que no Ensino
Fundamental, seu ensino “deve ocupar-se com inicialmente do reconhecimento e da
representação e classificação das formas planas e espaciais” (SÃO PAULO, 2008,
p. 45-46).
Nesse contexto, a presente proposta ainda prioriza que preferencialmente o
trabalho com crianças de 5ª e 6ª séries deve ser realizado de forma mais concreta, o
que faz pensar na importância da manipulação dos sólidos geométricos no processo
ensino-aprendizagem da Geometria. E na 7ª e 8ª séries deve ser realizado a partir
da articulação entre o raciocínio lógico-dedutivo.
4.2 PROPOSTA DE PROCEDIMENTOS DE AVALIAÇÃO
A avaliação é um aspecto de fundamental importância para o desempenho
tanto do professor como do aluno, visto que por meio dela é possível estabelecer
uma noção das metas e objetivos que foram alcançadas e que medidas tomar para
que o desempenho do aluno se torne cada vez melhor.
No caso da Geometria, o professor precisa antes de tudo compreender que
esse ramo da matemática não pode se resumir apenas no desenvolvimento da
percepção espacial, sendo trabalhada em sala de aula de forma que contribua na
formação do aluno, tornando-o mais crítico, o que é permitido a partir da realização
de atividades reais e contextualizadas (PAVANELLO, 1989).
A partir daí, vale considerar que a metodologia utilizada pelo professor nesse
processo é essencial, a qual deve promover o desencadeamento de diferentes
habilidades e competências nos alunos, bem como aproveitar aquelas que os alunos
já possuem. Com essa visão, pensar nos procedimentos de avaliação também se
faz importante, visto que por meio deles o professor pode permear os caminhos a
serem percorridos, avaliando até que ponto as metas e objetivos foram alcançadas.
34
Segundo Gadotti (1999, p. 01) “a avaliação institucional tornou-se uma
preocupação essencial para a melhoria dos serviços das escolas e universidades e
para a conquista de maior autonomia”.
No que se refere à avaliação institucional, vale ressaltar que a avaliação
Saresp, a qual objetiva avaliar a qualidade do ensino prestado, bem como abordar o
índice de aproveitamento escolar dos alunos, busca novas técnicas que o torne
ainda mais eficaz.
Isso leva a reflexão de que a preocupação com a questão da avaliação não
cabe apenas ao educador, mas a todo o sistema em si, atingindo os demais
envolvidos no processo ensino-aprendizagem dos alunos, o que implica um olhar
voltado às necessidades e condições para a sua realização.
De certa forma, Pavanello (1989, p. 16) prioriza um procedimento de
avaliação muito eficaz no ensino da Geometria, que seria o questionamento, quando
expressa que:
[...] consequentemente, o trabalho com a Álgebra pode acostumar o
indivíduo a operar sem questionamentos sobre as regras préestabelecidas, a fazer isto ou aquilo, sem questionar o que faz. O
efetuado com a Geometria, por sua vez, pode proporcionar o
desenvolvimento de um pensamento crítico e autônomo.
Dessa forma, a autora acredita que o trabalho com a Geometria, em que os
alunos são levados não apenas a pensar e a se orientar no espaço, mas também a
atuar sobre o mesmo, permite que os alunos de forma indireta se apropriem dos
conhecimentos geométricos, utilizando-os em sua própria vida, tornando a
aprendizagem de tais conceitos mais significativa.
A Proposta Curricular do Estado de São Paulo propõe que o ensino de
Geometria seja realizado por meio de procedimentos de avaliação que permitam ao
indivíduo interpretar tudo aquilo que aprende, estabelecendo relações, ou seja,
associando os conteúdos com a realidade por ele vivida (SÃO PAULO, 2008).
Nessa perspectiva, ressaltar a questão da utilização de procedimentos que
visem à resolução de problemas concretos é fundamental no ensino da Geometria,
subsidiando a prática pedagógica do professor, bem como orientando o ensinoaprendizagem dos alunos, tornando-os mais interessados no que se refere aos
conteúdos geométricos, o que resulta em um aprendizado mais eficaz.
35
5 UMA PROPOSTA DE ENSINO DE GEOMETRIA
A partir de todo o embasamento teórico da presente pesquisa, em que a
ênfase dada foi à importância da manipulação dos sólidos no processo ensinoaprendizagem, faz-se necessário pensar sobre uma nova proposta de ensino de
Geometria, a qual deixe de considerar os conteúdos como descontextualizados da
realidade do aluno.
Para que isso seja concretizado, este trabalho deve ser desenvolvido desde a
Educação Infantil, onde os alunos terão formados os pré-requisitos para o seu
aprendizado futuro, tornando-o mais satisfatório. A este respeito Reis (2006, p. 09)
afirma que:
As noções básicas em matemática, lógica e geometria começam a
ser elaboradas a partir dos 4,5 anos de idade, portanto é vital que a
base seja sólida, bem construída e bem trabalhada, para que nela se
assentem os conhecimentos matemáticos futuros. Mas é importante
lembrar que estimular o raciocínio lógico-matemático é muito mais do
que ensinar matemática – é estimular o desenvolvimento mental, é
fazer pensar.
Mediante tais considerações, vale lembrar que o ensino de Geometria na
Educação Infantil é realizado por meio de trabalhos com a manipulação de objetos, a
partir da percepção de semelhanças e diferenças entre os mesmos, com os blocos
lógicos, com a observação das formas presentes no meio em que os alunos se
encontram inseridos, levando-os a utilizarem o seu raciocínio e a pensarem de forma
mais concreta.
Nessa perspectiva, o ensino de matemática deve iniciar não apenas voltado à
preocupação com cálculos, mas principalmente à exploração de diferentes idéias
matemáticas, levando os alunos a compreenderem a presença das formas em sua
vida cotidiana, exercendo influência sobre ela.
Dessa forma, implica lembrar que os alunos nessa faixa etária devem ser
avaliados de forma constante, contínua e qualitativamente e não quantitativamente
no decorrer da realização das atividades, onde o educador observa seu interesse e
comprometimento nas atividades que executa.
36
Logo, o aluno ao adentrar no Ensino Fundamental, precisa dar continuidade
aos conhecimentos referentes à Geometria, os quais se encontram vinculados ao
espaço e forma, permitindo aos mesmos se situarem e compreenderem o espaço
em que vivem, por meio da experimentação e atuação no mesmo, percebendo as
semelhanças e diferenças existentes entre os objetos (BRASIL, 1998).
Para avaliar a aprendizagem dos conceitos geométricos dos alunos, assim
como os educadores da Educação Infantil, o educador dessa faixa etária deve deixar
de se preocupar apenas com as questões que envolvem cálculos, passando a se
preocupar com a real aprendizagem de seus alunos, sendo que para avaliá-los, o
educador pode promover momentos contextualizados, em que os alunos observem
e estabeleçam relações com os objetos do mundo físico.
Uma forma de avaliar o aluno é propor situações problemas em que os alunos
vivenciam momentos em que a Geometria se faça presente, como por exemplo,
distribuir diferentes sólidos geométricos para que os alunos manipulem e
estabeleçam as diferenças entre eles, ou mesmo observar o meio em que vivem à
procura de formas.
Dessa forma, entende-se que para avaliar o aluno em Geometria, o educador
não precisa utilizar apenas à avaliação escrita e sim avaliá-los de forma contínua,
sendo que isso pode ser realizado diariamente, por meio tanto da observação como
da manipulação dos sólidos geométricos.
A respeito do tipo de avaliação realizada, vale considerar que no Ensino
Fundamental, existe o Sistema de Avaliação de Rendimento Escolar do Estado de
São Paulo (SARESP), que é aplicado em todas as escolas estaduais, sendo de
responsabilidade da Secretaria da Educação do Estado de São Paulo (SEE). É uma
forma de avaliação utilizada de forma externa, com o intuito de avaliar o índice de
desenvolvimento da Educação do Estado de São Paulo, visto que se baseando nos
resultados dessas provas, é possível detectar as necessidades e dificuldades dos
alunos com relação aos conteúdos trabalhados e estabelecer as metas e objetivos a
atingir, monitorando o ensino (SÃO PAULO, 2009).
Assim sendo, é possível refletir melhor sobre a qualidade do ensino prestado,
buscando novas alternativas de ensino, a fim de sanar as dúvidas dos alunos,
garantindo o acesso e a permanência na escola.
Com isso, o educador pode até mesmo se auto-avaliar, percebendo se as
técnicas e métodos por ele empregados estão atingindo bons resultados, visto que o
37
caráter lúdico, em que ocorre a manipulação dos sólidos no processo ensinoaprendizagem da Geometria deve permanecer também no Ensino Fundamental e no
Ensino Médio, tornando o aprendizado do aluno mais significativo.
38
6 CONSIDERAÇÕES FINAIS
No ensino de Geometria geralmente os alunos encontram muitas dificuldades
no que se refere ao entendimento sobre os conteúdos trabalhados nesse ramo de
conhecimento, o que remete a ideia de que isso ocorre devido ao fato da forma
como o educador trabalha em sala de aula esses conteúdos.
Com isso, ressaltar a importância da manipulação dos sólidos no processo
ensino-aprendizagem da Geometria é algo de fundamental importância, visto que
quando o aluno aprende de forma lúdica e contextualizada, o mesmo tem mais
possibilidades de aprendizagem.
Nessa perspectiva, o presente estudo buscou pensar a Geometria em seu
contexto histórico-social, buscando informações de como esse ramo da matemática
foi trabalhado durante os anos, bem como a forma como tem sido trabalhada nos
dias atuais, o que nota-se que atualmente tem ganhado mais importância, sendo
que os conteúdos geométricos têm sido considerados muito importantes para a vida
cotidiana do aluno.
Essa importância se refere às noções de espaço e medidas, muito utilizados
pelo seres humanos em sua vida, devendo ser bem trabalhado nas séries iniciais do
ensino fundamental, dando suporte para conteúdos mais complexos que serão
trabalhados no ensino médio.
Com as informações obtidas por meio da revisão bibliográfica, foi possível
perceber que a Geometria sempre foi considerada como uma disciplina chata, sem
valor no currículo, sendo trabalhado de forma descontextualizada, o que remete a
ideia de uma mudança de postura do próprio educador, que deve partir de uma
didática geométrica, promovendo a sistematização dos conteúdos geométricos de
forma lúdica e prazerosa, levando os alunos a uma aprendizagem mais significativa.
Finalizando, o estudo buscou também informações referentes à prática do
ensino de Geometria na escola pública, considerando as habilidades e
competências da Proposta Curricular do Estado de São Paulo, bem como a proposta
de procedimentos de avaliação como fatores imprescindíveis para a compreensão
da importância da manipulação dos sólidos no processo ensino-aprendizagem da
Geometria.
39
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<http://www.escolakids.com.br>. Acesso em: 22 abr. 2011.
Disponível
em:
PLANTA de casa (2010). Disponível em: <http://www.projectosdecasas.com.br>.
Acesso em: 08 jun. 2011.
REIS, S. M. G. dos. A matemática no cotidiano infantil: jogos e atividades com
crianças de 3 a 6 anos para o desenvolvimento do raciocínio lógico-matemático.
Campinas, SP: Papirus, 2006.
ROSA, A. M. da. Figuras Geométricas: instrumento importante para o ensino de
Geometria. (2009). Disponível em: <http://www.bib.unesc.net>. Acesso em 08 abr.
2011.
SACRISTAN, J. G. El curriculum: una relexión sobre la práctica. Madrid: Morata,
1988.
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Proposta Curricular do Estado de
São Paulo: Matemática/Coord. Maria Inês Fini. São Paulo: SEE, 2008.
41
SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação. Matrizes de referências para a
avaliação Saresp: documento básico/Secretaria da Educação; coordenação geral,
Maria Inês Fini. São Paulo: SEE, 2009.
SAVIANI, N. Parâmetros Curriculares Nacionais: o que dispõe para o ensino
fundamental? In: Anais do I CONED. Belo Horizonte, MG, 1996.
SÓLIDOS geométricos (2011). Disponível em: <http://www.escolakids.com.br>.
Acesso em: 22 abr. 2011.
SCHULER, D. (2008). Apostila de Geometria e Perspectiva. Disponível em:
<http://webcache.googleusercontent.com>. Acesso em: 24 nov. 2010.
TEODOLITO (2009). Disponível em: <http://www.portaldoprofessor.mec.gov.br>.
Acesso em: 24 abr. 2011.
VERGNAUD, G. La théorie des champs conceptuels. Recherches en Didactique
des Mathématiques, 1990. Vol. 10, nº 23. P. 133-170.
VYGOTSKY, L. S. A formação social da mente. São Paulo: Martins Fontes, 1987.
42
ANEXOS
43
PLANO DE AULA GEOPLANO
SÉRIE: 5ª série/6º ano do Ensino Fundamental.
CONTEÚDO:
Polígonos, área, convexidade e simetria (Geoplano).
OBJETIVO GERAL:
- Levar os alunos a explorar figuras poligonais através da visualização,
construção
e
classificação
por
meio
do
reconhecimento
de
atributos;
OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
- Identificar características das formas geométricas tridimensionais e
bidimensionais;
- Perceber semelhanças e diferenças existentes entre as formas (superfícies
planas e arredondadas, formas das faces, simetria);
- Reconhecer os elementos que compõem as formas geométricas (faces,
arestas, vértices, lados, ângulos);
PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS E ESTRATÉGIAS:
1º momento: Preparação do material: Delimitar no Geoplano uma grade 6x6.
2º momento: Formar figuras fechadas formadas por segmentos de reta, que
tenham como extremidades os pontos da grade pontilhada.
3º momento: Socialize as produções dos alunos e gerencie uma discussão
sobre as características das figuras obtidas.
- Quem desenhou uma figura com 6 lados?
- Quem desenhou a figura com mais lados?
- Quem desenhou a figura com menos lados?
- Alguém desenhou uma figura simétrica?
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4º momento: O produto final são as figuras construídas pelos alunos seguidas
por uma ficha técnica com os dados e atributos das figuras geométricas.
RECURSOS DIDÁTICOS:
Geoplano, elásticos ou barbantes.
INSTRUMENTOS DE AVALIAÇÃO:
Há várias maneiras de se avaliar em geometria, em especial, em relação à
atividade proposta, podem-se dar algumas pistas sobre uma figura e solicitar que os
alunos desenhem o polígono satisfazendo as condições, como por exemplo:
Desenhe uma figura de sete lados (um heptágono portanto), que não seja
convexa, mas seja simétrica e calcule sua área.
CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO:
Observar se os alunos realizam as atividades de forma satisfatória, ou se os
mesmos necessitam de auxílio durante a realização das mesmas.
BIBLIOGRAFIA:
MATEMÁTICA NA TELA VIRTUAL. Disponível em:
<http://matematicanatelavirtual.blogspot.com>. Acesso em: 06 jun. 2011.
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MODELOS DE ATIVIDADES COM GEOPLANO
1. Vamos reproduzir as figuras abaixo no Geoplano e calcular a área e o
perímetro de cada uma?
2. Vamos reproduzir as figuras da primeira linha da figura abaixo no Geoplano
e calcular a área e o perímetro de cada uma? Depois disso, escolha uma figura da
segunda linha da figura abaixo, reproduza-a, e calcule sua área.
3. Vamos construir a primeira letra do seu nome no Geoplano e calcular a
área que a letra ocupou?
4. Você consegue construir uma figura com área igual a 16 unidades e que
não seja um retângulo?
5. Vamos calcular a área de algumas das figuras desenhadas abaixo:
46
6. Vamos reproduzir o peixe do desenho abaixo no Geoplano e calcular sua
área?
47
FONTE: <http://matematicao.psico.ufrgs.br>
48
PLANO DE AULA SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
SÉRIE: 5ª série/6º ano do Ensino Fundamental.
CONTEÚDO:
Sólidos Geométricos.
OBJETIVO GERAL:
- Identificar características das figuras e sólidos geométricos, percebendo
semelhanças e diferenças por meio de composição e decomposição, associando
definições a suas vivências;
OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
- Reconhecer os sólidos geométricos, estabelecendo diferenças entre corpos
redondos e poliedros;
- Associar as definições de paralelepípedos, prismas, pirâmides à sua
vivência;
- Reconhecer faces, vértices e arestas nos sólidos geométricos;
PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS E ESTRATÉGIAS:
1º momento: Pedir aos alunos que observem o sue trajeto casa/escola,
observando se há alguma forma geométrica neste trajeto. Marcar ruas, praças,
prédios, jardins. Coletar material reciclável, embalagens diversas para a construção
da maquete.
2º momento: Antes de explorar a maquete, explorar os conteúdos referentes
aos sólidos geométricos, estabelecendo diferenças entre poliedros e corpo redondo.
3º momento: Após a construção da maquete e a manifestação dos sólidos,
aprofundar os conhecimentos referentes às faces, vértices e arestas.
RECURSOS DIDÁTICOS:
49
Livros, régua, esquadro, materiais recicláveis, embalagens, isopor, cola
quente.
INSTRUMENTOS DE AVALIAÇÃO:
Conteúdos apresentados pelo professor, bem como atividades realizadas em
sala de aula.
CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO:
Verificar se os alunos assimilaram as diferenças entre poliedros e corpos
redondos e se são capazes de reconhecer faces vértices e arestas com ou sem
planificação.
BIBLIOGRAFIA:
DANTE, Luiz Roberto. Tudo é matemática. 5 ed. São Paulo: Ática, 2007.
50
PLANO DE AULA TANGRAM
SÉRIE: Pré (Educação Infantil).
CONTEÚDO:
Formas geométricas (Tangram).
OBJETIVO GERAL:
- Desenvolver a capacidade de perceber as formas geométricas, de
representá-las, de construí-las, de nomear objetos e criar formas a partir delas;
OBJETIVOS ESPECÍFICOS:
- Desenvolver o raciocínio lógico e geométrico;
- Praticar as relações espaciais e as estratégias de resolução de problemas;
- Desenvolver a capacidade de visualização, de percepção espacial, de
análise e criatividade;
PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS E ESTRATÉGIAS:
1º momento: Exposição dos sólidos geométricos e da construção do
Tangram, para que o aluno tenha noção de espaço.
2º momento: Construção de algumas figuras com a utilização do Tangram.
3º momento: Confecção de um mural com a montagem de figuras realizadas
pelos alunos.
RECURSOS DIDÁTICOS:
Cartolina, régua, papel sulfite, giz de cera, tesoura, cola, canetinha.
INSTRUMENTOS DE AVALIAÇÃO:
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A participação dos alunos na confecção e montagem do cartaz.
A participação oral enquanto o professor explica, bem como a participação e
comprometimento na resolução das atividades propostos.
CRITÉRIOS DE AVALIAÇÃO:
A avaliação será realizada no momento da realização das atividades pelos
alunos, os quais deverão demonstrar interesse no processo de execução das
mesmas.
BIBLIOGRAFIA:
TANGRAM. Disponível em: <http://misturadealegria.blogspot.com>. Acesso em: 05
jun. 2011.
HAMZE, A. A configuração geométrica do Tangram.
<http://educador.brasilescola.com>. Acesso em: 05 jun. 2011
Disponível
em:
52
SUGESTÕES DE ATIVIDADES COM SÓLIDOS GEOMÉTRICOS
Atividade 01: Solicitar aos alunos que tragam de suas casas embalagens de
diversas formas como: caixas de sapato, caixinhas de fósforo, latas, blocos de
madeira ou de plásticos, casquinha de sorvete, chapéu de aniversário, bola, dados,
funil, carretéis, rolos de papel, ou de linha, entre outros.
FIGURA 01: Sólidos Geométricos
FONTE: Site Escola Kids, 2011
Atividade 02: Com as embalagens trazidas pelos alunos, fazer a planificação
dos objetos:
Paralelepípedo
Cubo
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Pirâmide Triangular
Pirâmide Quadrangular
54
Cone
Cilindro
Prisma
FIGURA 02: Planificações de Sólidos Geométricos.
FONTE: site Escola Kids, 2011.
55
Atividade 03: Construções de figuras na malha quadriculada utilizando
apenas lápis e régua.
FIGURA 03: Malha Quadriculada.
FONTE: Blog Conversa matemática, 2010.
Atividade 04: Construções de figuras no geoplano, utilizando linha ou
elástico.
FIGURA 04: Geoplano.
FONTE: Portal do Professor, 2010.
56
Atividade 05: Dominó das Formas
FIGURA 05: Dominó das Formas.
FONTE: site emule, 2009.
ATIVIDADE 06: Tangram, quebra-cabeça de origem chinesa
Peças que formam o Tangram:
FIGURA 06: 2 Triângulos grandes
FONTE: Klick Educação – O Portal da Educação, 2009
57
FIGURA 07: 2 Triângulos pequenos
FONTE: Klick Educação – O Portal da Educação, 2009
FIGURA 08: 1 Triângulo médio 1 Quadrado 1 Paralelogramo
FONTE: Klick Educação – O Portal da Educação, 2009
58
Atividade 07: Formar figuras com essas peças.
FIGURA 09: Figuras com tangram
FONTE: Klick Educação – O Portal da Educação, 2009.
Atividade 08: Sobreponha as peças do Tangram e responda:
a) Quantos triângulos grandes são necessários para formar o quadrado?
b) Quantos triângulos médios são necessários para formar o quadrado?
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c) E se fosse todos triângulos pequenos, quantos seriam necessários para
formar o quadrado?
FONTE: Atividades com Tangram (2005).
Atividade 09: Formar figuras e desenhar soluções:
a) Construa quadrados usando apenas triângulos. Tente encontrar 4 soluções
possíveis.
b) Usando apenas os dois triângulos pequenos, Construa outras peças do
Tangram.
c) Qual figura do Tangram você não conseguiu montar com os dois triângulos
pequenos? Por quê?
d) Construa um quadrado usando 4 peças. Tente encontrar pelo menos duas
soluções.
e) Construa um triângulo usando duas peças, três peças e quatro peças.
Compare suas soluções com as soluções de seus colegas.
FONTE: Atividades com Tangram (2005).
Atividade 10: Jogo com o Tangram:
Cada participante recebe um Tangram e o contorno da figura a ser formada
em cada rodada:
1ª rodada: retângulo. 2ª rodada: triângulo. 3ª rodada: paralelograma. 4ª
rodada: quadrado.
Vence o jogo quem ganhar mais rodadas.
FONTE: Atividades com Tangram (2005).
Atividade 11: Jogo de cartas com sombras:
Montar a figura sombreada e procurar o colega que tem a resposta para
conferir.
FONTE: Atividades com Tangram (2005).
60
Atividade 12: Tangram de coração:
Formar um coração utilizando todas as peças. O que a figura formada
lembra? Que sentimentos bons podemos ter em nosso coração? Qual é a
quantidade de peças? Existem diferentes tipos de peças? Quantos? Que figuras
geométricas as peças lembram?
Juntando algumas peças, seria possível montar figuras geométricas? Quais?
Indicar a fração que cada uma das diferentes partes do Tangram representa
em relação ao inteiro.
Misturando peças coloridas, criar situações de identificação da fração
correspondente de cada peça, equivalência e operações.
FONTE: Atividades com Tangram (2005).
Atividade 13: Montagem de murais com os recortes dos jornais e revistas,
destacando a presença dos sólidos geométricos em diferentes setores, tais como:
arquitetura, publicidade, propaganda, decoração, artes plásticas, etc.
FONTE: Lacerda (2005).
Atividade 14: Montagem de murais com fotografias, tiradas pelos alunos,
separando-as por sólidos geométricos, aos quais elas foram relacionadas.
FONTE: Lacerda (2005).
Atividade 15: Montagem de dobraduras de animais diversos.
61
FIGURA 10: Figuras com tangram.
FONTE: Blog do Kodomokai, 2010.
ATIVIDADE 16: Medição de ângulos utilizando o teodolito
FIGURA 11:Teodolito
FONTE: Portal do Professor, 2009.
ATIVIDADE 17: Desenhar a planta de sua casa, utilizando formas geométricas,
papel milimetrado e régua.
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FIGURA 12: Planta de casa
FONTE: www.projectosdecasas.com.br, 2010.