Preparação para o teste intermédio
de Matemática 8º ano
Conteúdos
do 7º ano
Conteúdos
do 8º ano
Conteúdos do 8º Ano

Teorema de Pitágoras

Funções

Semelhança de triângulos

Ainda os números

Lugares geométricos

Estatística
Conteúdos do 7º Ano

Do Espaço ao Plano

Semelhança de Figuras ( está abordado nos
conteúdos do 8º ano)

Conhecer melhor os números

Conjuntos e operações

Equações

Proporcionalidade directa

Estatística (está abordado nos conteúdos do 8º ano)
Teorema de Pitágoras
Teorema:
Num triângulo rectângulo, o quadrado da
hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos
catetos.
2
2
2
a
c
C = a +b
Determinação da hipotenusa
h2
h
12 cm
5 cm
52
=
+
 h2 = 25 + 144
 h2 = 169
 h = 13 cm
b
Determinação de um cateto
15
122
c
15 cm
9 cm




= c2 + 92
225 = c2 + 81
225 - 81 = c2
C2 = 144
C = 12
2
Semelhança de triângulos
Critérios de semelhança de triângulos
Dois triângulos são semelhantes se:



Tiverem dois ângulos geometricamente iguais
Tiverem os três lados correspondentes directamente
proporcionais
Tiverem dois lados directamente proporcionais e o ângulo
por eles formado for igual
Escola EB 2,3 Prof. Dr. Egas Moniz - Avanca
Semelhança de triângulos
Aplicação dos critérios de semelhança de triângulos
1. Determina a altura da árvore.
• Serão os triângulos [ABE] e [CDE] semelhantes?
Sim, porque tem dois ângulos geometricamente iguais,
o de 90º e o ângulo AEB.
• Determinação
da altura da árvore.
5,2 = h  h = 5,2 x 0,8 : 1,6
1,6
0,8
h = 5,2 x 0,8 : 1,6
h = 2,6 m
A altura da árvore é de 2,6 metros.
3,6 + 1,6 = 5,2 m
Semelhança de triângulos
Relação entre perímetros e áreas de figuras semelhantes
Se dois polígonos A e B são semelhantes e a razão de
semelhança de A para B é r, então:
• A razão entre os perímetros de A e B é r.
• A Razão entre as áreas de A e B é r2.
PB:PA= r
AB:AA =r2
Funções
Definição : Uma função é uma correspondência entre A e B
Formas de definir uma função:
•Por um diagrama
•Por uma tabela
•Por uma expressão analítica
•Por um gráfico
Funções definidas por um diagrama
Ex. Funções
A
1
2
3
f
Ex. Não são funções
B
-1
-7
-2
-4
-3
Df = {1;2,3}
A – Conjunto de Partida
D’f = {-1;-2,-3}
B – Conjunto de chegada
Objectos: 1;2,3
f ( 2 ) = -2
Imagens: -1;-2;-3
f ( x ) = -x
1
2
3
4
1
2
-1
-2
-3
-1
2
Funções definidas por uma Tabela
Seja a função f definida pela tabela seguinte
Lado de um quadrado (L)
1
2
3
4
Perímetro do quadrado (P) 4
8
12 16
Df = {1;2,3;4}
Variável independente: Lado do quadrado
D’f = {4;8;12;16}
Variável dependente: Perímetro do quadrado
Objectos: 1;2,3;4
f(2)=8
Imagens: 4;8;12;16
f ( x ) = 4x
Funções definidas por uma expressão analítica
Seja a função f definida pela seguinte expressão analítica
f(x ) = 2x -1
•Calcular a imagem sendo dado o objecto
f(3) = 2 x 3 -1
f(3) = 5
•Calcular o objecto sendo dada a imagem
f(x) = 15
2x – 1 = 15
 2x = 15 + 1
 2x = 16
x=8
(3;5) e (8;15)
pertencem á recta que é
gráfico da função f.
Funções definidas por um gráfico
•Variável independente: Peso
•Variável dependente: Custo
•F( … ) = 12
•F(1) = …..
•Tipo de função: Linear
•Expressão analítica: f(x) = 6x
Ainda os Números
oMúltiplos e divisores
oPotências
oNotação cientifica
Múltiplos e divisores ( m.m.c)
Determina o m.m.c(12;30)
1º processo
M12 = {0;12;24;36;48;60…}
M30 = {0;30;60…}
m.m.c = {60}
2º processo
12 2
30 2
62
15 3
33
55
1
1
12 = 22 x 3
30 = 2 x 3 x 5
m.m.c = 22 x 3 x5 = 60
Produto dos factores primos comuns e não comuns elevados ao
maior expoente
Múltiplos e divisores ( M.d.c)
Determina o m.d.c(12;30)
1º processo
D12 = {1;2;3;4;6;12}
D30 = {1;2;3;5;6;10;15;30}
M.d.c = {6}
2º processo
12 2
30 2
62
15 3
33
55
1
1
12 = 22 x 3
30 = 2 x 3 x 5
M.d.c = 2 x 3 = 6
Produto dos factores primos comuns elevados ao menor expoente
Potências
Regras operatórias das potências
•Multiplicação
•Divisão
•Com a mesma base
•Com a mesma base
2-2 x 27 = 25
•Com o mesmo expoente
(-2)3 x (-7)3 = 143
•Potencia de potência
(23)5 = 215
2-2 : 27 = 2-9 =
(2)3
•Com o mesmo expoente
(-24)3 : (-6)3 = 43
Potencia de expoente nulo
50 = 1
•Potencia de expoente inteiro negativo
5-1 = 1
5
Notação Científica
Definição: Diz-se que um número está escrito em notação
cientifica se está escrito na forma de um produto de um número a
entre 1 e 10 e uma potência de base 10, e escreve-se:
a x 10n , com 1≤a<10
Ex: Escreve os seguintes números em notação cientifica
253 x 10
-3
6769800
0,0000008
76,9 x 105
Operações com números escritos em notação científica
•
Multiplicação
(2,1 x 10-3) x (2 x108) = (2,1 x2) x (10-3 x 108) = 4,2 x 105
• Divisão
(8,04 x 10-7) : ( 4,02 x 105) = 2,02 x 10-12
Lugares geométricos
Uma circunferência é o lugar
geométrico dos pontos do plano que
são equidistantes de um ponto fixo
chamado centro da circunferência.
exterior de uma circunferência é o
lugar geométrico dos pontos do plano
que distam do centro da circunferência
mais do que o seu raio.
O círculo é o lugar geométrico
dos pontos pertencentes a uma
circunferência ou ao seu interior.
Lugares geométricos
Coroa circular:
r2
r1
É o conjunto dos pontos do plano que se
encontram a uma distancia maior ou igual a
r1 ou menor ou igual a r2 de um ponto C.
Mediatriz de um segmento de recta
É o lugar geométrico dos
pontos do plano que estão á
mesma distância dos
extremos do segmento de
recta [AB]
Lugares geométricos
Bissectriz de um ângulo
A bissectriz é o lugar
geométrico dos pontos do
plano equidistantes dos lados
de um ângulo.
•circuncentro – Ponto de intersecção das mediatrizes dos lados de um
triangulo.
•Incentro - Ponto de intersecção das bissectrizes dos lados de um
triangulo.
•Baricentro – Ponto de intersecção das medianas de um triângulo
Lugares geométricos no espaço
Superfície esférica e esfera
Ao lugar geométrico dos pontos do espaço
equidistantes de um ponto fixo chamado
centro, dá-se o nome de superfície
esférica.
A esfera é o lugar geométrico de
todos os pontos do espaço que se
encontram a igual ou menor
distância de um ponto fixo chamado
centro.
Lugares geométricos no espaço
Plano mediador
O plano mediador de um
segmento de recta é o lugar
geométrico dos pontos do espaço
equidistantes dos extremos do
segmento de recta.
O plano mediador é perpendicular
ao segmento de recta e contém o
ponto médio desse segmento de
recta.
Estatística
oRecolha de dados
oTabelas de frequências
oGráficos
oMedidas de tendência CENTRAL
Estatística – Recolha de dados
Tipo de dados
Exemplos:
qualitativos
Representam a informação que
não susceptível de ser medida,
mas de ser classificação.
quantitativos
Representam a informação que
pode ser medida, apresentando-se
com diferentes intensidades, que
podem ser de natureza discreta ou
contínua.
Exemplo
-Cor
dos olhos dos alunos de
uma turma . Podem ser
castanhos, azuis ou verdes.
Altura dos
jogadores da
equipa de
futebol do
FCP.
Exemplo
Notas de
Matemática,
do 7ºF, no
final do 2º
período.
Estatistica Que número calças?
37;41;38;39;42;37;
40;39;41;39;39;40;
39;39;40;39;38;36
Contagem dos dados
36
1
37
2
38
39
2
7
40
3
41
2
42
1
total
18
Estatística - Tabelas de frequências
X 100%
36
Frequência
absoluta (f)
1
Frequência
relativa (fr)
1 : 18 = 0,06
Fr em
percentagem
37
2
2 : 18 = 0,11
38
39
2
7
2 : 18 = 0,11
6%
11 %
11 %
40
7 : 18 = 0,39
39 %
3
3 : 18 = 0,16
16 %
41
2
42
1
2 : 18 = 0,11
1 : 18 = 0,06
1,00
11 %
6%
100 %
total
18
Estatística - Gráficos de barras
frequencia absoluta
Número do sapato dos alunos de uma turma
7
8
6
4
2
1
2
2
37
38
3
2
1
0
36
39
nº do sapato
40
41
42
Pictograma
= 1 aluno
Estatística - Pictograma
Número do sapato dos alunos do 7º F
42
41
40
nº do sapato 39
38
37
36
Estatística - Gráficos circulares
36
Frequência
Graus
absoluta (f)
1
20º
37
2
38
39
2
7
40º
40º
40
3
140º
60º
41
2
40º
42
1
20º
18
360º
total
18
1
360
 x
 x  20
360 x
18
18
2
360x2
720
  x
 x
 x  40
360 x
18
18
18
7
360x7
2520
  x
x
 x  140
360 x
18
18
18
3
360x3
1080
  x
 x
 x  60
360 x
18
18
Estatística - Gráficos circulares
Número do sapato dos alunos
11%
6% 6%
11%
11%
17%
38%
36
37
38
39
40
41
42
Estatística – Medidas de tendência central
Média
Frequência
absoluta (f)
36
1
37
2
38
2
39
7
40
3
41
2
42
1
Total
18
36 1 +37  2 +38  2 +39  7 +40  3+42 1
X
18
36 +74 +76 +273 +120+82+42
X
18
703
X 
18
X  39,1
A média do número do sapato dos
alunos é 39,1
Estatística – Medidas de tendência central
Frequência
absoluta (f)
Moda -
É o valor que surge com mais
frequência se os dados são discretos.
36
1
37
2
Neste caso a moda é 39.
38
2
39
7
40
3
41
2
Mediana - Ordenados os elementos, a mediana é
o valor que a divide ao meio, isto é, 50% dos
elementos da amostra são menores ou iguais à
mediana e os outros 50% são maiores ou iguais
à mediana.
42
1
Total
18
(39 + 39) : 2 = 39
36;37;37;38;38;39;39;39;39;39;39;39;40;40;40;41;41;42
Equações
EQUAÇÃO: é uma igualdade entre duas expressões onde,
pelo menos numa delas, figura uma ou mais letras .
3x+5=2-x+4
Sou equação
3
x  2  3x  4  x
2
1º membro
2º membro
3+(5-2-4) = 3+1
Não sou equação
3
• termos: x ; -2 ; 3x ; - 4 ; - x
2
• incógnita: x
• termos com incógnita: 3x ; - x ; 3 x
• termos independentes: -2 ; -4
2
Equações
Solução de uma equação: é um número que colocado no lugar
da incógnita transforma a equação numa igualdade numérica
verdadeira
3x  18
3  6  18 proposiçãoverdadeira
SOLUÇÃO
6
x  7  12
5
SOLUÇÃO
20  x  15
5
Mesmo conjunto solução
Equações equivalentes:
SOLUÇÃO
x  7  12  20  x  15
Equações sem parênteses e sem denominadores
5 x  6  3x  4
5 x

 3x   6  4 

2x  10


2 x 10

2
2


x5
 
Conjunto solução  5
•Resolver uma equação é
determinar a sua solução.
•Numa equação podemos mudar
termos de um membro para o
outro, desde que lhes
troquemos o sinal
•Num dos membros ficam os
termos com incógnita e no
outro os termos independentes
•efectuamos as operações.
•Dividimos ambos os membros
pelo coeficiente da incógnita.
•Determinamos a solução.
EQUAÇÕES COM PARÊNTESES
• simplificação de expressões com parênteses:
•Sinal menos antes dos parênteses: Tiramos os parênteses
trocando os sinais dos
 2 x  2  3x  5   2 x  2  3x  5 termos que estão dentro
•Sinal mais antes dos parênteses: Tiramos os parênteses
mantendo os sinais que
  3x  2  5x  1  3x  2  5x  1
estão dentro.
•Número antes dos parênteses: Tiramos os parênteses,
aplicando a propriedade
distributiva.
 2 3x  3  x  1  6 x  6  2 x  2
Como resolver uma equação com parênteses.
  2 x  1  35x  2  6   x  8 
 2x 115x  6  6  x  8 
 2x 15x  x  1 6  6  8 
 12x  3

•Eliminar
parênteses.
•Agrupar os
termos com
incógnita.
•Efectuar as
operações

12
x

3



 12  12
•Dividir ambos os membros
pelo coeficiente da incógnita
1
 x
4
•Determinar a solução, de
forma simplificada.
1 
C.S =  
4
EQUAÇÕES COM DENOMINADORES
1
2x
3 x



2 6  4 3
3 4 

6 6 x 12  4 x
 

12 12
12
 6  6x
12  4 x

12
12




 6  6x  12 4x 
 6x  4x  6 12 
 2x  18 
18
 x
9
2
•Começamos por reduzir todos os
termos ao mesmo denominador.
•Duas fracções com o mesmo
denominador são iguais se os
numeradores forem iguais.
•Podemos tirar os
denominadores desde que sejam
todos iguais.
Sinal menos antes de uma fracção
 3x  2  5x  3 •O sinal menos que se encontra antes da

fracção afecta todos os termos do numerador.
2
Esta fracção pode
ser apresentada da
seguinte forma
3x 2 5 x 3
 

2 2 2 2
1  2x
1 x

 8
3
2
1  2x
1
x

 8 

3(2) 1 2
2
(6) (3)
(3)
•Começamos por “desdobrar” a
fracção que tem o sinal menos
antes.(atenção aos sinais!)
•Reduzimos ao mesmo
denominador e eliminamos os
denominadores.
 2  4 x  48  3  3x 
  4 x  3x  2  48  3 
43
43
x
  7 x  43  x 
7
7
EQUAÇÕES COM PARÊNTESES E DENOMINADORES
•Devemos começar por eliminar os parênteses e
depois os denominadores
2x  1
 x 1  x
 3
  
3
 2  2

3x 3 x
2x 1
    
2(3) 2 2(3) 3(2) 3(2)
(3)
 9x  9  3x  4x  2  9x  3x  4x  9  2 
 2x  11 
11
C.S.=  
2
11
x

2
11
x
2
Proporcionalidade directa
•Razão
Dados dois números a e b (com b  0 ), a razão entre a e
b representa-se por:
a : b ou
Termos
a
(ler: razão de a para b ).
b
a  antecedente
b  consequente
GRANDEZAS DIRECTAMENTE PROPORCIONAIS
Exemplo 3
A tabela seguinte relaciona o número de iogurtes com o respectivo custo.
Número de iogurtes
Preço (em €)
1
0,50
2
1
3
1,50
4
2
...
...
Observa a variação destas duas grandezas. Verificas que quanto maior é o número de
iogurtes comprados, maior é o seu custo; correspondendo ao dobro do número de iogurtes o dobro
do custo, ao triplo do número de iogurtes o triplo do custo, etc.
3
2
Número de iogurtes
Custo (em €)
1
0,50
2
1
3
1,50
4
2
...
...
2
3
Diz-se por isso, que o custo é directamente proporcional ao número de iogurtes.
PROPORCIONALIDADE DIRECTA E TABELAS. CONSTANTE DE PROPORCIONALIDADE
Número de iogurtes
Custo (em €)
1
0,50
2
1
3
1,50
4
2
...
...
Na prática, como reconhecer se uma tabela traduz uma situação de proporcionalidade
directa?
Observa a tabela e completa:
0,5

1
0,5 ;
1
1, 5
 0,5 ;

2
3
0,5 ;
2
 0,5
; ...
4
Logo,
Custo
0,5 1 1,5 2

 
  ... =
Número de iogurtes
1
2 3 4
0,5
ou seja,
o quociente entre o custo e o número de iogurtes é constante, pois é sempre igual a 0,5 .
Sendo assim, diz-se que:
O custo é directamente proporcional ao número de iogurtes.
Ao quociente constante chama-se constante de proporcionalidade
e representa o preço de 1 iogurte.
De um modo geral,
A grandeza y é directamente proporcional à grandeza x
se existe um número k, de modo que:


y
 k ou y  kx ;
x
se y é zero, x também é zero.
Ao número k chama-se constante de proporcionalidade.
Se numa tabela cada
valor de uma linha se
obtém multiplicando
(ou dividindo) o valor
correspondente da
outra linha sempre
pelo mesmo número,
então as grandezas
nela representadas
são directamente
proporcionais.
PROPORCIONALIDADE DIRECTA E GRÁFICOS CARTESIANOS
Número de iogurtes
Custo (em €)
1
0,50
2
1
3
1,50
4
2
...
...
Exercício 1
Com base na tabela, constrói um gráfico cartesiano que relacione o preço com a quantidade
de iogurtes.
Preço
(em €)
1,5
1
O,5
1
2
3
n.º iogurtes
Percentagens

5 % de 120 chocolates são _______
0,05 x 120 = 6

6 chocolates em 50 são ___%
50------- 100% x = 6 x 100 : 50
6 -------- x

150 acrescidos de 10% são ____
150 + 10% = 150 +15 = 165

500 com um desconto de 20% ____
500 - 20% = 500-100 = 400
Resolução de problemas envolvendo Percentagens
1- O preço de um sofá é de 300€, sem IVA.
Sabendo que o IVA é 21%, quanto é o valor, em euros, do
IVA deste sofá? Qual é o preço final do sofá?
21% de 300 = 300 x 21% = 63
300 + 63 = 363
O preço final do sofá é 363 euros.
2- Uma camisola custava 56 euros e a Ana que era amiga da dona
da loja, comprou-a por 42 euros. Qual foi a percentagem de
desconto?
Euros
%
56 -------------------------- 100
42 --------------------------- x
x = 42 x 100 : 56 = 75%
100 – 75 % = 25 % O desconto foi de 25%.
Conjuntos numéricos
IN - Conjunto dos números Naturais
6

9
-12
-4
IN = {1;2;3;4;5;6…}

1
4
IN
IN0
Z
IN0 ={0;1;2;3;4;5;6…}
Z - Conjunto dos números Inteiros
relativos
0
-3
IN0 - Conjunto dos números Inteiros
Z= {… -3;-2;-1;0;1;2;3;…}
-56
14

3
Q
Q- Conjunto dos números racionais
Q = z U { números fraccionários}
Completa com os simbolos ; ; ; 
-1 ….. N
4 …… Z-
1,4 ….. Z
N…… Z
-3 …… Z2,3 …… Q
0 …… N 3 …… N