MOVIMENTOS:
COMO DESCREVÊ-LOS?
Marta Feijó Barroso
IF-UFRJ, 2006
conceitos:
trajetória
posição
deslocamento
velocidade
aceleração
exemplos: movimento retilíneo
movimento circular
preliminares (escondido):
O QUE SE MOVE
o modelo para o que é observado
QUEM OBSERVA
o observador, o ponto de referência, ...
objeto de nosso estudo
sistema
o observador
sistema de referência
.
O
ponto de referência
O
O
O
trajetória
O
objeto de nosso estudo
sistema
modelo:
“partícula”
O
r (t)
O
r (t)
O
t

r (t )
vetor posição da partícula
no instante t
em relação ao observador em O.
O
t

r (t )
O

r

r (tt )
tt
t

r (t )
O
vetor deslocamento da partícula
entre os instantes t e t+t

r

r (tt )
tt
 

 r  r ( t  t )  r ( t )
t

r (t )
O

r

r (tt )
tt
vetor deslocamento
da partícula entre os
instantes t e t+t
 

 r  r ( t  t )  r ( t ) 


 r final  r inicial

 
 r AB  r B  r A

 
 r BC  r C  r B

 
 r AC  r C  r A  0
A
C

 rAB

 rBC
B
velocidade
deslocamento
velocidade 
tempo
velocidade média
no intervalo t , t+t

 r
v 
t

r (t )
O

r (tt )
t = 0,5 s

r (t )
O

r

r (tt )

v 
t = 0,5 s

r (t )
O

r

r (tt )

v 
secante
à trajetória
t = 0,5 s

r (t )
O

r

r (tt )

v 
secante
à trajetória
velocidade ?
t

r (t )

r

r (tt )
O
t+t

v 
t

r (t )
O

r

r (tt )
t+t

v 
t

r (t )
O

r
t decrescente

v 
t

r (t )

r
v 
t decrescente
r  decrescente
O
v 
t decrescente
t
r (t)
O
r decrescente

r

v  lim
t  0
t
t

r (t )
O

r
t decrescente

v 
t

r (t )
O

v 

r
v  lim
t  0
t
tangente à trajetória
no instante considerado

r


v  lim
 lim v
t  0
t  0
t
tangente à trajetória
no instante considerado

v (t )

v (t 2 )
t

r (t )
O

v ( t1 )

v

v (t 3 )
tangente à trajetória
retilíneo?...
a velocidade tem sempre a mesma
direção
o movimento é retilíneo
movimento uniforme
=
deslocamentos iguais
em tempos iguais
=
movimento com velocidade constante

v0

r

 constante  v 0
t

 
v  lim v  v 0
t  0

v0

r

 constante  v 0
t
movimento retilíneo uniforme
próximo

v0


r
 constante  v 0
t

 
 r  v 0 t
movimento retilíneo uniforme:
deslocamentos iguais em tempos
iguais
próximo

v0


r
 constante  v 0
t

 
 r  v 0 t
movimento retilíneo uniforme:
deslocamentos iguais em tempos
iguais
próximo
O movimento e sua descrição – pausa para respiração
deslocamento = velocidade x tempo
Se a trajetória “encurva”, a velocidade
mudou…
se a velocidade mudou... é porque tem
aceleração...


v
a  lim
t  0
t
MOVIMENTO ACELERADO
definições
 notação 

v
dv
a  lim

t 0
t
dt
 notação 

r
dr
v  lim

t  0
t
dt
MOVIMENTO ACELERADO
t

v( t )

v ( t  t )


 d v v
a

d t t
MOVIMENTO ACELERADO

v ( t  t )
t

v( t )


 d v v
a

d t t

v ( t  t )

v( t )
 t  0 .5 s

v


 v v

a

 2 v
t 0,5
MOVIMENTO ACELERADO
t

a (t )

v ( t  t )

v ( t  t )

v( t )


 d v v
a

d t t

v( t )

v
 t  0 .5 s
MOVIMENTO ACELERADO


 d v v
a

d t t

a (t )


v  a  t

v ( t  t )
t

v ( t  t )

v( t )

v( t )

a t
 t  0 .5 s
P
MOVIMENTO ACELERADO


v  a  t

v

a t

v


v

v
//



v  v//  v
MOVIMENTO ACELERADO


v  a  t

a t

v


v

v
//
MOVIMENTO ACELERADO


v  a  t

v'

a t

v


v

v
//
P
MOVIMENTO ACELERADO
 
a e v são paralelos


v  a  t

a t

v

v'

v
//
apenas o módulo da velocidade é alterado!
MOVIMENTO ACELERADO


v  a  t
 
a e v são antiparalelos

a t

v

v

vo' módulo da velocidade é alterado
//
(também seu sentido poderia ser mudado!)
MOVIMENTO ACELERADO


v  a  t
num movimento retilíneo...




P
MOVIMENTO ACELERADO


v  a  t
Para mudar a direção da velocidade, é
necessária uma componente da aceleração
na direção perpendicular a ela…
e aí podemos ter trajetórias curvas.
MOVIMENTO ACELERADO


v  a  t

v


r  v t
muda a direção da
velocidade

v


v
//
muda o módulo da velocidade
MOVIMENTO ACELERADO
… MOVIMENTO CIRCULAR...
?
t

r (t )
t

r (t )
t

r (t )

v(t )
t

v(t )

r (t )

r ( t  t )
t

v(t )

r (t )

r ( t  t )
módulo de r é constante
direção de r varia
t

v(t )

r (t )

r ( t  t )
módulo de r é constante
direção de r varia


v perpendicu lar a r
t

r (t )

v(t )
t

r (t )

v(t )
t

r (t )

v(t )
t

v(t )

r (t )
módulo de r é constante
direção de r varia
t
s

r

v(t )

r (t )

r ( t  t )

r


 r  s  r 

v r

v

r

r
s
  
v  v v
t

v  r
t
v 0
r

 r  s  r 

v r
r
E A ACELERAÇÃO
NO MOVIMENTO
CIRCULAR
?

v(t )

v ( tt )

v(t )



v ( tt )

v
caso particular: movimento circular uniforme
t

v(t )
caso particular: movimento circular uniforme

v(t )
v  r
caso particular: movimento circular uniforme

v(t )
v  r

v

r

r
r
s
r


 r  s  r 

v r


v

v

r

r
r
s
r


v


 r  s  r 

v r

v  ( s  ) v    r 

a  2 r

v
r
r

r


a t
aceleração perpendicular a v
que é perpendicular a r

a  2 r
aceleração na direção radial
para dentro
aceleração centrípeta!
movimento circular não uniforme

v(t )
v  r
movimento circular não uniforme

v
t (t )

r (t )
movimento circular não uniforme

v(t )

v ( tt )
movimento circular não uniforme

v(t )


v ( tt )

v(t )

v ( tt )
movimento circular não uniforme


v(t )

v ( tt )

v
PAPES IV - LADIF
MOVIMENTO ACELERADO


v  a  t

v

a t

v


v

v
//



v  v  v
//

movimento circular não uniforme

v

v


v
//
na direção perpendicular à
velocidade
que é a direção radial
na direção da velocidade
que é a direção tangencial

a  a rˆ  a tˆ
r
t
movimento circular não uniforme

v

r 

v a 

a
t

r
a
r
a
a 
a a
t
r
movimento circular não uniforme
a
a
r

a
t
a  r
2
r
aceleração centrípeta
- direção radial, para
dentro
movimento circular não uniforme
rˆ
tˆ
a
a
r
t
d
a r
r
dt
t
aceleração tangencial:

a
na direção da velocidade,
tangente ao círculo,
é responsável pelo aumento de
seu módulo v =  r
movimento circular não uniforme
rˆ
tˆ
a
a
r
t

a  a rˆ  a tˆ 
r

a
t
   r rˆ   r tˆ
2