Introdução ao escoamento compressível

Matéria







Velocidade das ondas de pressão no interior de
condutas
Variação de massa específica associada à
variação de energia cinética
Revisões de Termodinâmica
Equação de energia unidimensional para gases
em regime estacionário sem trocas de energia ao
veio
Entalpia e temperatura de estagnação
Exemplo
Escoamento subsónico, crítico e supersónico.
Introdução ao escoamento compressível

Matéria (cont.)






Velocidade do som
Condições críticas
Evoluções em função do número de Mach
Equações para regime compressível
unidimensional
Transferência de calor em condutas de secção
constante
Exemplo.
Velocidade das ondas de pressão (I)
cdt
V  0, p
dV , p  dp
dVdt
Fluido já afectado pelo
movimento do êmbolo
Êmbolo desloca-se com
velocidade dV durante o intervalo
de tempo dt
Fluido ainda não afectado
pelo movimento do êmbolo
Onda de pressão de
velocidade c
Qual a velocidade do som (onda de pressão) c?
Velocidade das ondas de pressão (II)
Num referencial fixo à frente de onda
(para tornar o problema estacionário)
2
c  dV , p  dp,   d
Vdt Fluido afectado pelo
movimento do êmbolo
1
x
c, p , 
Onda de pressão de
Fluido não afectado pelo
velocidade estacionária movimento do êmbolo
Balanço de massa ao VC
limitado pelas secções 1 e 2: Ac    d Ac  dV 
Balanço de quantidade de
movimento ao VC:
KVC x
 Fx  qqm x
t
dV 
   q 
e
qm x s
d

c
Velocidade das ondas de pressão (III)
2
1
c, p , 
c  dV , p  dp,   d
Vdtde massa ao VC limitado pelas secções 1 e 2:
Balanço
Balanço de quantidade de movimento ao VC:
pA   p  dpA
x
dV 
d

c
   
Fx  qqmx s  qqmx
e
  d c  dV 2 A
Ac 2


 Adp  AdV   2 A  d cdV  A c  dV  d
2
3
 d 2

d   2
 dp  
 d 
c
2 

 

2
2
 p 
dp
c
  
d
   s
Velocidade das ondas de pressão (IV)
dp
c
d
No caso dos líquidos, introduzindo o
módulo de expansão volumétrica: Ev
c
Ev

dp
dp
 v

dv
d

Líquidos
Água
Mercúrio
Glicerina
Benzina
kg/m3
988
13550
1258
895
Ev
Pa
2,07E+09
2,62E+10
4,35E+09
1,03E+09
c
m/s
1447
1391
1860
1073
Condições para pressão e temperatura normais
Velocidade das ondas de pressão (V)
Caso de líquidos em
tubagens elásticas:
d – diâmetro do tubo
e – espessura do tubo
1
cp  c
d Ev
1
e E
E – módulo de elasticidade do material do tubo
c – velocidade num tubo inelástico
Material
Aço
Ferro forjado
Betão
E
Pa
2,07E+11
1,03E+11
2,07E+10
c p /c
0,95
0,91
0,71
Condições para água a PTN e d/e=10
Velocidade das ondas de pressão (VI)
 p 
c   
   s
No caso de gases perfeitos, p=RT,
em evoluções isentópricas (=cp/cv):
c  RT
p  k

 p 
p
     RT

   s
Para o ar ( =1,4; R =287 J/kg/K) em condições PTN: c = 343 m/s
Introdução ao escoamento compressível

Efeito de compressibilidade associado a variações intensas de energia
cinética:
V 2
Equação de Bernoulli: p   
2
V 2 elevados
p
elevados
 =  (T,p)
Importância do termo

1
 2
a
p
 significativos
Efeitos de
compressibilidade
a = velocidade do som no fluido (efeitos mais intensos nos
fluidos de menor a)
Introdução ao escoamento compressível

Aumento do número de variáveis (e equações):
Esc. incompressível
Esc. compressível
Vep
V, p,  e T
Equação da continuidade
Equação da continuidade
Equação de Bernoulli
(ou de quantidade de movimento)
Equação de Energia
Equação da quantidade de movimento
Equação de estado (G.P.):

Novos parâmetros:
a – Velocidade do som
M – Número de Mach
(M = V/a)
p  RT
Revisão de Termodinâmica

Algumas definições:

Equação de estado: define as propriedades do fluido a partir de
duas delas (p.ex. pressão e temperatura).

Processo: conjunto de estados intermédios entre o inicial e o
final.
Processo reversível: permite o regresso ao estado inicial sem
interferência do exterior.
Processo irreversível: caso contrário (efeitos do atrito ou de
trocas de calor).



Leis da Termodinâmica:


1ª Lei: correspondência entre calor e trabalho como formas de
energia.
2ª Lei: limita a direcção da evolução dos processos naturais
1ª Lei da Termodinâmica (para sistemas
abertos/volumes de controlo)

Equação de energia para escoamentos unidimensionais:




 
V2  
V2
V2
  Q









d


h


gy
m

h


gy
m

W
 u 



i
k
veio







t
2
2
2
saída
ent
 

i

k
VC


Equação de energia para regime estacionário, sem troca de energia ao
veio, secções de entrada e saída únicas, desprezando energia
potencial (gases), por unidade de massa:

V2  
V2 
 h 
   h 
  q
2 2 
2 1

2ª Lei da Termodinâmica

Num processo real a entropia s varia de modo a que;
dq
ds 
T
ds  dsrev  dsirrev
s e q expressos por unidade de massa

dq
T
Num processo adiabático (dq = 0) a entropia aumenta,
excepto se o processo for reversível (sem atrito), caso em
que s = cte – processo isentrópico.
Adiabático + reversível (sem atrito)
isentrópico, ds = 0
Gases perfeitos

Equação de estado: p  RT com R  R M
R – constante do gás, M – molécula-grama do gás (massa em gramas de uma
mole do gás), R – constante universal dos gases perfeitos (8,314 JK-1mole-1)
e ainda:
du  cv dT
  c p cv
dh  c p dT
R  c p  cv
R
cp 
 1
 varia entre 1 e 1,4 (gases diatómicos) em função da complexidade da
molécula do gás; vapor de água  =1,33.

Evoluções isentrópicas:
T2  p2 
  
T1  p1 
 1

 2 
  
 1 
 1
Número de Mach, M




M
V velocidade do fluido

a
velocidade do som
forço
inércia
Força dede
inércia

Força
elástica
forço
elálásti
energia
cinética
Energia cinética

energia
elálásti
Energia elástica
 p 
   RT  a
   s
V 2 L2
 p  L2
V

M
p  
V 2 L3

3
 p  L
para um gás perfeito
V
M
p  
Entalpia de estagnação adiabática



Equação de energia:

V2  
V2 
 h 
   h 
  q
2 2 
2 1

Entalpia de estagnação adiabática:
V2
h0  h 
2
h0 2  h01  q
V2
 cte.
Num escoamento adiabático (q = 0): h0  h 
2
Entalpia de estagnação adiabática: a entalpia dum ponto levado ao
repouso numa desaceleração adiabática
Temperatura de estagnação adiabática
dh  c p dT

Para um gás perfeito:

V2
Temperatura de estagnação adiabática: T0  T 
2c p

Equação da energia:

V2
 cte.
Num escoamento adiabático: h0  h 
2
h0 2  h01  q
T0 2  T01 
q
cp
V2
T0  T 
 cte.
2c p
Temperatura de estagnação adiabática: a temperatura dum ponto levado
ao repouso numa desaceleração adiabática
Exemplo

Um tubo de Pitot mede uma pressão total de p0=14 kPa acima da
pressão estática local de p1=70 kPa. Sabendo que a temperatura
local é T1=-50 C determine a velocidade do escoamento, V.
q
Equação da energia: T0 2  T01 
cp
2
V
q0
T0  T 
 cte.
2c p
p0=84 kPa
T1=-50 C
p1=70 kPa
1
V
0
?
2
1
V
T0  T1 
2c p
V1  2c p To  T1 
Evolução isentrópica:
To  po 
  
T1  p1 
 1

Resultados: T1  273 50  223 K
Nota: os pontos 1 e 0 estão muito
próximos e estariam à mesma
pressão e temperatura se o ponto 0
não fosse de estagnação devido à
presença do Pitot.
T0  234,9 K
V1  154 m/s
Temperatura de estagnação em função do
número de Mach - M

V2
Temperatura de estagnação, T0: T0  T 
2c p
   1 V 2 

T0  T 1 
2 RT 

R
cp 
 1
a2
   1 2 
T0  T 1 
M 
2


2 

V

T0  T 1 
 2c T 
p 

Condições críticas (M=1)

Para M=1
   1 2 
T0  T 1 
M 
2


   1 
T0  T 1 

2 

T     1 

T0  2 
T* é a temperatura crítica
V* é a temperatura crítica:
V 
a* é a velocidade do som crítica
2RT0
 a
 1
1
Equações a utilizar em escoamento
compressível
q
T0 2  T01 
cp
dT0 

Equação da energia:

Equação da continuidade: AV  cte.

Equação de estado: p  RT

Equação do número de Mach: M 
dq
cp
d
dA dV


0

A V
dp d dT


0
p
 T
V
a
dM da dV


0
M
a
V
Equações a utilizar em escoamento
compressível

Equação da quantidade de movimento:
(escoamento sem mudança de direcção)

 Vx2 Vx1
Fx  m

p
A+dA
V 2 dx
pA  pdA  p  dp A  dA  f
 AVdV
2 d
Força longitudinal exercida pela pressão
na parede lateral

1

p RT
V+dV
V
A, p, 
p+dp
+d
p
dp VdV
M 2 dx

f

0
p
RT
2A d
Escoamento com transferência de calor
numa conduta de secção constante
V
p, 
V+dV
p+dp
+d
T+dT M+dM
T0+dT0
dq

Equação da energia:

Definição de temperatura
de estagnação:
dq
dT0 
cp
VdV
dT0  dT 
cp
Escoamento com transferência de calor
numa conduta de secção constante

Equação da continuidade:
d


dA dV

0
A V

Equação de estado:
dp d dT


0
p
 T

Eq. número de Mach:
dM da dV


0
M
a
V

Eq. da quant. movimento:
(desprezando o atrito)
dp VdV
M 2 dx

f

0
p
RT
2A d
Escoamento com transferência de calor
numa conduta de secção constante

6 incógnitas (dV, dp, dT, d, dM, dT0) e 6 equações
Solução:
dT dV
dq
2
0
T

V
1  M   c
p
Aquecimento: acelera o escoamento de subsónico até sónico (no máximo)
(Aquecimentos superiores são acompanhados por redução do caudal,
mantendo escoamento sónico à saída)
ou desacelera o escoamento de supersónico até sónico (no máximo)
(Aquecimentos superiores são acompanhados por um aumento do
caudal, mantendo escoamento sónico à saída)
Escoamento com transferência de calor
numa conduta de secção constante
M=0,3
T=250 K
m
 1436 kg m 2 s 1
A
saída
q

Qual o máximo aquecimento compatível com o caudal
indicado (isto é, para Ms = 1)?
Vs2  Ve2
q  c p Ts  Te  
2
Qmax
Ms 1
Vs  RTs
m
  sVs
A
Qual a equação
que falta?
ps  s RTs
Escoamento com transferência de calor
numa conduta de secção constante
m
 1436 kg m 2 s 1
A
M=0,3
T=250 K
saída
q

Qual o máximo aquecimento compatível com o caudal
indicado (isto é, para Ms = 1)?
Ve  M e RTe  95m s
p s  pe 
e 
m A
 15kg m3
Ve

m
Vs  Ve   pe  sVs2  eVe2
A
RTs

pe  ReTe  1083628Pa

ps  pe  s RTs  eVe2
ps

Escoamento com transferência de calor
numa conduta de secção constante
m
 1436 kg m 2 s 1
A
M=0,3
T=250 K

ps  pe  s RTs   V
2
e e
pe  eVe2
ps 
 507918Pa
1 

ps
m
ps   s RTs  RTs
AVs
s 
ps
 2,9 kg m3
RTs
Vs 
M
m A
s
saída
s
1
 495m s
Vs  RTs

ps 
m RTs
A 
Ts  610K
Vs2  Ve2
q  c p Ts  Te  
 479,4 KJ Kg
2
Introdução ao escoamento incompressível

Bibliografia



Secções 9.1 a 9.4, R.H. Sabersky, A.J. Acosta,
E.G. Hauptmann, E.M. Gates, Fluid Flow, 4ª
edição, Prentice Hall, 1999.
Secções 9.1 a 9.4, F.M. White, Fluid Mechanics,
3ª edição, McGraw-Hill, 1994.
Secções 10.1 e 10.2, L. A. Oliveira, A. G. Lopes,
Mecânica dos Fluidos, 2ª edição, ETEP, 2007