Introdução
Numa grande variedade de problemas de inferência não estamos
interessados em estimar um parâmetro, mas em estabelecer um
limite inferior ou superior ou ambos, para o parâmetro que toma
valores em IR; ou seja, construir um intervalo de confiança que
contenha com elevada probabilidade o parâmetro desconhecido.
1
Introdução
Sabemos que se Z _ N(0, 1), então
P(−1.96 < Z < 1.96) = 0.95 ,
sendo 1.96 o quantil de probabilidade 0.975 da normal padrão, ou
seja, z0.975 = 1.96.
Exemplo (6.1)
Se (X1 , . . . , Xn ) é uma a.a. de uma população Normal com valor
médio µ desconhecido e variância σ 2 conhecida, sabemos do
X −µ
√ _ N(0, 1), pelo que
Teorema 5.2 que Z = σ/
n
X −µ
√ < 1.96 = 0.95 .
P −1.96 <
σ/ n
2
Introdução
Exemplo (6.1)
Isolando na dupla desigualdade anterior o valor de µ vem
σ
σ
√
√
= 0.95 ,
P X − 1.96
< µ < X + 1.96
n
n
ou seja,
σ
σ
P µ ∈ X − 1.96 √ , X + 1.96 √
= 0.95.
n
n
3
Introdução
Assim sendo,
σ
σ
X − 1.96 √ , X + 1.96 √
n
n
é um intervalo de confiança a 95% para o valor médio
populacional µ.
Nota
É possı́vel relacionar a probabilidade do parâmetro µ não pertencer
ao intervalo, neste caso α = 0.05, com o coeficiente de confiança
do intervalo 0.95 = 1 − 0.05 e a probabilidade 0.975, pois
0.975 = 1 −
0.05
.
2
4
Introdução
Mais geralmente,
σ
σ
= 1 − α,
P µ ∈ X − z1−α/2 √ , X + z1−α/2 √
n
n
onde z1−α/2 é o quantil de probabilidade 1 − α/2 da distribuição
Normal padrão.
Consequentemente, podemos considerar
σ
σ
X − z1−α/2 √ , X + z1−α/2 √
n
n
um estimador intervalar de µ a que chamamos intervalo de
confiança aleatório com coeficiente de confiança 1 − α.
5
Introdução
Nota
Quando substituimos o estimador X pela sua estimativa x,
obtemos um intervalo de confiança (determinista) com coeficiente
de confiança 1 − α
σ
σ
x − z1−α/2 √ , x + z1−α/2 √ .
n
n
6
Intervalos de Confiança
Estimador Intervalar
Se X = (X1 . . . , Xn ) é uma a.a. de uma população cuja distribuição
depende do parâmetro θ, e se L(X) e U(X) são estatı́sticas tais que
P {L(X) < θ < U(X)} = 1 − α ,
diz-se que ]L(X), U(X)[ é um estimador intervalar de θ, e chama-se
probabilidade de cobertura à probabilidade de o intervalo
aleatório cobrir o verdadeiro valor do parâmetro.
7
Intervalos de Confiança
Nota
Está implı́cito ao conceito de intervalo de confiança que qualquer
um dos seus pontos pode ser usado como valor do parâmetro
desconhecido.
8
Intervalos de Confiança
I
Se
P {θ > L(X)} = 1 − α ,
então ]L(X), +∞[ é um limite inferior de confiança
aleatório com coeficiente de confiança 1 − α;
I
Se
P {θ < U(X)} = 1 − α ,
então ] − ∞, U(X)[ é um limite superior de confiança
aleatório com coeficiente de confiança 1 − α.
9
Intervalos de Confiança
Um método bastante popular e elegante de construção de
intervalos de confiança (I.C.) baseia-se em variáveis fulcrais ou
pivot.
Por exemplo, se (X1 , . . . , Xn ) é uma a.a. de uma população
Normal com valor médio µ desconhecido e desvio padrão σ
conhecido, então a variável
X −µ
√ _ N(0, 1)
σ/ n
é uma variável fulcral porque a sua distribuição não depende de µ.
10
Intervalos de Confiança para os Parâmetros de uma
População Normal
Admitamos que (X1 , . . . , Xn ) é uma a.a. de uma população Normal
com valor médio µ e variância σ 2 .
Intervalo de Confiança para µ com σ conhecido
O I.C. a (1 − α) × 100% para µ é
σ
σ
X − z1−α/2 √ , X + z1−α/2 √
n
n
onde z1−α/2 denota o quantil de probabilidade 1 −
distribuição Normal padrão.
α
2
da
11
Intervalos de Confiança para os Parâmetros de uma
População Normal
Exemplo (6.2)
Suponha que a resistência de uma componente electrónica (em
ohm, Ω) é uma v.a. X _ N(µ, σ), onde µ é desconhecido e σ = 4.
Para obter-se informação sobre o valor esperado da resistência da
componente, µ, recolheu-se uma amostra de dimensão n = 4 e
obtido o seguinte conjunto de observações:
x = (5.0, 8.5, 12.0, 15.0).
Obtenha um I.C. a 95% para µ.
12
Intervalos de Confiança para os Parâmetros de uma
População Normal
Sendo σ conhecido, o I.C. a 95% (α = 0.05) para µ é dado por
σ
σ
.
X − z0.975 √ , X + z0.975 √
n
n
Como
x = 10.125 Ω
vem
4
4
10.125 − 1.96 × √ , 10.125 + 1.96 × √ =]6.205, 14.045[.
4
4
13
Intervalos de Confiança para os Parâmetros de uma
População Normal
No exemplo anterior podı́amos querer, por exemplo, estimar µ com
um erro inferior a 2 Ω.
Por outras palavras, queremos determinar a dimensão da amostra
a recolher de tal modo que a amplitude do I.C. a 95% seja inferior
a 2 Ω.
14
Intervalos de Confiança para os Parâmetros de uma
População Normal
Qual deve ser a dimensão da amostra?
σ
σ
σ
A = X + z1−α/2 √ − X − z1−α/2 √
= 2z1−α/2 √ ,
n
n
n
pelo que
2
σ2
4z1−α/2
σ
.
2z1−α/2 √ < ε ⇒ n >
ε2
n
15
Intervalos de Confiança para os Parâmetros de uma
População Normal
Sendo no nosso exemplo ε = 2 e α = 0.05, vem
n>
4 × 1.962 × 42
' 61.47
22
pelo que devemos considerar n = 62.
Nota
No caso de se desconhecer σ uma estimativa prévia pode ser
usada, desde que se suspeite que a dimensão da amostra será
“grande”(n > 30).
16
Intervalos de Confiança para os Parâmetros de uma
População Normal
Na construção de um I.C. para µ com σ desconhecido usa-se a
variável fulcral
X −µ
√ _ tn−1 .
S/ n
Intervalo de Confiança para µ com σ desconhecido
O I.C. a (1 − α) × 100% de µ é
S
S
√
√
X − tn−1;1−α/2
,
, X + tn−1;1−α/2
n
n
onde tn−1;1−α/2 denota o quantil 1 − α/2 da distribuição t de
Student com n − 1 graus de liberdade.
17
Intervalos de Confiança para os Parâmetros de uma
População Normal
Exemplo (6.3)
Suponha que no exemplo 6.2 o desvio padrão é desconhecido.
Obtenha um I.C. a 95% para o valor esperado da resistência da
componente.
Neste caso precisamos de s = 4.33 e t3;0.975 = 3.182, pelo que
4.33
4.33
=]3.236, 17.014[.
10.125 − 3.182 × √ , 10.125 + 3.182 × √
4
4
18
Intervalos de Confiança para os Parâmetros de uma
População Normal
Nota
Repare-se que quando σ é desconhecido a amplitude do I.C. é
maior do que quando é conhecido.
No caso de estarmos interessados em construir um I.C. para a
variância, σ 2 , de uma população Normal, com µ desconhecido, a
variável fulcral a considerar é
2
n X
Xi − X
(n − 1)S 2
=
_ χ2n−1 .
σ
σ2
i=1
19
Intervalos de Confiança para os Parâmetros de uma
População Normal
Intervalo de Confiança para σ 2 com µ desconhecido
O I.C. a (1 − α) × 100% de σ 2 é
(n − 1)S 2 (n − 1)S 2
,
.
χ2n−1;1−α/2 χ2n−1;α/2
onde χ2n−1;β representa o quantil de probabilidade β da distribuição
de qui-quadrado com n − 1 graus de liberdade.
20
Intervalos de Confiança para os Parâmetros de uma
População Normal
Exemplo (6.4)
Considerando novamente o exemplo 6.2, com µ e σ 2 ambos
desconhecidos, o I.C. a 90% para σ 2 é
" #
3 × 4.332 3 × 4.332
3 × 4.332 3 × 4.332
,
=
=]7.197, 159.792[.
,
7.815
0.352
χ23;0.95
χ23;0.05
21
Intervalos de Confiança para os Parâmetros de uma
População Normal
Intervalo de Confiança para σ com µ desconhecido
O I.C. a (1 − α) × 100% de σ é
#s
"
s
(n − 1)S 2
(n − 1)S 2
,
.
χ2n−1;1−α/2
χ2n−1;α/2
Exemplo (6.5)
Do exemplo 6.4 segue-se que o I.C. a 90% para σ é
√
√
] 7.197, 159.792[=]2.683, 12.641[.
22
Intervalos de Confiança para os Parâmetros de uma
População Não Normal
O TLC pode ser usado na construção de intervalos de confiança
assintóticos de parâmetros de populações não Normais.
Exercı́cio (Intervalo de Confiança para uma Proporção)
Seja (X1 , . . . , Xn ) uma a.a. de uma população X _ Bernoulli(p),
com p desconhecido. Obtenha um I.C. aproximado a
(1 − α) × 100% para p.
23
Comparação dos Parâmetros de Duas Populações Normais
Suponhamos agora que (X1 , . . . , Xm ) e (Y1 , . . . , Yn ) são a.a. de
populações Normais com valor médio e desvio padrão µX e σX , e
µY e σY , respectivamente. Denotaremos
m
Xm =
1 X
Xi
m
m
e
SX2 =
i=1
i=1
n
1X
Yn =
Yj
n
j=1
1 X
(Xi − X m )2
m−1
n
e
SY2
1 X
=
(Yj − Y n )2 .
n−1
j=1
24
Intervalo de Confiança para a Diferença entre Valores
Médios com base em Amostras Independentes
1o Caso: As variâncias populacionais σX2 e σY2 são conhecidas.
A variável fulcral a usar para construir um I.C. para µX − µY é
(X m − Y n ) − (µX − µY )
q 2
_ N(0, 1) .
σ2
σ
X
Y
m + n
Intervalo de Confiança para µX − µY
O I.C. a (1 − α) × 100% de µX − µY é


s
s
2
2
2
2
σX
σ
σX
σ
X m − Y n − z1−α/2
+ Y , X m − Y n + z1−α/2
+ Y .
m
n
m
n
25
Intervalo de Confiança para a Diferença entre Valores
Médios com base em Amostras Independentes
2o Caso: As variâncias populacionais σX2 e σY2 são desconhecidas
mas iguais.
A variável fulcral a considerar agora é
(X m − Y n ) − (µX − µY )
q
_ tm+n−2 ,
SP m1 + n1
onde
SP2 =
(m − 1)SX2 + (n − 1)SY2
.
m+n−2
26
Intervalo de Confiança para a Diferença entre Valores
Médios com base em Amostras Independentes
Intervalo de Confiança para µX − µY
O I.C. a (1 − α) × 100% de µX − µY é
#
X m − Y n − tm+n−2;1−α/2 SP
r
1
1
+ , X m − Y n + tm+n−2;1−α/2 SP
m
n
r
27
"
1
1
.
+
m
n
Intervalo de Confiança para a Diferença entre Valores
Médios com base em Amostras Independentes
Exemplo (6.6)
As classificações obtidas num teste de Probabilidades e Estatı́stica
(escala 0 a 20) pelos alunos dos cursos A e B são as que se
seguem:
Curso A Curso B
n
25
22
x
10.2
13.8
s2
3.4
2.2
Pode afirmar-se que a classificação média do curso A é
significativamente inferior à do curso B?
28
Intervalo de Confiança para a Diferença entre Valores
Médios com base em Amostras Independentes
I
Admitiremos que as classificações no teste seguem uma
distribuição Normal em ambos os cursos, com variâncias
populacionais desconhecidas mas iguais;
I
Para um nı́vel de significância α = 0.05, temos
t45;0.975 = 2.014,
I
e
sP2 =
(25 − 1) × 3.4 + (22 − 1) × 2.2
= 2.84 .
25 + 22 − 2
29
Intervalo de Confiança para a Diferença entre Valores
Médios com base em Amostras Independentes
Assim, o I.C. a 95% para a diferença das classificações médias,
µA − µB , é
r
√
1
1
+
=] − 4.59, −2.61[.
10.2 − 13.8 ± 2.014 × 2.84 ×
25 22
Como o I.C. apenas contém números negativos, há razões para
suspeitarmos que µA − µB < 0, ou seja, que a classificação média
no teste do curso A é inferior à do curso B.
30
Intervalo de Confiança para a Diferença entre Valores
Médios com base em Amostras Independentes
Nota
Nem sempre faz sentido admitirmos que as variâncias
populacionais desconhecidas são iguais. Porém, no caso de
m, n > 30 podemos invocar o TLC, e o facto de as variâncias
empı́ricas “convergirem em probabilidade”para as respectivas
variâncias populacionais, e propor como I.C. aproximado


s
s
SX2
SX2
SY2
SY2
X m − Y n − z1−α/2
.
+
, X m − Y n + z1−α/2
+
m
n
m
n
31
Intervalo de Confiança para o Quociente entre Variâncias
Populacionais com base em Amostras Independentes
Se o objectivo for construir um I.C. para
2
σX
2
σY
com base em
amostras (X1 , . . . , Xm ) e (Y1 , . . . , Yn ) independentes de duas
populacões Normais com valores médios desconhecidos, a variável
fulcral a considerar é
σX2 SY2
.
_ Fn−1,m−1 .
σY2 SX2
32
Intervalo de Confiança para o Quociente entre Variâncias
Populacionais com base em Amostras Independentes
Intervalo de Confiança para σX2 /σY2
O I.C. a (1 − α) × 100% de
#
σX2
σY2
é
S2
S2
Fn−1,m−1;α/2 × X2 , Fn−1,m−1;1−α/2 × X2
SY
SY
"
onde Fν1 ,ν2 ;β denota o quantil de probabilidade β da F de
Snedecor com ν1 e ν2 graus de liberdade.
33
Intervalo de Confiança para o Quociente entre Variâncias
Populacionais com base em Amostras Independentes
Exemplo (6.7)
Será razoável supor no exemplo 6.6 que as variâncias populacionais
são iguais para α = 0.05?
34
Intervalo de Confiança para o Quociente entre Variâncias
Populacionais com base em Amostras Independentes
Como F21,24;0.025 = 0.42 e F21,24;0.975 = 2.31 (*) vem
3.4
3.4
=]0.649, 3.570[,
, 2.31 ×
0.42 ×
2.2
2.3
pelo que sendo o 1 um possı́vel valor para σX2 /σY2 , podemos
admitir com um risco de 5% que σX2 = σY2 .
(*) Na tabela de quantis fornecida o quantil mais próximo que
temos é o F20,24;0.975 = 2.33, que pode ser usado como
aproximação de F21,24;0.975 .
35