Departamento de Matemática - IST
Secção de Estatı́stica e Aplicações
Probabilidades e Estatı́stica (TP) – 2o semestre – 2005/06
1a Época: enunciado B
24/06/2006 – 9 horas
• O exame consta de quatro grupos e tem a duração de 150 minutos.
• Se pretender fazer apenas o 1o teste, deverá responder aos grupos I e II. Nesse caso terá
75 minutos, e as cotações são o dobro das indicadas.
• Se pretender fazer apenas o 2o teste, deverá responder aos grupos III e IV. Nesse caso
terá 75 minutos, e as cotações são o dobro das indicadas.
• Justifique convenientemente todas as respostas!
Nome:
Sala:
Número:
Curso:
Assinale a prova que vai entregar:
1o teste
2o teste
1o exame
O quadro abaixo destina-se à correcção da prova. Por favor não
escreva nada.
Grupo I
6 Val
Grupo II
4 Val
Grupo III
6 Val
Grupo IV
4 Val
NOTA FINAL
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Grupo I
6.0 valores
1. Uma fábrica produz certo tipo de chips para telemóveis. Nessa fábrica há um departamento de controlo de qualidade, onde os chips são testados para detectar possı́veis
defeitos. Resultados anteriores permitem concluir que:
• a probabilidade de um chip escolhido ao acaso ser defeituoso é 0.015;
• a probabilidade de um chip ser correctamente classificado como defeituoso é 0.915;
• a probabilidade de um chip ser incorrectamente classificado como defeituoso é 0.05.
a) Determine a probabilidade de um chip escolhido ao acaso ser classificado como não (1.0)
defeituoso.
b) Um chip foi classificado como defeituoso. Qual é a probabilidade de este chip ser (1.0)
efectivamente defeituoso?
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2. Suponha que o tempo de vida (em anos) de cada um dos chips do problema anterior pode
ser modelado por uma distribuição exponencial com desvio padrão igual a 6 anos.
a) Determine a probabilidade dos seguintes eventos:
(2.0)
• um chip escolhido ao acaso durar mais do que 7 anos;
• um chip escolhido ao acaso durar mais do que 9 anos sabendo que já dura há
pelo menos 2 anos.
Comente os resultados obtidos.
b) A fim de publicitar a qualidade dos seus chips, o fabricante decide afirmar que se (2.0)
considerar 120 chips com tempos de vida independentes, a média dos seus tempos
de vida excede 7 anos. Determine um valor (aproximado) para a probabilidade de
tal evento ocorrer.
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Grupo II
4.0 valores
Para as eleições dos corpos gerentes de uma colectividade sem fins lucrativos decidiu-se
escolher ao acaso, de um grupo de 2 mulheres e 3 homens, 3 pessoas que constituirão a
lista da Assembleia Geral.
a) Identifique a distribuição conjunta do número de mulheres (v.a. X) e do número de (2.0)
homens (v.a. Y ) que poderão vir a constituir a lista.
Nota: Se não conseguiu responder à questão a), assuma a seguinte função de probabilidade conjunta do par aleatório (X, Y ):
Y |X
0
1
2
1
2
3
0
0
0.2
0
0.45
0
0.35
0
0
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b) As v.a.’s X e Y são independentes? Justifique.
(0.5)
c) Determine V ar[X] e V ar[X|Y = 1] e comente face à alı́nea anterior. O que pode (1.5)
dizer sobre as variâncias das distribuições condicionadas associadas a este problema
(i.e., o que pode dizer sobre V ar[X|Y = y] e V ar[Y |X = x])?
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Grupo III
6.0 valores
1. Seja X uma v.a. com distribuição normal e variância unitária.
a) Com base numa amostra aleatória de dimensão n, deduza um intervalo de confiança (1.5)
aleatório a 98% para o valor esperado da variável X.
b) Uma pessoa que não entende nada de estatı́stica diz que o intervalo de confiança (1.5)
aleatório ]X̄ − σ; X̄ + σ[ tem confiança de pelo menos 98% de conter o verdadeiro
valor de µ. A partir de que valor de n é que esta afirmação é verdadeira?
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2. Seja X uma v.a. contı́nua com função densidade de probabilidade:
fX (x) = θxθ−1 ,
0 < x < 1,
θ > 0.
a) Prove que o logaritmo da verosimilhança de θ, para uma amostra (x1 , . . . , xn ), é (1.5)
dado por
lnL(θ|x1 , . . . , xn ) = nlnθ + (θ − 1)
n
X
lnxi ,
0 < ∀xi < 1 .
i=1
b) Determine, justificando, o estimador de máxima verosimilhança de θ2 com base (1.5)
numa amostra aleatória de dimensão n.
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Grupo IV
4.0 valores
Com o objectivo de investigar uma certa doença neonatal, recolheu-se uma amostra de
sangue a 11 recém-nascidos com essa doença diagnosticada e determinou-se a concentração de bilirrubina (x) e de determinada proteı́na (Y ). Os resultados encontram-se na
tabela seguinte:
xi
0.14
0.08
0.07
0.26
0.08
0.02
0.03
0.22
0.06
0.23
0.25
yi
83
65
71
140
135
30
30
128
80
168
170
Sabe-se ainda que
P11
i=1
P11
i=1
xi = 1.44,
P11
i=1
yi = 1100,
P11
i=1
x2i = 0.2725,
P11
i=1
yi2 = 135688 e
xi yi = 184.59.
a) Adoptando um modelo de regressão linear simples, estime os parâmetros da recta (2.0)
de regressão. Qual a estimativa da diferença esperada das concentrações de proteı́na
de dois recém-nascidos cujas concentrações de bilirrubina diferem de 0.05?
b) Teste se o resultado esperado da concentração da proteı́na não diminui com a con- (2.0)
centração de bilirrubina. Indique os pressupostos necessários para a aplicação deste
procedimento.
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