Resolução-tipo de dois exercı́cios sobre Intervalos de Confiança Aleatórios (ICA)
1. Os capacetes usados pelos pilotos e co-pilotos participantes num rally foram previamente
testados, de forma a indagar sobre a sua segurança. Para tal foram seleccionados ao acaso
50 capacetes, os quais foram sujeitos a testes de impacto. Em consequência destes testes
de impacto, 18 capacetes ficaram com algum dano. Construa um intervalo de confiança a
95% para a verdadeira proporção de capacetes com algum dano fruto do teste de impacto.
Qual o nı́vel de confiança necessário para garantir que a amplitude do intervalo de confiança
seja 50% do intervalo de confiança anteriormente encontrado?
Resolução: Seja Xi uma v.a. que toma o valor 1 (0) se o i-ésimo capacete sofrer (não
sofrer) algum dano fruto do teste de impacto, com Xi ∼ Ber(p), com p desconhecido.
Adicionalmente, se se admitir que os 50 capacetes têm um comportamento independente
mas que obedecem à mesma lei probabilı́stica,
então segue-se que {X1 , X2 , . . . , X50 } ∼
P50
18
X ∼ Ber(p). Para a amostra particular, i=1 xi = 18 donde x̄ = 50
= 0.36.
Decorre do TLC e do teorema de Slutski que uma variável fulcral para este problema é:
X̄ − p
q
∼a N (0, 1)
X̄(1−X̄)
n
Dado que Φ−1 (0.975) = 1.96, vem que
X̄ − p
P (−1.96 < q
< 1.96) ≈ 0.95
X̄(1−X̄)
n
⇔
r
P (X̄ − 1.96 ×
X̄(1 − X̄)
<p < X̄ + 1.96 ×
n
donde
r
I.C.A.0.95 (p) ≈]X̄ − 1.96 ×
r
X̄(1 − X̄)
) ≈ 0.95
n
X̄(1 − X̄)
; X̄ + 1.96 ×
n
r
X̄(1 − X̄)
[.
n
Concretizando:
r
I.C.0.95 (p) ≈]0.36 − 1.96 ×
0.36(1 − 0.36)
; 0.36 − 1.96 ×
50
r
0.36(1 + 0.36)
[
50
=]0.227; 0.493[.
Note-se que para uma confiança arbitrária 1 − α, e assumindo restantes dados constantes,
então a amplitude é aproximadamente dada por:
r
X̄(1 − X̄)
2Φ−1 (1 − α/2) ×
n
pelo que para reduzir a amplitude do intervalo para 50% terı́amos que ter:
r
0.36(1 − 0.36)
−1
= 0.5(0.493 − 0.227)
2Φ (1 − α/2) ×
50
Φ−1 (1 − α/2) = 0.98 ⇔ 1 − α/2 = Φ(0.98) = 0.9385 ⇔ α = 0.123
Então para uma confiança de 1 − 0.123 = 0.877 a amplitude do intervalo é metade da que
obtemos para uma confiança de 95%.
1
2. No âmbito de um estudo de hipertensão, uma equipa de cardiologistas pretende avaliar qual
o efeito de determinado fármaco na pressão sanguı́nea. Mediu-se a pressão sanguı́nea de
10 paciente antes da administração do fármaco (X) e 10 minutos após a sua administração
(Y ). Os resultados obtidos encontram-se na tabela seguinte:
X
Y
75
85
70
70
75
80
65
80
95
100
70
90
65
80
70
75
65
90
90
100
a) Calcule a média e a variância de cada uma das amostras anteriores.
b) Admitindo que a pressão sanguı́nea segue uma distribuição normal, tanto antes como
após a administração do fármaco, construa um intervalo de confiança a 95% para a
diferença esperada da pressão sanguı́nea antes e após a administração do fármaco em
causa.
Resolução
P10
a) Temos que a média amostral de cada amostra é x̄ =
74 e ȳ =
i=1 xi /10 =
P10 2
P
10
2
P10
x −10x̄2
(x
−x̄)
i
2
i=1
= i=1 9i
≈
i=1 yi /10 = 85. A variância amostral (corrigida) é sx =
9
110 e s2y =
P10
i=1
(yi −ȳ)2
9
=
P10
i=1
yi2 −10ȳ 2
9
= 100, respectivamente.
2 ) e Y ∼ N (µ , σ 2 ).
b) Do enunciado tem-se que X ∼ N (µX , σX
Y
Y
Pretende-se construir um IC95% (µX − µX ). Admitindo que X e Y são independentes
2 = σ 2 = σ 2 , temos a seguinte
com variâncias iguais (embora desconhecidas), i.e., σX
Y
variável fulcral (com n1 = nX e n2 = nY ):
X̄ − Ȳ − (µX − µY )
T =r
h
2 +(n −1)S 2
(n1 −1)SX
2
1
Y
n1 +n2 −2
n1 +
1
n2
i ∼t(n1 +n2 −2)
Assim, escolhendo o IC simétrico da forma P (−a < T < a) = 0.95 resulta a =
Ft−1
(0.975) = 2.101. Invertendo as duas desigualdades, concluı́mos que:
(18)
P ( X̄ − Ȳ − 2.101 × S(X̄−Ȳ ) < µX − µy < X̄ − Ȳ + 2.101 × S(X̄−Ȳ ) ) = 0.95
donde o ICA a 95% para a diferença esperada da pressão sanguı́nea é dado por:
ICA95% (µX − µY ) = [ X̄ − Ȳ − 2.101 × S(X̄−Ȳ ) ; X̄ − Ȳ + 2.101 × S(X̄−Ȳ ) ]
r
h
i
2 +(n −1)S 2
(n1 −1)SX
2
1
1
X
com S(X̄−Ȳ ) =
+
n1 +n2 −2
n1
n2 . Concretizando o intervalo de confiança para as amostras observadas, temos:
r
h
i
(n1 −1)s2X +(n2 −1)s2Y
1
1
(x̄ − ȳ) = −11 e s(X̄−Ȳ ) =
+
n1 +n2 −2
n1
n2 ≈ 4.583 e assim, resulta
que
IC95% (µX −µY ) = [(x̄ − ȳ)−2.101×s(X̄−Ȳ ) ; (x̄ − ȳ)+2.101×s(X̄−Ȳ ) [≈ [−20.396; −1.372] .
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