Intervalo de Confiança e cálculo de tamanho de
amostra
Henrique Dantas Neder
Intervalo de confiança para a média da população µX
I
Até o momento discutimos as propriedades da distrbuição
normal e vimos que dentro de certa condição (amostras
grandes) podemos generalizar o seu uso para calcular
probabilidades referentes a valores da média da amostra X e a
P
soma da dos valores amostrais S = ni=1 Xi . Verificamos que
para qualquer tamanho de amostra (mesmo para amostras
pequenas) a distribuição amostral das médias amostrais terá
média igual a média da população (E (X ) = E (X ) ou dito de
outra forma µX = µX ) e que a variância das médias amostrais
será igual a variância de X dividido por n (σX2 =
I
σX2
n ).
Verificamos também que a média de S será igual a média da
população multiplicada pelo tamanho da população
(µS = µ × N) e a variância de S = n × σX2 . Estas
propriedades são válidas para qualquer tamanho da amostra.
Somente é necessário ter tamanho grande de amostra para a
distribuição de X e de S serem normais.
Intervalo de confiança para a média da população µX
I
Quando selecionamos aleatoriamente (amostra aleatoria
simples) uma amostra de tamanho n > 30 de uma população
qualquer a probabilidade do valor da média da amostra X ser
menor do que um determinado valor X̄k :
X̄k − µX
P(X < X̄k ) = P(z <
)
σX
I
Por exemplo, se n = 40, µX = 50 e σX = 20, a probabilidade
de X̄ ser menor do que X k = 55 é:
55 − 50
√ ) = .31622768
P(X < 55) = P(z <
20/ 40
I
Podemos também afirmar que:
P(−1.96 < z < 1.96) = 0.95
Esta expressão é equivalente a:
P(−1.96 <
X −µ
< 1.96) = 0.95
σX
Intervalo de confiança para a média da população µX
I
Manimulando algebricamente a desigualdade temos:
P(−1.96 × σX < X − µ < 1.96 × σX ) = 0.95
P(−X − 1.96 × σX < −µ < −X + 1.96 × σX ) = 0.95
P(X + 1.96 × σX > µ > X − 1.96 × σX ) = 0.95
I
Reordenando os termos da desigualdade temos:
P(X − 1.96 × σX < µ < X + 1.96 × σX ) = 0.95
Intervalo de confiança para a média da população µX
I
Esta última expressão indica que podemos construir um
intervalo de confiança de 95% de probabilidade para o valor
do parâmetro µX conhecendo-se o valor de X . Por exemplo,
de acordo com o exemplo anterior, suponhamos que não
conhecemos µX e que X = 40 ,σX = 20 e n = 40:
P(40 − 1.96 × σX < µ < 40 − 1.96 × σX ) = 0.95
20
20
P(40 − 1.96 × √ < µ < 40 − 1.96 × √ ) = 0.95
40
40
P(33.801936 < µ < 46.198064) = 0.95
I
Então podemos afirmar que existe uma probabilidade de 95%
de que o valor do parâmetro µX esteja contido no intervalo
indicado nesta última expressão. Observe que não termos
certeza absoluta (probabilidade de 100%) de que este valor
esteja contido nos limites do intervalo.
Intervalo de confiança para a média da população µX
I
I
I
Mas é um grande avanço a uma simples estimativa de ponto
(simplesmnete afirmarmos que a média amostral X = 40).
Com isto podemos determinar uma região na qual existe uma
determinada probabilidade de conter o verdadeiro valor do
parâmetro desconhecido. É importante observar que jamais
conheceremos o verdadeiro valor do parâmetro µX .
Isto aconteceria apenas se conhecessessemos toda a
população. Mas já é uma grande vantagem podermos
construir este intervalo. Neste caso estamos realizando uma
operação de inferência.
Inferência significa desenvolver qualquer afirmativa a respeito
do valor de um parâmetro a partir de resultados amostrais.
Não conhecemos a população completa, conhecemos apenas
os valores de uma única amostra selecionada desta população,
mas a partir desta informação podemos estabelecer algumas
afirmativas a respeito de um determinado parâmetro (no caso
deste exemplo de intervalo estamos tratando do parâmetro µX
que é a média desconhecida da população.
Intervalo de confiança para a média da população µX
I
Chamamos 1 − α de nível de confiança do intervalo. Se
1 − α = 0.95, então α = 0.05. No caso do exemplo anterior
(X = 40 ,σX = 20 e n = 40), podemos calcular um intervalo
de confiança de 80% de probabilidade (1 − α = 0.80) para o
parâmetro µX como:
I
Se 1 − α = 0.80 então α = 0.20 e 1 − α/2 = 1 − 0.2/2 = 0.9.
Portanto: z1−α/2 = z0.9 = φ−1 (0.9) = 1.2815516
I
Desta forma, um intervalo de confiança de 80% para a média
populacional será:
P(40 − 1.2815516 × σX2 < µ < 40 − 1.2815516 × σX2 ) = 0.80
P(40 − 1.2815516 × √2040 < µ < 40 − 1.2815516 × √2040 ) = 0.80
P(35.947378 < µ < 44.052622) = 0.80
Intervalo de confiança para a média da população µX
I
Observe que, em relação ao intervalo de 95% de probabilidade,
este intervalo ficou com uma amplitude menor. A amplitude
do intervalo de confiança dependerá do valor da expressão:
σX
(2)
z1−α/2 ×
n
I
Desta forma a amplitude aumenta quando σX aumenta. Isto
ocorre quando temos uma população com maior
variância.Então, para populações de maiores variâncias
teremos (mantido o mesmo tamanho n de amostra e o mesmo
nível de confiança 1 − α) maiores amplitudes de intervalos de
confiança.
I
A amplitude do intervalo de confiança também pode
aumentar (de acordo com a expressão anterior) com a redução
do tamanho da amostra n.
Intervalo de confiança para a média da população µX
I
Uma terceira forma de aumentar a amplitude do intervalo de
confiança (para mesmo tamanho de amostra e mesma
variância da população) é aumentar z1−α/2 . Para fazermos
isto temos que aumentar o nível de confiança 1 − α do
intervalo.
I
Aumentar o tamanho (amplitude) do intervalo de confiança
significa reduzir a precisão da estimativa por intervalo. Para
aumentar a precisão da estimativa temos que reduzir o
tamanho (amplitude) do intervalo.
I
Só podemos fazer isto através de três maneiras: 1) reduzir o
grau de confiança 1 − α do intervalo; 2) aumentar o tamanho
2
n da amostra e 3) reduzir a variância σX da população. Como
a variância da população geralmente é um dado do problema,
temos apenas as duas primeiras opções.
Intervalo de confiança para a média da população µX
I
A esta altura já deu para perceber que existe uma espécie de
“trade-off” entre precisão do intervalo e nível de confiança do
intervalo. Se não podemos auterar o tamanho n da amostra,
quando aumentamos a precisão do intervalo somos obrigados
a reduzir o seu grau de confiança e quando diminuimos a
precisão automaticamente aumentamos o seu grau de
confiança.
Intervalo de confiança para a média da população µX
I
Na verdade só existe uma maneira de aumentarmos
simultaneamente a precisão e confiança do intervalo:
aumentarmos o tamanho da amostra. Todo este raciocínio
pode ser obtido da análise da expressão (2) anterior.
I
O intervalo de confiança pode ser interpretado de duas formas:
1) Um intervalo de confiança de 1 − α de probabilidade significa
que existe esta probabilidade de que o verdadeiro valor
desconhecido do parâmetro µ esteja contido entre os limites
inferior e superior do intervalo.
2) Se selecionassemos 100 amostras de mesmo tamanho n a partir
de uma população com parâmetro (média populacional) µ e
fossem construidos 100 intervalos de confiança a partir de cada X
usando a expressão (1) anterior, 100 × (1 − α) destes intervalo
conteriam o valor de µ desconhecido.
Intervalo de confiança para a média da população µX
I
Vamos verificar esta última interpretação fazendo a simulação
no computador de 100 intervalos de 95% de confiança
construidos a partir de 100 amostras de tamanho n = 50 e
selecionadas a partir de uma população com média µ = 40. A
partir da construção destes 100 intervalos de confiança iremos
contar quantos contem µ.
* ROTINA PARA CONSTRUÇÃO DE 100 INTERVALOS DE CONFIANÇA
clear
set seed 9999
* GERA 10 MIL OBSERVAÇÕES VAZIAS
set obs 10000
* GERA VALORES ALEATORIOS DE UMA POPULAÇÃO NORMAL
* COM MÉDIA MU = 40 E DESVIO PADRÃO SIGMA = 20
gen x = rnormal(40, 20)
* SALVA ESTES DADOS COMO UMA POPULAÇAO DE DADOS
save "D:\ECN26\pop.dta", replace
* CRIA UMA VARIAVEL ESCALAR COM O VALOR DA MÉDIA DA POPULAÇÃO
scalar mu = 40
* CRIA UMA MACRO LOCAL PARA CONTAR (INICIALIZA COM ZERO)
local contador = 0
* INICIA “LOOP” COM 1000 LAÇOS PARA SELECIONAR 1000
* AMOSTRAS DA MESMA POPULAÇÃO E CALCULAR A MÉDIA
* AMOSTRAL E OS LIMITES DOS INTERVALOS
forvalues i=1(1)1000 {
* ABRE A POPULAÇÃO CRIADA ANTERIORMENTE
use "D:\ECN26\pop.dta", clear
* SELECIONA UMA AMOSTRA ALEATORIA DE TAMANHO n = 50
sample 50, count
* CALCULA A MÉDIA DA AMOSTRA (VALOR ARMAZENADO EM r(mean)
summa x
* CALCULA LIMITES DO INTERVALO DE CONFIANÇA
scalar li = r(mean) - invnormal(.975)*20/sqrt(50)
scalar ls = r(mean) + invnormal(.975)*20/sqrt(50)
* TESTA SE MU CAI DENTRO DOS LIMITES
if mu > li & mu < ls {
local contador = ‘contador’ + 1 }
}
* APRESENTA O VALOR DO CONTADOR APÓS AS 1000 REALIZAÇÕES
disp "contador = ", ‘contador’
* APAGA O ARQUIVO DE DADOS DA POPULAÇÃO
erase "D:\ECN26\pop.dta"
Intervalo de confiança para a média da população µX
I
O resultado apresentado a partir da execução desta rotina é
que sendo selecionadas 1000 amostras da mesma população,
construindo-se 1000 intervalos de confiança, 950 destes
intervalos contem o valor do parâmetro µ = 40.
I
Neste caso conhecemos o valor de µ para podermos realizar a
simulação. Na prática não conhecemos µmas podemos
construir um intervalo em torno de X e fazermos uma
afirmação (com base neste intervalo) a respeito da
probabilidade de µ estar contido neste único intervalo.
Intervalo de confiança para amostras pequenas
Quando temos uma amostra pequena (n < 30) e desconhecemos o
valor r
de σ não podemos usar o valor do desvio padrão amostral
Pn
(Xi −X )2
i=1
) no lugar de σ e não podemos usar a
(s =
n−1
distribuiçao normal padrão. Se a distribuição de X for normal
temos que usar a distribuição t de Student de acordo com a
seguinte expressão:
P(X − t1−α/2 × sX < µ < X + t 1−α/2 × sX ) = 1 − α
(3)
O valor da variável aleatória t de Student irá depender do número
de graus de liberdade e do nível de confiança 1 − α. O número de
graus de liberdade é igual a n − 1, porque perdemos um grau de
liberdade ao estimarmos a média amostral X .
Vamos desenvolver uma pequena rotina do Stata para calcular
alguns valores de t para algusn pares de valores de 1 − α e do
número de graus de liberdade df :
Distribuição t de Student
* ROTINA STATA PARA CONSTRUIR PEQUENA TABELA PARA A
DISTRIBUIÇÃO t de STUDENT *
clear
matrix C = J(27,7,0)
forvalues i=2(1)27 {
matrix C[‘i’,1] = ‘i’ + 3
}
local j = 1
foreach k in .10 .05 .025 .01 .005 .001 {
local j = ‘j’ + 1
matrix C[1,‘j’] = ‘k’
}
forvalues i = 2(1)27 {
local j = 1
foreach k in .10 .05 .025 .01 .005 .001 {
local j = ‘j’ + 1
matrix C[‘i’,‘j’] = invttail(‘i’ + 3,‘k’)
}
}
matrix list C
svmat C, names(C)
format C2-C5 %5.4f
xmlsave "D:\ECN26\APOSTILA DE ESTATISTICA\TABELA DISTRIBUIÇÃO t de
STUDENT.xml", doctype(excel) replace
Distribuição t de Student
Esta rotina gera a seguinte tabela:
1 − α/2
0.1
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
5
1.4759
2.0150
2.5706
3.3649
4.0321
5.8934
6
1.4398
1.9432
2.4469
3.1427
3.7074
5.2076
7
1.4149
1.8946
2.3646
2.9980
3.4995
4.7853
8
1.3968
1.8595
2.3060
2.8965
3.3554
4.5008
9
1.3830
1.8331
2.2622
2.8214
3.2498
4.2968
10
1.3722
1.8125
2.2281
2.7638
3.1693
4.1437
11
1.3634
1.7959
2.2010
2.7181
3.1058
4.0247
12
1.3562
1.7823
2.1788
2.6810
3.0545
3.9296
13
1.3502
1.7709
2.1604
2.6503
3.0123
3.8520
14
1.3450
1.7613
2.1448
2.6245
2.9768
3.7874
15
1.3406
1.7531
2.1314
2.6025
2.9467
3.7328
16
1.3368
1.7459
2.1199
2.5835
2.9208
3.6862
graus de liberdade
Distribuição t de Student
1 − α/2
0.1
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
17
1.3334
1.7396
2.1098
2.5669
2.8982
3.6458
18
1.3304
1.7341
2.1009
2.5524
2.8784
3.6105
19
1.3277
1.7291
2.0930
2.5395
2.8609
3.5794
20
1.3253
1.7247
2.0860
2.5280
2.8453
3.5518
21
1.3232
1.7207
2.0796
2.5176
2.8314
3.5272
22
1.3212
1.7171
2.0739
2.5083
2.8188
3.5050
23
1.3195
1.7139
2.0687
2.4999
2.8073
3.4850
24
1.3178
1.7109
2.0639
2.4922
2.7969
3.4668
25
1.3163
1.7081
2.0595
2.4851
2.7874
3.4502
26
1.3150
1.7056
2.0555
2.4786
2.7787
3.4350
27
1.3137
1.7033
2.0518
2.4727
2.7707
3.4210
28
1.3125
1.7011
2.0484
2.4671
2.7633
3.4082
29
1.3114
1.6991
2.0452
2.4620
2.7564
3.3962
30
1.3104
1.6973
2.0423
2.4573
2.7500
3.3852
graus de liberdade
Intervalo de confiança para a proporção populacional
I
Da mesma forma que construimos um intervalo de confiança
para a média µX da população, também podemos construir
um intervalo de confiança para a proporção populacional p
I
Suponhamos que em uma população eleitores, uma proporção
p de eleitores tenha intenção de votar em determinado
candidato.
I
Iremos definir uma variável aleatória de Bernoulli X de forma
que:
Xi = 1 se a i-ésima pessoa tenha a intenção de votar no candidato
Xi = 0 se a i-ésima pessoa não tenha a intenção de votar no
candidato
Intervalo de confiança para a proporção populacional
I
Se selecionarmos aleatoriamente (amostra aleatória simples
com reposição) uma amostra de tamanho n de eleitores, o
número total de eleitores dentro da amostra que tem a
P
intenção de votar no candidato ( ni=1 Xi ) segue uma
distribuição binomial com parâmetros n e p.
I
A proporção amostral de eleitores p̂ = ni=1 Xi /n que pode
ser interpretada como sendo uma média amostral de uma
variável aleatória Bernoulli.
I
Pelo Teorema do Limite Central p̂ terá distribuição normal
quando n → ∞.
P
Intervalo de confiança para a proporção populacional
I
A questão é saber qual é a média (esperança matemática) de
p̂, ou seja, E (p̂) e qual é a variãncia de p̂, ou seja,
var (p̂) = σp̂2 .
I
Podemos demonstrar que E (p̂) é p, ou seja, p̂ é um estimador
não viesado para p.
I
Isto significa que se slecionarmos todas as amostras de mesmo
tamanho n e calcularmos para cada uma delas uma proporção
amostral p̂, a média de todas estas proporções amostrais será
igual ao valor do parâmetro p.
Intervalo de confiança para a proporção populacional
I
Para demonstrar isto basta pensar p̂ como sendo uma média
de uma variável aleatória Bernoulli calculada para os n
elementos de uma amostra. Como a média amostral é um
estimador não viesado para a média populacional mostramos
que E (p̂) = p.
I
A variância de p̂ é dada por
P
var (p̂) = var ( n1 ni=1 Xi ) = n12 × np(1 − p) =
somatório é uma variável aleatória binomial.
I
p(1−p)
n
já que o
Podemos então dizer que para n → ∞, p̂ segue
aproximadamente uma distribuição normal com média
E (p̂) = p e variância var (p̂) = p(1−p)
n
Intervalo de confiança para a proporção populacional
I
Para construirmos um intervalo de confiança para a proporção
populacional (e seguindo as mesmas operações que usamos no
caso da média da população µX podemos utilizar a expressão:
s
P(p̂ −z1−α/2 ×
p(1 − p)
< p < p̂ +z1−α/2 ×
n
s
p(1 − p)
) = 1−α
n
(4)
I
Observe que na expressão (3) caimos em um círculo vicioso;
para construirmos um intervalo de confiança para p
precisamos do valor de p.
I
Na prática, temos apenas o valor de p̂ e substituimos este
valor na expressão (3) conduzindo a:
s
P(p̂ −z1−α/2 ×
p̂(1 − p̂)
< p < p̂ +z1−α/2 ×
n
s
p̂(1 − p̂)
) = 1−α
n
(5)
Intervalo de confiança para a proporção populacional
Um exemplo: suponhamos que uma amostra de tamanho n = 50
de eleitores tenha 30 eleitores a favor de um determinado
candidato. O intervalo de confiança de 95 % de probabilidade para
a proporção populacional
p será:
r
r
30
(1− 30 )
30
(1− 30 )
50
50
50
50
< p < 30
) = 0, 95
P( 30
50 − 1, 96 ×
50
50 + 1, 96 ×
50
P(0, 4642 < p < 0, 7358) = 0, 95
Se quisermos calcular um intervalo de confiança de 80 % de
probabilidade:
q
q
−1
P( 30
50 − φ (.90) ×
30
30
50 (1− 50 )
50
<p<
P(0, 51121 < p < .68878) = 0, 80
30
50
+ φ−1 (.90) ×
30
30
50 (1− 50 )
50
) = 0, 80
Intervalo de confiança para a proporção populacional
I
Duas questões sobre este último intervalo:
1) Porque usamos φ−1 (.90)? Como o intervalo é de 80% deverá
deixar 10% em cada cauda. Então o limite superior terá que deixar
uma área a esquerda de 90% e o limite inferior deixará uma área a
esquerda de 10%.
2) Repare que o intervalo (quando passamos de 90% para 80%)
contrai-se. O que já havíamos dito: mantido o mesmo tamanho da
amostra, quando diminuimos o nível de confiança a precisão do
intervalo aumenta (porque a amplitude do intervalo reduz).
Determinação do tamanho da amostra
I
Até o momento mostramos como calcular os limites de um
intervalo quando conhecemos X ou p̂ e o tamanho da amostra
n.
I
Mas se quisermos resolver o problema inverso: temos o
tamanho do intervalo e desejamos conhecer o tamanho da
amostra n. Este deve ser o tamanho da amostra necessário
para construir um intervalo de confiança com determinado
nível de confiança e determinado erro de amostragem.
I
Para o caso da estimação do parâmetro µ, a metade do
tamanho do intervalo, que chamamos erro de amostragem, é
igual a:
√
(6)
e = z1−α/2 × σX = z1−α/2 × σX / n
Determinação do tamanho da amostra
I
Fazendo uma manipulação algébrica da expressão (5) temos:
n=
z1−α/2 × σX
e
2
I
Por exemplo, desejamos estimarmos µX , com um erro de
amostragem e = 10, com σX = 20 e nível de confiança
1 − α = 0, 95.
I
Para 1 − α = 0, 95 então, 1 − α/2 = 0, 975 e
φ−1 (0, 975) = 1.959964
I
n=
1−α/2 ×σX
z
e
2
=
1.959964×20
10
2
= 15.36
(7)
Determinação do tamanho da amostra
I
Então concluimos que para estimar a média populacional µX e
com um erro de amostragem e = 10 , com σX = 20 e nível de
confiança 1 − α = 0, 95, precisamos de uma amostra de
tamanho n = 16.
I
Para uma amostra com as mesmas características e nível de
confiança 1 − α = 0, 99, precisamos de n = 27 (faça as
contas).
I
Podemos observar que para determinar o tamanho da amostra
para estimar µX sempre precisamos do valor de σX . Na
prática, este valor é desconhecido.
I
Precisamos primeiro r
realizar uma amostra piloto para estimar
Pn
(Xi −X )2
i=1
(que é um estimador não
σX através de sX =
n−1
viesado para σX , ou seja E (sX ) = σX .
Determinação do tamanho da amostra (amostragem pelas
proporções)
I
Para o caso da determinação do tamanho da amostra quando
o objetivo é estimar p, o erro de amostragem é dado por:
s
e = z1−α/2 × σp̂ = z1−α/2 ×
I
(8)
Manipulando os termos da expressão (7), temos:
n=
I
p(1 − p)
n
2
z1−α/2
× p(1 − p)
e2
(9)
Se o objetivo da amostragem é o de justamente estimar p,
substituimos na expressão (8), o valor de p que torna máximo
o valor de n (ou seja, trabalhamos a favor da segurança).
Neste caso p = 0, 5.
Determinação do tamanho da amostra (amostragem pelas
proporções)
I
Até o momento estamos considerando que a nossa amostra é
realizada com reposição e neste caso não precisamos fazer
correção de população finita no caso em que Nn > 0, 05.
I
Quando a amostragem é feita com reposição, uma expressão
mais exata para o erro de amostragem é:
s
e = z1−α/2 × σp̂ = z1−α/2 ×
I
p(1 − p) N − n
×
n
N −1
Exercício: determinar uam expressão para n a partir da
expressão (9).
(10)
Intervalo de Confiança - exercícios
1) Numa fábrica de computadores a administração pretende-se
uma estimativa para o tempo médio de vida de um determinado
tipo de disco rígido. Para tal, foi seleccionada uma amostra
constituída por 15 computadores. Com base nesta amostra
obteve-se um tempo médio de vida igual a 27 350 horas. Supondo
que o tempo de vida segue uma distribuição normal com σv igual a
3000 horas, construa um intervalo de confiança a 99% para o
tempo médio de vida dos discos rígidos.
Solução:
√
√ ) = 0.99
< µX < 27350 + z1−.99/2 × 3000
P(27350 − z1−.99/2 × 3000
15
15
P(27340.292 < µX < 27359.708) = 0.99
Exercícios
2) Com o objectivo de prever a produção de trigo duma certa
região dividiu-se a mesma em pequenos talhões, procedendo-se em
seguida ao registo, ao acaso, da produção de alguns desses talhões.
Admita que a quantidade de trigo produzida por talhão tem
distribuição normal com desvio padrão igual a 60 Kg. a) Determine
o número mínimo de talhões que o experimentador deverá analisar
se desejar garantir, com uma confiança de pelo menos 95%, que a
média da amostra difira no máximo 30 Kg do verdadeiro valor da
produção média por talhão. b) Qual o número mínimo de talhões
que será necessário analisar se o nível de confiança exigido for de
99%? c) Acha que a hipótese de normalidade é essencial na
resolução das alíneas a) e b)? Justifique a resposta.
Exercícios
Solução:
a)
n=
z
1−α/2 ×σX
e
z
2
=
2
1−α/2 ×σX
φ−1 (1−.05/2)×60 2
30
−1
=
2
1.959964×60
30
2
= 15, 36
2
= φ (1−.01/2)×60
= 2.5758293×60
b) n =
=
e
30
30
26, 53
c) A hipótese de normalidade é essencial pois do contrário X não
teria distribuição normal para os tamanhos de amostra.
Exercícios
3) Um fabricante produz peças que obedecem a uma norma que
especifica que o seu diâmetro deve ser igual a 100 mm. Admita
que os diâmetros das peças produzidas são N(μ, σv) e que uma
amostra aleatória de 20 peças conduziu aos resultados seguintes:
P20
Pn
2
i=1 xi = 1999, 60 e
i=1 (xi − x ) = 111, 91
a) Construa um I. C. a 95% para o diâmetro médio das peças. b)
Construa um I. C. a 95% para a variância do diâmetro das peças.
Exercícios
Solução: Quando o tamanho da amostra é pequeno e não se
conhece o valor de σ não é apropriado
r usar no lugar de σ o valor
Pn
(Xi −X )2
i=1
) pois isto produz
do desvio-padrão da amostra (s =
n−1
resultados incorretos. Ao invés disso, utiliza-se a distribuição t de
Student. Para isto é necessário que a distribuição de X seja
normal. A regra geral é que quando temos uma amostra grande
(n ≥ 30) utiliza-se a distribuição normal padrão e quando temos
uma amostra pequena (n < 30), utiliza-se a distribuição t de
Student, desde que a distribuição de X seja normal. Utilizaremos a
expressão:
P(X − t1−α/2 × sX < µ < X + t 1−α/2 × sX ) = 1 − α
q
q
111.91
1999.6
111.91
P( 1999.6
20 −t1−α/2 ×
20−1 < µ < 20 +t 1−α/2 ×
20−1 ) = 0.95
O valor de t1−α/2 para um intervalo de 95% de probabilidade é o
valor que deixa uma cauda a direita de 0.025 e com 19 graus de
liberdade este valorqé t = 2.0930. Portanto:
q
111.91
1999.6
111.91
P( 1999.6
−2.0930×
<
µ
<
+2.0930×
20
20−1
20
20−1 ) = 0.95
P(94.900431 < µ < 105.05957) = 0.95
Exercícios
4) Num determinado período pré eleitoral foi realizada uma
sondagem com o objectivo de analisar a popularidade de dois
candidatos A e B num determinado distrito. Para tal, foram
inquiridas 780 pessoas residentes nesse distrito manifestando-se
55% dos inquiridos a favor do candidato A.
a) Construa um intervalo de confiança a 90%, 95% e 99% para a
percentagem de pessoas do distrito que são a favor do candidato
A. Comente as diferenças obtidas para os três intervalos. b)
Suponha que a percentagem obtida resultou de uma amostra de
1020 pessoas. Determine um intervalo de confiança a 95% para a
percentagem de pessoas a favor do candidato A. Comente o
resultado obtido.
Solução:
a)
q
q
p̂×(1−p̂)
< p < p̂ + z1−α/2
n
q
0.55×(1−0.55)
P(0.55 − z1−0.10/2 ×
<p<
780
q
0.55×(1−0.55)
0.55 + z1−0.10/2 ×
) = 0.90
P(p̂ − z1−α/2 ×
×
p̂×(1−p̂)
)
n
= 1−α
Exercícios
P(0.5207 < p < .5793) = 0.90
Da mesma forma:
q
P(0.55 − z1−0.05/2 × 0.55×(1−0.55)
<p<
780
q
) = 0.95
0.55 + z1−0.05/2 × 0.55×(1−0.55)
780
z1−0.05/2 = z0.975 = φ−1 (0.975) = 1.9599
P(0.55 − 1.9599 ×
q
q
0.55×(1−0.55)
<p<
780
0.55×(1−0.55)
) = 0.95
780
0.55 + 1.9599 ×
P(0.5151 < p < 0.5849) = 0.95
Da mesma forma:
q
<p<
P(0.55 − z1−0.01/2 × 0.55×(1−0.55)
780
q
0.55 + z1−0.01/2 × 0.55×(1−0.55)
) = 0.99
780
−1
z1−0.01/2 = z0.995 = φ (0.995) = 2.5758
P(0.55 − 2.5758 ×
q
q
0.55×(1−0.55)
<p<
780
0.55×(1−0.55)
) = 0.99
780
0.55 + 2.5758 ×
P(0.5041 < p < .5959) = 0.99
Exercícios
q
0.55×(1−0.55)
<p
1020
0.55×(1−0.55)
) = 0.95
1020
−1
φ (0.975) = 1.9599
b) P(0.55 − z1−0.05/2 ×
<
q
0.55 + z1−0.05/2 ×
z1−0.05/2 = z0.975 =
P(0.55 − 1.9599 ×
q
q
0.55×(1−0.55)
<p<
1020
0.55×(1−0.55)
) = 0.95
1020
0.55 + 1.9599 ×
P(0.5195 < p < .5805) = 0.95
O resultado mostra que quando aumentamos o tamanho da
amostra, mantendo o mesmo nível de confiança (95%), o tamanho
(amplitude) do intervalo diminui (aumenta a precisão da
estimativa).
Exercícios
5) Admita que a direcção de determinada Universidade se dispõe a
oferecer aos seus 3800 alunos a possibilidade de estes frequentarem
aulas ao Sábado de manhã se a procura para este horário for
suficientemente alta. a) Determine a dimensão apropriada da
amostra de alunos a inquirir para que a amplitude do intervalo de
confiança a 95% para a proporção de alunos com interesse por
aquele horário não exceda 0.1? b) Suponha que após realizada a
amostragem com o tamanho indicado pelo dimensionamento, o
valor da proporção amostral é de 50%. Determine um intervalo de
confiança para a proporção populacional de 95% de probabilidade.
Solução:
O erro de amostragem paar uma estimativa de proporção
populacional p (quando consideramos que a amostragem é
realizada sem reposição) é dado pela seguinte
expressão:
q
e = z1−α/2 × σp̂ ×
q
N−n
N−1
= z1−α/2 ×
p×(1−p)
n
×
q
N−n
N−1
Exercícios
Elevando ambos os termos desta expressão, temos:
2
e 2 = z1−α/2
× p×(1−p)
× N−n
n
N−1
2
e 2 × n × (N − 1) = z1−α/2
× p × (1 − p) × (N − n)
2
2
2
e ×n ×(N −1)+z1−α/2 ×p ×(1−p)×n = z1−α/2
×p ×(1−p)×N
2
2
2
n(e × (N − 1) + z1−α/2 × p × (1 − p)) = z1−α/2 × p × (1 − p) × N
n=
2
z1−α/2
×p×(1−p)×N
2
e 2 ×(N−1)+z1−α/2
×p×(1−p)
Esta é a expressão para determinar o tamanho de uma amostra
para estimarmos a proporção populacional e quando a amostragem
é sem reposição. Neste caso temos que considerar o fator de
correção da população finita nos cálculos.
Exercícios
Substituindo os valores do enunciado na expressão anterior:
1.95992 ×0.5×(1−0.5)×3800
n = 0.12 ×(3800−1)+1.9599
2 ×0.5×(1−0.5) = 93.68 ' 94
b)
q
0.50×(1−0.50)
94
q
0.50×(1−0.50)
×
94
P(0.50 − 1.9599 ×
×
q
q
3800−94
3800−1
< p<
3800−94
0.50 + 1.9599 ×
3800−1 ) = 0.95
P(0.4001 < p < 0.5998) = 0.95
Reparem que o erro de amostragem do intervalo é praticamente
igual a 0.10. Seria isto uma coincidência?
Exercícios
6) Num estudo de mercado quantas pessoas devem ser inquiridas
para, com 95% de confiança, se cometer um erro de estimativa da
verdadeira proporção de potenciais clientes de um novo produto
inferior a 3%? E para se cometer um erro de estimativa inferior a
1%?
Exercícios
7) Considere uma amostra aleatória obtida no mercado de trabalho
de uma grande cidade, constituída por 2000 indivíduos. Das
entrevistas efectuadas constatou-se que 165 pessoas responderam
não ter emprego. a) Construa um intervalo de confiança a 95%
para a proporção média de indivíduos desempregados na referida
cidade. b) Caso pretenda reduzir para metade a amplitude do
intervalo relativo à alínea anterior, mantendo o mesmo grau de
confiança, qual a dimensão da amostra adequada? Justifique a
resposta.